UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUIA GEOMETRIA ANALITICA
PRIMER SEMESTRE 2006
1. Determine usando formula de distancia si P ( 4 , 2 ) , Q ( -10 , -5 ) , R ( 2 , 1 ) son
colineales.
2. Demostrar que el triángulo de vértices ( 0 , 9 ) , ( -4 , -1 ) y ( 3 , 2 ) es rectángulo y calcule
su área.
3. Los vértices de un triángulo son A ( -1 , 3 ) , B ( 3 , 5 ) C ( 7, -1 ) . Si D es el punto medio
del lado AB y E es el punto medio del lado BC , demostrar que la longitud del segmento DE
es la mitad de la longitud del lado AC .
4. En el triángulo rectángulo cuyos vértices son ( 2 , -2 ) , ( -8 , 4 ) , ( 5 ,3 ) , demostrar que el
punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.
5. Los extremos de un trazo son A ( - 4 , - 6 ) , B ( 8 , - 2 ) ; las coordenadas del punto que lo
divide interiormente son ( 4 /5 , -4.4 ) . Determinar las coordenadas del punto exterior que
lo divide en la misma razón.
6. ¿En que razón divide el eje de las Y al trazo determinado por los puntos A (-3,5 ) y B(5,1)
7. ¿En que razón divide el eje de las X al trazo determinado por los puntos A (1,-3 ) y B (5,1)
8. El punto P ( 3 , - 4 ) divide al trazo AB de tal modo que 3 AP = 5PB . Si A ( -1 , - 2 ) ,
determine las coordenadas de B .
9. Hallar los puntos P y Q que dividen al segmento que une A ( 9 , 7 ) con B ( 3 , - 1 ) en tres
partes iguales .
10. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto ( 7,8 ) y su punto medio es
( 4 , 3 ) . Hallar el otro extremo .
11. Los puntos extremos de un segmento son A ( 2 , 4 ) y B ( 8,- 4 ) . Hallar el punto P ( x, y )
que divide a este segmento en dos partes tales que ; BP : PA = - 2 .
12. Determinar la ecuación algebraica que exprese el hecho de que los puntos de coordenadas
( x , y ) , equidistan de los puntos ( - 3 , 5 ) , ( 7 , - 9 ) .
13.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal modo que:
a) Su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada.
b) Su ordenada es siempre igual a su abscisa incrementada en dos
c) Su abscisa es siempre igual al valor recíproco de su ordenada.
14.- Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 , es siempre
igual al doble de su distancia al eje X . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
15.- Los vértices de un triángulo son A ( 3 , 8 ) , B ( 2 , - 1 ) y C ( 6 , - 1 ) . Si D es el punto
medio del lado BC , calcular la longitud de la mediana AD.
16.- Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos ( - 2 , 3 ) y
(6 , - 3 ).
17.- El segmento que une A ( - 2 , - 1 ) con B ( 3 , 3 ) se prolonga hasta C . Sabiendo que
BC = 3AB , hallar las coordenadas de C .
1
18. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-5,7).
19. Una recta por el punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por (-2,2) y (3,-4). Hallar su
ecuación.
20. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la
recta 5 x 3 y 15 0 .
21. Considere el triángulo de vértices A = (-2,1), B = (4,7) y C = (6,-3). Encuentre:
Las ecuaciones de sus lados.
La ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC.
Las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y trisecan al lado opuesto AC.
Los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A, B, C y que
son paralelas a los lados opuestos.
Las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección.
Las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de
intersección. Este punto se denomina circuncentro.
Las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Este punto se denomina
ortocentro.
Las coordenadas del pie de la altura correspondiente al lado AC. Luego encuentre la
longitud de la altura y el área del triángulo.
22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y pasa por el punto de intersección de
las rectas 2 x y 8 0 y 3x 2 y 9 0 .
23. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x 8 y 36 0 , x y 10 0 ,
3x 8 y 19 0 y x y 1 0 . Demostrar que la figura es un paralelogramo y hallar las
coordenadas de sus vértices.
24. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es
5x 4 y 20 0 .
25. Hallar el valor de k para que la recta kx (k 1) y 18 0 sea paralela a la recta
4x 3 y 7 0 .
26. Hallar el valor de k para que la recta k 2 x (k 1) y 3 0 sea perpendicular a la recta
3x 2 y 11 0 .
27. Desde el punto (6,0) se trazan perpendiculares a los lados
5 x y 4 0, y 1, x y 4 0 de un triángulo. Demostrar que los pies de estas
perpendiculares son colineales.
