Mathematik mit TI-83 in BW by Mg7kd8

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									Praktische Extremwertaufgaben – Pipeline-Aufgabe                                   Dieter Brandt


                                    Verlegung einer Pipeline
Aufgabenstellung




Von einer Bohrinsel B soll zu einer Raffinerie R eine Pipeline verlegt werden. Jeder Kilometer im
Wasser kostet 850 000 €, über Land 400 000 €.

a) Wie groß sind die Kosten bei einer geradlinigen Verbindung von R und B.
b) Wie ist die Pipeline zu verlegen, damit die Verlegungskosten minimal sind ?
c) Wie viel spart man bei b) gegenüber a) ?
d) Noch während der Planung wird ein Streifen V entlang der Küste zum Vogelschutzgebiet erklärt.
Wie sollte die Pipeline jetzt gebaut werden. Um wie viel teurer wird dadurch die Pipeline als die
optimale?




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Praktische Extremwertaufgaben – Pipeline-Aufgabe                                   Dieter Brandt



Angaben für die Lehrerin / den Lehrer:


Lehrplanbezug
Lehrplaneinheit 4: Mathematik in der Praxis: Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung.
Offene Problemstellungen


Mögliche GTR-Elemente bei der Lösung
Eingabe von Funktionstermen
Einstellung des Zeichenfensters
Numerische Berechnungen (Gleichung lösen, Minimum berechnen)
Berechnungen mithilfe von eingegebenen Funktionen
Abtasten von Schaubildern (Trace)


Hinweise
Es ist zwar möglich, aber nicht unbedingt sinnvoll, jeden Schritt mit dem GTR durchzuführen. Die
Schülerinnen und Schüler sollten den Rechner dort einsetzen, wo eine händische Rechnung nicht
oder nur mit deutlich mehr Aufwand möglich ist.
Der Aufgabenteil d) ermöglicht eine Binnendifferenzierung. Ziel sollte für alle Schüler die
Bearbeitung von a) bis c) sein, d) kann dann von besseren Schülern bearbeitet werden, die schnell
mit dem Pflichtteil fertig sind.
Es empfiehlt sich, zuvor einige einfachere Aufgaben zu bearbeiten wie z.B. im LS11 ab Seite 181.
Die Schüler haben bei dieser Aufgabe das Problem, dass sie selbst eine passende Variable einführen
müssen („Hier gibt’s ja gar keine Variable ...“).
Als Bearbeitungszeit sollten 30 Minuten genügen.

Eine ähnliche Aufgabe, z.B. für eine Klassenarbeit, sei noch
angefügt:
An einem geradlinigen Strand bemerkt ein Strandwanderer W an der
Stelle A, dass bei S ein Schwimmer in Not ist. S ist
100 m vom Strand entfernt, A ist 130 m von der Stelle B am Strand
entfernt, die S am nächsten liegt. W kann am sandigen Strand mit
einer Geschwindigkeit von 9 km/h laufen, im Wasser ist er nur halb
so schnell.
An welcher Stelle zwischen A und B sollte er ins Wasser springen,
damit er möglichst schnell bei S ist?




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Hilfen zur Bearbeitung des Moduls mit einem GTR:

TI 83 / TI 83 Plus / Sharp EL 9650

Gleichungen kann man mit dem Gleichungslöser lösen:
  0: Solver
     -
Die Gleichung wird nach 0 aufgelöst eingegeben. Anschließend ist
für X ein Näherungswert einzugeben und mit
  (SOLVE)
wird – falls vorhanden – eine Lösung nahe beim Startwert ermittelt.
Im Hauptfenster kann man mit zuvor im Gleichungslöser oder im
Grafikfenster berechneten Werten unmittelbar weiterrechnen.
Vorsicht: Die Variablen X und Y sollte man nicht zum dauerhaften
Speichern verwenden, da sie bei Berechnungen vom Rechner neu
belegt werden können.


