PLAN INTEGRAL DE CURSO
PARA MATEMATICAS II
ORLANDO OLIVERA MORALES.
LUIS ALFONSO SUÁREZ OLAYA
ISRAEL BENAVIDES PERDOMO
Trabajo presentado a la Oficina de Currículo del IDEAD, como
requisito de orden administrativo en el proceso de actualización y
acreditación programática.
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
INSTITUTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA (IDEAD)
PROGRAMAS DE TECNOLOGÍA Y CICLO PROFESIONAL
CURSO PROGRAMÁTICO: MATEMÁTICAS DOS
IBAGUÉ
2005
2
PRESENTACIÓN
Este trabajo contiene la propuesta de Plan Integral de Curso de matemáticas II,
correspondiente al núcleo programático de Ciencias Básicas dentro de los Programas del
Área Administrativa, Económica y Contable y Área de Ingenierías que ofrece el IDEAD,
de manera directa o en convenio con otras universidades del país.
La Organización estructural del trabajo se hizo tomando como base los avances y ajustes
hechos en los últimos dos semestres acorde con las discusiones temáticas del colectivo
académico de matemáticas y los resultados experimentados por los estudiantes en el
desarrollo del P.I.C propuesto que se venía trabajando en los diferentes programas.
Esta propuesta mejorada es estructural y pedagógica ya que parte del objeto de
transformación del núcleo programático de ciencias básicas, de las temáticas del curso y
la relación coherente entre ellas para buscar la coherencia lógica con los demás cursos
afines dentro del plan curricular del programa de Administración Financiera y demás
programas que ofrece el IDEAD, para lo cual se tuvo en cuenta la utilización particular de
dichos contenidos en temas especiales de aplicación para plantear soluciones a
situaciones problema.
Los autores
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JUSTIFICACIÓN
El plan integral de curso (P.I.C) de matemáticas ll, fundamenta sus contenidos en los
conceptos de límites, derivadas e integrales de funciones; los cuales han sido
elementos de gran aplicación y apoyo en la búsqueda de claridad conceptual y avance
de las ciencias en general, y de las ciencias naturales, administrativas, económicas y
financieras en particular.
Históricamente el concepto de función es más moderno que el de ecuación, en su trabajo
y aplicación, aunque el concepto de relación el cual dio origen al de función fue trabajado
por los Griegos al calcular áreas y volúmenes de superficies y cuerpos físicos y
geométricos, lo mismo que en el desarrollo de las secciones cónicas.
El cálculo como área básica de la matemática y de gran apoyo para las demás ciencias,
tuvo su gran desarrollo en el siglo XVII con los aportes preliminares y modernos de
NEWTON Y LEIBNIZ al cálculo diferencial e integral, y posteriormente complementados
con el rigor matemático dado a los conceptos de límite y función por, EULER, CAUCHY
y RIEMANN, entre otros.
El desarrollo del concepto de límite en el siglo XIX, permitió dar paso a la derivada y a la
integral de funciones con mayor rigor matemático, y así llegó la gran aplicación del
cálculo diferencial e integral a las ciencias naturales, económicas y administrativas. Es
así, como los límites permitieron la estructuración de modelos lineales y exponenciales de
capitalización y amortización en el campo de las finanzas. De igual manera, la derivada
explícita, parcial e implícita de funciones y relaciones ha facilitado el campo de aplicación
de los máximos y mínimos al análisis de situaciones generales y particulares en todas las
ciencias del conocimiento, y la integral indefinida como antiderivada ha contribuido a la
obtención de funciones particulares a partir de funciones derivadas y de condiciones
iniciales, al igual que la integral definida permite obtener valores reales de áreas y
volúmenes en el campo de las ciencias de la ingeniería, y de costos, ingresos, utilidades o
variaciones de éstos a partir de funciones derivadas o marginalidades, en el campo de
las ciencias administrativas y económicas.
Es importante destacar que la derivada y la integral han facilitado avances y progresos en
el campo de las Ecuaciones Diferenciales, facilitando la comprensión del concepto de
marginalidad y la obtención de funciones particulares y familias de funciones que
identifican fenómenos en las ciencias económicas, administrativas y en todas las demás
ciencias donde el cálculo es un área de gran utilidad y apoyo.
En un campo mas específico y avanzado, el cálculo diferencial e integral, ha facilitado el
rigor conceptual e interpretativo en temáticas relacionadas con el riesgo como factor
determinante en la toma de decisiones en proyectos de ingeniería, financieros y de
inversión, y de igual manera en el manejo de las elasticidades en modelos funcionales
de ingeniería y diseño, y de modelos especiales en el campo de las ciencias
administrativas y económicas.
