Procesos Infinitos
SUMATORIAS
4º Medio Electivo
SUMATORIAS
∑
corresponde a la letra griega SIGMA.
La sumatoria se utiliza para representar la suma de
varios o infinitos sumandos.
SUMATORIAS
Consideremos:
k = Límite Inferior.
n = Límite Superior.
SUMATORIAS
Ejemplo:
Expresar abreviadamente:
1 + 2 + 3 + 4 +5 =
=
SUMATORIAS
Calcular el valor de:
SUMATORIAS
Expresar abreviadamente como sumatoria:
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Sumatoria de una constante.
El a se va a repetir n veces, es decir, n*a
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Sumatoria del producto de una constante con una
variable
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Sumatoria de una suma o resta de
dos o mas sucesiones.
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Números Pares.
Encontrar la expresión que permita calcular la suma de
los primeros 20 números pares.
Números Pares = 2N
Calcular
Fórmulas de Cálculo Abreviado.
Calcular la suma de los 100 primeros números naturales.
Calcular la suma de los primeros 100 números impares.
Suma de los Números Impares
Calcular la suma de los primeros 60 números impares.
EJERCICIOS.
Fórmula para los términos al cuadrado.
Calcular la suma de los primeros 10 números cuadrados.
Algunas Consideraciones
Las fórmulas de cálculo de las sumatorias, como es el caso de una
constante, términos al cuadrado, etc. se deben aplicar
exclusivamente a sumatorias que parten de 1, es decir,
En General:
Nos queda lo siguiente :
Ejemplo
Telescópica
En el desarrollo de algunas sumatorias puede ocurrir que se
eliminen términos, quedando reducidas a una mínima expresión.
Llamaremos propiedad telescópica a las siguientes sumatorias.
Sucesiones
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de
los números naturales. En general se denota de la siguiente
manera:
El término general de la sucesión es , el subíndice indica
el lugar que ocupa el término en la sucesión.
Sucesiones
Determinar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo
termino general es:
Sucesiones
Determinar el término general de las siguientes sucesiones:
Sucesiones Convergentes.
Una sucesión es convergente si sus términos se van acercando
cada vez más a un cierto valor. Ese valor se llama el límite de
la sucesión y se dice que la sucesión converge a ese límite.
Sucesiones Divergentes.
Si una sucesión no es convergente se dice que es divergente.
Una sucesión puede divergir porque sus términos oscilan o
bien porque sus términos crecen o decrecen sin medida.
Una sucesión oscilante también puede ser convergente.
DIVERGENTE
DIVERGENTE
LOS TÉRMINOS OSCILAN, PERO SE ACERCAN
A CERO, ESTA SUCESIÓN CONVERGE Y SU
LÍMITE ES CERO.
Sucesiones Crecientes y Decrecientes.
Una sucesión es creciente si cada término es mayor que el término
anterior
Un sucesión es decreciente si cada término es menor que el
anterior
Es una sucesión creciente, pero sus términos no
crecen indefinidamente; ninguno de ellos es mayor
que 2. Esta sucesión es convergente y su límite es 2.
Es una sucesión creciente, y sus términos crecen
indefinidamente. Sucesión divergente.
DECRECIENTE DECRECIENTE
Progresión Aritmética
Un Progresión Aritmética es una sucesión de términos tal que cada
uno se obtiene de sumar un valor constante al anterior.
Algunos puntos importantes a considerar dentro de la sucesión
formada serán los siguientes:
Progresión Aritmética
Fórmulas para trabajar con una P.A.
Progresión Aritmética
1. Calcular el término que ocupa el lugar 50 de una P.A. si el primero es
5 y la diferencia es 2.
2. El undécimo término de una P.A. es 49 y su diferencia es 4. Encontrar
el primer término.
3. El primer término de una P.A. es 5, su diferencia es 4 y el término
enésimo es 53. Hallar el número de términos.
4. Determinar la P.A. cuyo quinto término es 14 y cuyo décimo término
es 29.
5. En la P.A. tal que su sexto término es 15 y la diferencia es 3/5, hallar
el término del lugar 16.
Progresión Aritmética
6. Hallar 3 números que están en P.A. y cuya suma sea 39.
7. Determinar una P.A. sabiendo que la suma del primer y tercer término
es 44 y el producto del segundo por el primero es 148.
8. Hallar la suma de los 100 primeros múltiplos de 3.
9. Calcular cuánto dinero tenía para vacaciones un joven si el primer día
gastó $7000, fue disminuyendo el gasto en $200 diarios y el dinero le
duró 30 días.
10. Para hacer un túnel se sabe que el primer metro tiene un costo de
$1.000.000 y por cada metro más se debe agregar $80.000 ¿Cuál es el
largo del túnel si se ha debido cancelar $33.264.000.000?
Progresión Geométrica
Una Progresión Geométrica es una sucesión de términos tal
que cada uno se obtiene de multiplicar el antecesor por un
valor constante r.
Algunos términos importantes a considerar.
Progresión Geométrica
Fórmulas para trabajar en una P.G.
Progresión Geométrica
1. Calcule el noveno término de una P.G. Cuyo primer
término es 1 y la razón es 3.
2. El quinto término de una P.G. es 162 y el primero es 2.
Hallar la razón.
3. El séptimo término de una P.G. es 192 y la razón es 2.
Halar el primer término.
4. En una P.G. el primer término es 32 y la razón es ½.
Determinar qué lugar ocupa el término que vale 1/8.
5. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la PG.
4,12,36,108,….
6. Calcular el producto de los 10 primeros términos de la PG
3, 3/2, ¾, …
Progresión Geométrica
Cuando una PG tiene un número impar de términos, el
término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los
extremos.