PERSAMAAN DIFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION) by HC11121318410

VIEWS: 159 PAGES: 33

									  PERSAMAAN
  DIFERENSIAL
(DIFFERENTIAL EQUATION)
     metode euler
   metode runge-kutta
       Persamaan Diferensial
• Persamaan paling penting dalam bidang
  rekayasa, paling bisa menjelaskan apa yang
  terjadi dalam sistem fisik.
• Menghitung jarak terhadap waktu dengan
  kecepatan tertentu, 50 misalnya.

              dx
                  50
              dt
Rate equations
        Persamaan Diferensial
• Solusinya, secara analitik dengan integral,

     dx  50dt            x  50t  C
• C adalah konstanta integrasi
• Artinya, solusi analitis tersebut terdiri dari
  banyak „alternatif‟
• C hanya bisa dicari jika mengetahui nilai x
  dan t. Sehingga, untuk contoh di atas, jika
  x(0) = (x saat t=0) = 0, maka C = 0
  Klasifikasi Persamaan Diferensial

Persamaan yang mengandung turunan dari
  satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap
  satu atau lebih variabel bebas.
• Dibedakan menurut:
  – Tipe (ordiner/biasa atau parsial)
  – Orde (ditentukan oleh turunan tertinggi yang
    ada
  – Liniarity (linier atau non-linier)
                       PDO
Pers.dif. Ordiner = pers. yg mengandung
sejumlah tertentu turunan ordiner dari satu atau
lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel
bebas.
          2
         d y (t )    dy(t )
                  t         5 y (t )  et
           dt 2        dt
y(t) = variabel tak bebas
t = variabel bebas
dan turunan y(t)
Pers di atas: ordiner, orde dua, linier
                  PDO
• Dinyatakan dalam 1 peubah dalam
  menurunkan suatu fungsi
• Contoh:

      dy
          sin x   y '  sin x
      dx
      dP
          kP   P'  kP
      dt
      Partial Differential Equation
• Jika dinyatakan dalam lebih dari 1 peubah, disebut
  sebagai persamaan diferensial parsial
• Pers.dif. Parsial mengandung sejumlah tertentu
  turunan dari paling tidak satu variabel tak bebas
  terhadap lebih dari satu variabel bebas.
• Banyak ditemui dalam persamaan transfer polutan
  (adveksi, dispersi, diffusi)
            2 y ( x, t )  2 y ( x, t )
                                        0
              x   2
                              t 2
                           PDO

y ' ' '4 y  2        Ordiner, linier, orde 3
d 2s
    2
         32          Ordiner, linier, orde 2
 dt
( y' ) 2  3 y  e x   Ordiner, non linier, orde 1
   Solusi persamaan diferensial
• Secara analitik, mencari solusi persamaan
  diferensial adalah dengan mencari fungsi
  integral nya.
• Contoh, untuk fungsi pertumbuhan secara
  eksponensial, persamaan umum:

              dP
                  kP
              dt
Rate equations
But what you really want to know is…
the sizes of the boxes (or state variables) and how they
change through time

That is, you want to know:
                 the state equations


There are two basic ways of finding the state equations
for the state variables based on your known rate
equations:

  1)      Analytical integration
  2)      Numerical integration
Suatu kultur bakteria tumbuh dengan
kecepatan yang proporsional dengan
jumlah bakteria yang ada pada setiap
waktu. Diketahui bahwa jumlah bakteri
bertambah menjadi dua kali lipat setiap 5
jam. Jika kultur tersebut berjumlah satu
unit pada saat t = 0, berapa kira-kira
jumlah bakteri setelah satu jam?
     Solusi persamaan diferensial
• Jumlah bakteri menjadi dua kali lipat setiap 5 jam, maka k
  = (ln 2)/5
• Jika P0 = 1 unit, maka setelah satu jam…


   dP
        kP           P (t )  P0 e kt
    dt
                                   ( (ln 2 ) )(1)
 P1
    dP
          t1
                      P(1)  1(e            5
                                                  )
  P  t kdt
 P0
                              1.1487
           0

    P
ln      Ck (t  t0 )
    P0
The Analytical Solution of the Rate Equation
           is the State Equation




      Rate equation   (dsolve in Maple)   State equation
There are very few models in
 ecology that can be solved
        analytically.
           Solusi Numerik
• Numerical integration
  – Eulers
  – Runge-Kutta
Numerical integration makes use of this relationship:

                                dy
                yt  t    yt  t
                                dt

        Which you‟ve seen before…



 Relationship between continuous and discrete time models

     *You used this relationship in Lab 1 to program the
     logistic rate equation in Visual Basic:

