C�lculo Integral Junio

							                                     CÁLCULO INTEGRAL

Conceptos a utilizar: función, diferencial de una función, integral de una expresión diferencial,
integrando, constante de integración, límites de integración, integral indefinida e integral
definida.

                                          PROGRAMA

   (1) Diferencial de una función.
   (2) Ejercicios de diferenciales.
   (3) Integral de una expresión diferencial.
          (a) Integrales inmediatas.
          (b) Casos especiales de integrales trigonométricas.
          (c) Integración por partes.
          (d) Integración por sustitución trigonométrica.
          (e) Integración por fracciones parciales.
          (f) Integración por sustitución de una nueva variable (racionalización).
                                        PROBLEMAS RESUELTOS
    (1) Hallar el diferencial de                .
       Solución




                                                           .

    (2) Hallar el diferencial de           .
       Solución




    (3) Hallar el diferencial de               .
       Solución




                                                           .
      (4) Resolver correctamente cada una de las siguientes integrales.
         (a)                  .
         Solución
         Resolviendo la división y aplicando la fórmula de suma algebraica:
                                                                            .
         (b)                      .
         Solución
         Aplicando                , se tiene:
                                                                   .

         (c)              .
         Solución
         Completando el trinomio cuadrado perfecto:



             Aplicando                , se tiene:


                                                               .

       (d)            .


Solución

Completando la integral , tenemos:




Separando en dos integrales:




Integrando como                       el primer sumando y procediendo como en (c) en el segundo
sumando:

                                                                       .

(e)               .

Solución

Resolviendo por partes: u=x, dv=                    , du=dx,

Aplicando el artificio:
                                                                            .

                        .

Solución

Utilizando identidades trigonométricas, y posteriormente realizando operaciones indicadas:




Aplicando         a cada sumando:

                                                                    .


           (g)      .


Solución

Aplicando sustitución trigonométrica: x=2secz, dx=2secztanz.




Resolviendo por partes, se tiene:



Volviendo a la variable original:

                                                            )+c .


           (h)              .

Solución

Descomponiendo en fracciones parciales:




Resolviendo operaciones indicadas y calculando las constantes A, B y C, tenemos que:




Resolviendo las integrales, y utilizando las propiedades de logaritmos:

                                                        .
           (i)         .

           Solución

           Utilizando el método de racionalización:                   .




           Realizando la división algebraica, e integrando:

                                                   =




                                                                  .




Solución

Haciendo 1-x=z2, tendremos x=1-z2, y en consecuencia, dx=-2dz :
                               PROBLEMAS PROPUESTOS

(1) Hallar el diferencial de
    Solución: dy=0.
(2) Demostrar las siguientes integrales:
   (a)


   (b)



   (c)


   (d)



   (e)


   (f)
   (g)


   (h)


   (i)


   (j)