Prédictions à partir d'une régression linéaire:
But: Prédire la concentration C d'un composé à partir de la mesure de l'absorbance de la lumiere A
Loi de Beer-Lambert: A=kC
Un étalonnage est fait à partir de 10 échantillons préparés et donc de concentrations connues (C=0 à 10)
Pour chaque échantillon est fait une mesure d'absorbance.
On pourra faire une regression de y/x ou de x/y suivant que l'on estime
que l'erreur majoritaire est plutôt sur y ou sur x.
(ppm)
C étalon absorbance Abs. Modèlisée (x-moy(x))^2 écart type incertitude (k=2)
0 0.0400684
1 0.0122712
2 0.101925
3 0.1278559
4 0.127933
5 0.1905964
6 0.2158802
7 0.1842142
8 0.2278562
9 0.3166377
10 0.3326788
moy(x) som((x-moy(x))^2)
Hors étalonnage (pour essai d'extrapolation):
15 0.4873762 ˆ
Y = aX + b
20 0.6212806
30 0.9327608
40 1.1995944
60 1.7563631
(Y - b ' )
80 2.3955342
100 2.9983284 ˆ
Y =
A faire:
Déterminer les paramètres de la droite de régression en utilisant les 2 a'
méthodes Excel, pour C variant de 0 à 10.
Attention au sens de la regression! (y/x ou x/y?)
Pour toutes les valeurs de concentration (dans ou hors de la zone
d'étalonnage), évaluer l'incertitude (à 95%) que l'on peut espérer en
prédiction (prédiction de la concentration alors que seule l'absorbance a été
mesurée).
Visualiser l'intervalle de confiance pour C allant de 0 à 80
Regression linéaire sous Excel: 2 possibilités
* courbe de tendance sur graphe nuage de points (simple et rapide)
* fonction DROITEREG (plus d'informations)
Gamme d'étalonnage Extrapolation
0.35 3.5
y = 0.0296x + 0.0226
0.3 3
0.25 2.5
0.2 2
0.2 2
0.15 1.5
0.1 1
0.05 0.5
0 0
0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60
Y/X
a b
ecart type sur a ecart type sur b
coef determination ecart type de prediction sur y (Sy/x)
stat F nb degrés liberté
somme carré résidus
Cellules à compléter (formule) matrice résultat de la
fonction DROITEREG
(voir aide Excel)
X/Y
a' b'
ecart type sur a' ecart type sur b'
coef determination ecart type de prediction Sx/y
stat F nb degrés liberté
somme carré résidus
a=1/a' #DIV/0! #DIV/0! b=-b'/a'
Evaluation de l'ecart type sur la prédiction de concentration:
Si régression y/x:
ˆ
Y = aX + b ˆ
s(Y ) = s y / x
1
1+ +
(X - x ) 2
m å(xi - x )2
(X - x )
Si régression x/y 2
sx / y 1
(Y - b ' ) ˆ
s(Y ) = 1+ +
ˆ
Y = a' m å(xi - x )2
a'
(m= nb échantillons d'étalonnage)
(x = valeurs d'étalonnage)
(X = valeur d'échantillon de prédiction)
(Sy/x (Sx/y): ecart type de prediction sur y (x))
60 80 100 120