Desde el punto de vista legal, la ley 30 de 1992 como norma que rige la educación
superior en Colombia, estableció la creación del Sistema Nacional de Acreditación(S.N.A)
como una respuesta a la necesidad, expresada en múltiples escenarios, de fortalecer la
calidad de la educación superior. En tal sentido, el literal a del artículo 6º establece como
principal objetivo de la educación superior, "profundizar en la formación integral de los
colombianos,... capacitándolos para cumplir las funciones profesionales, investigativas y
de servicio social que requiere el país". De manera complementaria, el artículo 55 habla
de la autoevaluación como una tarea permanente en el proceso de acreditación de los
programas que se ofrecen en las instituciones universitarias.
En este sentido, las matemáticas II al interior del programa de Administración Financiera,
juegan un papel fundamental en el nivel de formación del estudiante y del egresado,
aportando al fortalecimiento matemático, válido en el campo investigativo y de
profundización en los estudios de postgrado del futuro profesional.
En relación con la pertinencia Curricular, la matemática II es coherente con otros cursos
del plan de estudios de los programas ofrecidos por el IDEAD como son: la estadística, la
física de: resistencia de materiales, circuitos eléctricos y magnetismo y la electrónica. De
de igual manera, tiene correlación con microeconomía, las matemáticas financieras, las
finanzas, la elaboración de proyectos y Administración de operaciones, entre otras
asignaturas, en las cuales las temáticas de límites, derivadas e integrales son básicas
para la comprensión conceptual y analítica de contenidos posteriores.
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UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
INSTITUTO DE EDUCACION A DISTANCIA
PLAN INTEGRAL DE CURSO
MATEMÁTICAS II
PARA TODOS LOS PROGRAMAS OFRECIDOS POR EL IDEAD
1. IDENTIFICACION
1.1. Núcleo Programático: Ciencias Básicas
1.2. Código: 0802011(administración financiera)
1.3. Semestre: II
1.4. Intensidad Horario Total: 120 Horas
1.4.1. Intensidad Asesoría y trabajo presencial 24 horas (acuerdo pedagógico, tutorías y
convocatorias)
1.4.2. Intensidad Académica Extratutorial 96 horas (trabajo individual y por CIPAS de
estudio)
1.5. Tutor Pedagógico: ORLANDO OLIVERA MORALES
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2. OBJETO DE TRABAJO CURRICULAR:
La matemática II como curso fundamental dentro del plan de estudios de los programas
ofrecidos por el IDEAD, tiene por objeto de trabajo curricular brindar al estudiante un
espacio académico compartido(estudiantes, tutor y medios de apoyo) que le permitan
adquirir fortalezas en herramientas conceptuales, analíticas, operativas y gráficas, básicas
en el desarrollo de los núcleos afines en la carrera, a partir de los contenidos temáticos del
curso, con el apoyo del módulo-texto y de materiales-guías elaborados por el tutor
pedagógico a partir de una interpretación propia de la temática del curso y sus
aplicaciones; con lo cual se busca fortalecer el trabajo por C.I.P.A.S. de estudio en el
desarrollo de talleres extra e intratutoriales que permitan afianzar elementos fundamentales
de las derivadas y las integrales en aspectos generales y particulares, con apoyo adicional
de consultas en los medios electrónicos como el software Descartes y el graficador FW27,
entre otros.
3. OBJETIVO CENTRAL Y OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE TRABAJO
3.1. OBJETIVO CENTRAL:
Proporcionar al estudiante los elementos básicos y necesarios del cálculo diferencial e
integral aplicables al análisis, comprensión de procesos y solución de situaciones de
las ciencias naturales, económicas, administrativas y afines, en el desarrollo de la
carrera facilitándole su desempeño en el campo estudiantil, ocupacional y
profesional.
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE TRABAJO
3.2.1. Adquirir gráfica y matemáticamente el concepto de límite puntual de una función.
3.2.2. Comprender gráfica y matemáticamente los conceptos de continuidad y
discontinuidad de funciones.
3.2.3. Comprender y aplicar a partir de los límites, el concepto geométrico de la derivada
de una función.
3.2.4. Aplicar correctamente el proceso de incremento de una función y el álgebra
derivadas para obtener derivadas explícitas de funciones.
3.2.5. Comprender y desarrollar el proceso matemático que permite encontrar y graficar
puntos máximos y/o mínimos de una función, haciendo el análisis respectivo
de la misma, con el apoyo de graficadores funcionales como el FW27
3.2.6. Aplicar la derivada para resolver problemas de aplicación a la economía empleando
funciones de: oferta, demanda, ingresos, costos y utilidad, entre otras.
3.2.7. A partir del concepto de derivada, comprender el proceso para integrar funciones,
empleando las principales fórmulas y métodos de integración.
3.2.8. Resolver algunos problemas de aplicación a la economía y otras ciencias, como
un aporte de la integral definida e indefinida, con el apoyo de la graficación y
el análisis de funciones.
