201+1/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Was kommt jetzt?
Lernen als probabilistische Inferenz – in anderen Worten
Statistisches Lernen.
• Entscheidungsbäume Lernaufgabe Begriffslernen
• Stützvektormethode Lernaufgabe Funktionsapproximation
– Klassifikation (binäre Funktion)
– Regression (reellwertige Funktion)
201+2/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Entscheidungsbaum
Feuchte
=trocken =feucht
Säure Temp
7,5 >9
=basisch =neutral =alkalisch
N W
Temp Temp W
Die Rotbuche kann gut wachsen (W)
3,5 > 3,5 7,5 >7,5 oder nicht wachsen (N).
N W W N
Dank an Stefan Wrobel!
201+3/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Entscheidungsbäume
• Ein Entscheidungsbaum dient der Klassifikation von
Beispielen.
• Ausgehend von der Wurzel des Baums werden die Attribute,
deren Werte von einem Knoten zum Nachfolgeknoten führen,
mit den Attributwerten des Beispiels verglichen und der
entsprechende Pfad verfolgt.
• Wenn ein Blatt des Baums erreicht wird, gibt es die
Klassifikation des Beispiels an.
201+4/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel
Feuchte
=trocken =feucht
Säure Temp
7,5 >9
=basisch =neutral =alkalisch
N W
Temp Temp W
Beispiel:
3,5 > 3,5 7,5 >7,5 E1: Feuchte = trocken
Säure = basisch
Temp = 7
N W W N
201+5/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Lernen von
Entscheidungsbäumen
Gegeben:
LE: Beispiele in Form von Attributen und Werten,
wobei ein binäres Attribut die Klasse des Beispiels angibt.
LH: Alle aus den gegebenen Attributen mit ihren Werten
konstruierbare Entscheidungsbäume.
Ziel:
Ein Entscheidungsbaum, der Beispiele mit minimalem Fehler
klassifiziert.
201+6/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiele
ID Feuchte Säure Temp Klasse ID Feuchte Säure Temp Klasse
1 trocken basisch 7 W 10 trocken alkalisch 8 W
2 feucht neutral 8 N 11 feucht basisch 7 N
3 trocken neutral 7 W 12 feucht neutral 10 W
4 feucht alkalisch 5 N 13 trocken basisch 6 W
14 feucht alkalisch 7 N
5 trocken neutral 8 N
15 trocken basisch 3 N
6 trocken neutral 6 W
16 trocken basisch 4 W
7 trocken neutral 11 N
8 trocken neutral 9 N
9 trocken alkalisch 9 W
201+7/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiele nach Attributen sortiert
Feuchte: Feuchte: Säure: Säure: Temp: Temp:
trocken feucht basisch neutral >6,5 6,5
1 W 2 N 1 W 2 N 1 W 4 N
3 W 4 N 11 N 3 W 2 N 6 W
5 N 11 N 13 W 5 N 3 W 13 W
6 W 12 W 15 N 6 W 5 N 15 N
7 N 14 N 16 W 7 N 10 W 16 W
8 N W:3,N:2 8 N 11 N
9 W Total: 5 12 W 12 W
10 W Säure: 14 N
13 W alkalisch
15 N 4 N
16 W 9 W
10 W
14 N
W:7, N: 4 W: 1, N: 4 W:2, N:2 W:3,N:4 W:4, N:4 W: 3, N:2
Total: 11 Total: 5 Total: 4 Total: 7 Total: 8 Total: 5
201+8/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Rekursiver Ansatz
• Die Klasse, die am häufigsten bei einem Attributwert vorkommt,
wird vorausgesagt, wenn der Attributwert im Beispiel vorkommt.
• Es wird das Attribut mit dem kleinsten Fehler auf den Beispielen
gewählt.
Test Feuchte
=trocken =feucht
Test Feuchte = trocken Test Feuchte = feucht
{1,3,5,6,7,8,9,10,13,15,16} {2,4,11,12,14}
W N
4/11 Fehler 1/5 Fehler
• Die Knoten werden wieder nach Attributen aufgeteilt, wenn
es noch einen Fehler auf den Beispielen gibt.
201+9/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel
Feuchte
=trocken =feucht
{1,3,5,6,7,8,9,10,13,15,16} {2,4,11,12,14}
Säure Temp
9 >9
=basisch =neutral =alkalisch
N W
{1,13,15,16} {3,5,6,7,8} {9,10} {2,4,11,14} {12}
Temp Temp W
3,5 > 3,5 7,5 >7,5
N W W N 0 Fehler auf den Beispielen.
