Conjuntos Convexos by 3g46oqRo

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									               Universidad Nacional de Ingeniería
                           Sede: UNI-Norte
                          Asignatura:
                 Investigación de Operaciones I
                           II Semestre 2008



               Conjuntos Convexos


M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés            Agosto 2008
               Conjuntos Convexos
• Concepto de conjunto convexo:
   – Es un conjunto que contiene cualquier segmento que une dos
     puntos del conjunto.
Ejemplos:
  Conjunto A       Conjunto B    Conjunto C      Conjunto D
             Conjuntos Convexos

• Los conjuntos convexos son los conjuntos más sencillos
  que aparecen de forma natural en la programación
  matemática. Un conjunto S es convexo si la línea que
  une dos puntos arbitrarios de ese conjunto, pertenece al
  conjunto.

• Teorema (teorema de representación de conjuntos
  convexos finitos). Si un conjunto convexo está acotado y
  cerrado, cualquiera de sus puntos puede escribirse
  como una combinación convexa de sus puntos
  extremos.
Conjuntos Convexos
              Conjuntos Convexos
Poliedro
  Definición (poliedro). Un poliedro es la intersección de
  un número finito de semiespacios:

 Si S está acotado, S es un politopo.
 La expresión muestra que el conjunto de todas las
  soluciones factibles de un conjunto de desigualdades es
  un poliedro.

• El conjunto de restricciones de un PPL define un
  poliedro.
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• Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x, y, el
  segmento que los une está totalmente contenido en dicho
  conjunto.
• Consideremos un último ejemplo en el plano, sea el conjunto E
   conjunto poligonal delimitado por los puntos (
  (0,0),(5,0),(0,3),(1,2),(0,0) )
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• Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la
  figura que se sale del conjunto por lo que este conjunto no
  sería CONVEXO.
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•   Así por ejemplo si consideramos el conjunto



•   ¿Qué hacemos para dibujar este conjunto?
     Usaremos Derive para graficar el conjunto de puntos.

                                                            Obsérvese que
                                                            es claramente
                                                            convexo pues
               yx                                          cualquier par
                                                            de puntos que
                                                            estén en S3; el
                                                            segmento que
                                                            los une está
                                                            claramente
                                                            contenido en
                                                            S3.
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•   Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto, como
    sucede con conjuntos de dimensión superior a 3?
•   En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto
    convexo, para lo cual efectuamos la siguiente definición:


CONJUNTO CONVEXO.
  Diremos que un subconjunto S  R n es convexo si para cualquier
  par de puntos       y para cualquier   0,1 se cumple
  que             está en S, es decir que si llamamos segmento
  de extremos        por
• S es convexo si para cualesquiera        ,
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• Ejemplo: Estudiar analíticamente si el conjunto
                           
  siguiente es convexo. ( x, y )  R 2 ! y  x 
• Para ello consideraremos dos vectores de S3
  ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) Habrá que comprobar si
   b( x1 , y1 )  (1  b)( x 2 , y2 )  S 3 para cualquier
  valor b  0,1 Es decir, tendremos que probar si
  ( x 2  y2 )  (1  b) x 2  (1  b) y2
  como bx1 (1  b) x 2  by1  (1  b) y2
  así mismo ( x1  y1 )  bx1  by1
  sumando ambas expresiones la desigualdad, por
  tanto S3 es un conjunto convexo.
          ( x 2  y2 )  (1  b) x 2  (1  b) y2
Intersección de conjuntos
        convexos
Conjunto Convexo
Conjunto Convexo
                Ejemplos
• Usaremos el Software matemático Derive
  en su versión 6 para ejemplificar gráfica y
  analíticamente si un conjunto es convexo.

								
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