Your Federal Quarterly Tax Payments are due April 15th Get Help Now >>

Integration in Vector Fields by w6WLescw

VIEWS: 0 PAGES: 124

									         Chapter 13


 Integration in Vector Fields

170 121 Engineering Mathematics II

           11 มกราคม 2547
                                     1
Integration in Vector Fields
   เนื้อหาในบทนี้ กล่าวถึง
                                                                 ั
              - การอินทีเกรตแบบต่างๆที่ Domain ของการอินทีเกรตมีลกษณะ
            ้
   พิเศษที่ตองอธิบายในรู ปของ vector function เช่น Curve, Surface
   เป็ นต้น
          - ลักษณะการอินทีเกรตแบบต่างๆของ vector valued function
   เช่น Work, Flow และ Flux เป็ นต้น

      เนื้อหาในบทนี้เป็ นพื้นฐานสาคัญของวิชาฟิ สิ กส์ ซึ่ งเกี่ยวข้องกับแรง การเคลื่อนที่
   การอธิ บายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติเกี่ยวกับแม่เหล็กและไฟฟ้ า และสนามเวคเตอร์
                     ั
   อื่นๆ นอกจากนี้ ยงใช้ในวิชาเทอร์ โมไดนามิกส์, กลศาสตร์ของไหล,
   และ การถ่ายเทความร้อน
                                                                                      2
Line Integrals
                                  ่
 โดยปกติ function ในสามมิติจะอยูในรู ป
       ั
 ฟังก์ชน 3 ตัวแปร f(x,y,z)
 ถ้าเราต้องการคานวนค่าของ f(x,y,z) ตามจุด
 ต่างๆบนเส้นโค้ง
    r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k

 เราสามารถทาได้โดยการแทนค่า
   x = g(t), y = h(t) และ z = k(t)
 ลงใน f(x,y,z) จะได้ f(g(t),h(t),k(t)) เป็ น composite function ของ
 ตัวแปร t ตัวเดียว ดังนั้นเราสามารถจะอินทีเกรตหรื อทาอะไรกับ function นี้ได้
 เหมือนกับการกระทากับ function ตัวแปรเดียว

                                                                           3
Line Integrals (continued)
                         ั
 เป็ นการอินทีเกรตฟั งก์ชน f(x,y,z) ไปตามเส้น
 Curve r (t ) ในที่น้ ี Domain ของการ
 อินทีเกรตกลายเป็ น Curve
      r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k




                                                         ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
   f(x)
                                         Line integral ต่างจากการอินทีเกรต
                                                   ั
                                         ของฟั งก์ชนตัวแปรเดียวตรงที่ขอบเขตการ
                                                            ั
                                         อินทีเกรตของฟั งก์ชนตัวแปรเดียวเป็ น
    a           b          x             ช่วง [a,b] บนเส้นจานวน (1 มิติ)
                                                                                           4
Line Integrals (continued)
  หลักการของ Line integral คือการแบ่ง
  Curve ออกเป็ นช่วงสั้นๆที่มีความยาว Dsk
  แล้วหาผลรวมของ

        f ( x , y , z )Ds
        k
                k    k   k     k



                        ู
   เมื่อให้ Ds เข้าใกล้ศนย์
   เครื่ องหมาย  จะเปลี่ยนเป็ น                 ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus

   และ Ds จะเปลี่ยนเป็ น ds
   เราจะได้สูตร Line integral เป็ น
                                                                ในที่น้ ี s คือความยาว
                                C
                                      f ( x, y, z )ds
                                                                ของ Curve
                                                                                    5
Curve Parameterization
 เนื่องจาก Curve ส่ วนใหญ่จะเป็ น Curve 3 มิติ                   t=b
 มี Coordinate (x,y,z) เป็ นจุดบน Curve
                                 ่            ั
 เราจะต้องทาการเขียน x,y,z ให้อยูในรู ปฟั งก์ชน
                                                        r (t )
 ของตัวแปร t ตัวเดียวเพื่อความสะดวกในการคานวณ
 วิธีการแบบนี้เรี ยกว่า
       Curve parameterization
                                                  t=a
  หลังจากการทา Curve parameterization เราจะได้ Curve ในรู ป
            r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k       at b

  จากบทที่ 11 เราจะได้ความสัมพันธ์         dr
                                      ds     dt  v dt
                                           dt                      6
Line Integrals (continued)
 จากสู ตร Line integral
                            f ( x, y, z)ds
                           C
 เมื่อแทนค่าต่างๆลงไป เราจะได้
                                  b

            f ( x, y, z)ds   f ( g (t ), h(t ), k (t )) v(t ) dt
           C                      a




                                         จะเห็นว่าจากเดิม ขอบเขตการอินทีเกรต
            a                  b t
                                            ่                      ู
                                         อยูบน Curve C ใน 3 มิติถกเปลี่ยน
         (ทาให้การอินทีเกรตง่ายขึ้น)          ่
                                         ไปอยูบนเส้นจานวนของ t จาก a ถึง b
                                                                        7
How to Evaluate Line integrals
                                        ั
 1. เราจะต้องเขียน Curve C ในรู ปฟั งก์ชนของ t
                r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k         at b
 2. ทาการคานวณ               dr
                     v(t ) 
                             dt
 3. จากนั้นทาการแทนค่าตัวแปร x  g (t ), y  h(t ), z  k (t )
    จะได้                            b

                f ( x, y, z)ds   f ( g (t ), h(t ), k (t )) v(t ) dt
               C                     a
                                            ่               ั
                                         อยูในรู ปของฟั งก์ชนของ t ตัวแปรเดียว
 4. ทาการอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร t
                                                                                 8
Example 1: a Line Integral
 ตัวอย่าง จงคานวณ Line integral ของฟั งก์ชน
                                          ั f ( x, y , z )  x  3 y 2  z
 บน Curve C = ส่ วนของเส้นตรงจากจุด (0,0,0) ไปยังจุด (1,1,1)
  วิธีทา 1. ทาการ Parameterize ให้ Curve ที่จะทาการอินทีเกรตอยูในรู ป
                                                               ่
                    r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k
                                  ้
              ในที่น้ ี curve ที่ตองการคือเส้นตรงจาก (0,0,0) เป็ น (1,1,1)
              ได้ r(t )           i          j        k,            t 

          z                2. จากนั้นทาการแทนค่าตัวแปร      x  g (t ), y  h(t ), z  k (t )
         1
                                    ได้ f ( x, y, z )  x  3 y  z
                                                                   2
                 (1,1,1)
                                        f ( g (t ), h(t ), k (t )) 
                        1 y
     1
 x                                                                                     9
Example 1: a Line Integral (continued)
 3. ทาการคานวณ
          dr
 v (t )     
          dt

 4. ทาการอินทีเกรต
 b

  f ( g (t ), h(t ), k (t )) v(t ) dt 
 a

 




                                           10
Example 2: Additivity (คุณสมบัติการบวก)
ในกรณี ที่ C นี้ประกอบด้วย curve หลายๆ curve C1, C2, ... , CN มาต่อกันเราสามารถใช้สูตร
                       C
                            fds   fds   fds    
                                   C1           C2               CN
                                                                      fds

 ตัวอย่าง จงคานวณ Line integral ของฟังก์ชน f ( x, y, z )  x  3 y  z
                                                                                    2
                                         ั
 บน Curve C = ส่ วนของเส้นตรงจากจุด (0,0,0) ไปยังจุด (1,1,0) และต่อไปยัง (1,1,1)
    ในกรณี น้ ี Path ทางเดินแบ่งเป็ นหลายช่วง เราจะต้องทาการอินทีเกรตทีละช่วง แล้วจึงนามารวมกัน
  1. ช่วงแรกจากจุด (0,0,0) ไป (1,1,0)          r (t )  t i  t j, 0  t  1
         g (t )  t h(t )  t k (t )  0
                                                dr
          z                             v(t )                       
                                                dt
         1
               (1,1,1)                  f ( g (t ), h(t ), k (t ))  t  3t 2  0
                                        b                 1
(0,0,0)                1 y                 f v (t ) dt   (t  3t 2 )             dt
                                        a                 0
     1             (1,1,0)              
                                                                                         11
 x
Example 2: a Line Integral (continued)
  2. ช่วงที่ 2 จากจุด (1,1,0) ไป (1,1,1)              r (t )  i  j  t k ,     0  t 1
 g (t )  1              dr
                 v(t )                         
 h(t )  1               dt
 k (t )  t
                                             f ( g (t ), h(t ), k (t ))  1  3(1) 2  t
                                             b                  1

                                            f       v (t ) dt   (2  t )dt
          z                                  a                  0

                                            
         1
              (1,1,1)           รวมอินทีเกรต 2 ช่วงได้

(0,0,0)              1 y
     1            (1,1,0)
 x                                                                                         12
Application: Mass and Moment Calculation
 ตัวอย่างหนึ่งของการประยุกใช้งาน Line integral คือการหา Mass, Moment และ
                                   ั
Moment of Inertia ของวัตถุที่มีลกษณะเป็ นเส้นเล็กๆ เช่นเส้นลวด ซึ่ งมีสูตรการคานวณดังนี้

 Total mass                                          First order moments
               M    ( x, y, z )ds                    M yz   x ( x, y, z )ds
                     C                                            C

                                                        M xz   y ( x, y, z )ds
                                                                  C
 Moment of Inertia about
 Coordinate axes                                        M xy   z ( x, y, z )ds
                                                                  C


   I x    y 2  z 2   ( x, y, z )ds       Coordinates of center of mass
          C
                                                   M yz         M            M xy
                                                            y  xz
   I y    x 2  z 2   ( x, y, z )ds        x
                                                    M            M
                                                                         z
                                                                             M
           C

   I z    x 2  y 2   ( x, y, z )ds       โดย     ds 
                                                            dr
                                                               dt  v dt
          C
                                                            dt
หมายเหตุ  ( x, y, z ) คือความหนาแน่นของเส้น Curve มีหน่วยเป็ นน้ าหนักต่อความยาว      13
Example 3: Mass and Moment Calculation
ตัวอย่าง ขดลวดสปริ งในภาพมีสมการคือ r (t )  cos 4t i  sin 4t j  t k , 0  t  2
และมีความหนาแน่น  = 1 จงหาจุดศูนย์กลางมวลและ Moment of inertia
about the z-axis ของสปริ ง
                                                                             dr
                            วิธีทา 1. หามวลรวม M  C  ( x, y, z )ds  C     dt
                                                                             dt
                                        dr
                                             4sin 4t    4 cos 4t   1
                                                         2              2

                                        dt
                                          16(sin 2 4t  cos 2 4t )  1  17
                                               dr        2
                                        M      dt      17dt  2 17
                                            C  dt       0

                                                              2
                                   2. หา M yz  C x ds  0      17 cos 4tdt

                                                 17        2
                                                   sin 4t 0  0                 14
                                                 4
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example 3: Mass and Moment Calculation (continued)
                                      2        17        2
   3. หา M xz  C y ds  0 17 sin 4tdt        cos 4t 0  0
                                                4
                             2         17 2 2
   4. หา M xy   z ds   17tdt         t      2 17 2
                 C          0           2     0

                           M yz         M xz           M xy 2 17 2
                 ได้ x         0 y        0 y                  
                            M            M              M      2 17
                                  ได้จุดศูนย์กลางมวล = (0,0,)
                                  5. หา Moment of inertia about z-axis
                                  I z    x  y   ds   (cos 2 4t  sin 2 4t ) 17dt
                                                               2
                                                2   2
                                           C                   0
                                           2
                                              17dt  2 17
                                           0

                                                                    Ans.
                                                                                  15
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example 4: a Line Integral
จงหาค่า Line integral ของฟั งก์ชน f ( x, y, z)  x  y  z 2
                                ั
บนเส้นทางเดินในรู ป
 วิธีทา    ส่ วนที่ 1        r1 (t )  t i  t 2 j,    0  t 1
                             dr                               dr
                                                                 
                              dt                               dt

                              f ( g (t ), h(t ), k (t )) 
                                         b                   1

                                         f
                                         a
                                                 v (t ) dt  
                                                             0

                                         

                                                                      16
  ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example 4: a Line Integral (continued)
 ส่ วนที่ 2 r2 (t )  i  j  tk, 0  t  1
                 dr                              dr
                                                   
                 dt                              dt

                  f ( g (t ), h(t ), k (t )) 
                             b                   1

                             f
                             a
                                    v (t ) dt  
                                                 0

                             




                                                        17
  ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example 5: a Line Integral
 เส้นลวดโค้งดังรู ปวางอยูตามแนววงกลมสมการ x 2  z 2  1,
                         ่                                     z0      ในระนาบ yz
                                                จงหาจุดศูนย์กลางมวลของเส้นลวด ถ้ากาหนดให้ความ
              z           y2  z2  1           หนาแน่นเป็ น  ( x, y, z)  2  z

                                        วิธีทา 1. เนื่องจากเส้นลวดนี้สมมาตรกับแกน z
                               y        ดังนั้น x  0,         y 0
   x                                        2. หาค่า z
                                                                      ่
                                            เขียนสมการของเส้นลวดให้อยูในรู ป function ของ t
                                r(t )           i        j        k,         t 


   3. คานวณอัตราเร็ ว
                    
               dr
       v (t )        
                dt
                                                                                      18
Example 5: a Line Integral (continued)

               z          y2  z2  1      4. คานวณมวล M
                                                M    ( x, y, z )ds
                                                          C

                                                      =
                                y
 x

  5. คานวณ Mxy            M xy   z ( x, y, z )ds
                                    C


