Zu Blatt 1: by Mg7kd8

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									Formelsammlung                                                             Elektrotechnik

               Thema                                     Bereiche                    Seite
Magnetismus                          Unterscheidung und Verlauf                      3-2
Magnetfeld in Leitern                Zeichnung                                       3-2
Magnetfeld in Spule                  Zeichnung                                       3-2
Merkblatt Magnetismus                Wesen                                           3-3
                                     Vorkommen                                       3-3
                                     Ursache                                         3-3
                                     Wirkung                                         3-3
                                     Wertung                                         3-3
Der Magnet                           Arten                                           3-3
                                     Aufbau                                          3-3
                                     Magnetfeld                                      3-3
Magnetischer Fluß                    Leitfähigkeit für magnetische Kraftlinien       3-3
                                     Sättigung                                       3-3
                                     Magnetische Flußdichte                          3-3
Arten des Magneten                   Weicheisenmagnet                                3-3
                                     Harteisenmagnet                                 3-3
                                     Stahlmagnet                                     3-3
Entmagnetisieren                     Erklärung                                       3-3
Magnetischer Fluß                    Einheit und Erklärung                           3-4
Magnetische Flußdichte               Berechnung                                      3-4
Magnetische Durchflutung             Berechnung                                      3-4
Magnetische Feldstärke               Berechnung                                      3-4
                                     Zusammenhang Flußdichte – Feldstärke            3-5
                                     Magnetisierungskennlinie                        3-5
                                     Hysteresekurve                                  3-5
Kräfte auf stromdurchflossenen Le.   Zeichnung und Berechnung                        3-6
Tragkraft eines Magneten             Zeichnung und Berechnung                        3-6
Stromdurchflossener Leiter im                                                        3-7
                                     Linke-Hand-Regel
Magnetfeld (Motorprinzip)
                                     UVW-Regel                                       3-7
                                     Berechnung                                      3-7
Induktion                            Rechte-Hand-Regel                               3-8
                                     UVW-Regel                                       3-8
                                     Berechnung                                      3-8
                                     Lenzsche Regel                                  3-8
Induktion der Ruhe (Trafoprinzip)    Zeichnung und Berechnung                        3-9
                                     Spannungsübersetzungsverhältnis                 3-9
                                     Stromübersetzungsverhältnis                     3-9
                                     Widerstandsübersetzungsverhältnis               3-10
Selbstinduktion                      Zeichnung und Berechnung                        3-10
Spule (Induktivität)                 Berechnung                                      3-11
                                     Energie / Arbeit im magnetischen Feld           3-12
                                     Reihenschaltung                                 3-12
                                     Parallelschaltung                               3-12
                                     Ein- und Ausschalten einer Spule                3-13
                                     Berechnung der Zeitkonstante                    3-14
                                     Berechnungen beim Einschaltvorgang              3-15
                                     Berechnungen beim Ausschaltvorgang              3-16



Stand: 13. Dezember 2011                                                         Seite 3-1
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Grundlagen Magnetismus:

Unterscheidung der Magnete in:
  - Dauermagnete (Permanentmagnete)
  - Elektromagnete
  - Erdmagnetfeld

Die magnetischen Feldlinien treten am N-Pol senkrecht aus und am S-Pol wieder
senkrecht ein.
Im Inneren des Magneten verlaufen die magnetischen Feldlinien vom S-Pol zum N-Pol.




Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so baut sich um ihn kreisförmig ein
Magnetfeld auf.

 bedeutet:
Strom fließt aus dem Leiter

X bedeutet:
Strom fließt in den Leiter




Feldlinien in einer Spule:




Stand: 13. Dezember 2011                                                        Seite 3-2
Formelsammlung             Elektrotechnik




Stand: 13. Dezember 2011        Seite 3-3
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Der magnetische Fluß  (phi):

Einheit:   1Vs  1Wb
Die Anzahl der magnetischen Feldlinien wir als sog. magnetischer Fluß  (phi) bez.


Magnetische Flußdichte B:

                         
B                  A                      B A      B  Vs
                                                               2
                                                                   
                                                                       Wb
                                                                          T
     A                    B                                  m         m2

B = magnetische Flußdichte in T (Tesla)
 = magnetischer Fluß in Wb
A = Fläche in m2


Die magnetische Durchflutung  (theta):

                                              
 I N            I                     N
                          N                    I

  = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung)
I = Strom in A
N = Anzahl der Windungen der Spule


Magnetische Feldstärke H:

     IN                  IN                  H  lm                  H  lm
H                 lm                    I                     N
      lm                   H                    N                        I

                         
H                 lm                      lm  H          H      A
     lm                   H                                             m