4 . PERTINENCIA CURRICULAR:
La Matemática II brinda al estudiante las herramientas básicas generales y específicas
que le permiten una aproximación a la construcción conceptual y a la interpretación
matemática, compresión de resultados y análisis gráficos de situaciones referentes a
funciones de: desplazamiento, áreas, volúmenes, ingresos, egresos, costos de producción,
oferta y demanda, puntos de equilibrio, crecimiento y decrecimiento, continuidad y
discontinuidad, derivadas, puntos máximos y mínimos de una función, integrales, y las
aplicaciones fundamentales de la derivada y la integral a las ciencias de la ingeniería,
económicas y administrativas; contenidos éstos que son básicos en los demás cursos del
núcleo y núcleos afines de cada carrera e importantes para el futuro profesional en la toma
de decisiones.
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5. PRESENTACIÓN Y SUSTENTACIÓN DEL MATERIAL PEDAGÓGICO
5.1. PRESENTACIÓN Y SUSTENTACIÓN DEL MATERIAL PEDAGÓGICO.
La estructura y contenido del curso fundamenta su desarrollo a partir del texto
escrito, por tanto el material pedagógico propuesto es el siguiente:
5.1.1 MATEMÁTICAS UNIVERSITARIA, Cuarta edición Revisada, de Carl B.
Allendoerfer, y; Cletus. O. Oakley. Editorial Mc Graw-Hill. 1994.
El texto posee contenidos generales de matemáticas con énfasis en las ciencias de la
ingeniería, económicas y administrativas. Las temáticas de límites, continuidad y
discontinuidad de funciones, la derivada de funciones y sus aplicaciones, y la integral
general y sus aplicaciones, relacionadas con los contenidos de matemáticas II dentro
de los programas que ofrece el IDEAD, están desarrolladas en los capítulos 12, 13 y
14 de este texto con una adecuada secuencia lógica, elementos conceptuales al igual
que algunas ilustraciones gráficas y resúmenes al final de cada unidad. Sin embargo,
algunos procesos matemáticos y el enfoque didáctico de los elementos conceptuales
no corresponden a lo que es un módulo y esto dificulta un poco el proceso de
asimilación por parte del estudiante.
De igual manera, es importante actualizar y enriquecer los ejercicios de aplicación,
para lo cual el tutor debe elaborar algunos materiales de apoyo con elementos
metodológicos y lenguaje matemático que le faciliten al estudiante complementar su
trabajo con este texto o cualquier otro al que pueda acceder.
5.1.2. MATERIALES COMPLEMENTARIOS DE APOYO
Lo expuesto anteriormente Justifica que todos los tutores que orientan el curso de
matemáticas II elaboren materiales de apoyo temático y conceptual para el
estudiante, facilitando el trabajo extratutorial de éste. Estos materiales ya existen
como una elaboración de cada tutor y se busca con ello, como elemento
complementario, que los ejercicios de aplicación estén seleccionados y enfocados a
las aplicaciones puntuales de cada una de las carreras que cursa el estudiante.
Complementario a lo anterior el grupo recibe un diskette con los archivos del
graficador FW 27 y un archivo adicional que contiene un manual elaborado por el
tutor, el cual facilita el manejo del FW 27 y su acceso a través del explorador de
windows. El objetivo es que por Cipas o individualmente se multiplique este
material de apoyo, el cual facilita el gráfico y análisis de funciones relacionadas
con todas las temáticas del curso.
Como textos adicionales a los cuales el estudiante puede acceder para consultar las
temáticas del curso, se recomiendan:
5.1.3.1. CÁLCULO: Autores: Larson, Roland, E; y; Hostetler, Robert, P. Editorial Mc
Graw-Hill Latinoamérica, S.A. Cuarta Edición 1994.
Este texto contiene entre sus capítulos 2 y 7, el desarrollo de la temática relacionada
al curso de matemáticas II. Posee un excelente manejo conceptual y ejemplos
gráficos para cada tema. En lo relacionado con aplicaciones específicas, este texto
tiene ejercicios enfocados a las ciencias naturales de manera particular, y en un
menor nivel, los ejercicios relacionados con aplicaciones específicas al campo
económico y administrativo.
5.1.3.2. CÁLCULOS DIFERENCIAL E INTEGRAL. Autores: Garcés, Carlos; Pita,
Marcos Fidel y Pedro, J, Gallego. Profesores de ciencias básicas de la Universidad
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del Tolima. Universidad del Tolima, instituto de Educación a Distancia. Edición
2003.
Estos textos contienen de manera separada las temáticas básicas de las temáticas de
derivada y la integral de funciones en una variable, incluyendo algunas aplicaciones
generales. Aunque no son módulos específicos para la modalidad de educación a
distancia, si son un apoyo para desarrollar el curso, ya que además de los elementos
conceptuales ilustrados con ejemplos matemáticos y gráficos, posee ejercicios
propuestos y las respuestas a algunos de ellos.
Estos textos se pueden adquirir a precios cómodos en el fondo rotatorio de la
Universidad del Tolima.
5.1.4. Como textos a tener en cuenta en el desarrollo del curso, en lo relacionado a
aplicaciones específicas, se pueden tomar como referencia los siguientes:
5.1.4.1. MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA
ECONOMÍA, Autores: Arya, Jagdish, C. Y; Lardner, Robin W. Editorial Prentice -
Hall. Tercera o cuarta edición. México, 1989 y años posteriores.