                               =


     6. ได้
                   M xy
              z           =
                   M
                                                                        19
Vector Fields
    สนามเวคเตอร์ : หมายถึงที่ที่ทุกๆจุดใน Space มี vector กากับไว้เสมอ
              ั
 ในธรรมชาติมีตวอย่างของสนามเวคเตอร์ เช่นสนามความเร็ ว (Velocity Field) ของ
                                                                ั
 กระแสลมที่ไหลผ่านปี กเครื่ องบิน ในรู ป หรื อสนามแรงโน้มถ่วงก็จดว่าเป็ นสนามเวคเตอร์


                                                           ในรู ป vector แต่ละตัวแทน
                                                           ความเร็ วของลม ณ จุดนั้นๆ

                                                           จะเห็นว่าทุกๆจุดจะมีเวคเตอร์
                                                           ความเร็ วของลมกากับอยู่




                                                                               20
             ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example: Gravity Field
  สนามแรงโน้นถ่วง (Gravity field) เป็ นสนามเวคเตอร์ อย่างหนึ่ ง กล่าวคือทุกๆจุดใน
Space จะมีเวคเตอร์แรงดึงดูดเนื่องจากมวลสาร (โลก) ในทิศทางเข้าสู่ จุดศุนย์กลางเสมอ

                                                    ผิวโลก




                                                                         21
      ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example: Magnetic Field
   สนามแม่เหล็ก (Magnetic field) ก็เป็ นสนามเวคเตอร์ อย่างหนึ่ งที่มีเวคเตอร์ เป็ น
เส้นแรงแม่เหล็กวิงจากขั้วเหนือไปขั้วใต้ ทิศทางของสนามแม่เหล็กสามารถดูได้โดยการโรยผง
                 ่
ตะไบเหล็กในสนามแม่เหล็ก ผงตะไบเหล็กจะจัดเรี ยงตัวในทิศทางของสนามแม่เหล็ก




                                                   N             S



                                                                           22
How to Display a Vector Field
                                      การแสดงภาพสนามเวคเตอร์ เรา
                                  มักจะใช้วิธีการวาดลูกศรเพื่อแสดง
                                  ถึง vector ณ จุดต่างๆ เช่นใน
                                  ภาพนี้ เป็ นภาพความเร็ วของกระแส
                                  ลมในมหาสมุทรในเดือนกันยายน
                                             ั
                                  1978 ที่วดได้จากดาวเทียม
                                  Seasat ของ NASA




                                                          23
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example: Gradient Field
                                                                           ั
     Gradient field จัดเป็ นสนามเวคเตอร์ อย่างหนึ่ ง Gradient สาหรับฟั งก์ชน 3
 ตัวแปรมีสูตรว่า              f     f        f
                                 f            i        j        k
                                           x        y        z
 โดย f(x,y,z) เป็ น Scalar function




                         x            y                               f   f
     f ( x, y )  cos(        ) cos(        )                       f  i     j   24
                         2             2                                x   y
Equation for a Vector Field
                          ่
 โดยทัวไปสนามเวคเตอร์จะอยูในรู ป
      ่
  สาหรับ 3 มิติ
                     F ( x , y , z )  M ( x , y , z )i  N ( x , y , z ) j  P ( x , y , z ) k
     สาหรับ 2 มิติ
                     F ( x , y )  M ( x, y )i  N ( x, y ) j
 ตัวอย่ าง
         F ( x, y )  xi  yj                           F ( x, y)   y x2  y 2 i  x x 2  y 2 j
 1                                                              1




 0                                                             0




                                                                                                  25
 -1                     0                  1                   -1                   0             1
Work Done by Force
    นิยามของงาน (Work) ในทางฟิ สิ กส์หมายถึงผลคูณระหว่างแรงกับระยะทางที่เคลื่อน
 ที่ในแนวแรง หรื อ Dot product ระหว่ างแรงกับระยะขจัด นันเอง
                                                          ่
             r                                             งานจากการลากวัตถุ
                                                      F
        M                          M
                                                          Work  F  r


                                                   ่              ิ
   ปัญหา: ในกรณี ที่เราเคลื่อนที่ไปตาม Curve ที่อยูในสนามแรง จะมีวธีการคานวณงาน
   ที่เกิดขึ้นอย่างไร
                    Vector field    F
                                             r (t )       Work = ?


                                                                               26
Work at A Point on the Curve                                    ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus

เมื่อเราแบ่ง Curve เป็ นส่ วนย่อยๆ แล้วพิจารณา
งานที่จุดเล็กๆบน Curve
1. เรามีระยะการเคลื่อนที่จากจุด pk
ไป pk+1 คือ DS k

 2. ทิศทางการเคลื่อนที่ที่จุด k อธิบายได้โดยใช้
  Unit Tangent vector T
                                     k

 3. แรงที่จุด k คือ Fk                                                             DS k
  ดังนั้นงานที่จุด k คือ Fk  Τ k DS k
                                                         N

        เมื่อรวมงานที่ทุกๆจุดบน Curve เราจะได้   Work   Fk  Τk DSk
                                                         k 1
                                                                                        27
Work Over a Smooth Curve
 จากแผ่นที่แล้ว งานรวมทั้งหมดบน Curve โดยประมาณ จะเป็ น
                               N

                               F
                               k 1
                                      k    Τk DSk

  เมื่อให้ DS k  0 เราจะได้
                           Work   F  Tds
                                          C




                                                                             28
                                                      ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Work Over a Smooth Curve (continued)
 จากบทที่ 11
    - ตาแหน่งบน Curve C อธิบายโดยใช้ Parameterized Form
                    r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k

    - Unit Tangent Vector คานวณได้จาก                  dr        dr
                                                    T
                                                       dt        dt
                       dr
    - ds คานวณจาก ds     dt
                       dt
                                    ่ ่
     จะได้ สูตร งานที่เกิดจากการเคลือนทีตามเส้ นโค้ งในสนามแรง
                             dr
                Work   F  dt dr dt  F  dr dt
                       C
                             dr dt      dt
                                       C
                             dt                                       29
How to Evaluate a Work Integral
 หลักการคานวณงานโดยใช้ สูตรอินทีกรัล
    1. เขียน Curve ในรู ป r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k , a  t  b

    2. เขียน F ( x, y, z )  M ( x, y , z ) i  N ( x, y , z ) j  P ( x, y , z )k
                 ั
    ในรู ปฟั งก์ชนของ t โดยการแทนค่า x = g(t), y = h(t) และ z = k(t)

    3. คานวณ
             dr
             dt
                             dr
    4. คานวณ Dot Product F 
                             dt
                                   t b
                                   dr
    5. ทาการอินทีเกรต Work   F     dt
                            t a
                                   dt
                                                                         30
Work Integral in Different Forms
สูตรของ Work integral สามารถเขียนได้หลายรู ปแบบดังนี้
                t b
  Work               F  Tds
               t a

                t b              dr  t b
                     F  dr       dt     F
              t a         t a   dt
            t b
                  dg    dh      dk 
            M      N       P  dt
           t a 
                   dt    dt      dt                           เขียนในเชิง
              t b
                 dx    dy    dz                              Components
            M     N     P  dt
           t a 
                  dt    dt    dt 
              t b
               Mdx  Ndy  Pdz
              t a

  ในที่น้ ี r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k , a  t  b
         F ( x , y , z )  M ( x , y , z ) i  N ( x , y , z ) j  P ( x , y , z )k   31
Example: a Work Integral
จงหางานที่เกิดจากการเคลื่อนที่ในสนามแรง       F   y  x2  i   y  x2  j   x  z 2  k
ไปตามเส้นโค้ง r (t )  ti  t j  t k ,       0  t  1 ด (0,0,0) ไป (1,1,1)
                                                      จากจุ
                                2     3



วิธีทา 1. แทนค่า x = t, y = t2, z = t3 ในสมการของ            ได้
                                                             F
                     F   y  x2  i   y  x2  j   x  z 2  k
                                   i           j           k
      dr
2. หา                     i           j         k     =
      dt
            dr
3. คานวณ F  
            dt
4. คานวณ      t 1
Work =                                           dt                             
              t 0

                                                                                         32
          =
Flow Integrals
    Flow ถ้าแปลตรงตัวจะหมายถึงอัตราการไหลของของไหลทีไหลผ่านพืนที่หนึ่งๆ
                                                                ่       ้
ของไหลในที่น้ ีอาจจะเป็ นของเหลวหรื อก๊าซจริ งๆ ที่ไหลได้ หรื อ สนามแรงเช่นสนามแม่เหล็ก
(ที่ไม่ได้ไหลจริ งๆ) ก็ได้
                ่
      Flow ทีไหลไปตาม Curve C มีสูตรการคานวณเช่ นเดียวกับ Work
                                                                                   C
      กล่ าวคือ
                         Flow   F  Tds
                                      C




 ในที่น้ ีสนามเวคเตอร์ F ไม่ใช่แรงในทางฟิ สิ กส์ แต่เป็ น สนามความเร็ว(Velocity field)

                                             ่
             เราจะเรี ยกการอินทีเกรตแบบนี้วา Flow integral
                                        ่
             และเรี ยกผลลัพธ์ที่ได้น้ ีวา Flow along the Curve
                                                                               33
Example: Flow Integrals
กาหนดให้สนามความเร็วของของไหลเป็ น F  xi  zj  yk
จงหา Flow ที่ไหลไปตามเส้นโค้ง r (t )   cos t  i  sin t  j  tk ,    0  t  /2
วิธีทา 1. แทนค่า x = cos t, y = sin t, z = t ในสมการของ     ได้
                                                            F
         F  xi  zj  yk              i            j            k
 2. หา dr              i         j         k   =
       dt
             dr
 3. คานวณ F  
             dt

4. คานวณ      t  / 2

Flow =                                          dt                                 
               t 0


         =
                                                                                 34
Circulation
                                                                       ่
   ถ้า C เป็ น Closed curve (คือ curve ที่ครบรอบ) เราจะเรี ยก Flow นี้วาเป็ น
  Circulation หรื อ อัตราการไหลวนของของไหลทีไหลไปรอบๆ Closed Curve
                                             ่
ตัวอย่ าง จงหา Circulation ของสนาม F   x  y  i  xj
          รอบๆวงกลม r (t )   cos t  i  sin t  j , 0  t  2
วิธีทา 1. แทนค่า x = cos t, y = sin t ในสมการของ     ได้
                                                     F
               F   x  y  i  xj              i      j
         dr
 2. หา                     i             j
         dt
             dr
 3. คานวณ F  
             dt
 4. คานวณ Circulation
   t  2
  =
                                dt                                 
      t 0
                                                                             35
Flux Across a Plane Curve
 ปริ มาณอีกอย่างหนึ่งที่คล้ายกับ Flow คือ Flux ซึ่งหมายถึงปริ มาณรวมของไหลที่ไหลเข้า-ออก
 พื้นที่ภายใน Closed curve ดังรู ป
        - ถ้าปริ มาณของไหลที่ไหลออกมีมากกว่าที่ไหลเข้า
 จะได้ Flux เป็ นบวก
        - ถ้าปริ มาณของไหลที่ไหลเข้ามีมากกว่าที่ไหลออก
 จะได้ Flux เป็ นลบ
                            ั
  หลักการของ Flux ใช้กนมากในวิชากลศาสตร์ของไหล
  และสนามแม่เหล็ก-ไฟฟ้ า
  สู ตรคานวณ Flux ของ Closed curve ในระนาบ 2 มิติ
    ให้ C เป็ น smooth closed curve ในสนามเวคเตอร์ Fในระนาบ xy และ
    ให้ n เป็ น Outward-pointing unit normal vector (เวคเตอร์หนึ่งหน่วย
         ั
    ที่ต้งฉากกับ C และชี้ออกจาก C ) เราจะได้

                                  Flux   F  nds
                                               C
                                                                                      36
Outward-pointing Unit Normal Vector
         ในการคานวณเวคเตอร์ n เราสามารถคานวณได้จากการทา Cross product ระหว่างUnit
    tangent vector ของ C และ Unit normal vector k ของระนาบ xy
    ในที่น้ ีเราต้องกาหนดทิศทางของ Tangent vector T ว่าจะมีทิศตามเข็มหรื อทวนเข็มนาฬิกา
    ถ้ากาหนดให้ทิศทางการอินทีเกรตตามเส้นโค้ง     ถ้ากาหนดให้ทิศทางการอินทีเกรตตามเส้นโค้ง
    C มีทิศตามเข็มนาฬิกาจะได้                    C มีทิศทวนเข็มนาฬิกาจะได้
                    n  k T                                n T k




                                                                                  37
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Formula for Calculating Flux Across a Plane Curve
  จากเส้นโค้งปิ ด C: r (t )  g (t )i  h(t ) j ,          x  g (t ), y  h(t )
                                                                           ั
 โดยทัวไปเราจะกาหนดให้การอินทีเกรตตาม C มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งเราจะใช้สญลักษณ์
      ่
                                      Flux         F  nds
                                                    C
 ดังนั้นเวคเตอร์   n   คานวณได้จาก
                                   dx  dy       dy   dx
                        n T k   i    j  k  i     j
                                   ds  ds       ds   ds

  เมื่อให้    F ( x, y )  M ( x , y ) i  N ( x , y ) j
                              dy           dx
   จะได้     F  n  M ( x, y)  N ( x, y)
                              ds           ds
  เราจะได้ สูตร
                                    dy      dx 
   Flux           
                   C
                       F  nds    M
                                 C
                                       ds
                                           N  ds 
                                             ds                               C
                                                                                    Mdy  Ndx
                                                                                         38
Example: Flux Across a Plane Curve
 จงหา Flux ของสนาม F   x  y  i  xj รอบๆวงกลม x 2  y 2  1 ในระนาบ xy

                            ่
วิธีทา 0. เขียน Curve ให้อยูในรู ป function ของ t ได้
                         r (t )   cos t  i  sin t  j ,            0  t  2
 1. แทนค่า x = cos t, y = sin t ในสมการของ                        ได้
                                                                  F
                   F   x  y  i  xj                   i               j
    ในที่น้ ีได้    M=
                    N=
 2. คานวณ            dx =                                               dy =
                                                         t  2