                                A
H = magnetische Feldstärke in
                                m
I = Strom in A
N = Anzahl der Windungen der Spule
lm = mittlere Feldlinienlänge in m
  = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung)




Stand: 13. Dezember 2011                                                             Seite 3-4
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Zusammenhang zwischen magnetischer Flußdichte B und Feldstärke H:

                              B                   B
B  0  r  H       H                 r 
                           0  r              0  H

                                               Vs
μ0 = magnetische Feldkonstante 1,256  10 6      ; μr = Permeabilitätszahl (bei Luft  μr=1)
                                               Am

Magnetisierungskennlinie:




Hysteresekurve (-schleife):




BR = Remanenz (= Restmagnetismus)
HC = Koerzitivfeldstärke (=Ummagnetisierungsfeldstärke)


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Kräfte auf stromdurchflossene Leiter:




     Feldlinien laufen entgegengesetzt                                       Feldlinien laufen gleich
               Feldschwächung                                                Feldverstärkung
               Leiter ziehen sich an                                         Leiter stoßen sich ab

Die Bewegung der Leiter folgt immer zum schwächeren Feld hin.

        0  l  I1  I 2          k  l  I1  I 2           0
F                          F                        k
           2   r                       r                  2 

        0  l  I1  I 2          k  l  I1  I 2            F r
r                          r                        I2 
          2   F                        F                  k  l  I1

        2   F  r                 F r                    F r
I2                         I1                       l
          0  l  I1              k  l  I2              k  I 2  I1

       2   F  r              2   F  r
I1                         l
        0  l  I2               0  I 2  I1

F = Kraft in N
                                                             Vs
μ0 = magnetische Feldkonstante 1,256  10 6
                                                             Am
l = wirksame Leiterlänge in m
I1 ; I2 = Strom durch den jeweiligen Leiter in A
r = Abstand der Leiter


Tragkraft eines Magneten:

    A  BL 2                     F  2  0                   F  2  0
F 
    2  
                           A           2
                                                      BL 
         0                          BL                            A

                                   W                       W
W  F s                    F                        s
                                   s                       F

F = Kraft in N ; W = Hubarbeit des Magneten in Nm
A = wirksame Ankeroberfläche
BL = magnetische Flußdichte der Spule in T
                                             Vs
μ0 = magnetische Feldkonstante 1,256  10 6
                                             Am
s = Abstand von Anker und Magnet in m
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Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip):

Der stromdurchflossene Leiter bildet mit seinem Magnetfeld und dem des Dauermagneten
ein resultierendes Magnetfeld. Es entsteht eine Feldverstärkung und eine Feld-
schwächung. Der stromdurchflossene Leiter bewegt sich in Richtung Feldschwächung.


Linke-Hand-Regel:
Hält man die linke Hand so, dass die Feldlinien
auf die Innenfläche der Hand auftreffen und die
gestreckten Finger in Stromrichtung zeigen,
dann gibt der abgespreizte Daumen
die Richtung der Kraft F an.

U-V-W-Regel (rechte Hand):
Ursache: Strom I
Vermittlung: Magnetfeld B
Wirkung: Kraft F



                             F                F              F             F
F  B I l  N      B               I              l            N
                          I l  N         B l  N        BI N        B I l


F     Vs
           2
              A m 
                      Ws
                         
                           Nm
                              N
         m            m    m


F = Kraft in N
                    Vs Wb
B = Flußdichte in        T
                    m2 m2
I = Strom in A
l = wirksame Leiterlänge in m
N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld




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Induktion (Generatorprinzip):

Schneidet ein Leiter die Feldlinien eines Magnetfeldes, so wird in dem Leiter eine
Spannung erzeugt (=induziert).


Rechte-Hand-Regel:
Treffen die Feldlinien auf die Innenfläche der
Hand auf und zeigt der abgespreizte Daumen
in Richtung der Leiterbewegung, dann fließt
der induzierte Strom in Richtung der
ausgestreckten Finger.

U-V-W-Regel (rechte Hand):
Ursache: Kraft F (Bewegung v)
Vermittlung: Magnetfeld B
Wirkung: Strom I


                                 Ui             Ui                Ui                    Ui
U i  B  v  l  N     B             v              l                N 
                               vl  N         Bl  N          Bv N                B v l


Ui   Vs  m  m  V
         2
       m     s


Ui = induzierte Spannung in V
                  Vs Wb
B = Flußdichte in 2  2  T
                  m     m
                        m
v = Geschwindigkeit in
                        s
l = wirksame Leiterlänge in m
N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld

Die induzierte Spannung Ui ist negativ, da sie nach der Lenzschen Regel so
gerichtet ist, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt.


