Aplicaciones fisicas de las integrales dobles

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Aplicaciones fisicas de las integrales dobles Powered By Docstoc
					               Aplicaciones físicas de las integrales dobles
Consideremos una lámina delgada L, que ocupa la región R del plano y cuyo
espesor es despreciable. En dicha región de distribuye de manera continua una
masa con densidad superficial       .

Masa de la lámina



Momentos estáticos respecto de los ejes
El momento estático    respectivamente            de un punto material        de
una masa m, respecto al eje x y respectivamente al eje y, es el producto de la
masa por su distancia al eje x y respectivamente al eje y. Luego los momentos
estáticos de la lámina L estarán dados por:




Centro de masa o centro de gravedad
Se define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para
que el sistema alcanzase el equilibrio. Viene dado por


Centro geométrico
Las coordenadas          del centroide de una región plana R de área
satisfacen las relaciones:                                                     o
también




Momentos de inercia de L
El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta
r, o un punto     es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P
a la recta o al punto.
Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a          ,
es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto. Por
tanto, los momentos de inercia vendrán dados por:
     Respecto al eje x



    Respecto al eje y



    Respecto al origen (denominado también momento de inercia polar)
    Respecto a un punto




                         2.2 INTEGRALES TRIPLES

Si          es una función uniforme y continua definida sobre una región R
cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una
masa de arcilla, entonces la integral de f sobre R puede definirse de la
siguiente manera.

Subdividimos una región rectangular que contenga a R en celdas rectangulares
por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran
dentro de R de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces
dimensiones       por       por     y volumen       . Escogemos un punto
           en cada celda y formamos la suma:




Si f es continua y la superficie que limita a R está hecha de superficies suaves
unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando        ,    ,      tienden
a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite



Esta integral representa la medida del volumen de la región R, y no es más que
una generalización del concepto de integral simple y doble.

Llamamos a este límite Integral Triple de f sobre R. El límite también existe
para algunas funciones discontinuas.
Entonces la integral triple viene definida por:




Propiedades de las integrales triples
Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las
propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes
de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los
correspondientes para las integrales dobles.
Cálculo de integrales triples en coordenadas cartesianas o rectangulares
En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite
dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando
es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizando métodos
numéricos.

Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema
de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante
reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se
necesitarán tres integrales simples reiteradas.




Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R, pudiendo
variarse el orden de integración seis (6) formas distintas.

Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas
Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del
espacio mediante un ángulo, una distancia con
respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy
conveniente en aquellos casos en que se tratan
problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o
acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones
de las coordenadas polares de la geometría analítica
plana.
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas cilíndricas:


Relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas:


Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por                      (figura1)

donde:
       : Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la
       longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
        : Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la
       proyección del radiovector sobre el plano XY.
       : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el
       punto P al plano XY.
Los      rangos    de     variación     de     las     tres    coordenadas        son:


La coordenada acimutal      se hace variar en ocasiones desde                        .

La coordenada radial     es siempre positiva. Si reduciendo el valor de        llega a

alcanzarse el valor cero, a partir de ahí,   vuelve a aumentar, pero       aumenta o

disminuye en π radianes.
El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con
coordenadas                     cilíndricas                      es:

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son evaluadas como integrales
iteradas.




Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.

Cálculo de triples en coordenadas esféricas.
Las coordenadas polares esféricas son una generalización de las coordenadas
polares en tres dimensiones.
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea
que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la
posición espacial de un punto mediante una distancia y dos
ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por
un conjunto de tres magnitudes (figura 3):
 : es la distancia de P al origen
 : es el ángulo que     forma con el eje z positivo             : es el ángulo

de las coordenadas cilíndricas

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su
margen es de                                    , siendo el cero el plano XY.

También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en
sentido reloj o contrarreloj, y de                              o de

                                 .

Las integrales triples en coordenadas esféricas son evaluadas como integrales
iteradas.




Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.
                     Aplicaciones de la Integral triple

Masa de un sólido
Si es una función densidad continua de un sólido que corresponde a una
región sólida Q, la masa m del sólido viene dada por:




Momentos de primer orden
   Primer momento del sólido respecto al plano yz



    Primer momento del sólido respecto al plano xz



    Primer momento del sólido respecto al plano xy




Centro de masa
Si la masa del sólido es m, las coordenadas del centro de masa de la región
sólida Q son:
Momentos de inercia de una región sólida
   Momento de inercia con respecto al eje x



    Momento de inercia con respecto al eje y



    Momentos de inercia con respecto al eje z



    Momentos de inercia con respecto al origen



Valores promedios

				
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