 3. สร้างสูตร Flux                 C
                                         Mdy  Ndx        
                                                          t 0
                                                                                                dt
                        t  2

                                             dt                            0
                                                                                 2
 4. อินทีเกรตได้ =                                                                    
                                                                                          39
                         t 0
Path Independence and Conservative Field
    ในการคานวณหางานที่เกิดจากการเคลื่อนไปตามเส้นทาง (Path) ในสนามแรงนั้น
 เราใช้สูตรของ Line Integral
                                 Work   F  dr
                                                C
  ซึ่ งจะมีเส้นทางการเคลื่อนที่มาเกี่ยวข้องในสู ตร งานที่ได้มกจะขึ้นกับเส้นทางนี้ แต่ใน
                                                                 ั
                                             ่
  สนามแรงบางอย่างจะมีปรากฏการณ์ที่วา สาหรับเส้ นทางการเคลือนทีทุกเส้ นทางทีมี
                                                                        ่ ่               ่
                                                                                        ่
  จุดเริ่มต้ นจุดเดียวกัน และมีจุดสุ ดท้ ายจุดเดียวกัน ไม่ ว่าเราจะใช้ เส้ นไหนในการเคลือนที่
  ก็จะได้ งานเท่ ากันเสมอ กล่าวคืองานที่ได้ไม่ข้ ึนกับเส้นทาง แต่ข้ ึนกับตาแหน่งเริ่ มต้นและ
  ตาแหนงสุ ดท้ายเท่านั้น
                               ่
       เราเรี ยกปรากฏการณ์น้ ีวา Path Independence
                                       ความเป็ นอิสระต่ อวิถี
        Path 1                                                                        ่
                                                            และเราเรี ยกสนามแรงแบบนี้วา
                                                            Conservative fields
                Path 2
                                                            สนามอนุรักษ์             40
Path Independence and Conservative Field
นิยาม
         ให้ F เป็ นสนามแรงที่ถูกนิยามใน open region D ใน space และให้
      จุด A และ B เป็ นจุด 2 จุดใดๆใน D ถ้างานที่เกิดจากการเคลื่อนที่จาก A ไป B
                                                       B
                                       Work   F  dr
                                                       A
      มีค่าเท่ากันตลอดไมว่าจะเคลื่อนที่ในเส้นทางใด เราเรี ยกการอินทีเกรต                   F  dr
      ว่าเป็ น Path independent in D และเรี ยก field F ว่า
      เป็ น Conservative on D
 ตัวอย่ าง
               ่                                             ั
           ไม่วาเราจะเดินจากชั้น 1 ขึ้นมาเรี ยนหนังสื อที่ช้ น 5 ตึกเพียรวิจิตรด้วยเส้นทางใดก็ตาม
         เราจะได้งานในการเดินขึ้น เท่ากันหมด
                                              Work = mgh
                                                                                                    41
Potential Function
                                                            ั
        สนามเวคเตอร์ที่เป็ น Conservative ที่พบบ่อยในทางปฏิบติคือ สนามเวคเตอร์ ที่
  เป็ น Gradient field ของ Scalar function กล่าวคือถ้า
                                              f    f   f
                                F  f          i    j k
                                              x    y   z

   แล้วเราเรี ยก f ว่า a potential function สาหรับ F

  ตัวอย่างของ Potential function
           - ในวิชาฟิ สิ กส์ ความต่างศักย์ไฟฟ้ าจัดเป็ น Potential function ของสนามไฟฟ้ า
           หรื อ สนามไฟฟ้ า ก็คือ เกรเดียนต์ของความต่างศักย์ไฟฟ้ า นันเอง
                                                                     ่

           - ศักย์แรงโน้มถ่วงก็เป็ น Potential function ของสนามแรงโน้มถ่วง
                                                                           ่    ่
  ทั้งสนามแรงโน้มถ่วงและสนามไฟฟ้ าจัดว่าเป็ นสนามอนุรักษ์ ทาให้ได้วา “ไม่วาเราจะเดินจากชั้น 1
                            ั
  ขึ้นมาเรี ยนหนังสื อที่ช้ น 5 ตึกเพียรวิจิตรด้วยเส้นทางใดก็ตาม เราจะได้งานในการเดินขึ้น เท่ากันหมด”
                                                                                                 42
Line Integrals in Conservative Fields
ทฤษฎีที่ 1
     1. ให้ F  Mi  Nj  Pk                                                              ่
                                          เป็ นสนามเวคเตอร์ที่ต่อเนื่องบนโดเมน D เราจะได้วา
                                                  f      f           f
                                      F  f  i                 j k
                                                  x      y           z
                  B
     ก็ต่อเมื่อ    F  dr
                  A
                             เป็ นอิสระต่อวิถี สาหรับทุกๆจุด A และ B ใน โดเมน D
             B                                     B
   2. ถ้า     F  dr เป็ นอิสระต่อวิถี จะได้วา่
             A
                                                    F  dr  f (B)  f ( A)
                                                   A


     หมายความว่า
     - ถ้ า F เป็ นเกรเดียนต์ ของสนาม Scalar บางอย่ าง แล้ ว F จะเป็ นสนามอนุรักษ์
                                                                           ึ้
     - ถ้ า F เป็ นสนามอนุรักษ์ การอินทีเกรตจะเป็ นอิสระต่ อวิถี คือจะไม่ ขนกับทางเดิน (Path)
             ้      ั
     แต่ จะขึนอยู่กบจุดเริ่มต้ น และจุดสิ้นสุ ดเท่ านั้น


                                                                                            43
Proof: Line Integrals in Conservative Fields
                              B
 ถ้า      F  f   แสดงว่า     F  dr
                              A
                                           เป็ นอิสระต่อวิถี


 พิสูจน์ ให้ r (t )  g (t ) i  h(t ) j  k (t )k , a  t  b
           เป็ นเส้นทางราบเรี ยบที่เชื่อมระหว่างจุด A และจุด B
  เราจะได้           df f dx f dy f dz
                                                  
                     dt x dt y dt z dt
                           dx  dy    dy         dr     dr
                    f   i     j  k   f     F
                           dt  dt    dt         dt     dt
       ดังนั้น                    t b           t b
                                       dr           df
                                                
                    F  dr  t a F  dt dt  t a dt dt
                   C

                              f ( g (t ), h(t ), k (t )) a  f ( B)  f ( A)
                                                         b



                                                                                 44
Example: Line Integrals in Conservative Fields
                                    ั
จงคานวณงานที่เกิดจากการเคลื่อนที่วตถุในสนามแรง F  yz i  xz j  xyk
จากจุด (-1,3,9) ไปยัง (1,6,-4)
                 ้
วิธีทา ในโจทย์ขอนี้ ไม่ได้บอกว่าเราใช้เส้นทางใด ในการเคลื่อนที่ บอกเพียงจุดเริ่ มต้นและจุดสิ้ นสุ ด
                                                                                 ่
ซึ่ งก็พอเพียงสาหรับการอินทีเกรตในสนามอนุรักษ์ (วิธีการพิสูจน์สนามอนุรักษ์อยูในเรื่ องถัดไป)
 ในข้อนี้ ถ้าเราให้ f  xyz
 เราจะได้ f  yz i  xz j  xyk  F                     ซึ่ งแสดงว่า F เป็ นสนามอนุรักษ์โดยมี f เป็ น
                                                         Potential function
                                B
  ดังนั้นเราสามารถใช้สูตร        F  dr  f (B)  f ( A)
                                A

                         (1,6, 4)
  จะได้
                            
                         ( 1,3,9)
                                     F  dr  f (1, 6, 4)  f (1,3,9)

                                            (1)(6)( 4)  ( 1)(3)(9)  3
                                                                                                  45
Close Loop Properties of Conservative Fields
 กรณี พิเศษของการอินทีเกรตในสนามอนุรักษ์คือการอินทีเกรตตามเส้นโค้งปิ ด ซึ่งเนื่องจากว่า
 เส้ นโค้ งปิ ดเป็ นเส้ นโค้ งทีมจุดเริ่มต้ นกับจุดสิ้นสุ ดเป็ นจุดเดียวกันดังนั้น เราจะได้:
                                ่ ี
  ทฤษฎีที่ 2
        1. สาหรับสนามเวคเตอร์ Fที่เป็ นสนามอนุรักษ์ เราจะได้                  F  dr  0
            สาหรับเส้นโค้งปิ ด C ทุกเส้น
                                                                             C



     หรื อ ในทางกลับกัน
        2. ถ้า    F  dr  0       สาหรับเส้นโค้งปิ ด C ทุกเส้น
                 C
                              ่
                        จะได้วาสนามเวคเตอร์ F เป็ นสนามอนุรักษ์



                                  เส้นโค้งปิ ด มีจุด A เป็ นทั้งจุดเริ่ มต้นและจุดสิ้ นสุ ด
         A                   C                                                                 46
Proof 1: Close Loop Properties of Conservative Fields
 พิสูจน์: ข้อ 1. สาหรับสนามเวคเตอร์ F ที่เป็ นสนามอนุรักษ์ เราจะได้  F  dr  0
               สาหรับเส้นโค้งปิ ด C ทุกเส้น                                C


วิธีทา                 B         เส้นโค้งปิ ด C สามารถแบ่งเป็ นสองส่ วนคือ C1 และC2
        C2                        โดย C1 เป็ นส่ วนเส้นทึบที่วงจาก A ไป B
                                                                   ิ่
                                                                      ิ่
                                            C2 เป็ นส่ วนเส้นประที่วงจาก B ไป A
            C                     เราสามารถอินทีเกรตครบรอบตามเส้นโค้ง C ได้โดย
 A
                C1
                                      F  dr   F  dr   F  dr
                                     C           C1            C2
                                                                             สมการที่ 1

                             2. ถ้าเรากลับทิศทางการเคลื่อนที่ในเส้นโค้ง C2 เราจะได้
                     B
      -C2                    เส้นโค้ง -C2 วิงจาก A ไป B
                                             ่

                                       F  dr    F  dr
                                                       C2
                                                                      สมการที่ 2
            C                        C2


 A                                เพราะเป็ นการกลับทิศการอินทีเกรตเท่านั้น
                C1                                                                        47
Proof 1: Close Loop Properties of Conservative Fields (cont.)
   3. แทนค่าสมการที่ 2 ลงในสมการที่1

                            F  dr   F  dr   F  dr
                           C               C1           C2

    4. เนื่องจากเส้นโค้ง C1 และเส้นโค้ง -C2 วิงจาก B ไป A
                                              ่
                                                   B

                     F  dr           F  dr   F  dr ผลลัพธ์ไม่ข้ ึนกับเส้นทาง C1 หรื อ -C2
                    C1             C2            A
                                                           เพราะ F เป็ นสนามอนุรักษ์

                                                         B           B
    เราจึงได้    F  dr   F  dr   F  dr   F  dr   F  dr  0
                C          C1               C2          A           A




                                หรื อ        F  dr  0
                                            C


                                                                                         48
Proof 2: Close Loop Properties of Conservative Fields
พิสูจน์ ข้อ 2. ถ้า       F  dr  0
                        C
                                                                          ่
                                       สาหรับเส้นโค้งปิ ด C ทุกเส้น จะได้วา F เป็ นสนามอนุรักษ์
วิธีทา
                            B          1. ให้ C1 เป็ นเส้นทึบและ C2 เป็ นเส้นประ
         C2                                    ิ่
                                           ที่วงจาก B ไป A คนละเส้นทาง
                                       2. เราสามารถสร้างเส้นโค้งปิ ดได้โดยการต่อเส้น C1 กับเส้น
              C                           -C2 ดังรู ปข้างล่าง เราจะได้
 A
                   C1                            F  dr   F  dr   F  dr
                                                C           C1             C2

                              B
         -C2                           3. เนื่องจากโจทย์กาหนดให้
                                                                       F  dr 0
                                                                      C
                                           ดังนั้น
               C                                      F  dr   F  dr  0
                                                     C1             C2

  A
                   C1
                                                                                             49
     สร้างเป็ นเส้นโค้งปิ ด
Proof 2: Close Loop Properties of Conservative Fields

       4. เนื่องจาก     F  dr    F  dr
                       C2            C2
                                                   เราจะได้    F  dr   F  dr  0
                                                              C1         C2


                      หรื อ    F  dr   F  dr
                              C1           C2

          หมายความว่า
                             ึ้
                ผลลัพธ์ ไม่ ขนกับเส้ นทาง C1 หรือ C2 ดังนั้น F เป็ นสนามอนุรักษ์
 สรุ ปความสั มพันธ์

     ถ้า F  f                     F เป็ นสนามอนุรักษ์                   F  dr  0
                                                                         C



    ถ้า F เป็ นเกรเดียนต์ของสนาม scalar บางอย่าง จะได้ F เป็ นสนามอนุรักษ์และ       F  dr  0
                                                                                   C
                                                                                         50
Component Test for Conservative Fields
                   B
  ทฤษฎีที่ 1 คือ    F  dr  f (B)  f ( A)วยทาให้เราอินทีเกรตได้ง่ายขึ้น แต่ทฤษฎีน้ี
                   A
                                          ช่

           ็
  จะใช้ได้กต่อเมื่อ F เป็ นสนามอนุรักษ์ (conservative field) ซึ่ งเราจะต้องมีวธีตรวจสอบว่า
                                                                              ิ
  F เป็ นสนามอนุรักษ์หรื อไม่
    วิธีทดสอบ         ถ้าให้ F  Mi  Nj  Pk

                          ็
    F จะเป็ นสนามอนุรักษ์กต่อเมื่อเงื่อนไข 3 ข้อต่อไปนี้เป็ นจริ งทั้งหมด

    1.
               P N
                                        2. M  N                           3. M  P
               y z                         y  x                               z  x