Lenzsche Regel:
Die induzierte Spannung Ui ist stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache (Kraft F)
entgegenwirkt.




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Induktion der Ruhe (Trafoprinzip)
                               Primärspule               Sekundärspule




Ändert sich der magnetische Fluss durch die Stromänderung I, so wird in der Sekundär-
spule während der Änderung eine Spannung Ui induziert. (Lenzsche Regel)

          N                               N            U i  t             U i  t
Ui                                t              N                  
            t                                 Ui                                  N

Ui = induziert Spannung in V
N = Anzahl der Windungen der Sekundärspule
  = magnetischer Flußdifferenz in Wb
t = Zeitänderung in s

Spannungsübersetzungsverhältnis:

     u1                    u1
ü                 u2                 u1  ü  u 2
     u2                    ü

u1 = Primärspannung in V
u2 = Sekundärspannung in V
ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo

Stromübersetzungsverhältnis:

     i2                   i2
ü                 i1                 i2  ü  i1
     i1                   ü

i1 = Strom in der Primärspule in A
i2 = Strom in der Sekundärspule in A
ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo

     N1                        N1
ü                 N2                 N1  ü  N 2
     N2                        ü

N1 = Anzahl der Windungen auf der Primärspule
N2 = Anzahl der Windungen auf der Sekundärspule

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Widerstandsübersetzung (-übertrager):




                             R1                R1
R1  ü 2  R2        R2                ü
                             ü2                R2

R1 = Widerstand der in der Quelle wirkt in Ω
R2 = Widerstand im Sekundärkreis in Ω
ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo


Selbstinduktion:
                            v




Ändert sich in einer Spule das Magnetfeld (I     B), so wird in der Spule selbst
eine Spannung induziert.
Selbstinduktionsspannung Ui

         L  I              L  I            U i  t             U i  t
Ui                t                L                I  
           t                 Ui                  I                    L

Ui = Selbstinduktionsspannung in V
L = Induktivität in H
I = Stromänderung in A
t = Zeitänderung in s




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Induktivität:

Herleitung:

       N                                                    I  N
Ui           ;   B  A ; B   0   r  H ; H              ;
         t                                                      lm
         N            N  B  A      N   0   r  H  A       N   0   r  I  N  A
Ui                                                          
            t               t                    t                          t  l m
          0   r  A  N  N  I      0 r  A            I       L  I
Ui                                                 N 2        
                   l m  t                   lm               t         t


     0  r  A                      0  r  A                  L  lm               L  lm
L                     N2     lm                  N2    A                   N
         lm                               L                     0  r  N 2        0  r  A


L  Vs  m
               2
                       Vs
                         H
      Am  m            A

L = Induktivität in H (Henry)
                                                          Vs
μ0 = magnetische Feldkonstante 1,256  10 6
                                                          Am
μr = Permeabilitätszahl (bei Luft  μr=1)
A = Fläche in m2
lm = mittlere Feldlinienlänge in m
N = Windungsanzahl




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Energie im magnetischen Feld:

       1                                2 W                    2 W
W        LI2                 L                        I
       2                                  I2                      L

W = Energie (=Arbeit) in Ws
L = Induktivität in H
U = Spannung in V

                       1               1
1 Ws = 1  10-3 kWs =      10-3 Wh =      10-6 kWh = 0,278  10-6 kWh = 1J
                      3,6             3,6
1 kWh = 1  103 Wh = 3,6  103 kWs = 3,6  106 Ws = 3,6  106 J


Reihenschaltung von Spulen:

U g  U1  U 2  U 3

L g  L1  L2  L3




Parallelschaltung von Spulen:

U  U1  U 2  U 3

1    1   1   1
         
L g L1 L2 L3

für 2 Spulen gilt:

       L1  L2                L2  Lg                 L1  Lg
Lg                    L1                     L2 
       L1  L2                L2  Lg                 L1  Lg




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Ein- und Ausschalten einer Spule:




           Einschalten der Spule                       Ausschalten der Spule

Spannung an der Spule:                       Spannung an der Spule:




Spannung am Widerstand, Strom i:             Spannung am Widerstand, Strom i:




Nach 1τ fließt 63%, nach 2τ fließt 86%,      Durch die Gegeninduktion in der Spule liegt
nach 3τ fließt 95%, nach 4τ fließt 98% und   nach 1τ noch 37%, nach 2τ noch 14%,
nach 5τ fließt 100% von imax                 nach 3τ noch 5%, nach 4τ noch 2% von UR
                                             und nach 5τ keine Spannung mehr an.


