??? FIR ???????

							第六章 FIR數位濾波器設計

 本章重點：
  本章探討的濾波器架構﹐稱為Finite impulse
   response(FIR)﹐有別於IIR的設計﹐由於其不
   具有回授項﹐系統一定穩定﹐因此不必探討
   極點是否落在Z平面的單位圓內﹐而是探討其
   線性相位的特性。
  FIR濾波器的零點的位置與線性相位的關係。
  各種窗形函數介紹以及其設計方法。
  最佳化濾波器設計法。採用Parks- McClellan
   演算法﹐以MATLAB之remez指令驗證。
FIR數位濾波器結構

 FIR為Finite Impulse response的縮寫﹐由
  於其設計的架構沒有回授的元件﹐所以為
  有限脈衝響應。其架構一般採用直接法或
  串接法。
6.1.1 直接形式(Direct form)

  此種形式如圖6.1-1。
圖6.1-1 FIR直接形式結構圖
                 b0
   x(n)               Y(n)
          z 1
                 b1

          z 1
                 b2

          z 1
                 b3
          z 1
                 b4
6.1.2 串聯形式(Cascade form)

  此種形式可由二組直接形式串聯而成﹐如
   圖6.1-2。
圖6.1-2 FIR串聯形式結構圖

         b0
  x(n)                                Y(n)
              z 1        z 1
                     b1          d1

              z 1        z 1
                     b2          d2
6.1.3 線性相位形式(Linear
Phase form)
  所謂線性相位具備線性相位特性的FIR濾
   波器之差分方程式﹐其係數呈現對稱
   (Symmetry)的現象﹐例如以長度為5的FIR
   濾波器為例﹐其乘法次數由5次減為5/2之
   商為2再加1﹐等於3次。其架構如圖6.1-
   3。
圖6.1-3 FIR線性相位形式結構圖

                z 1
  x(n)
                        z 1



              z 1     z 1

         b0      b1       b2   Y(n)
線性相位(Linear-phase)FIR特性

  所謂線性相位(Linear-phase)FIR﹐指其頻
   率響應的相位特性呈現直線的關係﹐而不
   是弧線。
6.2.1 線性相位FIR的對稱與反對
稱
 對一個長度M的FIR濾波器﹐假如其相位
  大小具備線性關係﹐則稱為線性相位FIR
  濾波器。其形式依據脈衝響應的對稱性以
  及M的奇數或偶數而不同。
圖6.2-1 反對稱奇數脈衝序列與相
位圖
圖6.2-2 反對稱偶數脈衝序列與相
位圖
圖6.2-3 對稱奇數脈衝序列與相位
圖
圖6.2-4 對稱偶數脈衝序列與相位
圖
6.2.2 線性相位FIR的零點位置

 對一個長度M的線性相位FIR濾波器總共
  有M-1個零點與M-1個假極點(Trivial
  poles)。其中的零點具有兩兩對稱的特
  性﹐由零點的對稱性質﹐可以判定FIR是
  否為線性相位。
圖6.2-5 反對稱奇數脈衝序列與零
點位置圖
圖6.2-6 反對稱偶數脈衝序列與零
點位置圖
圖6.2-7 對稱奇數脈衝序列與零點
位置圖
圖6.2-8 對稱偶數脈衝序列與零點
位置圖
窗形函數(Window Function)設
計法
  為了去除FIR濾波器在通帶與拒帶的頻率
   響應震盪﹐有必要把不要的部份予以截除
   (Truncate)﹐而保留需要的部份﹐使用的
   方法簡單的說就是把希望的響應與一個適
   當的窗形函數進行環形摺積﹐使得處理後
   的響應能夠滿足規格要求。
6.3.1 窗形函數的環形摺積

 對於一個希望得到的(Desired)濾波器頻率
  響應﹐其具有在通帶時為線性相位﹐在拒
  帶則完全阻絕信號通過。示意圖如圖6.3-1。
圖6.3-1 窗形函數設計法示意圖
 希望的頻率響應                                 窗形函數頻率響應
           頻率響應Td(w)
                                                a(w)
                       環形摺積




                                                       頻率w
                       頻率w
             截止頻率wc
                             Side lobe    Main lobe




                             頻率響應T(w)


FIR濾波器頻率響應


                                          頻率w
6.3.2 窗形函數的種類

 常用的窗形函數有Rectangular window、
  Bartlett window、Hanning window、
  Hamming window、Blackman window、
  Kaiser window。
圖6.3-2 窗形函數圖之一
圖6.3-3 窗形函數圖之二
圖6.3-4 窗形函數圖之三
圖6.3-5 窗形函數頻率響應圖之一
圖6.3-6 窗形函數頻率響應圖之二
圖6.3-7 窗形函數頻率響應圖之三
6.3.3 以指令fir1設計FIR濾波器

  MATLAB指令fir1﹐只要給定濾波器的長度
   M、截止頻率w、（或增加窗形函數種類
   win、濾波器形式f_type）﹐使用它即可輕
   鬆的滿足設計上的需求。
圖6.3-8 Hamming 低通FIR濾波
器
圖6.3-9 Blackman高通FIR濾波
器
圖6.3-10 Hanning帶通FIR濾波
器
圖6.3-11 Hanning帶拒FIR濾波
器
6.3.4 Kaiser window之FIR濾波
器設計
  Kaiser window是最好用的窗形函數﹐設
   計過程中必須先算兩個參數﹐其中一個為
   值﹐目的是要滿足拒帶衰減參數As的需
   求；另一個則為FIR濾波器的長度M﹐這
   是我們設計的目的。
圖6.3-12 Kaiser低通FIR濾波器
圖6.3-13 Kaiser高通FIR濾波器
圖6.3-14 Kaiser帶通FIR濾波器
圖6.3-15 Kaiser帶拒FIR濾波器
6.3.5 以指令fir2設計任意形狀
(Arbitrary shape)FIR濾波器
  fir2類似fir1的指令﹐但是它不用來設計高
   通、低通、帶通、帶拒濾波器﹐而是設計
   多頻段(Multilevel)的濾波器。
圖6.3-16 以fir2設計多頻段FIR濾
波器
圖6.3-17 以fir2設計多頻段FIR濾
波器(階數不夠)
最佳化濾波器設計

 所謂最佳化就是讓濾波器的頻率響應﹐在
  衰減帶的起伏(Ripple)等量平均的變化﹐
  稱為Equiripple。使用的演算法稱為Parks-
  McClellan algorithm。
6.4.1 最佳化濾波器設計

 最佳化濾波器的設計步驟
圖6.4-1 以remez指令設計低通
FIR濾波器
圖6.4-2 以remez指令設計高通
FIR濾波器
圖6.4-3 以remez指令設計帶通
FIR濾波器
圖6.4-4 以remez指令設計帶拒
FIR濾波器
6.4.2 微分器設計

 remez指令設計頻譜微分器﹐同上一小節
  介紹的指令格式﹐在尾端加
  上’differentiator’的宣告即可。
圖6.4-5 以remez指令設計FIR微
分器
6.4.3 Hilbert形式的濾波器設計

  同6.4.1小節介紹的指令格式﹐在尾端加
   上’hilbert’的宣告即可執行Hilbert
   transformer的設計。
圖6.4-6 以remez指令設計帶通
FIR濾波器(Hilbert transformer)