{15} {1,13,16} {3,6} {5,7,8}
201+10/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
TDIDT - Algorithmus
TDIDT (E, Tests)
Falls E nur Beispiele einer Klase enthält, liefere einen
Blattknoten mit dieser Klasse zurück. Sonst
Für jeden Test in Tests, berechne Qualität (Test, E).
Wähle den Test mit der höchsten Qualität für den aktuellen
Knoten aus.
Teile E anhand des Testes gemäß der Attributwerte in Mengen
E1, ..., Ek auf.
Für i = 1, ..., k rufe rekursiv auf: TDIDT(Ei, Tests\{Test}).
Liefere den aktuellen Knoten mit den darunter liegenden
Teilbäumen zurück.
201+11/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Qualitätsmaß
• Information: wie viele ja-/nein-Fragen braucht man, um ein
Element einer Menge zu identifizieren? Bits
• Je nach Wahrscheinlichkeit pi des Elements sind es weniger
oder mehr Fragen.
• Informationsgehalt einer Menge mit m Elementen(Entropie):
wie viele Fragen braucht man durchschnittlich, um jedes
Element zu identifizieren.
m
pi log pi
i 1
201+12/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Informationsgewinn
• Hier sind die zu identifizierenden Elemente die Klassen.
• Als Annäherung an die Wahrscheinlichkeit nehmen wir die
Häufigkeiten in den Beispielen.
• Wir wollen den Test auswählen, der den Informationsgehalt
der durch ihn entstehenden Beispielmengen am meisten
reduziert.
201+13/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel
Feuchte
Test: Säure = feucht
{2,4,11,12,14}
=basisch =neutral =alkalisch 4 4 1 1
log log
5 5 5 5
{11} {2, 12} {4,14} Test: Temp
1 1
1log 1 log 1log 1
2 2 9 >9
N W
Der Gewinn ist bei Temp größer {2,4,11,14} {12}
als bei Säure.
Es wird der Test nach dem Attribut
Temp gewählt. 1log 1 1log 1 0
201+14/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Probleme
• Überanpassung (overfitting): Da der Trainingsfehler
minimiert wird, kann sich der Entscheidungsbaum zu stark an
die Beispiele anpassen, so dass er auf den Testdaten falsch
entscheidet.
Ausweg: einen Teil der Traininsdaten zum Test des
vorläufigen Ergebnisses beiseite legen (Kreuvalidierung). Den
Baum zur Optimierung auf den Validierungsdaten stutzen.
• Identische Testfolgen können an verschiedenen Stellen des
Baumes auftreten.
201+15/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Was wissen Sie jetzt?
• TDIDT ist ein effektiver und effizienter Algorithmus. Sie
kennen seine Arbeitsweise, wissen,
– dass Tests an den Knoten Beispielmengen zurückliefern
– dass die Tests nach einem Qualitätskriterium ausgewählt
werden (automatische Merkmalsselektion) und
– dass meist der Informationsgewinn als Kriterium gewählt wird.
• C4.5 (bei weka J48) ist das am häufigsten verwendete
Lernverfahren.
201+16/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Erinnerung: Funktionslernen
Gegeben:
Beispiele X in LE
– die anhand einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf X erzeugt wurden und
– mit einem Funktionswert Y = t(X) versehen sind (alternativ: Eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Y|X) der möglichen Funktionswerte - verrauschte
Daten).
H die Menge von Funktionen in LH.
Ziel: Eine Hypothese h(X) H, die das erwartete Fehlerrisiko R(h) minimiert.
Risiko:
R ( h ) Q ( x, h ) P ( x )
x
201+17/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel: Funktionenlernen
0% 50% 5%
1 2 3
25% 0% 20%
• H = { fa | fa(x) = 1, für x a, fa(x) = -1 sonst, a}
• R(f0) = 0,25 + 0 + 0,20 = 0,45
• R(f1,5) = 0 + 0 + 0,20 = 0,20
• R(f3,5) = 0 + 0,5 + 0,05 = 0,55
Dank an Stefan Rüping!
