Unidad 2
Números y Muestras
Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky
Bibliografía:
•Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru.
•Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación, 1993.
Números ALEATORIOS Y
PSEUDOALEATORIOS
Sucesiones de dígitos equiprobables,
entre 0 y 9, ubicados aleatoreamente en
toda su extensión.
• Una Variable aleatoria es una función de
valor real, definida sobre un espacio muestral
de naturaleza azarosa.
• El valor numérico resultante de un
experimento, de una variable aleatoria, se
llama número aleatorio.
Métodos De Generación
• Métodos manuales: Generación de números con artificio
manuales: bolillas, patentes de los autos, guía telefónica
– Ventajas: Son aleatorios y son Simples,
– Desventajas: No reproducibles y Lentos
• Tablas de biblioteca: La mas importante: “A millón
randon digist” editorial RAND, configurada con las
radiaciones termoiónicas de un tubo de rayos catódicos.
– Ventaja:
• Provienen de un fenómeno aleatorio
• son reproducibles.
• Se las puede estudiar y analizar rigurosamente antes de ser utilizada.
– Desventaja:
• No se obtiene en tiempo real.
• Necesidades de memoria.
Métodos De Generación
• Métodos De Computación Analógica: Generados con
procesos físicos aleatorios (Ej: una corriente eléctrica).
– Ventaja: Aleatorios.
– Desventaja: No reproducible.
• Métodos De Computación Digital: Con computadoras:
– Provisión Externa: Se graba en memoria las tablas Randa.
– Procesos Físicos Aleatorios: Usar algún dato interno de la
computadora (temperatura, segundos, ciclos, cantidad de memoria
asignada, etc).
– Relación de recurrencia: Generar números pseudoaleatorios por
medio de ecuaciones de recurrencia en las que necesariamente se
tiene que dar un valor inicial o semilla para obtener los siguientes
valores.
• Ventaja:
– Son reproducibles.
– No afectan en demasía al procesador ni sobrecargan la memoria.
– Existe la posibilidad de su absoluta reproducción
• Desventaja:
– Son pseudoaleatorios.
– Hay que probar la Calidad Aleatoria del método.
Propiedades de los Números aleatorios
• Uniformemente distribuido (sin recurrencia):
– Es recurrente cuando uno o varios elementos
se repiten con mayor frecuencia teórica, =>
disminución de frecuencia de los demás
números.
– Estudiar la recurrencia de : 2, 6, 6, 8, 7, 6, 6,
6, 4, 7, 2, 6, 5, 6, 2,6,6,7, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 6, 6,
2, 9,4,8,6,4,6, 9,6,3,7,6,9,6, 0.
– Hay 40 Números, por lo tanto la frecuencia
teórica de cada uno de los dígitos (del 0 al 9)
deberá ser 4.
– De una tabla de frecuencias se obtiene que el
digito 6->F(6)=18 veces.
Propiedades de los Números aleatorios
• Estadísticamente independientes (sin
periodicidad):
– Tiene periodicidad cuando varios elementos,
repetidos o no, formando una cadena,
aparecen en la misma secuencia.
– Estudiar periodicidad de:
• 1,0,2,2,6,8,2,3,3,0,1,0,2,2,6,8,4,1,7,0,2,2,6,8,
7,6,5,3,3,5,1,0,2,2,6,8.....
– Secuencia periódica 02268. . de Frecuencia 4
• 1,0,2,4,6,8,2,3,3,0,1,0,2,4,6,8,4,1,7,0,2,4,6,8,
7,6,5,3,3,5,1,0,2,4,6,8.....
– Secuencia periódica 02468. de Frecuencia 4
Propiedades de los Números Pseudoaleatorios
• Reproducibles: Cuando el Método comienza con la
misma Semilla, DEBE dar la misma secuencia de
números Pseudoaleatoreos.
• Rápidos, velocidad de generación acorde a las
necesidades.
• Mínimos de memoria.
Conclusiones:
•Hay que verificar la calidad estadísticas de las series.
Comprobarlas en tiempo de Ejecución es una perdida de
tiempo, entonces se prueba la calidad estadística del
Método.
•Por la cantidad de números que se necesitan y por la
velocidad de su ocurrencia, es imprescindible
generarlos en la medida que se lo necesiten.
Método De Los Cuadrados Centrales
Método De VON NEUMANN
• El 1er método para computadores.
• Tomar un numero cualquiera de 4 dígitos y asignarlo como semilla (1er elemento de
la serie), luego se lo debe elevar al 2 y obtener un numero de 8 cifras (si la cantidad
de cifras es MAX(V1, V2)) .
El 3er elemento y los siguientes se obtendrán con el modelo
de generación :
Vn+1 = Vn + Vn-1 + k.A
Donde: K = 0 si Vn + Vn-1 A
-1 en otro caso
Notar que es como el Método de Congruencias donde K=1 y
m=A
Ejemplo Fibbonaci
Vn+1 = Vn + Vn-1 + k.A / A > [V1, V2]
Método Fibonnaci
V1 30524 V2 17175
A 35818 K=(Vn + Vn-1 A)? 0:-1
N Vn Vn-1 Vn-1+Vn-1 K Vn+1
2 17175 30524 47699 -35818 11881
3 11881 17175 29056 0 29056
4 29056 11881 40937 -35818 5119
5 5119 29056 34175 0 34175
6 34175 5119 39294 -35818 3476
7 3476 34175 37651 -35818 1833
8 1833 3476 5309 0 5309
Prueba Estadística de CHI cuadrado: X2
• Verifica la calidad estadística de los
números/métodos que se utilizarán.