Funktionsterme im -Fenster eingeben.
Um mit Werten der Funktion, z.B. im Hauptfenster,
weiterzuarbeiten, wird der Funktionsbezeichner folgendermaßen
aufgerufen:
 
Dabei steht die letzte für Y1, für Y2 ist einzugeben usw. Eine
direkte Eingabe von Y1 ist leider nicht möglich.
Einstellungen des Zeichenfensters können mit
 
vorgenommen werden.
Alternativ kann man viele Größenänderungen schneller mit
 
bewerkstelligen.
Die numerische Berechnung eines Minimums eines Schaubildes im
Grafikfenster wird mit Hilfe des CALC–Menüs vorgenommen:
 
Es sind drei Eingaben erforderlich, zunächst eine linke Grenze, dann
eine rechte Grenze und dann noch eine Schätzung. Die Eingaben
können nach Bewegen des Cursors auf die gewünschte Stelle
erfolgen. Alternativ kann man die Eingaben direkt über die Tastatur
vornehmen.
Es wird nur ein Minimum zwischen den angegebenen Grenzen
berechnet, auch ggf. ein Randminimum.




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Hilfen zur Bearbeitung des Moduls mit einem GTR:
CASIO CFX-9850GB PLUS


Gleichungen kann man im Equation-Menü EQUA lösen:



Mit F3:Solver kommt man in den Eingabe-Modus für die Gleichung.



Die Gleichung wird nach 0 aufgelöst eingegeben. Anschließend ist für X ein
Näherungswert einzugeben und
mit F6: SOLV wird – falls vorhanden – eine Lösung nahe beim Startwert
ermittelt.
Alternative: Gleichungen kann man auch im Haupt-Menü RUN lösen:



Mit OPTN - CALC erscheint folgende Auswahl:



Nach Wahl von F1: Solve kann man die Gleichung nach 0 aufgelöst eingeben
oder die Funktion eingeben, deren Nullstelle bestimmt werden soll. Durch
Komma getrennt ist für die Lösung ein Näherungswert einzugeben.
Die Funktionsvariable Y1 erhält man über VARS / GRPH)


Um mit Werten der Funktion, z.B. im Hauptfenster, weiterzuarbeiten, wird der
Funktionsbezeichner folgendermaßen aufgerufen:VARS / GRPH
Es erscheint dann folgende Auswahl

F1: Y bringt die Bezeichnung Y auf den Bildschirm, dann wird mit der
Tastatur die Ziffer der entsprechenden Funktion eingegeben


Einstellungen des Zeichenfensters können im Menü GRAPH mit
SHIFT V-WINDOW vorgenommen werden.
Alternativ kann man viele Größenänderungen schneller mit SHIFT ZOOM
bewerkstelligen.
Die numerische Berechnung eines Minimums eines Schaubildes im
Grafikfenster wird nach dem Zeichnen des Schaubildes mithilfe des Menüs
vorgenommen, das nach SHIFT G-Solv erscheint.
Es sind keine weiteren Eingaben erforderlich. Es werden nur lokale Minima
angegeben.



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Möglicher Schüleraufschrieb




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Lösungsvorschlag TI 83




Wir beziehen uns auf die obige Skizze.
a) In diesem Fall liegt der Punkt D auf BR, und wir können den Strahlensatz anwenden:
15  x 8
         .
  15      18
Diese Gleichung kann man schnell per Hand lösen. Mit Rechner
verwenden wir den Gleichungslöser: Im  Menu wählen wir
                                           -
0: Solver
und geben die Gleichung wie in der Abbildung ein.
Für X geben wir einen Schätzwert ein, z.B. X=8, und drücken
   (SOLVE)
Im Hauptfenster können wir danach wie abgebildet mit der Lösung
X unmittelbar die Kosten berechnen.
Als Einheit verwenden wir Tausend €, damit die Zahlen
überschaubar bleiben.
Die Verlegung der Pipeline auf direktem Wege kostet also etwa
15230 Tausend €.

b) c) Für allgemeines x geben wir die Kostenfunktion ein, siehe
Abbildung.
In einem passenden Fenster (x = 0..15, y = 0..20000) zeichnen wir
das Funktionsschaubild und berechnen vom Zeichenfenster aus im
CALC-Menu das Minimum.


Bei der optimalen Leitungsverlegung ist also x = 4,1 km. Es
entstehen dabei Kosten von etwa 14595 Tausend €. Man spart also
etwa 635 Tausend € gegenüber der geradlinigen Verbindung.
Es fällt auf, dass das Minimum sehr „flach“ ist. Eine geringe
Abweichung vom optimalen x wirkt sich also nicht sehr stark aus.
Das lässt sich im TRACE-Modus gut veranschaulichen.