                            Nt     
       N t 1  N t  rN t 1      t ,   where t  1
                               K   
Fundamental Approach of Numerical Integration
                               dy
               yt  t    yt  t
                               dt



                                                     y = f(t), unknown
                               yt+t,
                                                            yt+t, estimated
                              unknown
      y
                                                    dy
                                                         , known
                                                    dt
             yt, known
                                    t, specified




                          t
                                               N 
                      N t  t  N t  rN t 1  t t ,                    where t  1
                                               K 
                                                      dN
                                                           dt
                                          Nt/K with time, lambda = 1.7, time step = 1
                               0.45

                                0.4

                               0.35

                                0.3

                               0.25
                        Nt/K




                                0.2

                               0.15

                                0.1

                               0.05

                                 0
                                      0          10        20         30     40         50
                                                            time (years)


Calculate dN/dt*1     Nt+ t becomes the new Nt
at Nt
                      Calculte dN/dt * 1 at new Nt                            Repeat these steps to estimate the state
Add it to Nt to                                                               function over your desired time length
estimate Nt+ t       Use dN/dt to estimate next Nt+ t                                  (here 30 years)


                  Euler‟s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
Example of Numerical Integration
         dy
             6 y.007 y 2
         dt                            point to
                                       estimate

        Analytical solution to dy/dt




      Y0 = 10




                 t = 0.5
          Euler‟s Method: yt+ t ≈ yt + dy/dt t
                       dy
                           6 y.007y 2
                       dt


            m1 = dy/dt at yt                analytical y(t+ t)

            m1 = 6*10-.007*(10)2
      y
            y = m1*t
            yest= yt + y                   estimated y(t+ t)



                                                 y

yt = 10

                                t = 0.5
Runge-Kutta Example
   dy
       6 y.007 y 2
   dt                              point to
                                   estimate
 Problem: estimate the slope to
 calculate y

                                  y




         t = 0.5
         Runge-Kutta Example


                                    estimated yt+Δt


                                    Unknown point to
                                    estimate, yt+Δt

                                    estimated yt+Δt



                                    estimated yt+Δt


yt
     t               ½ Δt      Δt
               t = 0.5
              Runge-Kutta, 4th order

Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4)
within Δt:
                f (t , y)  derivative at (t , y)

                m1  f (t , y )
                m2  f (t  t / 2, y  m1t / 2)
                m3  f (t  t / 2, y  m2 t / 2)
                m4  (t  t , y  m3 t )

These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the
state function between t and t + Δt, which is used to estimate
yt+ Δt:
                            1
              yt  t  yt  (m1  2m2  2m3  m4 )t
                            6
                            Step 1:
         Evaluate slope at current value of state
                        variable.


             y0 = 10

             m1 = dy/dt at y0
     y       m1 = 6*10-.007*(10)2
             m1 = 59.3
                                                    m1=slope 1


y0
                             Step 2:
     A) Calculate y1at t +t/2 using m1.
     B) Evaluate slope at y1.

         A) y1 = y0 + m1* t /2
            y1 = 24.82

         B) m2 = dy/dt at y1
            m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2
            m2 = 144.63                    m2=slope 2




y1




                t = 0.5/2
                         Step 3:
     Calculate y2 at t +t/2 using k2.
             Evaluate slope at y2.
     y2 = y0 + k2* t /2
     y2 = 46.2                           k3 = slope 3

     k3 = dy/dt at y2
     k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2
     k3 = 263.0


y2




            t = 0.5/2
                        Step 4:
      Calculate y3 at t +t using k3.
             Evaluate slope at y3.
     y3 = y0 + k3* t                y3
     y3 =141.5                            k4 = slope 4

     k4 = dy/dt at y3
     k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2
     k4 = 706.9


y2




                         t = 0.5
Now you have 4 calculations of the slope of the state equation
                   between t and t+Δt


                                                     m4 = slope 4




                                                     m3 = slope3



                                                     m2 = slope 2

                                                     m1 = slope 1


                           t = 0.5
                      Step 5:
       Calculate weighted slope.
Use weighted slope to estimate y at t +t
                    1
   weighted slope =   (m1  2m2  2m3  m4 )
                  1 6
      yt  t  yt  (m1  2m2  2m3  m4 )t
                    6


                                                   true value

                weighted slope
                                                estimated value




                        t = 0.5
                                 Conclusions

                                                     Analytical
•   4th order Runge-Kutta offers
    substantial improvement over
                                               Runge-Kutta
    Eulers.
•   Both techniques provide estimates,
    not “true” values.                                            Eulers
•   The accuracy of the estimate
    depends on the size of the step used
    in the algorithm.

								
To top