201+18/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Reale Beispiele
• Klassifikation: Q(x,h) = 0, falls t(x) = h(x), 1 sonst
– Textklassifikation (x = Worthäufigkeiten)
– Handschriftenerkennung (x = Pixel in Bild)
– Vibrationsanalyse in Triebwerken (x =
Frequenzen)
– Intensivmedizinische Alarmfunktion (x =
Vitalzeichen)
• Regression: Q(x,h) = (t(x)-h(x)))2
– Zeitreihenprognose (x = Zeitreihe, t(x) =
nächster Wert)
201+19/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Erinnerung: Minimierung des
beobachteten Fehlers
Funktionslernaufgabe nicht direkt lösbar. Problem:
• Die tatsächliche Funktion t(X) ist unbekannt.
• Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist unbekannt.
Ansatz:
• eine hinreichend große Lernmenge nehmen und für diese den
Fehler minimieren.
Empirical Risk Minimization
201+20/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel
201+21/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel II
201+22/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Probleme der ERM
• Aufgabe ist nicht eindeutig beschrieben: Mehrere
Funktionen mit minimalem Fehler existieren. Welche wählen?
• Overfitting: Verrauschte Daten und zu wenig Beispiele
führen zu falschen Ergebnissen.
201+23/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Die optimale Hyperebene
• Beispiele heißen linear trennbar, wenn es eine
Hyperebene H gibt, die die positiven und
negativen Beispiele voneinander trennt.
• H heißt optimale Hyperebene, wenn ihr d
Abstand d zum nächsten positiven und zum d
nächsten negativen Beispiel maximal ist.
• Satz: Es existiert eine eindeutig bestimmte
optimale Hyperebene.
H
201+24/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Berechnung der opt. Hyperebene
• Hyperebene • Entscheidungsfunktion f(x) =
H = {x | w*x+b = 0} w*x+b
• H trennt (xi,yi), yi{±1} • f(xi) > 0 yi > 0
• ||w|| minimal und
• H ist optimale Hyperebene
f(xi) 1, wenn yi = 1
f(xi) -1, wenn yi = -1
H
+1 f
-1
201+25/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Optimierungsaufgabe der SVM
• Minimiere ||w||2
• so dass für alle i gilt:
f(xi) = w*xi+b 1 für yi = 1 und
f(xi) = w*xi+b -1 für yi = -1
• Äquivalente Nebenbedingung: yi*f(xi) 1
• Konvexes, quadratisches Optimierungs-problem
eindeutig in O(n3) lösbar.
• Satz: ||w|| = 1/d, d = Abstand der optimalen
Hyperebene zu den Beispielen.
201+26/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Nicht linear trennbare Daten
• In der Praxis sind linear
trennbare Daten selten.
• 1. Ansatz: Entferne eine
minimale Menge von
Datenpunkten, so dass die Daten
linear trennbar werden
(minimale Fehlklassifikation).
?
• Problem: Algorithmus wird
exponentiell.
201+27/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Weich trennende Hyperebene
n
• Wähle C>0 und minimiere w C i
2
i 1
• so dass für alle i gilt:
f(xi) = w*xi+b 1-i für yi = 1 und
f(xi) = w*xi+b -1+i für yi = -1
• Äquivalent: yi*f(xi) 1- i
+1 f
201+28/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Duales Optimierungsproblem
• Umformung mit Lagrange-Multiplikatoren
liefert einfacheres Optimierungsproblem:
• Maximiere
W ( ) i 1 yi y j i j xi x j
n n n
2
i 1 i 1 j 1
• unter 0 i C für alle i und iyi = 0
• Es gilt w = iyixi, also f(x) =
iyi(xi*x)+b
201+29/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Bedeutung von und
=0, =0
=0, 01, =C
f(x)=-1 f(x)=0 f(x)=1
Beispiele xi mit i>0 heißen Stützvektoren SVM
201+30/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Optimierungsalgorithmus
s = Gradient von W() // si = j(xj*xi)
while(nicht konvergiert(s)) // auf genau
WS = working_set(s) // suche k „gute“ Variablen
‘ = optimiere(WS) // k neue -Werte
s = update(s, ‘) // s = Gradient von W(‘)
• Gradientensuchverfahren
• Trick: Stützvektoren allein definieren Lösung
• Weitere Tricks: Shrinking, Caching von xi*xj
201+31/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Was wissen wir jetzt?
• Funktionslernen als allgemeine Lernaufgabe
• Minimierung des empirischen Risikos als Lösungsstrategie
• Optimale Hyperebene präzisiert die ERM
• Praxis: weich trennende Hyperebene
• Berechnung mittels SVM und dualem Problem
• Offene Fragen: Generelles Prinzip hinter der optimalen
Hyperebene? Nicht lineare Daten?