            ่     ้                             ่         ่
  ระวัง! เงือนไขนีต้องเป็ นจริงทั้งหมด ถ้ ามีเงือนไขบางเงือนไขเป็ นเท็จ แล้ ว F จะไม่ ใช่ สนามอนุรักษ์


                                                                                                 51
Component Test for Conservative Fields (continued)
 พิสูจน์         ถ้า F เป็ นสนามอนุรักษ์ เราจะได้
                             f   f    f
                     F  f  i     j  k  Mi  Nj  Pk
                             x   y    z
                 ่
       ซึ่งจะได้วา
                           f                  f        f
                     M                 N          P
                           x                  y        z
       ดังนั้น
                     P   f   2 f    f  M
                                                      เงื่อนไขที่ 1
                     y y  z  yz z  y  z
                     M   f   2 f    f  N
                                                      เงื่อนไขที่ 2
                      y y  x  yx x  y  x

                     M    f   2 f    f  P          เงื่อนไขที่ 3
                                      
                      z z  x  zx x  z  x
                                                                              52
Example 1: Component Test for Conservative Fields
จงตรวจสอบว่า F   e x cos y  yz  i   xz  e x sin y  j   xy  z  k
เป็ นสนามอนุรักษ์หรื อไม่
วิธีทา 1. หา M, N, และ P                                    M  e x cos y  yz
           จาก F  Mi  Nj  Pk               เราได้        N  xz  e x sin y
                                                            P  xy  z
    2. ทดสอบเงื่อนไข
         P          N                             P N
             x,          x              จะได้       
         y           z                            y z
        M                                 N                               M N
             e x sin y  z,                  x  e x sin y         จะได้     
         y                                x                                y   x
        M                 P             จะได้ M  P
             y,              y
         z                x                    z  x

       เราได้ 3 เงื่อนไขเป็ นจริ ง ดังนั้น F เป็ นสนามอนุรักษ์                         53
Example 2: Component Test for Conservative Fields
จงตรวจสอบว่า                     F   2 x  3 i  zj   cos z  k
เป็ นสนามอนุรักษ์หรื อไม่
วิธีทา 1. หา M, N, และ P                                      M  2x  3
           จาก F  Mi  Nj  Pk                 เราได้        N  z
                                                              P  cos z
     2. ทดสอบเงื่อนไข
          P          N             P N                               ่
                                                                      เงือนไขแรกไม่ เป็ นจริง
              0,         1 จะได้     
          y          z             y z
         M           N            M N
              0,         0 จะได้      
          y          x             y   x
         M           P            M P
              0,         0 จะได้      
          z          x             z   x

         เราได้เงื่อนไขแรกเป็ นจริ ง ดังนั้น F ไม่ ใช่ สนามอนุรักษ์                             54
Finding Potential Functions for Conservative Fields
 เมื่อเราทดสอบแล้วว่า F เป็ นสนามอนุรักษ์ ปัญหาถัดมาก็คือการหา Potential function f ของ F
                                                B
  เมื่อใดที่เราได้ f เมื่อนั้นเราจึงจะใช้สูตร    F  dr  f (B)  f ( A)
                                                A
                                                                                  ได้

  หลักการหา Potential function
                                                                 f                f                    f
                ่
   จากที่เรารู้วา F  Mi  Nj  Pk                  โดย M                  N                  P
                                                                 x                y                    z
 เราจะหา f ได้จาก
 1. อินทีเกรตทั้ง 3 ส่ วนดังนี้      Mdx           2. นาผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ส่ วนนี้มาจัดเรี ยงต่อกันโดย
                                                                                       ั
                                                       2.1 นาพจน์ที่ซ้ ากันในผลลัพธ์ท้ง 3 มาเพียงครั้งเดียว
                                     Ndy              2.2 พจน์ที่ไม่ซ้ าใคร ให้นามาต่อได้เลย
                                                                    ั
                                                               (ดูตวอย่างต่อไป)
                                     Pdz

                                                                                                    55
Example: Finding A Potential Function
จากตัวอย่างก่อนเราตรวจสอบ F   e x cos y  yz  i   xz  e x sin y  j   xy  z  k
พบว่าเป็ นสนามอนุรักษ์ จงหา Potential function
วิธีทา 1. หา M, N, และ P                             M  e x cos y  yz
                   F  Mi  Nj  Pk เราได้           N  xz  e x sin y
                                                     P  xy  z
 2. คานวณ
                
          2.1 Mdx  e x cos y  xyz  C

                 Ndy  e              cos y  xyz  C
                                   x
         2.2

                                                        z2
         2.3
                  Pdz                            xyz   C
                                                        2

 3. จับผลลัพธ์ในข้อ 2 มาเรี ยงต่อกันโดย ตัวทีซ้า ให้นามาเพียงครั้งเดียวจะได้
                                             ่
                                         z2
                      f  e cos y  xyz   C
                           x
                                                                               ตอบ   56
                                         2
Differential Form and Exact Differential Form
                                B             B           B
        ่
 จากที่ผานมาเราจะเห็นว่า
                            A
                                    F  Tds   F  d r   Mdx  Ndy  Pdz
                                             A            A

 ด้านขวาสุ ดของสมการคือ Mdx  Ndy  Pdz เป็ นรู ปแบบหนึ่งในทางคณิ ตศาสตร์ ที่เรี ยกว่า
 Differential form
  และถ้า                                 f         f        f
                       Mdx  Ndy  Pdz      dx  dy  dz
                                         x         y        z
  เราจะเรี ยก   Mdx  Ndy  Pdz               ว่าเป็ น Exact differential form
 ประโยชน์
  ถ้าเราพบว่า Mdx  Ndy  Pdz เป็ น Exact differential form เราจะได้
                    B                             B   f     f   f
                
                A
                        Mdx  Ndy  Pdz  
                                                  A   x
                                                         dx  dy  dz
                                                             y   z
                                                  B
                                                f  dr  f (B )  f ( A)
                                                  A
   ซึ่งการอินทีเกรตจะง่ายขึ้นมาก
                                                                                   57
Component Test for Exactness
การทดสอบว่า Mdx + Ndy + Pdz เป็ น Exact differential form หรื อไม่ ทาได้โดย
    ิ
ใช้วธีเดียวกับการทดสอบสนามอนุรักษ์ กล่าวคือ
 วิธีทดสอบ      Differential form Mdx  Ndy  Pdz
     จะเป็ น Exact differential form ก็ต่อเมื่อเงื่อนไข 3 ข้อต่อไปนี้เป็ นจริ งทั้งหมด

      1.
               P N
                                2. M  N                            3. M  P
               y z                  y           x                          z      x
 ตัวอย่ าง
      จงตรวจสอบว่า ydx  xdy  4dz เป็ น Exact differential form หรื อไม่
 วิธีทา จากโจทย์ เรามี M = y, N = x, และ P = 4
           P          N          M          N      M         P
              0                        1                 0
           y          z           y         x       z        x

   เงื่อนไขทั้ง 3 เป็ นจริ ง ดังนั้นเราได้   ydx  xdy  4dz เป็ น Exact differential form
                                                                                            58
Example: Integral in the Exact Differential Form
                   (2,3, 1)
 จงคานวณ
               
               (1,1,1)
                               ydx  xdy  4dz

 วิธีทา ตัวอย่างก่อนเราพิสูจน์แล้วว่า ydx+xdy+4dz เป็ น Exact differential form
  ดังนั้นเราสามารถใช้สูตร B
                             Mdx  Ndy  Pdz  f ( B)  f ( A)
                                   A

                   ิ
    1. หา f โดยใช้วธีหา Potential function
               1.1          Mdx  xy  C
               1.2          Ndy  xy  C             เราได้ f  xy  4 z  C

               1.3          Pdz  4z  C
                       (2,3, 1)
    2. คานวณ        (1,1,1)
                                   ydx  xdy  4dz  f (2,3, 1)  f (1,1,1)

                                                     (2)(3)  4(1)   (1)(1)  4(1)   3
                                                                                ตอบ    59
Green’s Theorem: New Tool in Calculus of Vector Fields
                              ่
  ในเรื่ อง line integral ที่ผานมาเช่นเรื่ อง Work เราต้องทาการคานวณการอินทีเกรต
โดยตรงโดยใช้สูตร
                                     F  dr
ตามปกติ F อยูในรู ป M ( x, y, z )i  N ( x, y, z ) j  P ( x, y, z )k
                  ่
และ r อยูในรู ป g (t )i  h(t ) j  k (t )k
             ่
วิธีการนี้บางทีจะทาได้ยากและไม่สะดวก เนื่องจาก
                                            ั
           1. ต้องมีการเขียน r ในรู ปฟั งก์ชนของ t
           2. ต้องทาการคานวณ dr dt
           3. ต้องทาการแทนที่ x,y,z โดยใช้ g(t), h(t) และ k(t)
           4. ต้องคานวณ Dot Product
            
สุ ดท้ายจะได้ F  dr ในรู ปฟังก์ชนของ t ตัวแปรเดียวจึงจะทาการอินทีเกรตได้
                                         ั
       แต่ทฤษฎีของ Green ที่จะเรี ยนต่อไปนี้จะเปิ ดมุมมองใหม่ของการอินทีเกรตของ
                                  ั
   vector function ให้เราได้รู้จกอีกด้านหนึ่ งของ สนามเวคเตอร์ ที่จะช่วยให้การ
   อินทีเกรตทาได้ง่ายขึ้น                                                   60
Green’s Theorem: New Tool in Calculus of Vector Fields
      ในเรื่ อง function ของหลายตัวแปรนั้น เราเคยได้เรี ยนเรื่ อง Gradient ไปแล้ว
 ซึ่ ง Gradient เป็ นปริ มาณแบบหนึ่งที่มีความสาคัญในทาง Calculus มาก
 แต่นอกจาก Gradient แล้ว ก่อนที่เราจะเข้าสู่ Green’s Theorem นั้น
                        ั
 เราต้องทาความรู ้จกกับปริ มาณแบบใหม่ 2 ชนิดคือ Divergence และ Curl ก่อน
                           ิ่
 ซึ่ งมีความสาคัญไม่ยงหย่อนไปกว่า Gradient
     ทั้ง 3 ปริ มาณนี้เป็ นการมอง Function ในมุมมองแบบจุดเล็กๆ (Microscopic)
 - Gradient เป็ นปริ มาณเวคเตอร์ที่บอกถึงทิศทางและขนาดการเปลี่ยนแปลงของสนาม
 Scalar field
 - Divergence เป็ นปริ มาณ Scalar ที่บอกถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงจานวน
 เวคเตอร์ ในสนามเวคเตอร์
 - Curl เป็ นปริ มาณเวคเตอร์ ที่บอกถึงทิศทางและขนาดการบิดตัวของสนามเวคเตอร์

 ที่มาของ Divergence และ Curl จะได้อธิ บายต่อไป                             61
Flux Density at a Point
 Flux หมายถึงปริ มาณของไหลที่ไหลทะลุออกมา (Flux เป็ น +) หรื อไหลเข้าไป
 (Flux เป็ น -) ใน Region ที่กาลังพิจารณา เมื่อนาขนาดของ Region มาหาร
                                                               ู
 เราจะได้ Flux density ออกมา ในกรณี ที่ Region เป็ นพื้นที่ที่ถกล้อมโดย
 Closed curve ในระนาบ 2 มิติเราได้วา  ่
                          Flux        C
                                            F  nds
 โดย n คือ Outward-pointing unit normal vector
 ตัวอย่างสาหรับ Outward-pointing unit normal vector พิจารณากรณี ที่
 Region เป็ น พื้นที่สี่เหลี่ยมเล็กๆ Outward pointing unit normal vector
               n j                      จะเป็ นดังรู ป
                                               ่
                                     Flux ที่ผานด้านสี่ เหลี่ยมเล็กๆแต่ละด้าน
 n  i             Dy   ni         จะมีค่าประมาณเป็ น
               Dx

            nj                            Flux  F  n  ความยาวของด้าน
                                                                     62
Flux Density at a Point
  ( x, y  Dy )      ( x  Dx, y  Dy)
                                                  ่
                                           สมมุติวาเรามีสนามเวคเตอร์
                                         F  M ( x , y )i  N ( x , y ) j
   F                           Dy          ถ้าต้องการจะทราบว่ามีเวคเตอร์ ไหล
                                           ออกจากพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้เท่าไร เราจะ
     ( x, y )     Dx ( x  Dx, y)          ต้องคานวณ Flux ที่ทะลุออกมา
                                           จากแต่ละด้านของสี่ เหลี่ยม
 ด้านบน     n j      ได้ Flux  F  j Dx  N ( x, y  Dy )Dx
 ด้านล่าง   n   j ได้ Flux  F  ( j )Dx   N ( x, y )Dx
 ด้านขวา    ni       ได้ Flux  F  i Dy  M ( x  Dx, y )Dy
 ด้านซ้าย   n  i    ได้ Flux  F  (i )Dy   M ( x, y )Dy
                                                                          63
Flux Density at a Point : Divergence
Flux ด้านบนและด้านล่างรวมกันได้  N ( x, y  Dy )Dx  N ( x, y )Dx
                                                                              N
                                      ( N ( x, y  Dy )  N ( x, y )) Dx       DyDx
                                                                              y
Flux ด้านขวาและด้านซ้ายรวมกันได้  M ( x  Dx, y )Dy  M ( x, y )Dy
                                                                           M
                                      ( M ( x  Dx, y )  M ( x, y ))Dy      DxDy
                                                                            x
ดังนั้น Flux รวมทั้งหมดที่ออกมาจากสี่ เหลี่ยมเล็กๆได้
                                     M N 
                             Flux         DxDy
                                     x y 
เราสามารถคานวณ Flux Density ได้จาก
         Flux Flux  M N  ซึ่ งเราเรี ยกว่า
                        Divergence
         Area DxDy  x y                                                      64
Interpretation of Divergence
  สาหรับสนามเวคเตอร์ 2 มิติ F  M ( x, y )i  N ( x, y ) j
  เราคานวณ Divergence ได้จาก
                                     M N 
                       divergence        
                                     x y 
     Divergence มีความหมายว่า “ลู่ออกจากกัน” ซึ่ งในทาง Calculus นั้น
                                                     ่
   Divergence เป็ นปริ มาณ Scalar ที่บอกถึงอัตราการพุงออกมาของเวคเตอร์ ใน
   สนามเวคเตอร์ ในบริ เวณหนึ่ งๆเช่น
    - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์พุงออกมามาก
    แสดงว่าจุดนั้นมี Divergence เป็ นบวก (เหมือนเป็ นแหล่งกาเนิดเวคเตอร์ )
    - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์พุงเข้าไปมาก
    แสดงว่าจุดนั้นมี Divergence เป็ นลบ (เหมือนเป็ นแหล่งกาจัดเวคเตอร์ )
                                                          ่
    - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์ พุงเข้าไปพอๆกับพุงออกมา
    แสดงว่าจุดนั้นมี Divergence เป็ นศูนย์                                   65
Interpretation of Divergence
                                          ั          ั
     เราอาจจะพบความหมายของ Divergence ได้ชดเจนโดยใช้ตวอย่างของน้ า