Entre los capítulos 12 y 18 desarrolla los contenidos del curso de matemáticas II,
haciendo énfasis en aplicaciones importantes de la derivada y la integral a las
ciencias administrativas y económicas, en lo relacionado a máximos y mínimos de
funciones univariadas y multivariadas (derivadas parciales) y el manejo de
funciones marginales de ingreso, costo y utilidad.
5.1.4.2. MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS
SOCIALES Y DE LA VIDA. Autores: Haussler Jr, Ernest, y; Paul, S, Richard.
Octava Edición 1997. Editorial Prentice-Hall.
Este libro desarrolla del capítulo 11 al 17 la temática general y específica del curso
de matemáticas II, con aplicaciones a los límites, a las derivadas e integrales de
funciones con enfoque a la economía; en temas como la razón de cambio, funciones
marginales de ingreso, costo y utilidad entre otros, y la maximización y
minimización para funciones en una o mas variables. Al final de cada capítulo trae
ejercicios propuestos presentados en forma didáctica de acuerdo a los contenidos
vistos y a los ejemplos de cada temática.
Al terminar cada unidad, el texto trae una descripción detallada de las aplicaciones
prácticas de la temática tratada lo cual proporciona una visión clara de las
numerosas aplicaciones del cálculo diferencial e integral a todas las ciencias.
LOS INGREDIENTES FUNDAMENTALES DE LA EXCELENCIA SON:
CONOCIMIENTO, CALIDAD Y COMPROMISO.
MIGUEL ANGEL CORNEJO
6. PRESENTACIÓN, SUSTENTACIÓN Y ORGANIZACIÓN DE LAS UNIDADES
INTEGRALES DEL CURSO (METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA CADA TUTORÍA)
6.1 UNIDAD 1: LIMITES, DISCONTINUIDAD Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
(TUTORÍA UNO)
Descripción, organización y desarrollo de las temáticas
6.1.1. Descripción Temática: Esta unidad desarrolla conceptual, operativa, gráfica y
analíticamente los temas de límites, continuidad y discontinuidad de funciones,
contenidos éstos de gran importancia para la comprensión y manejo de
conceptos como los de derivada e integral de funciones y sus aplicaciones.
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De igual manera, los limites y la continuidad y discontinuidad son importantes en la
comprensión y análisis del comportamiento de funciones generales y de aquellas
particulares de aplicación a las ciencias naturales, administrativas y económicas,
acorde con las restricciones de dominio y su presentación, especialmente cuando
se trabaja con expresiones algebraicas de tipo racional o de forma compuesta con
dominio distribuido en intervalos de extremos abiertos o semi-abiertos.
6.1.2. Objetivo general: Comprender matemática y gráficamente los conceptos de límite,
continuidad y discontinuidad de funciones a partir de acercamientos laterales,
procesos algebraicos y las condiciones de restricción de dominio.
6.1.3. Contenidos temáticos de la Unidad:
Límites, continuidad y discontinuidad de funciones.
Aproximación al concepto de límite puntual de una función.
Cálculo algebraico de límites y límites con radicales.
Límites especiales (indeterminados).
Conceptos geométrico y matemático de continuidad y discontinuidad de
funciones.
Criterios matemáticos sobre continuidad puntual de una función..
Gráfico y análisis de funciones discontinuas (casos de discontinuidad).
6.1.4. Lecturas Básicas: Hacer lectura de estudio del capítulo 12 (páginas 239-257) de
las matemáticas Universitarias de Allendoerfer, y los materiales de apoyo que
aporta el tutor como complemento conceptual de la temática a desarrollar.
6.1.5. Lecturas Recomendadas: Se recomienda leer y consultar el texto Cálculo de
Larson, capítulo 2, páginas 37 a 71; el cual facilita la comprensión conceptual del
tema.
Preguntas Generadoras
Las siguientes preguntas o interrogantes requieren de su apreciación, a través
de una sustentación coherente en cada una de ellas. En caso de no tener
elementos suficientes debe consultar con sus compañeros de Cipas, remítase
a la bibliografía o finalmente consulte en el momento tutorial
correspondiente.
¿Cómo podría definir el concepto general de lo que es límite? Explique su
respuesta
¿Qué es para usted el límite puntual de una función matemática? Explique
con un ejemplo.
¿Qué relación existe entre el límite de una función matemática para un
determinado valor y la continuidad de esa función en ese mismo punto? ¿Esa
relación se cumple en todos los casos? ¿por qué?
x 2 x 20
¿Es 2 el valor del siguiente límite Lim ? Justifique su
x5
respuesta. X5
¿Es la función y x 2 , continua en todo su dominio? Grafique para
3
justificar su respuesta.
x2 9
¿Qué puede decir de la continuidad de la función y
? ¿Qué
x3
pasa cuando x = -3? ¿Se puede argumentar que la gráfica es una línea
recta? Explique.