28. Halla la longitud de la perpendicular trazada desde el punto P = ( x1 , y1 ) a la recta L
Ax By C 0 . Demostrar a partir de esto que la distancia del punto P a la recta L está
dada por:
Ax1 By1 C
29. d
A2 B 2
30. Una recta es tangente a un círculo de centro en el origen y de radio 3. Si el punto de
tangencia es (2, 5 ) . Hállese la ecuación de la recta tangente.
31. Determinar el valor de k para que la distancia al origen de la recta x ky 7 0 sea 2.
32. Encontrar la ecuación de la recta cuya distancia al origen es 5 y que pasa por el punto (1,7).
33. Hallar la distancia al origen de cada una de las rectas 3x 5 y 11 0 y
6 x 10 y 5 0 . A partir de esto calcular la distancia entre las dos rectas.
2
34. Hallar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas 12 x 5 y 3 0 y
12 x 5 y 6 0 .
35. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas
x y 1 0 y 2 x y 1 0 y demostrar que son perpendiculares entre sí.
36. Desde un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles se trazan perpendiculares a
los lados iguales. Demostrar que la suma de las longitudes de estas perpendiculares es
constante e igual a la longitud de la altura de uno de los vértices de la base sobre el lado
opuesto.
37. Una recta pasa por el punto A = (2, 4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo de
perímetro igual a 12. Hallar la ecuación.
38. Represente los siguientes puntos en el plano cartesiano:
M (3 , 5 ) O (-5, -3) Q ( ¼ , 2/3 ) S ( -1/4 , 0)
N ( -4, 6 ) P ( 7, 9 ) R ( 3 , -2/5 ) T ( 0 , -2/5 )
39. Si A ( 2x-5 , 8) determine el valor de “x” para que el punto A pertenezca al eje Y.
40. Determina las características que deben tener las coordenadas de un punto para
pertenecer:
a) al eje de las abscisas b) al cuadrante I c) al cuadrante III
d) al eje de las ordenadas e) al cuadrante II f) al cuadrante IV
41. Encuentre la distancia entre A ( -1 , 3 ) y B ( 5 , 0 ).
42. Encuentre todos los puntos sobre el eje “x” que están a 6 unidades del punto ( 3 , 3 ).
43. Determine, usando fórmula de distancia, si P ( 4, 2 ), Q ( -10, -5 ) y R ( 2 , 1) son colineales.
44. Si P ( x, 0 ) y Q ( 2,5 ) y la distancia entre P y Q es 5 2 . Encuentre “x”.
45. Demostrar que ( 1, 2 ) ( 4, 7 ) ( -6, 13) y ( -9, 8 ) son los vértices de un rectángulo.
46. Determinar la ecuación algebraica que exprese el hecho de que los puntos de coordenadas
( x, y) equidistan de los puntos (-3, 5 ) y ( 7, -9)
47. Determine si los puntos (-2, 3) ( -7, 0 ) y ( 3, 1 ) son los vértices de un triángulo
rectángulo.
48. Determine si los puntos (2, 4 ) ( 3, 8 ) ( 1, -8) y ( -1, 4 ) son los vértices de un
paralelogramo.
49. Hay un árbol de 6 metros de altura cerca de un edificio en cuya azotea hay un faro, de
modo que el árbol está a 4/10 de la distancia de la base del edificio al extremo de su
sombra ¿ A que distancia del piso está el faro?. Si la punta del árbol está exactamente a 5
metros del faro ¿Qué distancia hay entre el árbol y el edificio? ¿Cuál es la longitud de su
sombra?
50. Demostrar que ( 5 , 2 ) está en la mediatriz del segmento AB, en el que A ( 1, 3 ) y B ( 4 , -
2).
51. Los vértices de un triángulo son A (-1 , 3) B ( 3,5 ) y C (7, -1). Si D es el punto medio del
lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la
mitad de la longitud del lado AC
52. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8 ) y su punto medio es (4, 3 ).
Encuentre el otro extremo.
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53. Los puntos extremos de un segmento son A ( 2, 4) y B ( 8, -4). Encuentre el punto P (x,y )
que divide a este segmento en dos partes tales que BA : PA = -2.
54. El punto ( 7,. 3 ) bisecta el segmento de recta que une (x 1, 6) y ( 9, y2 ). Encuentre los
valores de x1 y y2.
55. Pruebe que en cualquier triángulo el segmento de recta que une los puntos medios de dos
lados es paralelo al tercer lado y tiene como longitud la mitad de éste.
56. Pruebe que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre sí.
57. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos
vértices son ( 2, 2) (6 , 3) ( 5, 7) y muestre que el punto medio equidista de los 3 puntos.
58. Encuentre los dos puntos que trisectan el segmento de recta que une A ( -3, -4 ) B ( 6 , 11
).
