MATEM�TICAS III Junio

Document Sample
MATEM�TICAS III Junio Powered By Docstoc
					                                       MATEMÁTICAS III

Conceptos a utilizar:

Coordenadas cartesianas, lugar geométrico, recta, segmento y segmento dirigido, punto
medio de un segmento, rectas notables en un triángulo, baricentro, circuncentro,
ortocentro, incentro, bisectriz de un ángulo, círculo, cuerda, tangente, circunferencia,
parábola y elementos asociados a una parábola.

                        UNIDAD I: SISTEMA DE EJES COORDENADOS

   (1) Gráfica de un lugar geométrico (intersecciones con los ejes y simetrías).
   (2) Rectas y segmentos.
       (a) Distancia entre dos puntos.
       (b) Punto medio de un segmento.
       (c) Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.
       (d) Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
       (e) Ángulo entre dos rectas.


                                 UNIDAD II: LA LÍNEA RECTA

   (1) Formas de la ecuación de la recta.
   (a) Punto-pendiente.
   (b) Simétrica.
   (c) General.
   (2) Distancia entre un punto y una recta.
   (3) Ecuaciones de rectas notables en un triángulo y sus puntos de intersección.

                               UNIDAD III: LA CIRCUNFERENCIA

   (1)   Elementos asociados a una circunferencia.
   (2)   Circunferencia con centro en el origen.
   (3)   Circunferencia con centro fuera del origen.
   (4)   Ecuación general de la circunferencia.

                                    UNIDAD IV: LA PARÁBOLA

   (1) Caracterización geométrica (lugar geométrico y elementos asociados).
   (2) Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen (horizontal y vertical).
                              PROBLEMAS RESUELTOS
(1) Halla las intersecciones con los ejes de

Solución:

Para x=0, y=0, por lo tanto, P(0,0) representa ambas intersecciones.

(2) Una recta pasa por los puntos A(2,2) y B(3,3). Halla la pendiente y su ángulo de
    intersección.

Solución:




(3) Dados los puntos A(2,2), B(3,3) y C(9,9), halla la razón        en que el punto B
   divide al     .

Solución:




(4) Una recta L1 pasa por los puntos A(2,3) y B(4,8). Otra recta L2, perpendicular a L1
    pasa por el punto C(-2,3) y por el punto D de ordenada 4. Halla la abscisa del
    punto D.

Solución:

               . Por lo tanto,




(5) Una recta pasa por los puntos A(-2,3) y B(6,4). Halla su ecuación en las formas
    general y simétrica.


Solución:




   Dividiendo toda la ecuación entre -26:
(6) Un segmento está formado por los puntos A(5,8) y B(10,10). Halla la ecuación de
    su mediatriz.




Solución:



      Para el punto medio:




      Para la ecuación:




                                           Ecuación de la mediatriz.
(7) Los vértices de un triángulo son los puntos A(-4,5), B(3,6) y C(2,-4). Hallar: (a) El
    baricentro; (b) La ecuación de la altura del vértice A.

Solución:

(a) Ya que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo, se tiene:




           y A  y B  yC 5  6  4 7
      y                          
                 3            3      3
      Baricentro

(b)




(8) Una circunferencia con centro en el origen pasa por el punto (3,6).Hallar la
    ecuación.

      Solución:


      La forma de la ecuación es                         ,   (h=k=0)
(9) Una circunferencia de centro el punto (5,2) es tangente a la recta x+3y+15=0.
    Hallar su ecuación en la forma general.

   Solución:
   El radio se puede obtener con la distancia del centro a la tangente:



   La ecuación queda:
   Realizando operaciones indicadas:
(10) El centro de una circunferencia de radio 7 está sobre la intersección de las
    rectas x-3y+4=0, 2x+5y-14=0. Hallar su ecuación.

   Solución:
   Haciendo simultáneas las ecuaciones de las rectas se obtiene el centro: C(2,2).
   De esta forma la ecuación queda:



(11) Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje
    coincide con el eje de las ordenadas y pasa por el punto P(-4,2).

Solución:
Dado que su eje coincide con el de las ordenadas, la ecuación buscada es de la
forma x 2  4 py . Luego, si pasa por el punto P(-4,2), éste debe satisfacer la ecuación
anterior, por lo que se tiene:
                                      (4) 2  4 p(2)
                                      p2
De esta forma, la ecuación buscada es:
                                        x 2  4 py
                                        x 2  4( 2) y
                                        x2  8y

(12)   Encuentre la longitud del lado recto de la parábola y 2  16 x .

Solución:
Dado que la longitud del lado recto equivale a 4 p y la ecuación corresponde a la
forma y 2  4 px , entonces, LR= 4 p  16 .
(13)   Determinar las coordenadas del foco de la parábola 3 x 2  5 y  0 .

Solución:
                                                                     5
Reescribiendo la ecuación propuesta en su forma ordinaria: x 2         y , se concluyen
                                                                     3
algunas situaciones interesantes:
      La forma de ecuación que corresponde es x 2  4 py .
      El eje de la parábola coincide con el de las ordenadas.
   La parábola abre hacia abajo, por lo que el foco estará en la parte negativa del
    eje y , y sus coordenadas serán de la forma F (0, p) .
De esta forma se tiene:
                                            5
                                      4p 
                                             3
                                           5
                                     p
                                          12
                                    5
Las coordenadas del foco son: F (0,    ).
                                    12

                             PROBLEMAS PROPUESTOS
(1) Los vértices de un triángulo son los puntos A(-6,5), B(4,3) y C(5, -4). Hallar sus
    ángulos interiores.

    Solución:

(2) Un triángulo tiene de vértices a los puntos A(-6,9), B(4,2) y C(-2,-5). Hallar: (a)
    El perímetro; (b) El área.

    Solución:
                         Perímetro= 35.98 u ; área= 56 u2.
(3) Los extremos de un segmento AB son los puntos A(-2,2/3) y B(6,-5/4). Hallar
    los puntos de tetrasección.

    Solución:

                      (0,3/16), (2,-7/24) y (4,-37/48).

(4) Los vértices de un triángulo son A(3,8), B(2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto
    medio del lado BC. Calcular la longitud de la mediana del vértice A.

       Solución:

                                        .

(5) Los vértices de un triángulo son los puntos A(-2,1), B(4,7) y C(6,-3). Hallar las
    coordenadas del circuncentro y del ortocentro.
    Solución:
                      Circuncentro (10/3,5/3); Ortocentro (4/3,5/3).
(6) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-4,-1) y que
    es tangente a la recta 3x+2y-12=0.
    Solución:

(7) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que
    pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6).
    Solución:

(8) Hallar centro y radio de la circunferencia
    Solución:
                                                          .
(9) Determinar el valor de “k” para que la recta 2x+3y+k=0 sea tangente a la
    circunferencia                   .
   Solución:
                                        K = 25.
(10)      Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el
    punto de intersección de las rectas 3x-2y-24=0 y 2x+7y+9=0.
    Solución:
(11)      Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el
    punto (0, -3).
Solución:
                                         x 2  12 y .
(12)      Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, pasa por el
    punto (6, 8) y tiene su foco sobre el eje de las ordenadas.
Solución:
                                          2x2  9 y .
(13)         La directriz de una parábola con vértice en el origen es la recta
       y  4  0 . Hallar la ecuación de la parábola.
Solución:
                                          x 2  16 y .

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:21
posted:12/14/2011
language:
pages:6