¿Qué métodos conoce para calcular el límite de una función? Aplique
esos procesos y trate de obtener el límite en cada caso, sino existe
límite, diga por qué.
x2 4 X 2 X 12 x 1
Lím Lim Lim
X1 x2
X 5X 6
2
x 32
2
X2 X3
9
x3 4x 1 1 1 ( x h) 3 x 3
Lim Lim Lim Lim
x 2x x 1
2x h
X -1 X 1/2 2 X0 h0
6.1.6. Actividades de Integración: El estudiante debe leer, estudiar y socializar los
contenidos fundamentales del capítulo 12 del texto Matemáticas Universitarias
de Allendoerfer, páginas 239 a 257(no es necesario que haga todos los
ejercicios)
Trate de resolver en cipas de estudio algunos literales de los numerales uno y dos
del ejercicio 12.12 del texto matemáticas universitarias de Allendoerfer, página
275.
Desarrollar y socializar el material conceptual y de ejercicios, elaborado por el tutor,
sobre el tema, como elemento que complementa la comprensión temática a
desarrollar(Trate de desarrollar los ejercicios propuestos en las páginas 12 y 13)
(este material es particular para ciencias administrativas y financieras)
6.1.7. Acreditación de la Unidad: El estudiante para acreditar la unidad deberá
demostrar comprensión gráfica, analítica y operativa de la temática a través del
proceso extratutorial y tutorial en el desarrollo por cipas, dentro de la
socialización de temáticas y en la sustentación individual de los contenidos
tratados.
6.1.8. Bibliografía:
Allendoerfer-Oakley, Carl B.- Cletus O., Matemáticas Universitarias; Mc-Graw -
Hill, 1995. Capítulo 12, págs: 239-280.
Materiales de apoyo elaborados por el Tutor sobre la parte conceptual de
límites, continuidad y discontinuidad.
Graficador FW 27 y su manual de manejo a través del explorador de Windows
Larson-Hostetler; Cálculo; Mc-Graw-Hill. Capítulo 2, págs: 37-71.
6.2 UNIDAD 2: LA DERIVADA ( Tutoría dos) Y SUS APLICACIONES ( Tutoría
Tres)
6.2.1. Descripción temática: La derivada como concepto es una herramienta importante
en el desarrollo de un curso de cálculo y de gran aplicación para interpretar y
analizar situaciones de marginalidad, máximos y mínimos de funciones, el estudio
de los casos de elasticidad de funciones, y de igual manera, brinda elementos que
facilitan la comprensión del rigor matemático en el estudio de modelos
matemáticos, aplicables a situaciones que permiten evaluar coeficientes y
variables de modelos funcionales que permiten explicar fenómenos en las ciencias
de la ingeniería, de la economía y al administración.
Es igualmente importante en esta unidad, el concepto de derivada implícita, la
cual permite derivar e interpretar relaciones funcionales que no siempre se pueden
expresar de manera explícita.
6.2.2. Objetivos Generales:
Interpretar matemática y gráficamente la derivada de una función a partir del
concepto de límite.
Desarrollar la derivación explícita e implícita de funciones, apoyada en
procesos algebraicos, aplicándola a situaciones reales enfocadas al campo de la
ingeniería y las ciencias económicas y administrativas.
6.2.3. Contenido temático:
10
La derivada de funciones.
Razón de cambio y ritmos de cambio.
Manejo de incrementos y derivada por proceso de incrementos.
interpretación geométrica del concepto de derivada.
Álgebra básica de derivadas explícitas e implícitas de funciones y relaciones
(principales fórmulas de derivación).
Aplicaciones gráficas de la derivada (máximos y/o mínimos relativos) con
análisis integral (Puntos de cortes con los ejes, puntos máximos y mínimos,
puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de
concavidad, etc).
Problemas de aplicación a cada una de las áreas específicas dentro de cada
programa.
6.2.3. Lecturas Básicas: Hacer lectura de estudio del capítulo 12 (páginas 258-280) y
del capítulo 13 de las matemáticas Universitarias de Allendoerfer, y los
materiales de apoyo que aporta el tutor como complemento conceptual de la
temática a desarrollar.
6.2.4. Lecturas Recomendadas: Se recomienda leer y consultar el texto Cálculo de
Larson, capítulo 3, páginas 73 a 110; el cual facilita la comprensión conceptual
del tema. De igual manera, leer del texto Matemáticas Aplicadas, de Arya y
Lardner, del capítulo 12 páginas 511-530; capítulo 14 páginas 567-602; y;
capítulo 18 páginas 768-782.
Pregunta Generadoras para tutoría dos
Las siguientes preguntas buscan que el estudiante haga un autodiagnóstico acerca de los
conocimientos previos que posee sobre la temática de derivada y sus aplicaciones, a partir
de lo ya estudiado en límites, continuidad y discontinuidad de funciones.
