Matrice ABCD
ˆ ˆ
I1 I2
ˆ
V1 ˆ
V2
Vˆ A B V2
ˆ
1
ˆ
ˆ
D I
I1
C
2
I coefficienti A e D sono adimensionali, B è un’impedenza e C un’ammettenza
Definibile solo per un numero pari di porte
Reciprocità (2 porte) se det(ABCD)=AD-BC=1
Reciprocità (2N) se AD-BC=I dove I matrice identità
Per un circuito simmetrico vale anche A=D
Assenza di perdite: A e D reali, B e C immaginari puri
Matrice ABCD Normalizzata
ˆ
i1 I1 Z0
ˆ
i2 I 2 Z 0
ˆ
v1 V1 / Z0
ˆ
v2 V2 / Z0
v a b v
1 2
i1 c d i2
In tal caso tutti i coefficienti sono adimensionali
Matrice di diffusione (S) di un 2 porte
Definiamo quantità legate alle ampiezze delle onde incidenti e riflesse
a1 v 1 V1 / Z 01
b1 v 1 V1 / Z 01
a2 v V 2 / Z 02
2
b2 v V 2 / Z 02
2
In tal caso vale (se consideriamo le tensione e le correnti normalizzate alle due porte)
a1 b1 v a1 b1 i
1 1
a2 b2 v a 2 b2 i i2
2 2
La matrice S è quella che lega le ampiezze delle onde riflesse a quelle delle onde
incidenti
b s11 s12 a1
1
b2 s21
s22 a
2
Matrice di diffusione (S) di un 2 porte
a1 a2
b s11 s12 a1
1
b2 s21
s22 a
2
s11 b1 / a1 a 0 b1 b2
2
Cioè, s11 è legato al coefficiente di riflessione alla porta
s12 b1 / a2 a 0
1 quando la due è chiusa su carico adattato (non c’è
1
onda riflessa a2);
s21 b2 / a1 a 0 Cioè, s21 è legato al coefficiente di trasmissione dalla
2 porta 1 alla porta 2 quando la due è chiusa su carico
adattato
s22 b2 / a2 a 0 La matrice S è definita quindi solo quando si
1 specifichino le impedenze caratteristiche delle linee che
portano l’onda ai terminali dell’oggetto da
caratterizzare, ovvero le impedenze di normalizzazione
La matrice S si definisce perché misurabile anche (e soprattutto) a frequenze di
microonde
Matrice di diffusione (S) di un n porte
definiamo
bT b1 , b2 ,.., bN aT a1 , a2 ,.., a N
con b
Vi - Vi
i ai
Z 0i Z 0i
Oppure (il che è lo stesso)
bi I i - Z 0i ai I i Z 0i
b Sa
La matrice S è
bi Vi Z 0 j
I cui elementi Si, j
Vi Z 0i
aj
ak 0 se k j Vk 0 se k j
Notate che, nel caso molto comune di normalizzazione di tutte le porte ad una sola
impedenza caratteristica (tipicamente 50 W) questa diventa
Vi
Cioè proprio i coefficienti di riflessione e trasmissione Si, j
Vi
quando le porte sono chiuse sull’impedenza di Vk 0 se k j
normalizzazione
Matrice di diffusione (S) di un n porte
Ma perché usare tale normalizzazione? Se calcoliamo la potenza media che incide
alle porte
2
1 Vi 1 2
Pi ai
2 Z 0i 2
E la potenza riflessa 2
1 Vi 1 2
Pi bi
2 Z 0i 2
Quindi con tale definizione le quantità sono legate all’energia trasportata dal campo
elettromagnetico
La potenza netta entrante nel circuito sarà pari alla differenza tra potenza incidente e
riflessa, sommata su ciascuna porta
P Pi Pi
i
1
2 i
ai bi 1 a a b b
2 2
2
Ma sappiamo che b Sa b a S
quindi
1
2
1
P a a a S Sa a I S S a
2
Matrice di diffusione (S) di un n porte
In assenza di perdite, tale potenza deve essere nulla per qualunque insieme di
eccitazioni a per cui
I S S 0
S S I Condizione di assenza di perdite (Unitarietà di S)
La reciprocità invece implica che S sia simmetrica ST S
Consideriamo un due porte simmetrico e senza perdite: vediamo qual è il numero
minimo di parametri necessari a caratterizzarlo; la matrice S è 2x2