201+32/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel: Textklassifikation
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201+33/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
TCat-Modell
• Typische Dimension: 10.000 – 100.000
• SVM lernt ohne Vorauswahl von Wörtern!
• Text-Categorisierungs-Model:
positive Dokumente
negative Dokumente
201+34/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Beispiel: Intensivmedizin
0.014 artsys 174.00 • Vitalzeichen von
Intensivpatienten
0.019 artdia 86.00
0.001 artmn 121.00 • Alarm geben oder
nicht?
0.015 cvp 8.00
f ( x) 0.016 hr 79.00 4.368 • Hohe Genauigkeit
• Verständlichkeit?
0.026 papsys 26.00
0.134 papdia 13.00
0.177 papmn 15.00
201+35/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Bias-Varianz-Problem
• Zu kleiner Hypothesenraum:
Zielfunktion nicht gut genug
approximierbar (Bias)
• Zu großer Hypothesenraum:
Zuviel Einfluß zufälliger
Abweichungen (Varianz)
• Lösung: Minimiere obere
Schranke des Fehlers:
R(h) Remp(h) + Var(h)
201+36/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Strukturelle Risikominimierung
1. Ordne die Hypothesen in
Teilmenge gemäß ihrer
Schranke(h) =
Remp(h) + Var(h)
Komplexität
2. Wähle in jeder Teil-
menge die Hypothese mit
dem geringsten
empirischen Fehler
3. Wähle insgesamt die
Hypothese mit minimaler Komplexität
Risikoschranke
201+37/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Vapnik-Chervonenkis-Dimension
• Definition: Eine Menge H von
Hypothesen zerschmettert eine
Menge E von Beispielen, wenn
jede Teilmenge von E durch ein
hH abgetrennt werden kann.
• Definition: Die VC-Dimension
einer Menge von Hypothesen
H ist die maximale Anzahl von
Beispielen E, die von H
zerschmettert wird.
201+38/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
VC-Dimension von Hyperebenen
Satz: Die VC-Dimension der Hyperebenen
im Rn ist n+1.
Beweis:
• VCdim(Rn) n+1: Wähle x0 = 0 und xi =
(0,...,0,1,0,...0). Für eine beliebige
Teilmenge A von (x0,...,xn) setze yi = 1,
falls xi A und yi = –1 sonst. Definiere
w = ykxk und
b = y0/2. Dann gilt wx0+b = y0/2 und
wxi+b = yi+y0/2. Also: wx+b trennt A.
• VCdim(Rn) n+1: Zurückführen auf die
beiden Fälle rechts.
201+39/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
VC-Dim. und Anzahl der Parameter
• Setze f(x) = cos(x) und xi = 10-i, i=1...l. Wähle
yi{-1,1}. Dann gilt für =(1/2(1-yi)10i):
l 1 k l 1 i k
xk 2 (1 yi )10 10 2 (1 yi )10
i
i 1 i 1
k 1 1 l
i k
2 (1 yi )10 2 (1 yk ) 2 (1 yi )10
i k 1 1
i 1 i k 1
0 10-1+10-2+ =1/9 Vielfaches von 2
(geometrische Reihe)
201+40/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
VC-Dim. und Anzahl der Parameter
cos(xk)=cos(z) mit z[0,1/9] für yk=1 und z[1,10/9] für
yk=-1
cos
1/
9 2 3
cos(x) zerschmettert x1,...xl
cos(x) hat unendliche VC-Dimension
Die VC-Dimension ist unabhängig von der Anzahl der
Parameter!
201+41/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
VC-Dimension der SVM
• Gegeben seien Beispiele x1,...,xln mit
||xi|| 1, =C 0
FROM examples_table x1, examples_table x2
WHERE x1.index = I
• SELECT
FROM examples_table x1, examples_table x2,
free_examples f
WHERE x1.index = i AND x2.index = f.index
• Weitere Optimierung durch Ausnutzen der relationalen Struktur im Cache
möglich.
201+62/ Maschinelles Lernen und Data Mining WS 2002,3 Prof. Dr. Katharina Morik
Was man über SVMs wissen muss
• Funktionenlernen – ERM – SRM
• Optimale Hyperebene: Definition, Berechnung, harte und
weiche Trennung
• Nicht-Linearität durch Kernfunktionen
• Idee der SRM, VC-Dimension
• Schätzung der Performanz
• Idee der Regressions-SVM