¿Qué idea tiene usted de la expresión razón de cambio o cociente incrementado de una
f
función( )?
x
Dada la función costo total C ( x) 0.5 x 2 13 x 10 , con x1 5, y, x2 3 , podría
C
obtener e interpretar C , x, ? ¿Qué puede concluir?
x
C C
¿Podrías obtener las expresiones generales , y, lím ? ¿Qué diferencias puede
x x 0 x
encontrar? ¿Qué puede concluir?
Aplicando el proceso anterior, trate de obtener la derivada de las funciones
y 2 x 2 2 x , e, y x 3 2 x ¿Qué puede concluir?
Pregunta Generadoras para tutoría Tres
La Derivada y sus aplicaciones .La gráfica de la función Y x 3x se muestra a
3
continuación. ¿Podrías tratar de comprobar su gráfica y hacer un análisis de su
comportamiento gráfico?
11
Para un producto, se tienen como modelos de funciones costo y demanda, las
siguientes: C(x)= 20x+500; y; p = -1x+ 100; donde x son unidades y P es precio en
dólares. ¿Cuál sería el valor de las unidades que maximizan la utilidad del producto?
Si su auto-evaluación no le satisfizo, no se preocupe, aquí comienza el plan de
actividades para cada tutoría .
6.2.5. Actividades de Integración: El estudiante debe leer, estudiar y socializar los
contenidos fundamentales del capítulo 12 del texto Matemáticas Universitarias
de Allendoerfer, páginas 239 a 274(para la tutoría dos), y del capítulo 13 del
mismo texto (para la tutoría tres).
Ejercicios a trabajar en la tutoría dos
Trate de resolver los ejercicios de derivada de funciones de los numerales 3, 4, 5, 6 y
7,8 y 9 del ejercicio 12.12 (página 275 en adelante).
Desarrollar y socializar el material conceptual y de ejercicios, elaborado por el tutor,
sobre el tema, como elemento que complementa la comprensión temática. Trate
de resolver de este material las derivadas planteadas en las páginas 22, 23 y 24
(este material es particular para ciencias administrativas y financieras)
Ejercicios a trabajar en la tutoría tres.
Intente resolver los ejercicios y problemas planteados en los numerales 1 al 7 del
ejercicio 13.7, páginas 305-308 del texto matemáticas universitarias, sobre el
tema de máximos y mínimos.
Realizar el análisis grafico de las funciones planteadas en la página tres del material
aportado por el tutor, a partir de la utilización del graficador Fw 27 y su manual
de manejo.
Intente resolver algunos de los problemas planteados en las páginas 4, 5 y 6 del
material aportado por el tutor, sobre aplicaciones a los máximos y mínimos de
funciones(este material es particular para ciencias administrativas y
financieras)
.
6.2.6. Acreditación de la Unidad: El estudiante para acreditar la unidad, deberá
demostrar comprensión gráfica, analítica y operativa del concepto de derivada
en forma general, y del proceso de maximización y minimización de funciones,
aplicables a la economía y a la administración.
BIBLIOGRAFÍA:
Allendoerfer - Oakley, Carl B. - Cletus O., Matemáticas
Universitarias; Mc-Graw -Hill, 1994. Capítulo 12, págs: 258-280.
Capítulo 13, págs: 281-308.
Materiales de apoyo elaborados por el Tutor sobre álgebra de derivadas y sus
aplicaciones con problemas sobre máximos y mínimos enfocados a las
ciencias administrativas y económicas.
Larson-Hostetler; Cálculo. Capítulo 3, págs: 73-110. Capítulo 4, págs: 127-152.
12
MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA
ECONOMÍA, Autores: ARYA, Jagdish, C. Y; JARDNER, Robin W. Editorial
Prentice - Hall, Tercera edición México 1989. Capítulos 12,14 y 18.
6.3 UNIDAD 3: LA INTEGRAL GENERAL(TUTORÍA CUATRO) Y SUS APLICACIONES
(TUTORÍA CINCO)
6.3.1. Descripción temática: La integral como elemento temático de este curso de
cálculo, ayuda a complementar y correlacionar el concepto de derivada, porque la integral
permite obtener funciones originales a partir de una derivada general o función marginal,
proceso este que se enfoca en este curso a la obtención de funciones generales y
particulares de crecimiento y decrecimiento de volúmenes, áreas, desplazamientos, al
iguales que funciones de costo, ingreso y utilidad, a partir de las funciones marginales
respectivas y sus condiciones iniciales específicas. De igual manera, la integral definida
permite obtener el valor de un área , una diferencia de costos, ingresos y utilidades como
una aplicación especial del área bajo la curva, lo mismo que los excedentes de
materiales cuando se comparan modelos funcionales de diseño de empaques, para fundir
placas, y de igual manera en el campo de las ciencias económicas, se obtienen los
excedentes del productor y consumidor aplicando el concepto de área entre curvas a
partir del punto de equilibrio de oferta y demanda o equilibrio del mercado.
6.3.2. Objetivo general: Comprender la integral como un proceso inverso a la derivación
de funciones, aplicándolo a la solución matemática y gráfica de problemas generales y
particulares, con enfoque a las ciencias de la ingeniería y del campo administrativo y
económico.