Nel definire la matrice S, dobbiamo specificare il piano di
riferimento di fase si ciascuna porta: in pratica dobbiamo per
s11 s12 esempio specificare in un dispositivo ad una porta, in quale
S
s12 s11 sezione della linea di alimentazione il coefficiente di riflessione
è misurato. Se la linea è senza perdite, il cambiamento della
sezione comporterà solo un cambiamento della fase del
coefficiente di riflessione
Possiamo quindi sempre scegliere un piano di riferimento per cui la fase di s11 sia
zero, cioè s11 sia reale
s12
S
s12
Proprietà di un 2 porte simmetrico senza perdite
La condizione di assenza di perdite porta a
2
s12 1
2
2 2 1
S12 S12* 0 2 ReS12 0 S12 j
Possiamo porre, parametrizzando
cos sin
con arc tan /
Quindi abbiamo un solo parametro indipendente
Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite
Immaginiamo di avere un 3 porte con simmetria rotazionale, così che s11=s22=s33
Anche in questo caso scegliamo il piano di riferimento per ottenere s11 reale; la
matrice diventa
S12 S12
S S12
S12
S12
S12
Imponendo l’assenza di perdite otteniamo
S12* S12* S12 S12 1 0 0
* *
S12 S12 S12 S12 0 1 0
S * S12* S12 0 0 1
S12
12
2 2 1 2
2 2 S12 1 S12 Che NON AMMETTE
SOLUZIONI PER =0
2
0 2 Re( S12 ) 1 0
2 2
S12 S12* S12
2
Proprietà di un 3 porte simmetrico, reciproco, senza perdite
Quindi un tre porte simmetrico, reciproco e senza perdite non può essere adattato
simultaneamente a tutte le porte
Può esserlo, invece, un 3 porte non reciproco, o uno con perdite
Un particolare 3 porte non reciproco estremamente importante nella pratica è il
circolatore
Di fatti possiamo dimostrare che 3 porte adattato, senza perdite non reciproco è
necessariamente un circolatore
0 S12 S13
Infatti la matrice S di un 3 porte adattato è
Imponendo l’assenza di perdite otteniamo le equazioni S 21 0 S 23
S 31
S 32 0
S31* S32 0 S 21* S 23 0 S12 S13 0
*
2 2 2 2 2 2
S12 S13 1 S 21 S 23 1 S31 S32 1
Che sono soddisfatte se
S12 S 23 S31 0 S 21 S32 S13 1 Chiaramente non reciproco
Oppure se
S 21 S32 S13 0 S12 S 23 S31 1
Circolatore
Le due possibili soluzioni corrispondono a due possibili circolatori, uno che consente
flusso di potenza in senso orario e l’altro in senso antiorario
La prima soluzione quindi descrive un circuito che trasmette potenza dalla porta 1 alla
2, o dalla 2 alla 3 o dalla 3 alla 1, ma non in direzione opposta o tra porte non
contigue
0 0 e j1 1 2
j2
e 0 0
0 e j3 0
3
0 e j1 0 1 2
j2
0 0 e
1 2
e j3 0 0
3 TX
Esempio possibile utilizzo: radar in 3
cui la stessa antenna è usata sia in
trasmissione che in ricezione RX
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle
porte 0 S
S S
12 13 14
S12 0 S 23 S 24
In tal caso la matrice è S13 S 23 0 S 34
S14 S 24 S 34 0
Imponiamo l’assenza di perdite
0 S12* S13* S14* 0 S12 S13 S14 1 0 0 0
*
S12 0 S 23* S 24* S12 0 S 23 S 24 0
1 0 0
S * S 23* 0 S 34* S13 S 23 0 S 34 0 0 1 0
13*
S14
S 24* S 34* 0 S14
S 24 S 34 0 0 0 0 1
S 2413* S 23S S * S 24S 0 0 E sottraendo
* *
S S13 23 14S14 24
*
2
S14* S13 S24 2
0
13
S14* S* S S 24* S* S 0 0
S * S 13 S 23
14 13 24
23
S12 *
S12 SS 12 S S 34
*
23 S 23 14*S14* 34 S 0 0
S23 S12 S34
2 2
0
SS 0 0
E sottraendo
S 34 14 12 S 34
S14* 12 * SS 34* S 23 * 23 S