                                                                    ่               ่
                                                        (สมมุติวามีอ่างอาบน้ าที่วางเปล่า
                              อ่างอาบน้ า                แล้วมีการปล่อยน้ าเข้ามา โดย
                                                         น้ าที่เข้ามามีมากกว่าน้ าที่ออกไป)


        จุดนี้ เป็ นจุดที่น้ าไหลเข้าอ่าง      จุดนี้ เป็ นจุดที่น้ าไหลออกจากอ่าง
        จุดนี้ จึงมี Divergence                จุดนี้ จึงมี Divergence
        ของกระแสน้ าเป็ นบวก                   ของกระแสน้ าเป็ นลบ
        (ถือว่าเป็ นแหลงกาเนิ ด)               (ถือว่าเป็ นแหล่งกาจัด)

      ส่ วนทุกๆจุดในท่อประปานั้น น้ าที่ไหลเข้ากับน้ าที่ไหลออกมีปริ มาณเท่าๆกัน
      Divergence ในท่อประปาจึงเป็ นศูนย์
                                                                                     66
Interpretation of Divergence
   โดยสรุ ป ถ้าบริ เวณใดมี Divergence
 เป็ นบวก แสดงว่าบริ เวณนั้นเป็ นแหล่งกาเนิด
 ของ Flow




ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
                                                 โดยสรุ ป ถ้าบริ เวณใดมี Divergence
                                               เป็ นลบ แสดงว่าบริ เวณนั้นเป็ นแหล่งที่
                                               Flow ถูกกาจัด                       67
Example: Divergence
  F  ( x  e sin y )i  ( x  e cos y ) j
                x               x



  M ( x, y ) 

  M
      
   x
  N ( x, y) 

  N
     
  y
               M N
  Divergence =       
                x y
                                             68
Circulation Density at a Point
 ใน 2 มิติ Circulation หมายถึงปริ มาณของไหลที่ไหลเวียนรอบๆ Closed Curve
 โดยเรากาหนดว่า Circulation เป็ นบวก ถ้าไหลทวนเข็มนาฬิกา (และเป็ นลบ ถ้า
 ไหลตามเข็มนาฬิกา)
                        Circulation           C
                                                    F  Tds
 โดย T คือ unit tangent vector
                            ู
 เมื่อนาขนาดของ Region ที่ถกล้อมโดย Closed curve นี้มาหารเราจะได้
 Curculation density ออกมา
  ตัวอย่างสาหรับ Unit tangent vector พิจารณา กรณี ที่ Closed curve เป็ นเส้น
                          รอบรู ปสี่ เหลี่ยมเล็กๆ unit tangent vector จะเป็ นดังรู ป
             T  i
                                          Circulation ที่ไหลไปตามด้านสี่ เหลี่ยม
   Tj       Dy
                        T j              เล็กๆแต่ละด้านจะมีค่าประมาณเป็ น
                   Dx

               Ti                               F  T  ความยาวของด้าน69
Circulation Density at a Point
  ( x, y  Dy )     ( x  Dx, y  Dy)
                                                   ่
                                            สมมุติวาเรามีสนามเวคเตอร์
                                         F  M ( x , y )i  N ( x , y ) j
  F                            Dy           ถ้าต้องการจะทราบว่ามีเวคเตอร์ ไหล
                                            ออกจากพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้เท่าไร เราจะ
    ( x, y )      Dx ( x  Dx, y)           ต้องคานวณ Flux ที่ทะลุออกมา
                                            จากแต่ละด้านของสี่ เหลี่ยม
 ด้านบน T  i       ได้    Circulation  F  (i )Dx   M ( x, y  Dy )Dx

 ด้านล่าง T  i       ได้   Circulation  F  i Dx  M ( x, y )Dx

 ด้านขวา T  j       ได้    Circulation  F  j Dy  N ( x  Dx, y )Dy

 ด้านซ้าย T   j    ได้    Circulation  F  ( j )Dy   N ( x, y )Dy
                                                                           70
Circulation Density at a Point : the k-component of Curl
Circulation ด้านบนและ              M ( x, y  Dy )Dx  M ( x, y )Dx
ด้านล่างรวมกันได้                                                               M
                                  ( M ( x, y  Dy )  M ( x, y ))Dx             DyDx
                                                                                 y
Circulation ด้านขวาและ            N ( x  Dx, y )Dy  N ( x, y )Dy
ด้านซ้ายรวมกันได้                                                       N
                                  ( N ( x  Dx, y )  N ( x, y )) Dy     DxDy
                                                                        x
ดังนั้น Circulation รวมทั้งหมดที่ไหลเวียนรอบๆสี่ เหลี่ยมเล็กๆได้
                                      N M 
                       Circulation         DxDy
                                      x y 
เราสามารถคานวณ Circulation Density ได้จาก
                                                                      ซึ่ งค่าที่ได้เป็ นส่ วน
Circulation Circulation  N M                                      ประกอบในแนวดิ่ง
                            
   Area        DxDy      x y 
                                                                      (k-compnent)
                                                                                        71
                                                                      ของ Curl
Interpretation of Curl
 Curl สาหรับสนามเวคเตอร์ 2 มิติ F  M ( x, y )i  N ( x, y ) j
 จะมีเพียงส่ วนประกอบในแนวดิ่ง(แกน z) ซึ่ งคานวณได้จาก
                                      N M 
               k-component of Curl        
                                      x y 
  หมายเหตุ Curl ของฟั งก์ชน 3 มิติอาจมีส่วนประกอบทั้งในแกน x,y,z ก็ได้
                            ั
  Curl มีความหมายว่า “ม้วนเป็ นวง” ซึ่ งในทาง Calculus นั้น Curl เป็ นปริ มาณ
  เวคเตอร์ ที่บอกถึงทิศทางและอัตราการหมุนวนของเวคเตอร์ ในสนามเวคเตอร์ เช่น
   - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์หมุนเวียนซ้าย (ทวนเข็ม) มาก
   แสดงว่าจุดนั้นมี Curl เป็ นบวก
   - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์หมุนเวียนขวา (ตามเข็ม) มาก
   แสดงว่าจุดนั้นมี Curl เป็ นลบ
                                          ่
   - ถ้าในสนามเวคเตอร์ มีจุดที่เวคเตอร์ พุงขนานกันไปโดยไม่มีการหมุน
                                                                        72
   แสดงว่าจุดนั้นมี Curl เป็ นศูนย์
Interpretation of Curl
       ในจินตนาการ เราอาจจะวัดค่า Curl ในแต่ละจุดของสนามเวคเตอร์ ได้โดยการ
   นาเอากังหันเล็กมากๆมาจุ่มลงในกระแส (Flow) เพื่อดูอตราการหมุนของกังหันที่
                                                     ั
   เกิดจากกระแส (Flow) ผลักดัน




             Curl เป็ นบวก                                     Curl เป็ นลบ
                             ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus                  73
Example: Curl
 F  ( x  e sin y )i  ( x  e cos y ) j
                x              x



  M ( x, y ) 
  M
      
   y
  N ( x, y) 

  N
     
  x
          N M 
  Curl =       k 
          x y                           74
 Operator
          ่
      ที่ผานมา สู ตรของ Divergence และ Curl เป็ นสู ตรสาหรับสนามเวคเตอร์
   ในระนาบ 2 มิติ (ระนาบ xy) สาหรับของสนามเวคเตอร์ ใน Space 3 มิติ
           F  M ( x, y , z ) i  N ( x , y , z ) j  P ( x , y , z ) k
    Divergence และ Curl เราสามารถเขียนได้โดยใช้  operator
     operator               ( )     ( )     ( )
                       ( )      i        j      k
                               x      y       z
   Gradient                 f     f      f
                       f  i         j k
                            x     y      z
                             M N P
   Divergence          F            
                               x y z
                 i     j   k
   Curl
                              P N        M P       N M
         F                  (     )i  (     ) j (      )k
               x     y    z   y z         z x      x y
                                                             75
               M      N     P
Example: Divergence and Curl
 F  ( y 2  z 2 )i  ( x 2  z 2 ) j  ( x 2  y 2 ) k

 M                             M                        M
                                                            
  x                             y                        z
 N                             N                        N
                                                            
 x                             y                        z
 P                             P                        P
                                                           
 x                             y                        z
       M N P
 F          
        x y z
               P N        M P      N M
  F  (           )i  (     )j (      )k 
               y z         z x     x y

                                                                  76
Green’s Theorem (Flux-Divergence or Normal Form)
    ทฤษฎีของ Green กล่าวว่า Flux ที่ออกจาก a simple closed curve มีค่า
                                                          ู
 เท่ากับ Double integral ของ Divergence ใน Region ที่ถกล้อมโดย
 Closed curve กล่าวคือ
                                       M N 
 Flux   F  nds   Mdy  Ndx          dxdy
         C           C              R
                                       x y 
           Line integral                            Divergence integral
                                       R

                                           C
 จะเห็นว่า การอินทีเกรตทางซ้ายมือเป็ นการทา Line integral ส่ วนทางขวามือเป็ นการ
 ทา Double integral ซึ่ งจะง่ายกว่าการทา Line integral โดยตรง
หมายเหตุ Simple closed curve คือ closed curve ที่ไม่มีการไขว้กน 77    ั
Interpretation of the Normal Form of Green’s Theorem
                                      Green’s Theorem กล่าวว่าถ้าเราจะวัด
                                       ปริ มาณเวคเตอร์ที่ทะลุออกมา(หรื อเข้าไป)
                                        จาก Closed curve เราสามารถใช้วิธี
                                         การ Line integral ได้ หรื อจะใช้
                                         Double integral ของ
                                           Divergence ภายในพื้นที่ภายใน
                                      Closed curve ก็ได้

 การทา Double intgral ของ Divergence
                            ่
 คือการรวมเอาอัตราการพุงออกมาของเวคเตอร์ ที
 ละจุดเข้าด้วยกันจนกลายเป็ นจานวนเวคเตอร์ ที่
      ุ่                         ั
 ที่พงออกมาทะลุขอบของพื้นที่ท้ งหมดออกมา
 ซึ่ งมีค่าเท่ากับ Flux ที่ออกจาก Closed curve
                                                                        78
Application of the Normal Form of Green’s Theorem
 จงคานวณ      
             ( y dx  x dy ) โดย C คือเส้นรอบรู ปสามเหลี่ยมที่มีดาน
                                                                 ้
                2      2
                  C
 ประกอบเป็ นเส้นตรง x = 0, x+y = 1, y = 0
 วิธีคานวณ Line integral โดยตรงต้องคานวณ Line integral ทีละด้าน
  ด้าน A มีสมการเป็ น y  0, x  t , 0  t  1 1
    ได้ dy  0, dx  dt ดังนั้น  y 2 dx  x2 dy   (0)2 dt  t 2 d (0)  0
                                        A
                                                             0
            ด้าน B มีสมการเป็ น y  t , x  1  t , 0  t  1
   y              ได้ dy  dt , dx  dt            1
   1                    ดังนั้น  y 2 dx  x 2 dy   (t )2 dt  (1  t )2 dt
                                 B       1
                                        (1  2t )dt  t  t
                                                       0
                                                                 21
              B                                                       0
   D                                     0
                                                                  0

                              ด้าน D มีสมการเป็ น y  1  t, x  0, 0  t  1
                               ได้ dy  dt , dx  0
   0      A           1 x                              1

                                C
                                     y 2 dx  x 2 dy   (1  t )2 (0)  (0)2 dt  79
                                                       0
                                                                                   0
Application of the Normal Form of Green’s Theorem
 จงคานวณ         
             ( y dx  x dy ) โดย C คือเส้นรอบรู ปสามเหลี่ยมที่มีดาน
                                                                 ้
                2      2
                     C
 ประกอบเป็ นเส้นตรง x = 0, x+y = 1, y = 0
 วิธีคานวณโดยใช้ Green’s Theorem

   จัดรู ป      C
                     ( y 2 dx  x 2 dy ) ให้อยูในรู ป
                                               ่               C
                                                                    ( Mdy  Ndx)
                      ได้ M  x 2 ,    N   y2
   y
                         ใช้ Green’s Theorem
   1                                                    M N 
                                  C Mdy  Ndx  R  x  y dxdy
                                                               