6.3.3. Contenidos temáticos:
La integral como antiderivada.
La integral indefinida y definida.
Casos fundamentales de integración ( fórmulas más utilizadas)
Aplicaciones a la integral indefinida.
Obtención de funciones originales y graficación de puntos máximos y mínimos
a partir de funciones marginales..
Aplicaciones a la integral definida.
Área bajo la curva (caso general) y áreas entre curvas.
Excedente de materiales en el campo de la ingeniería, y del productor y del
consumidor en las ciencias administrativas, partir del punto de equilibrio
económico o del mercado (P.E). y para cualquier número de unidades ( Q).
Cálculo de: utilidad total, costo total, ingreso total, etc, a partir de una función
marginal, empleando las ecuaciones diferenciales simples o por separación de
variables, y dentro de un intervalo determinado.
6.3.4. Lecturas Básicas: Hacer lectura de estudio del capítulo 14 de las
matemáticas Universitarias de Allendoerfer, y los materiales de apoyo que
aporta el tutor como complemento conceptual de la temática a desarrollar.
6.3.5. Lecturas Recomendadas: Se recomienda leer y consultar.
Cálculo de Larson, capítulo 5, páginas 185- 201; y de la 215-240; cuyos
elementos conceptuales facilitan al comprensión temática
Matemáticas Aplicadas, de Arya y Lardner, el capítulo 16, cuyo contenido
desarrolla la temática general y particular con aplicaciones específicas.
Preguntas Generadoras para la tutoría cuatro
Las siguientes preguntas buscan que el estudiante haga un autodiagnóstico evaluativo
acerca de los conocimientos previos que posee sobre la temática de integral de funciones y
sus aplicaciones, a partir de lo ya estudiado en límites y derivadas.
¿Puede comprobar, aplicando la derivada, que la
función C ( x) 0.001 x 3 0.3x 2 40 x 1000 , es la integral o antiderivada de la función
dC
0.003x 2 0.6 x 40 ? ¿Qué explicación le puedes dar al valor 1000 como
dx
13
constante en la función integral o costo dada? ¿Cómo se obtiene ese valor en C (x), y
dC
como se obtiene a partir de ?
dx
¿Cómo podría comprobar si es verdadero o falso que (4 x1 / 2 2 x 2 )dx =
3
8 2 2 3
x x c?
3 3
Preguntas Generadoras para la Tutoría Cinco
Aplicación a la integral indefinida: La función Costo Marginal de un producto cuando
dC
se producen X unidades, viene dada por C ´( x ) 6 x 2 2 x 3 . ¿Podría obtener la
dx
función costo total, sabiendo que el costo total para producir 10 unidades es de
$494.000? ¿Cuánto vale el costo total para producir x = 30 unidades?
3
(x 2 x 1)dx = 24?
3
Aplicación a la integral definida: ¿Podría comprobar que
1
Justifique el proceso matemático
Si su auto-evaluación no le satisfizo, no se preocupe, aquí comienza el plan de
actividades de la unidad (Tutorías Cuatro y Cinco)
6.3.6. Actividades de Integración: El estudiante debe leer, estudiar y socializar los
contenidos fundamentales del capítulo 14 del texto Matemáticas Universitarias
de Allendoerfer; así: páginas 311-317 para la tutoría cuatro, y desde la 317 a
334 para la tutoría cinco.
Ejercicios a resolver para la tutoría cuatro
Trate de resolver los numerales 1, 2 y 3 sobre integrales generales del ejercicio 14.9
del texto matemáticas universitarias de Allendoerfer(páginas 334-335)
Desarrollar y socializar el material conceptual y de ejercicios, elaborado por el tutor,
sobre el tema como elemento que complementa la comprensión temática a
desarrollar. Halle la integral de los ejercicios planteados en las páginas 6 y 7,
sobre integral general e integral por sustitución funcional y en las páginas 9 y 10
aplicando el método de integración por partes( este material es particular para
ciencias administrativas y financieras)
.
Ejercicios a resolver para la tutoría cinco
Trate de resolver los numerales 4-14 del ejercicio 14.9(páginas 336-337) sobre
aplicaciones a la integral indefinida y definida de las matemáticas universitarias
de Allendoerfer.
Desarrollar y socializar el material conceptual y de ejercicios, elaborado por el tutor,
sobre el tema como elemento que complementa la comprensión temática a
desarrollar. Resuelva los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 8 del material, sobre
aplicaciones específicas a la integral indefinida y el ejercicio 13 de la página 9 (
este material es particular para ciencias administrativas y financieras)
6.3.7. Acreditación de la Unidad: El estudiante para acreditar la unidad, deberá
demostrar comprensión gráfica, analítica y operativa del concepto de integral,
mostrando manejo de las principales fórmulas de integración, utilizando
adecuadamente los procesos gráficos y analíticos de la derivada, en el
desarrollo de ejercicios de área bajo la curva y entre curvas, con aplicaciones
enfocadas a las ciencias económicas y administrativas.