Le due possono essere soddisfatte se S14=S23=0: ACCOPPIATORE DIREZIONALE
I prodotti per gli elementi diagonali danno poi
2 2 2 2 2 2 2 2
S12 S13 1 S12 S24 1 S13 S34 1 S24 S34 1
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
Che implica S13 S 24 S12 S34
Possiamo scegliere il piano di riferimento in modo che S12 sia reale
S12 S34
Inoltre, considerando che S13 ed S24 hanno stesso modulo, in forma polare scriviamo
S13 e j S 24 e j
Ora valutiamo l’equazione che viene dal moltiplicare riga 2 e colonna 3
S12* S13 S 24* S 34 0
Cioè, sostituendo
e j e j 0 e j e j 0 e j e j j 0
Due scelte particolari si incontrano nella pratica
/2 Accoppiatore simmetrico o a quadratura di fase,
la cui matrice S è quindi
0 j 0
Notate che, in questo caso, oltre alla simmetria della
0 0 j
matrice imposta dalla reciprocità, essa è simmetrica
j 0 0
anche rispetto alla diagonale secondaria, indicando
0 j 0 un circuito con un piano di simmetria
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
0, Accoppiatore antisimmetrico, la cui matrice S è
quindi 0 0
0 0
0 0
0 0
Notate infine che e non sono indipendenti, infatti
2 2
S12 S13 1 2 2 1
Ora, analizzando in dettaglio le altre possibili soluzioni, si perviene o a
riconsiderare lo stesso caso sin qui analizzato, o ad ottenere il caso
S12=S13=S24=S34=0, cioè 2 due porte disaccoppiati ed indipendenti
Quindi, escludendo quest’ultimo caso - di nessun interesse- ogni 4-porte reciproco
e senza perdite adattato si comporta come un accoppiatore direzionale.
e l’accoppiatore direzionale in quadratura di fase deve per forza essere simmetrico.
Proprietà di un 4 porte reciproco, senza perdite, adattato alle porte
quindi, schematicamente, un accoppiatore ideale cede potenza alla porta
accoppiata in ragione del fattore di accoppiamento (coupling factor)
2
S13 2
mentre cede tutta la potenza rimanente alla porta diretta
2
S12 2 1 2
La porta rimanente è disaccoppiata o isolata
2
S12 2 1 2
1 1 2
2
S13 2
4
3 accoppiata
isolata
Accoppiatori
Nella pratica caratterizzano un accoppiatore:
Accoppiamento C 10Log P / P3 20Log S13
1
Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta accoppiata
Isolamento I 10Log P / P4 20Log S14
1
Cioè, che frazione della potenza in ingresso è ceduta sulla porta isolata
Direttività D 10Log P3 / P4 20Log S14 / S13
Cioè, capacità dell’accoppiatore di isolare onde che vanno in una direzione e
direzione opposta
Se la potenza in ingresso si divide tra porta diretta ed accoppiata in parti uguali
(1/2 della potenza va sulla 2 ed 1/2 sulla 3), ovvero se il fattore di accoppiamento è
0 1 j 0
3dB, si parla di ibridi. In tal caso 1/ 2
1 1 0 0 j
In tal caso, la matrice S per un ibrido ideale a 90° è
2 j 0 0 1
0 j 1 0
mentre, la matrice S per un ibrido ideale a 180° è
0 1 1 0
1 1 0 0 1
2 1 0 0 1
0 1 1 0
Divisore di potenza a “T”
E’ un semplice 3 porte per divisione o combinazione potenza
Essendo reciproco e senza perdite, non può essere adattato a tutte le porte
B è una suscettanza che tiene conto dei
campi dovuti alla discontinuità
Volendo adattare alla porta di ingresso, la
condizione è che
Yin jB 1 / Z1 1 / Z 2 1 / Z 0
I valori di Z1 e Z2 possono poi essere scelti per avere diversi rapporti di divisione.