– Prueba de frecuencias para verificar si hay
recurrencia.
• Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-
cuadrado, más ajustadas están ambas
distribuciones. k
( fi npi ) 2
– n: pruebas independientes: cantidad de
Números/dígitos generados
X2
– fi: Frecuencia de un determinado suceso. La i 1 npi
frecuencia de uno de los dígitos generados en toda la
serie.
– La Frecuencia teórica del suceso es n*pi.
• Si X2>14, 684
Los Números NO SON Equiproblables
Muestras Artificiales
Autor de la Presentación: Rolando Simon Titiosky
Bibliografía: Construido en base a extractos de:
•Extracto de: Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación,1993.
•Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru.
•Wikipedia.org
Muestras Artificiales
• Los números aleatorios por si solos no son directamente
utilizables, a menos que posean la distribución real
– Es necesario construir sucesiones numéricas a partir del
conocimiento estadísticos de la variable en cuestión.
• Los métodos pueden ser definidos como:.
– General: Técnica para modelar cualquier distribución de
probabilidades.
• Para Variables Continuas y/o Discretas: Números Índices
– Especial: Las muestras artificiales deben ajustarse a una
determinada distribución, conocida y formalizada. Presentamos
algunos casos, pero en la vida práctica, puede ser necesario la
investigación de otras distribuciones especiales.
• Para Variables Continuas: Distribución Uniforme y Distribución
Normal
• Para Variables Discretas: Distribución Bernoulli y Distribución
Binomial
Números Índices
Método especial cuando el fenómeno no se ajusta a distribución alguna y posee una
variable Discreta (Se puede discretizar variables continuas) o Continuas.
f(x): función de densidad de probabilidades, es la derivada de F(x).
F(X): función de distribución de probabilidades de X.
Creación de la Tabla de los Números Índices
1.Hay que definir las Marcas o Ítems discretos de la tabla
2.Definir las f(x) para c/Marca:
a.Si el evento „x‟ ocurre „n‟ veces y se han realizado „z‟ experimentos
b.La f(x)=(n/z)
3.Calcular la F(x) para c/ Marca como Sumatoria de las f(x) antecesoras
Marca A B C D E
El Método Opera así: Obtener TABLA con Marcas f(x) 0,08 0,17 0,26 0,35 0,14
F(X) 0,08 0,25 0,51 0,86 1,00
1. Obtener Dígitos Aleatorios. Ej: 5 y 3= 53
N.I Inf 0 8 25 51 86
2. Verificar a que marca corresponde 53 D
N.I Sup 7 24 50 85 99
3. Próximo elemento de la Muestra : D.
4. SI “NO FIN” ir paso 1
Distribuciones Uniforme:
Metodo Especial: Variable Continua
Útil donde todos los sucesos Ai tiene la misma probabilidad de ocurrencia entre
los límites (a,b) de la serie: X=a+(b-a)*u
u: elemento de la sucesión aleatoria en 0 u 1
a: Origen del intervalo.
b: Final del intervalo.
x: elemento de la muestra.
Si desconoce los valores a y b, pero se sabe E(X) y V(X) (media y varianza),
entonces se puede hacer:
b 2 * E ( x) a
a E( X ) 3*V ( x)
Ejemplo de Distribución Uniforme
Distribución de Bernoulli
• Metodo Especial: Variable Discreta
• Aplica a variables aleatorias que pueden tener solo 2
valores.
– Ejemplos: 0 y 1; Si/No; Alto/Bajo; Llueve o no llueve.
• Sean Y1,Y2,... Yn elementos de una Muestra Artificial con
distribución uniforme en el intervalo (0,1),
• Los elementos Xk de una Muestra Artificil con
distribución de Bernoulli de parámetro p, se define
como:
– si Yk p Xk = 1
– si Yk > p Xk = 0
Ejemplo de Bernoulli
Aleatorio. Uk Muestra Xk
• Parámetros de la
0,29 1
Distribución: p=75%
0,35 1
– p=0,75
– q=0,25 0,93 0
0,50 1
• Muestra:
0,47 1
– si Yk p Xk = 1
0,40 1
– si Yk > p Xk = 0
0,54 1
0,83 0
0,27 1
0,18 1
Distribución Binomial
Es una serie de “n” pruebas repetidas e independientes de Bernoulli con
parámetro p.
• Parámetros
– N= serie de pruebas repetidas e independientes de Bernoulli
– P= Parametro de Bernoulli ( q = 1 – p )
– E(x) = n * p
– v(x) = 2 = n * p * q
• Sean y1, y2, ... yn una muestra artificial de Beroulli de parámetro E(x) = p
n
Xk = yj
j=1
• Cada Xk corresponde a un elemento de la muestra artificial Binomial con
Distribución con parámetros n, p.
• La variable Xk puede tomar valores entre:
• 0: si todos los experimentos han sido fracaso
• n: si todos los experimentos han sido éxitos
– Un valor x, (0< x < n) implica que han tenido éxito x experimentos de Bernoulli.
Distribución Binomial. Ejemplo