BIBLIOGRAFÍA:
Allendoerfer - Oakley, Carl B. - Cletus O., Matemáticas
Universitarias; Mc-Graw -Hill, 1995. Capítulo 14.
Materiales de apoyo elaborados por el Tutor sobre la integral general y sus
aplicaciones.
Larson-Hostetler; Cálculo. Capítulo 5, págs: 185-201; y; 215-240.
14
Arya, Jagdish, y, Lardner, Robin.Matemáticas Aplicadas a la
administración y a la economía. Editorial Prentice - Hall. Tercera y
Cuarta ediciones. México 1989 y posteriores. cap. 16
.
Garces Toro, Carlos, y, otros. Cálculo diferencial y cálculo integral; Universidad
del Tolima, IDEAD. Edición 2003.
.
7. METODOLOGIA:
La metodología de trabajo para el curso de matemáticas II está fundamentada en lo
programado en el P.I.C:, en el plan de curso y en el apoyo que al estudiante le brindan el
módulo- texto, los materiales elaborados por el Tutor pedagógico para cada tutoría y la
bibliografía adicional. Con base en esta programación, la metodología se puede resumir
así:
Trabajo en talleres extratutoriales de diagnóstico, por C.I.PA.S de estudio.
Trabajo en talleres intratutoriales por C.I.P.A.S de estudio.
Asesoría tutoríal grupal, individual y por C.I.P.A.S. de trabajo, acorde con el
diagnóstico detectado a partir del desarrollo de los talleres por parte del estudiante.
Consultoría y Asesoría telefónica en horario establecido en el acuerdo pedagógico.
8. EVALUACION:
El proceso evaluativo es el programado en el P.I.C. y el plan del curso, por tanto dentro
del proceso tutoríal habrá 3 ó 4 actos de sustentación individual, por parejas y de trabajo
intratutorial por C.I.P.A.S., el cual equivale al 60% establecido en el acuerdo 024/95.
Las evaluaciones de las convocatorias I y II cobijarán integralmente el contenido temático
trabajado en el curso; y se harán en las fechas calendario establecidas. Siempre por
escrito e individual, para completar el 40% restante.
La fortaleza del estudiante en el proceso evaluativo o de sustentación está en el eficiente
trabajo que él tenga en el proceso tutorial, por tanto quienes son inconstantes y
muestran discontinuidades en el proceso tutorial, generalmente tienen dificultades para
la aprobación de la asignatura, porque la matemática II es un curso de trabajo
permanente y secuencial.
9. BIBLIOGRAFIA:
Allendoerfer - Oakley, Carl B. - Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición.
Editorial Mc-Graw Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1995. Caps. 12, 13 y 14.
Larson – Hostetler, Roland-. Cálculo. Editorial Mc-Graw-Hill. 1994. Cap. 2, 3, 4 y 5.
Garces Toro, Carlos; y otros. Calculo Diferencial y calculo Integral. Universidad del
Tolima. IDEAD. Edición 2003..
Materiales de apoyo elaborados por el Tutor pedagógico para cada tutoría o temática
programada.
Arya, Jagdish, y, Lardner, Robin.Matemáticas Aplicadas a la administración y a la
economía. Editorial Prentice - Hall. Tercera y Cuarta ediciones.. México 1989 y
posteriores. Capítulos12-18.
Haussler, jr, Ernest, y, Paul, S, Richard. Matemáticas para Administración, economía,
Ciencias sociales y de la vida. Editorial prentice- Hall. Octava Edición 1987. Cap. 11-
17.
15
BIBLIOGRAFÍA ELECTRÓNICA:
Se recomienda para tutores y estudiantes, el acceso al programa DERIVE CON
APLICACIONES MATEMÁTICAS. Derive es un programa que permite la simplificación de
expresiones algebraicas, el cálculo de límites y derivadas, la gráfica de funciones, la
solución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones y el cálculo de integrales entre otras
aplicaciones, que ayudan a clasificar, simplificar y comprender procesos matemáticos a
partir de la utilización del computador. Igualmente podrá utilizar el software de
Matemáticas “Descartes” y el graficador FW 27, con su manual de manejo a través del
explorador de Windows.
De igual manera el estudiante a través de la Internet encontrará direcciones de
universidades y de contenidos matemáticos donde hallará talleres que le pueden ayudar a
complementar y comprender algunas temáticas (en el desarrollo del curso y de acuerdo a
las necesidades planteadas, se les brindará algunas direcciones específicas, aclarando
que en algunos casos la información es limitada a ejercicios sobre cada tema o el acceso
es restringido).
Diseñado, elaborado y actualizado por:
ORLANDO OLIVERA MORALES
LUIS ALFONSO SUÁREZ OLAYA
ISRAEL BEVAVIDES PERDOMO
Licenciados en Matemáticas y Física
Especialistas en Educación Matemática U.T.
Revisado
Coordinación de Estrategias Metodológicas
Área Administrativa, Económica y Contable
xcruz@ut.edu.co.
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