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d) Es ist leicht einzusehen, dass jetzt der optimale Weg über einen
Eckpunkt des Gebietes V laufen muss.
Für die linke untere Ecke von V ist x = 13, also ergeben sich die
Kosten, die wir im Hauptfenster wie nebenstehend berechnen
können. Die Eingabe der Funktion Y1 erfolgt über das VARS-
Menu:
 
Für die rechte obere Ecke von V ist das gleiche Problem wie bei b)
zu lösen, allerdings mit einer modifizierten Kostenfunktion, die wir
bei Y2 eingeben.
Y2 beschreibt zunächst nur die Kosten von B zur rechten oberen
Ecke von V.


Die Berechnung des Minimums von Y2 ist aus der Abbildung zu
ersehen.
Auffällig ist wieder, wie flach das Schaubild beim Minimum
verläuft.



Im Hauptfenster berechnen wir noch die Kosten für den optimalen
Weg über die rechte obere Ecke.
Die Pipeline über die rechte obere Ecke von V kostet also etwa
15129 Tausend €. Sie ist damit deutlich billiger als über die linke
untere Ecke von V.
Im Vergleich zur optimalen Lösung bei b) ergibt sich allerdings eine
Verteuerung von etwa 534 Tausend €.




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Lösungsvorschlag CASIO CFX 9850GB PLUS




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a) In diesem Fall liegt der Punkt D auf BR, und es gilt nach dem Strahlensatz:            .
                                                                                    15    18
Diese Gleichung kann man eigentlich per Hand lösen.
Mit dem GTR kann man im RUN-Modus arbeiten:
OPTN - CALC eröffnet die Auswahlmöglichkeit für Solve.

Die Gleichung wird wie in der Abbildung eingegeben, für X der Schätzwert 8
gewählt und mit EXE die Gleichung gelöst.


Die Antwort wird in der Variablen X abgelegt.



Im Hauptfenster werden danach wie abgebildet mit der Lösung X unmittelbar
die Kosten berechnet.
Als Einheit kann man Tausend € verwenden, damit die Zahlen überschaubar
bleiben.
Die Verlegung der Pipeline auf direktem Wege kostet also etwa 15230
Tausend €.
b) c) Für allgemeines x gibt man die Kostenfunktion im GRAPH-Menü ein,
siehe Abbildung.


In einem passenden Fenster (x = 0..15, y = 0..20000) ...



... zeichnet man das Funktionsschaubild und berechnet vom Zeichenfenster aus
im G-Solv-Menu das Minimum.


Bei der optimalen Leitungsverlegung ist also x = 4,1 km. Es entstehen dabei
Kosten von etwa 14595 Tausend €. Man spart also etwa 635 Tausend €

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gegenüber der geradlinigen Verbindung.
Es fällt auf, dass das Minimum sehr „flach“ ist. Eine geringe Abweichung vom
optimalen x wirkt sich also nicht sehr stark aus. Das lässt sich im TRACE-
Modus gut veranschaulichen.
d) Es ist leicht einzusehen, dass jetzt der optimale Weg über einen Eckpunkt
des Gebietes V laufen muss.
Für die linke untere Ecke von V ist x = 13, also ergeben sich die Kosten, die
wir im Hauptfenster wie nebenstehend berechnen können.
Die Eingabe der Funktion Y3 im RUN-Modus erfolgt über
VARS-GRPH-Y-1
Für die rechte obere Ecke von V ist das gleiche Problem wie bei b) zu lösen,
allerdings mit einer modifizierten Kostenfunktion, die bei Y6 eingeben ist.


Die Berechnung des Minimums von Y6 ist aus der Abbildung zu ersehen.
Auffällig ist wieder, wie flach das Schaubild beim Minimum verläuft.


Im Hauptfenster kann man sich nochmals das Ergebnis für die Kosten für den
optimalen Weg über die rechte obere Ecke anzeigen lassen.
Die Pipeline über die rechte obere Ecke von V kostet also etwa 15129 Tausend
€. Sie ist damit deutlich billiger als über die linke untere Ecke von V.
Im Vergleich zur optimalen Lösung bei b) ergibt sich allerdings eine
Verteuerung von etwa 534 Tausend €.




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