59. El segmento de recta que une los vértices de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama Mediana del triángulo. Para una triángulo de vértices A ( 4, -4 ) , B ( 10 ,
4) C ( 2 , 6 ) encuentre el punto de cada Mediana que está a 2/3 de la distancia del vértice
del punto medio del lado opuesto.
60. Los puntos medios de los lados de un triángulo son ( 2, 5 ) ( 4, 2 ) ( 1, 1,). Encuentre las
coordenadas de los tres vértices.
61. En la ecuación Kx + 3y + 5 = 0. Encuentre el valor de K, tal que represente a una recta
paralela a la recta
7x + 5y – 5=0.
62. Aplicando la definición de la parábola, encuentre la ecuación de la parábola a partir de los
datos dados.
a) Foco: (3, 4), directriz: x – 1 = 0.
b) Foco: (3, -5), directriz: y – 1 = 0.
c) Vértice: (2, 0), foco : (0, 0).
d) Foco: (-1, 1), directriz: x + y - 5 = 0.
63. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, -1), pasa por el foco de la parábola
x2 + 16y = 0. Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola.
64. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y cuyo foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3)
respectivamente. Encuentre también las ecuaciones de su directriz y de su eje.
65. Encuentre la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los
puntos (0, 0), (8, -4), (3, 1).
66. El costo C en dólares de producir “x” unidades de un cierto ítem, está dado por:
C ( x) 0.002 x 2 3x 9000
Encuentre el nivel de producción “x”, que dé el costo mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?
67. Un diseñador de obras de arte ha determinado que el ingreso por vender “x” unidades
viene dado por I ( x) 20000 x 1000 x 2 y los costos de producir “x” unidades por la
función C ( x) 48000 4000 x .
Grafique la función de beneficios B( x) I ( x) C ( x) .
Determine la producción que maximice el beneficio.
¿Cuánto vale la utilidad máxima?
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68. Supóngase que el costo total en dólares de la fabricación de p unidades de cierto artículo
está dada por la función C q q 3 30q 2 400q 500
Calcular el costo de fabricación de 20 unidades.
Calcular el costo de fabricación de la vigésima unidad.
69. En cierta industria, el costo total de fabricación de p unidades durante el proceso diario
de producción es C(q) =q + q + 900 dólares. En un día normal de trabajo, se fabrican
2
q(t)=25t unidades durante las primeras t horas de un turno de producción.
Expresar el costo total de fabricación como una función de t.
¿Cuándo se habrá gastado en producción al final de la tercera hora?
¿Cuándo alcanzará US$11,000 en costo total de fabricación?
70. Un fabricante puede producir radios a un costo de US$10 la unidad y estima que si se
venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80-x radios
cada mes. Expresar la utilidad mensual del fabricante como una función del precio x,
dibujar la gráfica de esta función y determinar el precio al cual la utilidad del fabricante
será la mayor:
71. Por cada pedido de materias primas, un fabricante debe pagar unos gastos de envío para
cubrir manejo y transporte. Después de recibir las materias primas, éstas deben
guardarse hasta que se necesiten; así se generan los costos de almacenamiento. Si cada
pedido de materias primas es grande, los costos de almacenamiento serán altos. Si cada
pedido es pequeño, los costos de envío serán altos porque se requerirán muchos pedidos,
pero los costos de almacenamiento bajarán. Un fabricante estima que si cada pedido
contiene x
72. Si el costo de alquilar un automóvil es US$490.00 más US$15.00 por cada día de uso:
Elaborar una tabla que muestre el número de días durante los que se alquila el automóvil y el
costo de alquilar el vehículo por 7 días, 10 días, 14 días y x días
Escribir un expresión algebraica que represente el costo y como una función del número de
días x.
Dibujar la gráfica de la expresión hallada en el literal b).
Emplear la gráfica para determinar el número de días, con una cifra decimal, que se alquiló el
automóvil si la factura presenta un valor de US$230.00 (Antes del Impuesto)
73. El costo total para un fabricante incluye costo indirectos fijos de US$5,000 más costos de
producción de US$60 por unidad. Expresar el costo total como una función de la cantidad
de unidades producidas y elaborar la gráfica.
74. Un fabricante compra maquinaria por valor de US$20,000. Ésta se deprecia linealmente,
de manera que después de 10 años su valor comercial será US$1,000.
Expresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibujar la gráfica.
Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años.
¿Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? El fabricante puede enajenar la
maquinaria antes de que esto suceda. Analizar los aspectos que puede tener en cuenta el
fabricante para decidir cuándo venderla.
5
75. El valor de cierto libro raro se duplica cada 10 años. En principio, el libro se valoró en
US$3.
¿Cuál es el valor del libro a los 30 años? ¿A los 40 años?