                                         1 1 x
                                           2 x  2 y  dydx
                                                        1
                                             0 0
                                                     2 x(1  x)  (1  x)2 dx
   0                       1 x                          0
                                                                           21
                                                             2x  x  x
                                                                     2
                                                                                0   80
                                                                            0
Application of the Normal Form of Green’s Theorem
 จงคานวณ        
            (6 y  x)dx  ( y  2 x)dy
                    C
 โดย C คือวงกลม ( x  2)  ( y  3)  4
                                2                     2


  วิธีทา Green’s Theorem
      C
           (6 y  x)dx  ( y  2 x)dy         C
                                                    Mdy  Ndx

   ได้ M  ( y  2 x),         N  (6 y  x)
                                        M N 
                    C Mdy  Ndx  R  x  y dxdy
                                                
                                       2  6  dxdy
                                        R

                                     4 dxdy  4  Area of R
                                                R

                                     4    22  16
                                                                   81
Green’s Theorem (Circulation-Curl or Tangential Form)
   อีกรู ปแบบหนึ่งของ ทฤษฎีของ Green กล่าวว่า Circulation ที่ไหลเวียนรอบ
 a simple closed curve มีค่าเท่ากับ Double integral ของ
                                             ู
 k-component ของ Curl ใน Region ที่ถกล้อมโดย Closed curve

                                        N M 
       C F  Tds  C Mdx  Ndy  R  x  y dxdy
                                                
     Circulation
                                  R              Curl integral

                                      C
  เช่นเดียวกับ Normal form ของ Green’s Theorem, จะเห็นว่า การอินทีเกรต
  ทางซ้ายมือเป็ นการทา Line integral ส่ วนทางขวามือเป็ นการทา Double
  integral ซึ่ งจะง่ายกว่าการทา Line integral โดยตรง                 82
Interpretation of the Tangent Form of Green’s Theorem
                                      Green’s Theorem กล่าวว่าถ้าเราจะวัด
                                       ปริ มาณเวคเตอร์ที่ไหลเวียนรอบ Closed
                                        curve เราสามารถใช้วิธีการ Line
                                           integral ได้ หรื อจะใช้
                                         Double integral ของ
                                           Curl ภายในพื้นที่ภายใน Closed
                                      curve ก็ได้

 การทา Double integral ของ Curl
 คือการรวมเอาอัตราการหมุนวนของเวคเตอร์
 ทีละจุดเข้าด้วยกันจนกลายเป็ นการหมุนวน
 ของเวคเตอร์ ในพื้นที่ท้ งหมดซึ่ งมีค่าเท่ากับ
                         ั
 Circulation ที่หมุนวนรอบ Closed curve
                                                                     83
Application of the Tangent Form of Green’s Theorem
 จงคานวณ        
            (6 y  x)dx  ( y  2 x)dy
                    C
 โดย C คือวงกลม ( x  2)  ( y  3)  4
                                2                     2


  วิธีทา Tangent Form of Green’s Theorem
      C
           (6 y  x)dx  ( y  2 x)dy         C
                                                    Mdx  Ndy

   ได้ M  (6 y  x),           N  ( y  2 x)
                                        N M 
                    C Mdx  Ndy  R  x  y dxdy
                                                
                                       2  6  dxdy
                                        R

                                     4 dxdy  4  Area of R
                                                R

                                     4    22  16
                                                                   84
Application of the Tangential Form of Green’s Theorem
                                                   ั
  จงแสดงว่า Tangent Form of Green’s Theorem ใช้ได้กบตัวอย่างนี้
  F  ( x  y )i  xj            C : r (t )  cos(t )i  sin(t ) j ,   0  t  2
                                    N M 
  C F  Tds  C Mdx  Ndy  R  x  y dxdy
                                           
  dx   sin(t )dt , dy  cos(t )dt
                           2

      C
           Mdx  Ndy   (cos(t )  sin(t ))( sin(t ))dt  cos(t ) cos(t )dt
                          20
                          ( sin(t ) cos(t )  1)dt 2
                          0

       N M 
  R  x  y dxdy  R 1  (1)  dxdy  2R dxdy  2
               

                                                                                    85
Proof of Green’s Theorem for Tangent Form
   ในการพิสูจน์กรณี ง่ายๆของ Green’s Theorem เราสามารถนาหลักการของ Line
Integral มาใช้งาน                   ่                                 ้
                             สมมุติวาเรามี Closed curve C ที่หอมล้อม Region
 y C2: y = f2(x)             R เอาไว้ ให้จุด a และ b เป็ นจุดซ้ายสุ ดและขวาสุ ดบน
                             Curve C เราสามารถแบ่ง Curve C ออกเป็ น 2 ส่ วน
                             คือ C1 และ C2 ดังรู ป
           R                                          C1 มีจุดเริ่ มต้นที่ a และสิ้ นสุ ดที่ b โดย
                    C1: y = f1(x)                     ผ่านทาง curve
                                                              y  f1 ( x),      a xb
     a         x       b                              C2 มีจุดเริ่ มต้นที่ b และสิ้ นสุ ดที่ a โดย
                                                      ผ่านทาง curve
                                                              y  f 2 ( x),     bxa
        ่                         ั
  จะได้วา Area Integral ของฟั งก์ชน h(x,y) ใดๆใน Region R จะเป็ น
                            x b y  f 2 ( x )
                                                                     (ขอให้ทบทวนเรื่ อง Double
                              
                            x  a y  f1 ( x )
                                                 h( x, y )dydx
                                                                      Integral ในบทที่ 12)
                                                                                         86
Proof of Green’s Theorem (continued)
เราต้องการพิสูจน์สมการ
                                               N M 
              C F  Tds  C Mdx  Ndy  R  x  y dxdy
                                                       
พิสูจน์ทีละเทอม เริ่ มจาก Double integral ใน Region R
                                                        a b y  f ( x )
                                  M                  2
                                                           M
                               R y dydx  xa y  ( x ) y dydx
                                                    f1

เนื่องจาก dy และ yในเศษและส่ วนหักล้างกันเราจะได้
            y  f2 ( x )                 y  f2 ( x )
                      M
                 ( x) y dy  M
             y  f1
                                                         M ( x, f 2 ( x))  M ( x, f1 ( x))
                                         y  f1 ( x )

 ได้
          a b y  f 2 ( x )               x b
                        M
           a y  ( x ) y dydx  xa M ( x, f 2 ( x))  M ( x, f1 ( x))dx
          x      f1                


                                                                                               87
Proof of Green’s Theorem (continued)
           a b y  f 2 ( x )                  x b
                         M
            a y  ( x ) y dydx  xa M ( x, f 2 ( x))  M ( x, f1 ( x))dx
           x      f1                
                                        x b                       x b
                                         M ( x, f ( x))dx   M ( x, f ( x))dx
                                        x a
                                                      2
                                                                   x a
                                                                                   1

                                           x a                       x b
                                          M ( x, f ( x))dx   M ( x, f ( x))dx
                                          x b
                                                          2
                                                                     x a
                                                                                       1



                                       M ( x, f 2 ( x))dx   M ( x, f1 ( x))dx
                                               C2                         C1


                                       Mdx   Mdx    Mdx
                                               C2             C1               C


  เราได้
                                                       M
                                   C
                                        Mdx   
                                                      R y
                                                           dydx
                                                                                           88
Proof of Green’s Theorem (continued)
                            ในทานองเดียวกัน ให้จุด c และ d เป็ นจุดล่างสุ ดและบนสุ ด
     
   C2 : x  g 2 ( y ) บน Curve C เราสามารถแบ่ง Curve C ออกเป็ น 2 ส่ วน
 d                    ดังรู ป               
                                          C 2 มีจุดเริ่ มต้นที่ c และสิ้ นสุ ดที่ d โดย
                                                      ผ่านทาง curve
 y                                                               x  g1 ( y ),   c yd
                                                        C1 มีจุดเริ่ มต้นที่ d และสิ้ นสุ ดที่ c โดย
                       C1 : x  g1 ( y )
 c                                                    ผ่านทาง curve
             x                             x  g 2 ( y ),                        d  yc
      ่                         ั
จะได้วา Area Integral ของฟั งก์ชนใน Region R จะเป็ น
                                            y  d x  g2 ( x )
                           N                              N
                       R x dxdy          c x g( x ) x dxdy
                                            y      1

 จากนั้นทาวิธีเช่นเดียวกับ 3 หน้าก่อนจะได้
                                           N
                              C Ndy  R x dxdy                                            89
Proof of Green’s Theorem (continued)
 เมื่อนาผลทั้งหมดมารวมกัน จะได้
                                             N M 
            C F  Tds  C Mdx  Ndy  R  x  y dxdy
                                                     
                           ั
 วิธีการพิสูจน์น้ ี ใช้ได้กบทุก Region R ที่ไม่มีรูภายใน



Proof of Green’s Theorem for Regions with Holes
                                          ั
 เราสามารถขยายผลของ Green’s Theorem ไปใช้กบ Region ที่มีรูภายในดังนี้
                                              ่
                       แบ่ง R ออกเป็ นพื้นที่ยอยหลายๆส่ วน
                            โดยแต่ละส่ วนไม่มีรูภายใน
    R

                                                                 90
Proof of Green’s Theorem for Regions with Holes

                                                รอยตัด            R1

                         A       B C          D
   R
                                                          R2
   หลังจากแบ่ง Region R โดยใช้รอยตัด AB และ CD จนได้ R1 และ R2 แล้ว
   เราสามารถนาเอา Green’s Theorem มาประยุกต์ทีละ Region ซึ่ ง Region
                                    ั
   ย่อยนี้เราได้พิสูจน์มาแล้วว่าใช้กบ Green’s Theorem ได้
    แต่หลายคนอาจจะสงสัยว่า เมื่อเราตัด Region ใหญ่ออกเป็ นหลายๆส่ วนแล้ว เส้นรอบ
 วงของ Region ย่อยรวมกันทั้งหมดจะยาวกว่าเส้นรอบวงของ Region ใหญ่ เพราะเส้น
 รอบวงของ Region ย่อยนั้นมีส่วนของที่เป็ นรอยตัดด้วย และเมื่อทา Line integral
 แล้วผลที่ได้ไม่น่าจะตรงตามทฤษฎีของ Green แต่ ในความเป็ นจริง รอยตัดนีไม่ มผลต่ อ
                                                                      ้ ี
 Line integral เลย ซึ่งอธิบายได้ ดังนี้                                     91
Proof of Green’s Theorem for Regions with Holes
             R1          ในบริ เวณนี้จะเห็นว่า Line integral ของ R1
                         มีทิศทางจาก C ไป D และ A ไป B
 A      B C       D      ส่ วน Line integral ของ R2 จะมีทิศทางจาก
                         D ไป C และ B ไป A ทาให้หลักล้างกันได้
             R2
                        Line integral       ผลลัพธ์ที่ได้แสดงให้เป็ นว่า
                         ในทิศทวนเข็ม       Line integral ยังคงใช้ได้กบ  ั
นามารวมกัน                                  Region ที่มีรูภายใน แต่การทา
              R
   จะได้                                    Line integral ของรู ภายใน
                                            จะต้องทาในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
                        Line integral
                         ในทิศตามเข็ม
 Line integral ของ Closed curve ใดๆใน Tangent form of Green’s
                                              ่
 Theorem จะต้องทาในทิศทางที่ Region R อยูทางซ้ายมือของ Curve เสมอ
                                                               92
 เมื่อเราเดินไปตาม Curve ในทิศของการอินทีเกรต
Normal Form of Green’s Theorem for Regions with Holes
                                                                ั
  ในกรณี ของ Normal Form เราสามารถนาหลักการตัดแบ่ง Region มาใช้กบ
Region ที่มีรูภายในได้
                                              M N 
        Flux   F  nds   Mdy  Ndx          dxdy
                C           C              R
                                              x y 


                                                      R1
                     A     B C        D
    R


             ในบริ เวณรอยตัด Normal                  R2
             Vector ของ Region R1
             จะหักล้างกับ Normal
             Vector ของ Region R2         หมายถึง Normal vector
                                                           93
Normal Form of Green’s Theorem for Regions with Holes

          R1
                       รวมกันได้           R
                                                         Normal vector
                                                                     ่
                                                         มีทิศทางพุงออกจาก
                                                         Region เสมอ
          R2                                                       ่
                                                         ทั้งที่อยูในรู และที่
                                                             ่ ้
                                                         อยูขางนอก


   จากรู ปจะเห็นว่า การกาหนดทิศทางของ Normal vector ในสูตรการอินทีเกรต
                                                        ่
 มีความสาคัญ โดยเราต้องกาหนดให้ Normal vector มีทิศทางพุงออกจาก
 Region เสมอสาหรับ Normal Form ของ Green’s Theorem

