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									Aplicações Lineares
Aplicação Linear
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação.
Diz-se que f é uma aplicação linear, se satisfaz as seguintes propriedades:

          •  x, y  V, f x  y  f x   f y
        •  x V,  ,   ; f  x   f x 
      g                   h                                        r
    A     B                                     p
                    A            B            A         B      A        B




   g NÃO é                                                       r NÃO é
                                                 p NÃO é
   aplicação              h NÃO é                              sobrejectiva
                                               injectiva nem
                          injectiva
                                                sobrejectiva
Aplicações Lineares

Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação.
Diz-se que f é uma aplicação linear, se e só se
          x , y  V,  ,    ; f  x   y   f x    f y
Aplicações Lineares
Seja (e1),...,(en) uma base de V e f: V g V´ uma aplicação linear.
Seja v um vector de V, então v é combinação linear dos
                             vectores da base de V.
Assim
   f( v)  f (1e1  2e2  3e3    n en)
        1f (e1 )  2f (e2 )  3f (e3 )    n f (en )
        f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )  f (en )  1 
                                              
                                              2
                                              3 
                                                    
                                                   
               Matriz da aplicação f                n 
                                                    
Aplicações Lineares
f : 3   2   f x, y, z   x  y, 2y  z 


                    f 1,0,0  1, 0
                    f 0,1,0  1, 2
                    f 0,0,1  0,  1
                                                 1 1 0 
                                                 0 2  1
                                                         23
Aplicações Lineares

Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
           e f: V g V´ uma aplicação linear.
Então:
         f 0V   0V
          x V f  x    f x 
Aplicações Lineares

Definições                                   A             B
Sejam A e B dois conjuntos,                  a             1
   C um subconjunto de A ,                   b             2
   D um subconjunto de B e                   c             3
   f uma aplicação de A em B                 d             4

O conjunto
                                             f a, b  1
   f C  f x  : x  C
          x  B : x  C f x   x
                                             f a, b, d 1,4
Denomina-se por imagem de C
O conjunto                                   f 11,2 a, b
   f 1 D  x  A : f x   D
                                             f 11,3 a, b, c
Denomina-se por imagem inversa de D
Aplicações Lineares
Definições
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação linear. Denomina-se por:
         Núcleo de f ao conjunto Nuc f  f 10V   x  V : f x   0V 

         Imagem de f ao conjunto Im f  f V  f x  : x  V
Aplicações Lineares
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação linear. Tem-se:
             Se F é um subespaço vectorial de V, então
             f(F) é um subespaço vectorial de V´.
             Se F´ é um subespaço vectorial de V´, então
             f -1(F´) é um subespaço vectorial de V.
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
        e f: V g V´ uma aplicação linear. Então:
         Núcleo de f é um subespaço vectorial

         Imagem de f é um subespaço vectorial
Aplicações Lineares
Definição
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
        e f: V g V´ uma aplicação linear. Denomina-se por:
                 Característica de f, cf, a dimensão do espaço imagem de f
                 Nulidade de f, nf, a dimensão do núcleo de f.

 f : 3  2
 f x, y, z  x  y, 2y  z                  
                                       Nuc f  x, y, z   3 : f x, y, z   0,0      
 Im f  1,0 1,2 0,1                      x, y, z   
                                                                 3
                                                                                               
                                                                      : x  y 2 y  z   0,0
                                                x, y, z   
                                                                 3
                                                                      : x   y  z  2y
 M f   1 1 0                                 1, 1, 2
       0 2 1
                                            nf  1
 cf  2
                                                                                x  y  0 x   y
                                  3 = 2+1 = cf + nf                                       
                                                                                2y  z  0  z  2y
                                                                               
Aplicações Lineares
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
             e f: V g V´ uma aplicação linear.
                    Se x for um elemento de V e x´=f(x), então
                             1
                              f      x  x  Nuc f
f : 3  2
f x, y, z  x  y, 2y  z                                Sol.            Núcleo
                                                    
 f 1 (1, 5)  x, y, z   3 : f x, y, z   1, 5       particular      de f


 x  y 1           x  1 y
                                                        1  y  =  1  +y   1
2 y  z  5        z  5  2 y                                          
                                                          y   0            1
                                                           5  2y    5  2
                                                                           
Aplicações Lineares
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação linear.
             Então f é injectiva se e só se Nuc f ={0E}

Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R,
         e f: V g V´ uma aplicação linear.
             Então f é injectiva se e só se transforma vectores
                                            linearmente independentes
                                            em vectores linearmente
                                            independentes.

    Se Nuc f ={0E} então cf é igual à
    dimensão do espaço de partida
Aplicações Lineares
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R, (e1),...,(en) uma
base de V e f: V g V´ uma aplicação linear.
             Então f é sobrejectiva se e só se V´= Im f
                                                 = <f(e1),...,f(en)>
Teorema
Sejam V e V´ dois espaços vectoriais sobre o corpo R, (e1),...,(en) uma
base de V e f: V g V´ uma aplicação linear.
             Então f é bijectiva se e só se f(e1),...,f(en) é
                                            uma base de V´



    É condição necessária para f ser bijectiva que
    V e V´ tenham a mesma dimensão
Aplicações Lineares
Fixadas as bases correspondentes a cada espaço vectorial
 a cada aplicação linear f : n  m ,
 corresponde uma só matriz Mmn

Reciprocamente, fixadas as bases correspondentes a cada espaço vectorial,
 a cada matriz Mmn corresponde uma só aplicação linear f : n  m
 Dada   1   0 1       Existe f : 3  5
        0   1 2
        
        1
                
             2 1       Definida por f x, y, z   x  z, y  2z, x  2y  z, x  3y  z, y 
               
        1   3 1
        0
            1 0 53
                



                                                              1   0 1       x    =    xz 
                                                              0   1 2       y         y  2z 
                                                                                                 
                                                              1   2 1       z
                                                                                       x  2y  z 
                                                                                                   
                                                              1   3 1                   x  3y  z 
                                                              0
                                                                  1 0 53
                                                                                        
                                                                                              y      
                                                                                                      
Aplicações Lineares
Só as aplicações bijectivas têm inversa.
Definição
Seja A uma matriz de ordem n.
Se existir uma matriz X, de ordem n, tal que
                             AX =XA=I
Diz-se que A é invertível.
A matriz X denomina-se de inversa e representa-se por A–1 .
Propriedades
Sejam A e B matrizes invertíveis de ordem n.
         (A–1 ) –1 =A
          (AB) –1 =B –1 A –1
Propriedade
Uma matriz A de ordem n é invertível se c(A)=n

								
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