¿Es lineal la relación entre el valor del libro y su edad? Responder esta pregunta mediante una
gráfica apropiada.
76. En determinada fábrica, el costo de instalación es directamente proporcional al número de
máquinas utilizadas, y el costo de operación es inversamente proporcional al número de
máquinas empleadas. Expresar el costo total como una función del número de máquinas.
77. Las funciones de oferta y de demanda de cierto artículo son s p 4 p 200 y
D p 3 p 480 , respectivamente. Hallar el precio de equilibrio y la cantidad
correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas, y dibujar las curvas de oferta y de
demanda en el mismo conjunto de ejes.
78. Mantener una cuenta corriente en cierto banco cuesta US$4por mes más 10 centavos por
cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra US43 por mes más 14 centavos por
cheque. Encuentre un criterio para determinar qué banco ofrece el mejor trato.
79. La afiliación a un club privado de tenis cuesta US$1,000 por año y da derecho al socio a
utilizar los campos de juego por una cuota de US$3 por hora. En el club de la
competencia, la afiliación cuesta US$800 por año y el uso de los campos cuesta US$4 por
hora. Si sólo se tienen en cuenta las consideraciones financieras, ¿ Cómo debería elegir un
jugador de tenis a qué club asociarse?.
80. El ingreso mensual R (en cientos de dólares) obtenido por la venta de rasuradoras
eléctricas Royal se relaciona con el precio unitario p (en dólares) mediante la ecuación:
RP P 2 30 P
1
2
Trace la gráfica de R.
¿Cuál precio unitario maximiza el ingreso mensual?
81. Equilibrio de mercado. La gerencia de la compañía de neumáticos Titán ha determinado que
las funciones semanales de demanda y oferta de sus neumáticos Super Titán están dadas
por :
P 144 X 2
1
P 48 X 2
2
Determine el punto de equilibrio.
82. Graficar las parábolas
y = x 2 - 5x + 6
y = 2x 2 - 4x + 7
y = 3 - x - 3x 2
83. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está sobre la recta de ecuación
L: 2y - 3x = 0 , que su eje sea paralelo aleje de coordenadas "x" y que pase por los
puntos ( 3 , 5 ) y ( 3 , - 1 ).
2
84. Pruebe que la cuerda focal de la parábola y = 4px con puntos finales ( x1 , y1) y
( x2 , y2) tiene longitud " x1 + x 2 + 2P " .
85. El costo de producir X artículos al día esta dado en dólares por Y = 80 + 4X + 0.1 X2 . Si
cada artículo puede venderse a US$ 10; determine el punto de equilibro .
86. La utilidad U ( x ) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto esta dado
por : U( x ) = 60 x - x2 Determine el número de unidades que deben producirse y
venderse con el objeto de maximizar la utilidad.¿Cuál es la utilidad máxima?
6
87. Una empresa tiene costos fijos mensuales de US$ 2000 y el costo variable por unidad de
su producto es de US$ 2.5 .Determine la función costo
88. El ingreso obtenido por vender x unidades está dado por : I ( x ) = 60 x - 0.01x2 ,
determine el número de unidades que deben venderse al mes , de modo que maximicen el
ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?
89. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una
utilidad máxima?.
90. Un fabricante sabe que X unidades de un producto se venderán a 400 - 0.05X pesos cada
una . El costo total de producción de X unidades es de 500 +10 X pesos . Determinar el
número de unidades para que la ganancia sea máxima.
91. Los cables del tramo central de un puente suspendido tienen la forma de una parábola . Si
la torres tienen una separación de 800 metros y los cables están atados a ellas 400metros
arriba del piso del puente ,¿Qué longitud debe tener el puntal que está a 100 metros de la
torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente.
92. El faro delantero de un automóvil se diseña de manera que el corte transversal a través de
su eje sea una parábola y la fuente de luz sea colocada en el foco . Si el faro delantero es
de 16 cm. a través y 6 cm. de profundidad, encuentre la ubicación de la fuente de luz.
93. En la fabrica de baldosas " La brillosita " , la producción de ellas ( P ) se describe
funcionalmente mediante P ( t ) = -10 t2 + 8000 t, donde t indica la cantidad de días
,determine:
Al cabo de cuántos días la producción es máxima y cuál es la cantidad de baldosas
producidas .
Grafique P ( t )
Determine el conjunto de valores de t que hacen valida la situación planteada.
94. Los animales al saltar o brincar siguen trayectorias parabólicas . Si un tigre al saltar
alcanza una altura máxima de 2 mt. y la longitud de cada salto es de 4.5 mt. Determine la
función cuadrática que nos da la trayectoria del tigre.