                                                                     94
Surface Integrals
    Surface integral เป็ นการอินทีเกรตที่ขอบเขตการอินทีเกรตเป็ นพื้นผิว (3 มิติ)
(คล้ายๆกับ Line integral ที่ขอบเขตการอินทีเกรตเป็ นเส้น Curve 3 มิติ)
  เพื่อความสะดวกในการทา Surface integral
  เราสามารถเปลี่ยนขอบเขตการอินทีเกรต
        ่
  ไปอยูในรู ปอื่นที่ง่ายขึ้นได้ (เช่นเดียวกับ
  การทา Line integral)
  โดยปกติเรามักเขียน Surface ในรู ป
          f ( x, y, z)  c
 ในการนี้ เราจะต้องแปลงให้ Surface
 ในรู ปของฟั งก์ชนของตัวแปร 2 ตัวแทน
                 ั                                เงา
 เช่น ตัวแปร x และ y
       ่
 จะได้วา Domain ของ x และ y ของ Surface ก็คือ
                                                                                   95
 เงาของ Surface ที่ตกลงบนระนาบของเงา (ระนาบxy)                 ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Direction of Curve
   ในการอินทีเกรตที่ทากับ vector valued functions นั้นบางกรณี อาจจะต้อง
 นาเอาทิศทางของสิ่ งที่เราจะอินทีเกรตเช่น Curve หรื อ Surface มาเกี่ยวข้องด้วย
 สาหรับ Curve จะมีทิศทางอยู่ 3 ทิศทางที่เกี่ยวข้องคือทิศในระบบ T N B
 (Tengent-Normal-Binormal ดูรายละเอียดในบทที่ 10)
    Tangent direction คือทิศที่สัมผัสกับ Curve เราสามารถใช้ Unit
 Tangent vector อธิบายได้
                                        ั
   Normal Direction คือทิศที่ต้ งฉากกับ Curve เราสามารถใช้ Unit
 Normal vector อธิบายได้
                                     ั
    ส่ วน Binormal คือทิศทางที่ต้ งฉากกับทั้ง Tangent vector และ Normal
 vector
                   N                   T          ทิศทางของ Curve เข้าใจได้ไม่ยาก
                                                  แต่สาหรับทิศทางของ Surface
                                                  เราจะอธิ บายได้อย่างไร?
                             B                                             96
Direction of Surface
     วิธีกาหนดทิศทางของ Surface ไม่เหมือนกับของ Curve เนื่องจาก Surface
 เป็ นวัตถุแบบเป็ นแผ่น การอธิ บายทิศทางของ Surface นั้นเราจึงนิยมใช้ Unit
 Normal Vector ในการบอกทิศทาง
  ถ้า Unit Normal Vector ชี้ออกมา เราจะถือว่าเป็ นด้านนอกของ Surface
  ถ้า Unit Normal Vector ชี้เข้าไปเราจะถือว่าเป็ นด้านในของ Surface
 (คล้ายกับแผ่นกระดาษซึ่ งเราใช้ “หน้า” เป็ นตัวบอกทิศทางของแผ่นกระดาษโดยมี 2 ทิศ
 ที่เป็ นไปได้คือด้านหน้าและด้านหลัง)
        Unit Normal
          Vector    N                              การกาหนดทิศทางแบบนี้จะมีความ
                                                   สาคัญในตอนหลัง หลังจากเราได้รู้
                                                   เรื่ อง Surface integral
                          Surface                                           97
Surface Integrals
                                      พิจารณาดูส่วนย่อยๆของ Surface
                                      D k เราจะได้เงาที่ตกลงบน
                                      ระนาบ xy เป็ น DAk และมีเงา
                                      ที่ตกบนระนาบสัมผัสเป็ น D Pk


                                  ระนาบสัมผัส




                                  ระนาบ xy
                                                             98
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus                   ภาพขยาย
Surface Patch
     ให้เราจินตนาการว่าเรามีแผ่นกระดาษเล็กๆโค้งๆ D k
และมีแผ่นกระดาษเรี ยบๆตรงๆอีกแผ่นคือ D Pk สัมผัสกัน
ที่จุด (xk,yk,zk) จากรู ปจะได้วาเงาของ D k
                                ่
ที่ตกลงบนพื้น (ระนาบ xy) คือ DAk
ส่ วนเงาของ D k ่ตกลงบนระนาบสัมผัสก็คือ D Pk
                   ที
     เนื่องจากพื้นที่ของ D k จะมีค่าใกล้เคียงกับ D Pk
 เราสามารถประมาณ
                  D k  DPk
 ในขณะเดียวกัน Normal vector ของ D Pk
 ทามุมกับ Normal vector ของ DAk เป็ น  k
       ่
 จะได้วา      DA  DP cos 
                   k         k        k

                        D k cos  k                                        99
                                                         ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Surface Integrals for Computing Surface Areas
                                                               DAk
     จากหน้าที่แล้ว DAk  D k cos  k          เราได้ D k 
                                                              cos  k
                   ั
  ดังนั้นพื้นที่ท้ งหมดของ Surface ซึ่ งเกิดจากการนาเอา Surface patches เล็กๆ
จานวนมากมาต่อกันจะเป็ น
                                                        DAk
                 Total Area   D k  
                                    k            k     cos  k
เมื่อให้ DAk เข้าสู่ ศนย์เราจะได้
                      ู
                                                dA
                         Total Area  
                                           R   cos 
      โดย R คือเงาทั้งหมดของ Surface ที่ตกลงบนระนาบ และ  คือมุมระหว่าง
 Normal vector ของ Surface กับ Unit Normal vector ของระนาบ
 ( p ) ในที่น้ ีสาหรับระนาบ xy จะได้ p  k
                                                                       100
Formula for Computing Surface Areas
ในกรณี ของ Surface     f ( x, y, z)  c
 จะได้วา Gradient f และ Unit Normal Vector nของ Surface
         ่
 มีทิศเดียวกัน ดังนั้นจะได้ f
                          n
                                f
              และ
                                      f
                      cos   n  p     p
                                      f
  ดังนั้น
                                               f
                     Total Area                     dA
                                          R
                                              f  p

                                                            101
Example 1: Finding Surface Area
จงหาพื้นที่ผวของถ้วยใบนี้
            ิ                        วิธีทา 1. จากสมการพื้นผิว     z  x2  y 2
                                                    ั
                                                ให้จดรู ปเป็ น f(x,y,z) = c (ขั้ นตอนนี้สาคัญมาก)
                                                  ได้      x2  y 2  z  0
                                                  หรื อ f ( x, y, z )  x 2  y 2  z

                                                        2. หาระนาบของเงา
                                                        ในที่น้ ีเราเลือกระนาบ xy เป็ นระนาบของเงา
                                                        โดยมี Normal vector p  k

                                                    3. คานวณ Gradient

                                                   f  2 xi  2 y j  k
         ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus           f  (2 x)2  (2 y)2  12

                                                          
                                           f  p  2 xi  2 y j  k  k  1                 102
Example 1: Finding Surface Area (continued)
                                  3. หาขอบเขตการอินทีเกรต (เงาของถ้วยในระนาบ xy)
                                                ถ้วยมีความสู งเท่ากับ 4
                                                ได้เงาของถ้วยเป็ นวงกลมรัศมี 2
                                                ได้ R เป็ น Region ภายในวงกลม
                                                         x2  y 2  4
                                             4. แทนค่าทั้งหมด
                                                                       f
                                                Total Area                  dA
                                                                  R
                                                                      f  p

       ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus                4 x 2  4 y 2  1dxdy
                                                     R




                                                                               103
Example 1: Finding Surface Area (continued)
                                                  เปลี่ยนรู ปแบบการอินทีเกรตเป็ น Polar form
                                                              - แทน x ด้วย rcosq
                                                              - แทน y ด้วย rsinq
                                                              - แทน dxdy ด้วย rdrdq
                                                         ได้ 
                                                               R 4r 2  1rdrdq
                                                                  q  2 2               1
                                                                      4r           1 rdrdq
                                                                                  2      2

                                                                  q 0 r 0
                                                                  q  2                    3 r 2

                ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
                                                                   
                                                                            1
                                                                           12
                                                                               4r 2  1   2        dq
                                                                  q 0                        r 0

          q  2
                    1 3         
      
          q
            
            0
                      17  1dq  (17 17  1)
                   12 
                         2

                                 6
                                                                    Ans.                             104
Example 2: Finding Surface Area
            ิ
จงหาพื้นที่ผวของโดมทรงกลม x2+y2+z2 = 2, z > 0 ภายในทรงกระบอก x2+y2 = 1
วิธีทา ข้อนี้เรามีพ้ืนผิวเป็ นโดมทรงกลมรัศมี 2 หน่วยที่ ถูกทรงกระบอกในแนวตั้ง x2+y2 = 1 ตัดไป
                                          1. หาสมการของพื้นผิว
                                                     จากโจทย์เราได้ x 2  y 2  z 2  2
พื้นผิวที่ตองการหาพื้นที่
           ้                                               ่                      ่
                                                    ซึ่งอยูในรู ป f(x,y,z) = c อยูแล้ว
 มีลกษณะเหมือนฝา
     ั                                              เราได้ f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2
                z                                2. หาระนาบของเงาของพื้นผิว
                                                 ในข้อนี้เราเลือกระนาบ xy เพราะเงาของ
                              x2  y 2  1                 ่
                                                 พื้นผิวอยูในระนาบนี้ (ดูรูป)
                                                 เราจึงได้ Normal vector เป็ น p  k
                             y
                                                3. หาขอบเขตของเงาของ “ฝา” ที่จะหาพื้นที่
                                                ในข้อนี้ ขอบเขตของ “ฝา” ถูกจากัดโดย
                                                ทรงกระบอก x  y  1
                                                                 2     2
    x
                    x2  y 2  z 2  2          ซึ่ งก็คือขอบเขตของเงาที่จะอินทีเกรต
                                                                                     105
Example 2: Finding Surface Area (continued)
 4. คานวณ f  2 xi  2 y j  2 zk

                f      2x   2 y    2z         2 x2  y 2  z 2
                               2        2          2




                f  p  2 z                           จากสมการพื้นผิวที่โจทย์กาหนดให้
 5. สร้างสูตร                                               x2  y 2  z 2  2
                                   f                    เราได้ f  2 2
          Total Area                 dA
                               R
                                  f  p
                  2 2                   dA                dxdy ในที่น้ ี dA = dxdy เพราะ
                      dA  2            2 
                R 2z                   R z              R   z                       ่
                                                                     ระนาบของเงาอยูในระนาบ xy
                                     ั
         อย่างไรก็ตาม เกิดปัญหาว่ามีตวแปร z ในสู ตรที่จะอินทีเกรต เราจะต้องแทนค่า z ในรู ป
         ฟังกชันของ x และ y โดยใช้สมการพื้นผิวจากโจทย์คือ
         สมการพื้นผิว x 2  y 2  z 2  2 เราได้ z  2  x2  y 2
                                  1
         เราได้  2                      dxdy                                          106
                          R
                             2 x  y
                                    2    2
Example 2: Finding Surface Area (continued)
                       1
6. คานวณ   2              dxdy โดยแปลงเป็ น Polar form
              R
                  2 x  y
                         2         2
                                                   - แทน x ด้วย rcosq
         q  2 r 1
  ได้                 1                            - แทน y ด้วย rsinq
       2                rdrdq                   - แทน dxdy ด้วย rdrdq
          q 0 r 0  2r 2


                                 q  2                       r 1   q  2
                                                            
                                                                                                  
                                                         1
                        2                 2  r         dq  2                      2  1 dq
                                                       2 2

                                 q 0                        r 0   q 0


             z                                               2             
                                                                         2 1 q
                                                                                  2
                                                                                  0            
                                                                                            2 2  2        
                             x2  y 2  1
                                                                                                       ตอบ
                             y


   x
                  x2  y 2  z 2  2                                                                   107
Surface Integrals
           ่                    ิ     ้
      ที่ผานมาเป็ นการหาพื้นที่ผว แต่ถาเราต้องการจะทา Surface integral ของ
         ั
  ฟังก์ชนที่กาหนดให้จะต้องใช้สูตรนี้
                                                f
                        R
                              g ( x, y , z )
                                               f  p
                                                        dA

                            ั
   โดย g(x,y,z) เป็ นฟั งก์ชนที่นิยามบน Surface
       R คือเงาทั้งหมดของ Surface ที่ตกลงบนระนาบ
       p เป็ น Unit normal vector ของ R

        ในกรณี พิเศษถ้า g(x,y,z) เป็ นความหนาแน่นของ Surface เราจะได้
      Surface integral เป็ นน้ าหนักทั้งหมดของ Surface

                                                                      108
Differential Form of Surface Integrals
  จากสู ตร Surface Integral
                                                  f
                          R
                                g ( x, y , z )
                                                 f  p
                                                          dA

                           ั
  จะเห็นว่า dA นี้เป็ นอนุพนธ์ในระนาบ xy
                                                            ั
     ถ้าเราต้องการเขียนสู ตร Surface integrals ในรู ปของอนุพนธ์ของ
   Surface โดยตรงเราสามารถเขียนในรู ปนี้ได้

                                       gd
                                         s

                       f
    โดย     d                               ั
                                 dA เป็ น อนุพนธ์ของ Surface
                     f p
                     ่
  เราเรี ยก Form นี้วา Differential Form สาหรับ Surface integral
                                                                     109
Example: Surface Integrals
                  ่
   จากตัวอย่างที่ผานมาทั้งหมด เรามักจะให้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็ นเงาของ Surface ที่
 ตกลงบนระนาบ xy แต่ในความจริ งเราไม่ได้จากัดแค่ระนาบ xy เราอาจจะใช้เงาของ
                                                                     ั
 Surface ที่ตกลงบนระนาบอื่นๆเป็ น Domain ของการอินทีเกรตได้ดงตัวอย่างต่อไปนี้

  ตัวอย่าง มี Surface ที่เป็ นผิวของลูกบาศก์สี่เหลี่ยมนี้ จงคานวณค่า

          z                                       
                                                Cube
                                                          xyzd
          1                                     Surface