Chiaramente le 2 porte rimanenti non possono essere adattate
Trascuriamo inizialmente B, e consideriamo la frazione trasmessa alla porta 1 ed
1- quella alla 2; essendo la porta di ingresso adattata otteniamo
2
P2 1 Pin
V02 1 V0
2 1 V0
Pin P Pin
1 2 Z2
2Z 0 2 Z1
Chiaramente l’impedenza vista per
1 1 esempio guardando nella linea 1,
Z1 Z 0 ; Z 2 Z0 sarà il parallelo di Z0 e Z2
1
Chiaramente l’impedenza vista per esempio guardando nella linea 1, sarà
il parallelo di Z0 e Z2
1
Z02
Z 2 // Z 0 1
Z0
Z 0 Z 0 2
1
1
Ed il coefficiente di riflessione diviene
Z0 Z
0
Z 2 // Z 0 Z1 2
1 1
Z 2 // Z 0 Z1 Z0 Z0
2
Divisore resistivo
Si può adattare alle porte, anche se le porte di uscita non sono isolate
Analizziamo il caso di divisore con fattore 1/2
L’impedenza vista in uno dei rami di
uscita
Z0 4
Z Z0 Z0
3 3
Quindi, considerando i due rami di uscita in
parallelo, deve essere
Z0 2
Z in Z0 Z0
3 3
Essendo il 3 porte simmetrico, lo stesso avviene guardando nella porta 2 o
nella porta 3: S11=S22=S33=0
Se la tensione alla porta 1 è V1, la tensione al centro (V) è
2Z 0 / 3 2 E le tensioni di uscita
V V1 V1
2Z 0 / 3 Z 0 / 3 3
Per cui S21=S31=S23=1/2, ovvero -6dB
Z0 3 1
V2 V3 V V V1 Appare chiaro che metà della potenza
Z0 Z0 / 3 4 2 è dissipata nei resistori
Divisore Wilkinson
E’ un divisore che utilizza resistori, ma
Se le porte sono adattate, nessuna potenza viene dissipata: solo la potenza
riflessa è dissipata
Consente di ottenere isolamento tra le porte di uscita; studiamo quello a 3dB
Z0
2Z 0
Z0
Z0
2Z 0
/4
Per studiarlo, normalizziamo tutto a Zo
e ridisegniamo evidenziando le
simmetrie
Divisore Wilkinson
Possiamo studiarlo
sfruttando la
sovrapposizione degli effetti
Se volessimo infatti sapere la
risposta del circuito quando
alla porta 2 applichiamo un
generatore Vg2=4V mentre la
porta 3 (Vg3) è lasciata a 0
potremmo prima studiare il caso in cui applichiamo Vg2=Vg3=2V e poi il caso
Vg2=-Vg3=2V: la somma dei due casi produce il risultato desiderato
Calcolare la risposta a tali eccitazioni particolari (simmetrica ed antisimmetrica,
ovvero pari e dispari) è più semplice, poiché la simmetria del problema consente
di ridurre, come vedremo il 2-porte a 2 singole porte indipendenti
Questa è una proprietà del tutto generale dei circuiti con simmetrie, per cui si
possono trovare insiemi di eccitazioni, o autoeccitazioni, che decompongono il
problema a N porte in N problemi ad una porta
Consideriamo i due problemi indipendentemente, a partire dall’eccitazione pari
Divisore Wilkinson
Se Vg2 e Vg3 sono uguali, 1
le tensioni V2 e V3 sono 2V
uguali
Quindi non fluisce corrente nel 1