95. Considere las funciones R ( a ) = 7 a2 +29 a +4 ; C ( a ) = 11 a 2 -11 a +4 de ingreso y costo
diario en dólares, para cierto producto fabricado y vendido por una empresa .
Haga un gráfico en un mismo plano de ambas curvas destacando cortes con los ejes
coordenadas e intersección con los ejes .
Sabiendo que UTILIDAD = INGRESO - COSTO . Determine función utilidad en a = 6
Determine el máximo de utilidad que puede tener en el día.
2
96. Suponga que un rayo de luz que emana del foco de la parábola Y = 4 X se encuentra con
la parábola en ( 1 , - 2 ) ¿ Cuál es la ecuación del rayo reflejado.
97. Para cada caso obtener la ecuación de la circunferencia :
Centro en ( 2 , 4 ) y radio 5
Centro en ( -3 , 2 ) y el extremo de un diámetro en el punto ( 2 , - 4 )
pasa por el origen y su centro es ( 5 , -1 )
98. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 1 , - 4 ) y
( 5 , 2 ) y tiene su centro en la recta de ecuación x – 2 y + 9 = 0
99. Determinar la ecuación de la C que pasa por los puntos ( 2 , 3 ) y ( 3 , 6 ) y es
tangente a la recta 2 x + y – 2 = 0
100. Encontrar la ecuación de la C que tiene como diámetro el segmento que une los
puntos ( 4 , 7 ) y ( 2 , - 3 )
101. Dada la ecuación general de la C : 25 X2 + 25 Y 2 + 30X – 20Y – 62 = 0 ; determine
su centro y radio completando cuadrados.
102. Hallar la ecuación de la tangente a la C : X 2 + Y2 + 2X –2Y – 39 = 0 en el punto
( 4 , 5 ).
7
103. Considerar la ecuación de la circunferencia C : X2 + Y2 – 6 X – 2 Y – 15 = 0 y la ecuación
de la recta
104. L : by – ( b-1) x –b ( b + 1 ) = 0 con b numero real
Determine centro y radio de la circunferencia
Determinar “ b “ de manera que L sea tangente a la C en el punto ( 0 , 5 )
Graficar ambas curvas.
105. Hallar el valor de “ k “ de manera que la recta de ecuación 2x + 3y +k = 0 sea tangente
a la circunferencia x2 + y2 + 6x +4y = 0
106. Sea la ecuación de la circunferencia C : x4x2 + 4y2 –16x +20y +25 = 0, hallar la ecuación
de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta L : 5x –12y = 1
107. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas L1 : 3x –2y –24 = 0 y L 2 : 2x + 7y + 9 = 0
108. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
50 x2 + 50y2 60 x – 40y- 124 = 0
109. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto ( 1 , - 1 ) es siempre igual al
doble de su distancia de la recta de ecuación 3X – 2 Y + 6 = 0 . Hallar la ecuación de su lugar
geométrico.
110. Determinar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de vértices
A ( 0 , 0) , B ( 8 , 0 ) y C ( 4 , 5 ).
111. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2, -4) y que es tangente al eje Y.
112. Una circunferencia tiene su centro en el punto (0, -2) y es tangente a la recta
5x - 12y + 2 = 0.Hallar su ecuación.
113. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5, y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 3x - 2y - 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.
114. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuya ecuación es
x - 7y +25 = 0.Hállese la longitud de la cuerda.
115. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por
los puntos (1, 3) y (4, 6).
116. Una circunferencia pasa por los puntos (-3, 3) y (1, 4) y su centro está sobre la recta
3x - 2y - 23 = 0.
117. La ecuación de una circunferencia es (x - 4)2 + (y -3)2 = 20. Hallar la ecuación de la
tangente en el punto (6,7).
118. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7, -5), y es tangente
a la recta x - y - 4 = 0 en el punto (3, -1).
119. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta
6x + 7y – 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas
8x + 15y + 7 = 0 y 3x – 4y – 18 = 0.
120. Demostrar que las circunferencias
x2 + y2 + 4x + 6y – 23 = 0 y x2 + y2 - 8x - 10y + 25 = 0 son tangentes.
121. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 –16x + 20y + 25 = 0. Hallar la ecuación
de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x - 12y = 1.
8
122. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2 + y2 + 2x - 2y – 39 = 0 en el
punto (4, 5).
123. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( -1, -4), (2, -1) y
cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.
124. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia
x2 + y2 - 4x + 2y – 47 = 0 en el punto (6, 5). Hallar su ecuación.
125. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( -3, -1) y
(5, 3) y es tangente a la recta x + 2y – 13 = 0.
126. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x+y-14=0
y que pasa por las intersecciones de las circunferencias x 2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 y
x2 + y2 - 4x + 4y - 8 = 0.
127. Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto ( -1, 3) a la circunferencia
3x2 + 3 y2 - 14x - 15y + 23 = 0.
Encontrar la longitud y la ecuación de la cuerda común a las circunferencias
x2 + y2 - 8y + 6 = 0 y x2 + y2 - 14x – 6y + 38 = 0.
128. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia
4x2 + 4y2 + 8x + 4y - 47 = 0
que tengan pendiente –3/2.
129. Demostrar que la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2 + y2 = r2 en el punto
de contacto (x0, y0) está dada por x0 x + y0 y = r2 .
130. Encontrar el valor de “m” para que la recta (m+2)x+(m2+9)y+3m2-8m+5=0 sea:
Paralela al eje x
Paralela al eje y
Pase por el origen
131. Plantee una ecuación de una recta que satisface la condición dada:
La recta es paralela al eje x y pasa a 6 unidades por debajo de éste.
La recta que pase por el origen y es paralela a la recta que une los puntos (2,4 ) y ( 4, 7).
La recta que pase pior el punto ( a, b) con pendiente igual a cero.
Recta que pase por el punto ( -3, 4 ) y es paralela al eje x
Recta que pase por (a , b ) y con pendiente indefinida.
132. Plantee una ecuación de recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta que
pasa por los puntos (5,3) y (-2, -7).
133. Encuentre la ecuación de la recta que es paralela a la recta x + 3y – 6 =0 y pasa por el
punto (4, 7 ). Además encuentre la distancia del punto a esta recta.
134. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de
ecuación 3x-2y-24=0 y 2x+7y-9=0 y es perpendicular a la recta -5x+7y-1=0.
135. La ecuación de una línea de gas es 2x+y=2. Una fábrica localizada en ( 6, 7 ) se
conectará perpendicularmente con al línea de gas. Encuentre la ecuación de la línea de conexión
¿Cuál es la longitud de la tubería requerida, si las unidades son kilómetros?
136. Se apoya una escalera de 3 metros de largo contra un muro, tocándolo a 2,4 metros
sobre el piso ¿Cuál es la pendiente de la escalera? ¿Es posible que una persona de 1,8 metros
de alto pase bajo la escalera a 0,3 metros del muro? ¿ Es posible que la misma persona pase
bajo la escalera a 0,6m del muro?
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137. Dado el triángulo ABC cuyos vértices son A (-2 , -1 ) B ( 7 , 1 ) C ( 2, 6 ) . Determinar:
Longitud del lado BC
Ecuación de la altura
Ecuación de la recta paralela al lado BC y que pasa por el punto A
138. Dadas las rectas: L1:3x-y-9=0 L2: x+4y+10=0 L3: 5x-y-1=0
Determinar la ecuación de una recta que pase por la intersección de L1 con L2, y que sea
perpendicular a L3.
139. Tres vértices de una paralelogramo son ( 1, 3 ) ( 4, 11) y ( 3, -2). Si ( 1, 3 ) y ( 3, -2 )
están del mismo lado, cuál es el cuarto vértice?. Encuentre las ecuaciones de las rectas que
forman los lados del paralelogramo.
140. Determinar “k” para que kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a 4x+ 3y +7=0.
141. Determinar “k” para que k2x+(k+1) y +3=0 sea perpendicular a 3x-2y-11=0
142. Determinar el valor de “k” de modo que la recta y = k x-7 divida el segmento que une
(3,2) y (1,4 ) en la razón 3/2.
143. Encontrar el valor de “a” y de “b” para que las rectas de ecuaciones L1: a x +y =3 y
L2: b x +5y=7 sean paralelas, sabiendo que la recta L2 pasa por el punto (2, 1).
144. Una recta con pendiente –2 pasa por el punto (2,7) y por los puntos A y B. Si la
ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6 ¿Cuál es la abscisa de A y la ordenada de B?
145. Tres de los vértices de una paralelogramo son (-1, 4 ) ( 1, -1 ) y ( 6, 1). Si la ordenada
del cuarto vértice es 6 ¿cuál es su abscisa?
146. Dado el punto A ( 3 , 2 ) , determinar sobre el eje X un punto tal que su distancia al
punto A sea de 4 unidades .
147. Determinar el valor de " k " de modo que la recta Y = k X - 7 divida al segmento que une
( 3 , 2 ) y ( 1 , 4 ) en la razón 3/ 4 .
148. Los extremos de un segmento son los puntos P ( 7 , 4 ) y Q ( - 1 , - 4 ) . Hallar la
razón en que el punto R ( 1 , - 2 ) divide al segmento QP.