                                                            ้
                                        ในตัวอย่างนี้ เรามีดาน 6 ด้าน ถ้าเราต้องการหาขอบ
                         1 y         เขตการอินทีเกรตของผิวแต่ละด้าน เราจะต้องเลือก
      1                              ระนาบที่เงาของ Surface จะไปตกลง ให้เหมาะสม
  x                                   จะใช้ระนาบ xy อย่างเดียวไม่ได้ !
                                                                                110
Example: Surface Integrals (continued)
 1. หาสมการของด้านทั้ง 6 1. Plane x  0, 0  y  1, 0  z  1 (ด้านหลัง)
 ซึ่ งได้ผลดังนี้        2. Plane x  1, 0  y  1, 0  z  1 (ด้านหน้า)
                           3. Plane y  0,       0  x  1,    0  z 1        (ด้านซ้าย)
                           4. Plane y  1,       0  x  1,    0  z 1        (ด้านขวา)
                           5. Plane z  0,       0  x  1,    0  y 1        (ด้านล่าง)
                           6. Plane z  1,       0  x  1,    0  y 1        (ด้านบน)
        z                             เนื่องจากด้านที่ 1, 3 และ 5 นั้นค่า
        1                         ฟังก์ชน xyz มีค่าเป็ น 0 เราจึงไม่จาเป็ น
                                          ั
                                  ต้องหาค่า Surface integral ของ
                                  ด้านเหล่านี้ ค่า Surface integral
                  1 y                 ้
                                  ที่ตองคานวณจะกลายเป็ น
    1                           xyzd              xyzd              xyzd
x                        Side 2                Side 4               Side 6      111
Example: Surface Integrals (continued)
                                                                               z
เริ่ มจากด้านที่ 2 Plane x  1, 0  y  1, 0  z  1
                                                                              1
ด้านนี้มีสมการพื้นผิวในรู ป f(x,y,z) = c เป็ น x  1
                                     dx
เราได้ f = x       จะได้ f            i  i และ f  1
                                     dx
                                                                                            1 y
เราเลือกระนาบของเงาเป็ นระนาบ yz
ซึ่ งมี Unit normal vector เป็ น p  i                                   1
                                                       x
         ้                                                         ่
 ตอนนี้ ตองระวังเพราะว่า Region ที่เป็ นขอบเขตการอินทีเกรตไม่ได้อยูในระนาบ xy
 เหมือนตัวอย่างก่อนๆ
   เงาของด้านนี้ ที่ตกลงบนระนาบ yz จะตกในช่วง 0  y  1, 0  z  1
 แทนค่าในสู ตร                    y 1 z 1         y 1  2
                                                            z 1     y 1
                          f                                             yz                  y
      g ( x, y , z )            dA ได้             yzdzdy           2
                                                                                   dy   dy
                                                                                             2
    R
                         f  p            y 0 z 0              y 0        z 0      y 0
                                                                      2 1
                                                                y              1
 หมายเหตุ dA ในหน้านี้เท่ากับ dzdy                                                       112
                                                                4        0
                                                                               4
Example: Surface Integrals (continued)
                                                                       z
ต่อมาทาด้านที่ 4 Plane y  1, 0  x  1, 0  z  1
                                                                      1
ด้านนี้มีสมการพื้นผิวในรู ป f(x,y,z) = c เป็ น y  1
                                 dy
เราได้ f = y จะได้          f     j  j และ f  1
                                 dy
                                                                                    1 y
เราเลือกระนาบของเงาเป็ นระนาบ xz
ซึ่ งมี Unit normal vector เป็ น p  j                          1
                                                      x
        ้                                                         ่
ตอนนี้ ตองระวังเพราะว่า Region ที่เป็ นขอบเขตการอินทีเกรตไม่ได้อยูในระนาบ xy
                            ่
เหมือนตัวอย่างก่อนๆ แต่จะอยูบนระนาบ xz แทน
  เงาของด้านนี้ ที่ตกลงบนระนาบ xz จะตกในช่วง 0  x  1, 0  z  1
แทนค่าในสู ตร                      x 1 z 1       x 1    z 1      x 1
                          f                                   xz 2                  x
      g ( x, y , z )            dA ได้    0 z0 xzdzdx  x0 2          dy   dx
                                                                                     2
    R
                         f  p            x                       z 0      x 0
                                                              2 1
                                                            x         1
 หมายเหตุ dA ในหน้านี้เท่ากับ dzdx                                               113
                                                            4   0
                                                                      4
Example: Surface Integrals (continued)
                                                                                   z
ต่อมาทาด้านที่ 6 Plane z  1, 0  x  1, 0  y  1
                                                                                 1
ด้านนี้มีสมการในรู ป f(x,y,z) = c เป็ น z = 1
                                    dz
เราได้ f = z     จะได้ f             k  k และ f  1
                                    dz
                                                                                                1 y
เราเลือกระนาบของเงาเป็ นระนาบ xy
ด้านนี้มี Unit normal vector เป็ น p  k                                     1
                                                                       x
   เงาของด้านนี้ ที่ตกลงบนระนาบ xy จะตกในช่วง 0  x  1, 0  y  1
แทนค่าในสู ตร                     y 1 x 1     y 1    x 1   y 1
                         f                                              yx 2                   y
     g ( x, y , z )            dA ได้              xydxdy           2
                                                                                      dy   dy
                                                                                                2
   R
                        f  p             y 0 x 0              y 0           x 0      y 0

                                                                    2 1
                                                               y               1
                                                                            
                                                               4         0
                                                                               4
                            3
 ได้ผลรวมทั้ง 3 ด้านเป็ น                Ans.                                                 114
                            4
Application: Finding Moment of Inertia of Surface
     ตัวอย่างหนึ่ งของการประยุกใช้งาน Surface integral คือการหา Mass,
                                                    ั
Moment และ Moment of Inertia ของวัตถุที่มีลกษณะเป็ นแผ่นผิวบางๆ ซึ่ งมี
สู ตรการคานวณดังนี้
 Total mass                                   First order moments
              M    ( x, y, z )d             M yz   x ( x, y, z )d
                     S                                    S

                                                 M xz   y ( x, y, z )d
                                                          S
 Moment of Inertia about
                                                 M xy   z ( x, y, z )d
 Coordinate axes                                          S


  I x    y 2  z 2   ( x, y, z )d   Coordinates of center of mass
          S                                     M yz           M xz           M xy
                                           x            y            z
  I y    x  z   ( x, y, z )d
                2    2
                                                M              M              M
          S
                                                          f
  I z    x  y   ( x, y, z )d
                2    2
                                            โดย d              dA
          S                                             f p
หมายเหตุ  ( x, y, z ) คือความหนาแน่นของ Surface มีหน่วยเป็ นน้ าหนักต่อพื้นที่
                                                                           115
Example: Finding Moment of Inertia of Surface
 ตัวอย่าง จงคานวณหา Moment of Inertia about the z-axis ของแผ่นผิว
 บางที่เป็ นส่ วนของกรวย 4 x 2  4 y 2  z 2  0 ตัดกับทรงกระบอก x 2  y 2  2 x
 ซึ่ งแผ่นผิวนี้มีความหนาแน่นคงที่เท่ากับ  ที่ทุกๆจุด
                                  วิธีทา ตัวอย่างนี้ เราต้องเลือกใช้สูตรให้ถูก
                                  Moment of inertia about the z-axis คือ

                                                   I z    x 2  y 2   d
                                                            S

                                  จากรู ปจะเห็นว่าเงาที่ตกลงบนระนาบ xy ของแผ่นผิวที่
                                                                                ่
                                  จะทาการอินทีเกรตเป็ นรู ปวงกลม เราจะใช้เงาที่วานี้ เป็ น
                                        ขอบเขตการอินทีเกรต และเพื่อง่ายในการอินทีเกรต
                                     เราจะใช้ Polar form ในการอินทีเกรต
                                          จะได้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็ น
                                                                                
                                           r  2cosq                   q          116
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus                                     2            2
Example: Finding Moment of Inertia of Surface (continued)
                                                          f
    จาก I z    x  y   d และ d 
                             2    2
                                                                      dxdy และ p  k
                S                                        f p
                                                                             และ  มีค่าคงที่
                                                                        f
                                      เราได้ I z     x  y
                                                          2       2
                                                                       f  k dxdy
                                                       S



                                         สาหรับ Surface 4 x2  4 y 2  z 2  0
                                                   เราได้ f ( x, y, z )  4 x 2  4 y 2  z 2
       pk                                                f  8 xi  8 y j  2 zk
                                                              f  2 16 x 2  16 y 2  z 2
                                                              f  k  2 z

                                         เราได้
                                                                  2 16 x2  16 y 2  z 2
                                         I z     x 2  y 2                         dxdy
                                                   S                      2z           117
ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example: Finding Moment of Inertia of Surface (continued)
                             2 16 x2  16 y 2  z 2
 จาก I z     x2  y 2                         dxdy
                S                    2z
  พยายามกาจัดตัวแปร z ออกโดยการแทนค่า z 2  4 x 2  4 y 2      และ z  4 x2  4 y 2
  จะได้ I z    20  x2  y 2  dxdy
                  S


  เมื่อใช้ Polar Coordinate โดยการแทนค่า x  r cosq , y  r sin q
                                           และ dxdy  rdrdq
   Iz จะเปลี่ยนเป็ น I z   S 20r 3drdq
  เมื่อใส่ ขอบเขตการอินทีเกรตเข้าไป เราจะได้
                                     
                                q
                                     2 r  2cosq
                       Iz             r 0
                                                   20r 3drdq
                                q 
                                       2

                                                                          118
Example: Finding Moment of Inertia of Surface (continued)
                 
            q
                 2 r  2cosq
   Iz             r 0
                               2 5r 3 drdq
            q 
                   2
                 
            q                 2cosq
                 2                                 
                        5 4
                   2
                         r             dq 8 5  2 cos 4 q dq
                                                   
                                                       2
            q             0
                   2
                                                                  
             cos3 q sin q 3  cos q sin q 1   2
      8 5                             q 
                  4       4       2      2   
                                                                      2

      3 5
                                       Ans.
                                                                          119
Orientation of Surface
        ดังที่ได้กล่าวมาแล้วในเรื่ องเกี่ยวกับทิศทางของ Surface ซึ่ งเราดูทิศทางได้จาก
  Unit normal vector โดย unit normal vector จะเป็ นตัวบอกว่าเป็ น
  ด้านในหรื อด้านนอก (หรื อด้านหน้าและด้านหลัง) ของ Surface
        ตัวอย่างเช่น Elliptic paraboloid นี้ (รู ปทรงเหมือนเปลือกไข่) จะมีท้ งผิว ั
  ด้านในและผิวด้านนอก โดยที่ผิวด้านนอก Normal vector จะชี้ออก เราจึงกาหนด
      ่
  ให้วา ถ้ า Normal vector ชี้ออกข้ างนอก เราจะถือว่ าทิศทางของ Normal
  vector เป็ นบวก ดังรู ป

                                                        เราเรี ยก Surface ที่สามารถ
                                                        กาหนดทิศทางได้ (คือบอกได้
                                                                ้
                                                        ว่ามีดานในและด้านนอกหรื อ
                                                        ด้านหน้าและด้านหลัง) ว่าเป็ น
                                                        Orientable surface
                                                                               120
           ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example of Nonorientable Surface: Mobius Band
            ่
     ไม่ใช่วา Surface ทุกชนิดจะสามารถกาหนดด้านหน้า-ด้านหลังได้เสมอไปดังตัวอย่าง
ของ Mobius band ที่เกิดจากการนาด้าน ad และ bc ของแผ่นสี่ เหลี่ยมผืนผ้า abcd
มาต่อกันโดยให้จุด a ต่อกับ c และ b ต่อกับ d ดังรู ปมา
      เราจะได้ Surface ที่ไม่สามารถกาหนดด้านได้ เพราะเมื่อเราเริ่ มเดินจากจุดใดจุด
                                                              ่
หนึ่งบน Surface เมื่อเดินครบเป็ นระยะทาง 1 รอบวง เราจะไปอยูอีกด้านหนึ่งของ
Surface


     ดังนั้นเราจึงไม่สามารถ
         ่
 บอกได้วาด้านใดคือด้านนอก
 ด้านใดคือด้านใน เราเรี ยก
 Surface แบบนี้วา     ่
 Nonoritentable
 surface                                                                       121
                                             ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Surface Integrals for Flux
    ตัวอย่างการประยุกใช้งาน Surface integral อีกอย่างหนึ่ งคือการหา Flux ของ
                 ุ่
สนามเวคเตอร์ ที่พงผิวบาง (ผิวบางๆในที่น้ ีอาเป็ นผิวในจินตนาการก็ได้) ในทางฟิ สิ กส์ใช้
                                                              ุ่
กันมากเช่นการหา Flux ของสนามแม่เหล็กหรื อสนามไฟฟ้ าที่พงผ่านผิวสมมุติในอากาศ
                               ที ่        ่
   Flux ของสนามเวคเตอร์ F ่พุงทะลุผานผิว S มีสูตรการคานวณดังนี้
                                 Flux   F  nd
                                              S

   โดย n คือ Unit normal vector ของ Surface S
                                            ่
       สู ตรนี้ เหมือนกับสู ตรของ Flux ที่พุงทะลุ
    Closed curve ในเรื่ องของ Line integral
                Flux   F  nds
                             C
    ต่างกันเพียงมิติของการอินทีเกรต
                                                                                122
Example: Surface Integral for Flux
                                                          ุ่
ตัวอย่าง จงหาค่า Flux ของสนามเวคเตอร์ F  yz j  z 2 kที่พงทะลุแผ่นผิวบางในรู ป
ซึ่ งตัดมาจาก Cylinder y 2  z 2  1, z  0
                                          โดยใช้ระนาบ        x0   และ x  1
วิธีทา 1. หา Unit normal vector ของ Surface
                               f
                            n        โดย    f  y2  z2       ได้     n
                               f
                                    2. หา d จาก
                                                        f
                                                d             dxdy
                                                       f p

                                            โดย p  k และได้ขอบเขตการอินทีเกรต
                                                      เป็ น Rxy ดังรู ป

                                                ได้ d              dA
                                                                            123
 ภาพจากหนังสื อ Thomas’ Calculus
Example: Surface Integral for Flux (continued)
 3. คานวณ F  n 

 4. แทนค่าทั้งหมดที่ได้มาในข้อ 1, 2, 3 จะได้
    Flux   F  nd  
                  S                   Rxy
                                                dA
                                            dA
                                    Rxy

                                



                                                       Ans.
                                                              124

								
To top