resistore, che possiamo togliere
2V
Anche nel nodo di ingresso non fluisce corrente: è di fatto un circuito aperto
In pratica c’è uno zero di corrente in tutti i rami che attraversano il piano di
simmetria: si parla di muro magnetico
Il circuito risulta quindi un semplice tratto di linea in quarto d’onda chiuso su
resistenza 2, per cui guardano nella porta 2 si vede un’impedenza Z2
Z in e
E chiaramente scegliendo Z pari alla radice di 2, si vede in ingresso 1, cioè
2
adattamento; quindi S 22 e 0
Ora ci occorrono V1 e V2: sappiamo che l’impedenza che vediamo nel nodo di
V2 è 1: quindi abbiamo un partitore resistivo, e V2 risulta V2 V
e
Per conoscere V1, ricordiamo che si tratta di un tratto di linea in quarto d’onda,
j
in cui V(0)=V=V++V- V e V e jz V e jz V e 2 V e 2 jV jV
j
1
jV j V V j V 2V
Divisore Wilkinson
D’altro canto sappiamo anche la corrente che fluisce sul resistore 2
I 1e jV jV / Z jV jV / 2 jV j V V / 2
jV / 2
V1e / 2 j V 2V / 2 V 1 / 2 1 / 2 V
V1e j V 2V jV 2
Divisore Wilkinson
Trattiamo il caso dispari: Vg2 e
Vg3 sono uguali e opposte 2V
In pratica c’è un massimo di
corrente in tutti i rami che
attraversano il piano di
simmetria, ovvero uno zero di -2V
tensione sul piano di simmetria: Il circuito risulta quindi quello di partenza in
si parla di muro elettrico cui tutti i nodi centrali sono stati rimpiazzati
da un corto a massa
Ora, il corto della porta 1,
dopo un quarto d’onda
diventa un aperto, e
“vediamo” solo r
E vediamo che quindi se
r=2, il coefficiente di
riflessione è nullo, cioè
S 22 o 0
Chiaramente ora risulta
V1o 0 V2o V
Divisore Wilkinson
Per vedere cosa succede alla porta 1, ci comportiamo in modo simile al caso
pari, infatti il circuito appare così
il resistore non è attraversato da corrente (quindi lo possiamo togliere) e si
tratta di due tratti in quarto d’onda, ciascuno che vede un’impedenza di
2
ingresso normalizzata pari a 2
Z in 2
1
che posti in parallelo danno di nuovo impedenza 1, cioè adattamento (S11=0)
Ora, per riottenere la matrice S complessiva, bisogna ricombinare i risultati
ottenuti, “pesandoli” con le eccitazioni ipotizzate
in particolare, sappiamo che S22 ed S33 saranno 0, visto che lo sono sia nel
caso pari che nel caso dispari, così come 0 sarà S23=S32, visto che sia nel
caso pari che dispari le porte 2 e 3 sono disaccoppiate
Divisore Wilkinson
grazie al fatto che, in questo caso, tutte le porte sono
Per S12 avremmo
adattate se chiuse sull’impedenza di normalizzazione
V1 V1 V1e V1o
S12 S 21 j/ 2
V2 V1 ,V3 0
V2 V2 V 2
e o
e, per simmetria (porte 2 e 3 interscambiabili)
S13 S12 S31