149. Hallar la ecuación de la recta que :
Pasa por A ( 2 , -5 ) y tiene pendiente – 1
Pasa por A ( -3 , 2 ) y tiene un ángulo de inclinación de 30º
Pasa por los puntos A ( 2 , -5 ) y B ( 0 , -8 )
150. Encuentre “ a “ de modo que el trazo que une el origen con el punto ( 4 – a , 2 a + 1 ) sea
paralelo a la recta de ecuación L : 2y –5x +1 = 0
151. Encuentre “ b” de modo que el punto ( 2 – b , b + 1 ) equidiste de ( 1 , 4 ) y de la
recta L: x +2 + y = 5b
152. Encontrar un punto P ( x , y ) sobre la recta determinada por los puntos Q( 0 , 0 ) y
A ( 2 , 2) que diste cuatro unidades del punto A .
153. Demostrar que la recta que pasa por los puntos ( 4 , - 1 ) y ( 7 , 2 ) dimidia el
segmento cuyos extremos son los puntos ( 8 , - 3 ) y ( - 4 , - 3 ) .
154. Dado el triángulo de vértices A ( - 5 , 6 ) , B ( -1 , - 4 ) y C( 3 , 2 ) . Determinar Las
ecuaciones de las alturas y de los lados.
155. Determinar los valores de p de tal manera que la pendiente de la recta que pasa por
( 1 , p ) y ( 2 p - 3 , 8 ) sea igual a la pendiente de x –5y +2 = 0
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156. Determine los valores de a y b reales de tal manera que L 1 y L 2 , pasen por el punto
( 2 , - 3 ) , donde L1 : a x + ( 2 – b ) y – 2 3 = 0 y L 2 : ( a – 1 ) x + b y + 15 = 0 .
157. Desde el origen se trazan perpendiculares a las rectas x + 2 y = 3 y 2x + 3 y = 5 .
Encontrar la ecuación de la recta que une los pies de estas perpendiculares .
158. Un punto se mueve de tal manera que su distancia a la recta 5 x+ 12 y – 20 = 0 es el
triple de la distancia a la recta 4 x - 3 y + 12 = 0. Encontrar , identificar y graficar el lugar
geométrico.
159. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
160. 2x+y–8=0 y 3 x – 2 y + 9 = 0 y cuya pendiente es –3 .
161. Una recta pasa por los puntos ( 3 , 2 ) y ( - 4 , - 6 ) , mientras que otra recta que pasa
por el punto ( - 7 , 1 ) y un punto A de ordenada – 6 . Si ambas rectas son perpendiculares
entre si , determine la abscisa de A .
162. El costo total para un fabricante incluye costos indirectos fijos de 5000 dólares más
costos de producción de 60 dólares por unidad. Expresar el costo total como una función de la
cantidad de unidades y elaborar la gráfica.
Si un fabricante estima que puede producir “ R “ al cabo de “ m “ meses ; donde ;
R = f ( m ) = 30m + 10 determine :
¿ Cuántos relojes se pueden producir al cabo de tres trimestres?
¿ En cuántos meses puede producir 910 relojes ?
¿ Cuántos relojes se produjo el quinto mes?
Grafique la función que interpreta el problema.
163 Un carpintero desea cortar una pieza de madera rectangular en forma elíptica para
construir la parte superior de una mesa con esa forma. Si la pieza de madera rectangular
mide 5x4 mts. Y desea utilizar toda la longitud y ancho disponible. ¿Cuál sería la longitud
del eje mayor y donde deben estar ubicadas las tachuelas para poder dibujar la elipse?
164. Suponga que una cámara susurrante está construida sobre una base elíptica plana
rotando una semi-elipse 180º alrededor de su eje mayor. Por la propiedad de reflexión de
la elipse , algo que se ha susurrado en un foco se oirá nítidamente en el otro foco. Si la
altura es de 18 pies y la longitud es de 42 pies, halle la ubicación del susurro y el puesto
donde se escucha.
165. Una antena para televisión por satélite consta de un plato parabólico con el receptor
colocado en su foco. Éste puede describirse girando sobre su eje de simetría a la parábola
x2 = 12y donde 5 x 5 pies
¿Cuál es la profundidad del plato y cuál es la posición que ocupará el receptor respecto al
vértice del plato?
166. El arco de una ventana de iglesia tiene forma parabólica . La altura del arco por el
punto medio es de 16 pies y el ancho en la base es de 7 pies. Se desea pasar una caja
rectangular deslizándose a través de la ventana. Si la caja tiene una altura de 12 pies.
¿Cuál es el máximo ancho posible que puede tener la caja?
167. El foco delantero de un automóvil se diseña de manera que el corte transversal a
través de su eje sea una parábola y la fuente de luz sea colocada en el foco. Si el faro
delantero es de 16 cm. de diámetro y 6 cm. de profundidad , encuentre la ubicación de la
fuente de luz.