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Zeitkonstante:

     L                L
               R         L  R        R = Widerstand in Ω ; L = Induktivität in H; τ in s
     R                

Nach 5 τ fließt der maximale Strom imax:

          U0                    U0
im ax                     R                     U 0  R  im ax
          R                     im ax

U0 = maximale Spannung an der Spule
R = Widerstand in Ω
imax = maximaler Strom

Zu jedem Zeitpunkt gilt:

U 0  uR  uL




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Berechnung zum Einschaltvorgang der Spule:

Spannung an der Spule:
                     
                         t
                                                     u                   t
u L t   U 0  e                      t    ln  L 
                                                     U          
                                                      0                 u 
                                                                       ln  L 
                                                                          U 
                                                                           0

                                                   u                      u 
                       t R
                                            L  ln  L 
                                                   U               L  ln  L 
                                                                            U 
                     
                                                    0                      0                    t  R
u L t   U 0  e       L
                                         t                       R                          L
                                                 R                       t                          u 
                                                                                                   ln  L 
                                                                                                      U 
                                                                                                       0

Spannung um Widerstand:
                      
                       t
                                                      u                  t 
uR t   U 0  1  e  
                        
                                         t    ln 1  R 
                                                      U         
                                                       0               u 
                                                                       ln 1  R 
                                                                           U 
                                                                              0 



                                                      u                      u 
                                            L  ln 1  R 
                                                    U              L  ln 1  R 
                                                                             U 
                     
                        tR
                                                      0                      0                   t  R
uR t   U 0  1  e L 
                                       t                       R                          L
                                                 R                       t                         u 
                                                                                                   ln 1  R 
                                                                                                       U 
                                                                                                           0 



Strom:
                       
                          t
                                                         i                         t 
it   i m ax  1  e
                 
                                
                                 
                                         t    ln 1 
                                                      i                
                                                       max                         i 
                                                                                   i 
                                                                               ln 1      
                                                                                      max 




                                                        i                      i 
                                                    i 
                                            L  ln 1                      i 
                                                                     L  ln 1      
                            
                               tR
                                                      max                    max                       t R
i t   im ax  1  e
                 
                                L    
                                        t                       R                               L
                                                 R                        t                                 i 
                                                                                                            i 
                                                                                                        ln 1      
                                                                                                               max 



tE  5 

U0 = Maximale Spannung an der Spule in V
uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V
uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V
i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A
t = Zeitpunkt in s
τ = Zeitkonstante in s
R = Widerstand in Ω
L = Induktivität in H
tE = Zeit bis nahezu der maximale Strom fließt

Stand: 13. Dezember 2011                                                                                       Seite 3-15
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Berechnung zum Ausschaltvorgang der Spule:

Spannung der Spule:
                                
                                    t
                                                      u                          t 
u L t   U 0  e                     t    ln  L 
                                                      U              
                                                        0                        u 
                                                                               ln  L 
                                                                                   U 
                                                                                     0 



                                                    u                   u 
                                  t R
                                            L  ln  L 
                                                    U          L  ln  L 
                                                                          U 
                                
                                                      0                   0                         t  R
u L t   U 0  e                 L
                                         t                    R                            L
                                                  R                    t                                u 
                                                                                                      ln  L 
                                                                                                          U 
                                                                                                             0 




Spannung um Widerstand:
                       
                            t
                                                     u               t 
u R t   U 0  e                      t    ln  R 
                                                     U       
                                                      0              u 
                                                                    ln  R 
                                                                       U 
                                                                        0

                                                   u                   u 
                             t R
                                            L  ln  R 
                                                   U            L  ln  R 
                                                                         U 
                           
                                                    0                   0                      t R
u R t   U 0  e             L
                                         t                    R                           L
                                                 R                    t                            u 
                                                                                                  ln  R 
                                                                                                     U 
                                                                                                      0

Strom:
                   
                       t
                                                      i              t 
it   imax  e    
                                                     i 
                                         t    ln         
                                                      max             i 
                                                                       i 
                                                                    ln       
                                                                        m ax 

                                                    i                   i 
                     t R
                                            L  ln 
                                                   i                  i 
                                                                  L  ln      
                   
                                                    max                 max                    t  R
it   imax  e       L
                                         t                    R                           L
                                                 R                    t                             i 
                                                                                                     i 
                                                                                                  ln      
                                                                                                      max 

t A  5 

U0 = Maximale Spannung an der Spule in V
uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V
uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V
i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A
t = Zeitpunkt in s
τ = Zeitkonstante in s
R = Widerstand in Ω
L = Induktivität in H
tA = Zeit bis der Gegeninduktionsspanung der Spule abgeklungen ist

Stand: 13. Dezember 2011                                                                                       Seite 3-16

								
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