168. Suponga que un rayo de luz que emana del foco de la parábola x 2 + y = 4 se encuentra
con la parábola en x = -1 ¿Cuál es la ecuación del rayo de luz?
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169. La trayectoria de un proyectil disparado desde el nivel del suelo e una parábola abierta
hacia abajo. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 80 mts. Y su alcance
horizontal es de 640 mts.¿ A qué altura pasará el proyectil de un observador que está en el
suelo a 200 mts. del punto donde fue lanzado el proyectil en su dirección?
170. La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol tiene forma elíptica. Si la longitud
del eje mayor es de 186 millones de millas y la excentricidad e 0,017 ( e = c/a) estime la
distancia más cercana de la Tierra al Sol .
171. Un Telescopio Cassegrain tiene su espejo principal parabólico, con foco a 10 pies del
vértice, y un espejo hiperbólico con 12 pies entre sus focos, se instala a 9 pies del vértice
de la parábola. Deducir las ecuaciones de ambos espejos , si el eje X es el eje de la
parábola ( y también el eje transversal de la hipérbola) y el origen se encuentra en el
vértice de la parábola.
172. (T. Cassegrain es un espejo secundario hiperbólico, a fin de dirigir la luz hacia el
espejo parabólico primario,saliendo por un agujero en él. El espejo secundario tiene uno de
sus focos en el mismo lugar que el foco del espejo primario y el otro queda detrás del
primario.).
173. A y B son dos estaciones de LORAN ubicadas en (-500, 0) y (500, 0) respectivamente.
El receptor de un barco detecta las señales de radio emitidas simultáneamente de las dos
estaciones, que le indican que el barco está 500 millas más cercano a A que a B. De igual
forma ve que el barco está 1000 millas más cercano a C, en (0, 650) que a D, en (0, -650).
¿Dónde se encuentra el barco?.
174. 11.- Un satélite es puesto en órbita elíptica alrededor de la tierra. El radio terrestre
mide 6000 Km. , y su centro se localiza en uno de los focos de la órbita. Se pide:
Ecuación de la órbita.
Altura del satélite sobre la superficie en el punto P.
P
175. El arco de un puente es una semielipse de 90 pies de luz, y cuya altura en el centro es
de 30 pies. ¿Cuál será la altura del arco a 15 pies del centro?
176. .-El cable de un puente colgante cuelga formando una parábola . La distancia entre dos
torres es 150mt. . Los puntos de soporte de los cables en la torre están a 22mt. sobre la
carretera y el punto más bajo del cable está a 7mt. sobre la carretera . Encontrar la distancia
de la carretera al cable en un punto situado a 15 mt. de una de las torres .
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177. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base del arco tiene
30 pies de longitud y su parte más alta con respecto al suelo mide 10 pies. Determine la
altura del arco a 6 pies del centro de la base.
10 pies
30 pies
178. Se lanza una pelota hacia arriba desde la orilla de la azotea de un edificio de 50 pies de
altura. Llega al punto más alto de su trayectoria a 20 pies sobre la azotea y a 10 pies fuera
del edificio. ¿A que distancia del edificio cae la pelota al piso?
179. Un lanzador de dardos arroja un dardo desde 5 pies sobre la tierra. El dardo se lanza
horizontalmente y sigue una trayectoria parabólica; golpea la tierra a 10(10)½ pies del
lanzador. A una distancia de 10 pies del lanzador ¿Qué tan alto debería ser colocado un
blanco para que el dardo lo golpee?.
180. El sonido de una explosión de dinamita se oye a diferentes horas en dos puntos A y B.
De esto se deduce que la explosión ocurrió 1.000 m. Más cerca de A que de B. Si A y B
están a 2.600 m. De distancia el uno del otro, determine la ecuación que da cuenta del lugar
donde ocurrió la explosión.
181. Suponga que el chorro de agua del extremo de un tubo horizontal sigue un arco parabólico
con vértice en el extremo del tubo. El tubo está a una altura de 20 metros de la tierra. En
un punto a 2 metros por debajo del tubo, la distancia horizontal del agua al tubo es de 4
metros. ¿Dónde golpea el agua la tierra?
182. Un arco de un edificio tiene forma de parábola. La altura del arco es de 30 pies, y el
ancho de la base del arco es de 20 pies. ¿Qué ancho tiene el arco a 10 pies por arriba de la
base del arco?
183. En el triángulo rectángulo cuyos vértices son (2,-2) , (-8,4) , (5,3) demostrar que el
punto medio de la hipotenusa equidista de los 3 vértices.
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