MTH 102
ั
แคลคูลสและเรขาคณิตวิเคราะห์ 2
โดย
ภุชงค์ แพรขาว
วัตถุประสงค์ การเรียนรู้
เมื่อนักศึกษาเรียนจบรายวิชาCalculus and Analytic Geometry II ต้ องสามารถ
1.บอกความหมายความของลาดับและคานวณหาลิมิตของลาดับได้
2.บอกความหมายความของอนุกรมและทดสอบการลู่เข้ าของอนุกรมบวก อนุกรมสลับ อนุกรม
กาลังและอนุกรมฟูเรียร์ ได้
3.บอกความหมายจานวนเชิงซ้ อนและถอดรากจานวนเชิงซ้ อนได้
ั ั
4.ให้ ความหมายของระบบพิกดเชิงขั้วและเขียนกราฟบนระนาบพิกดเชิงขั้วได้
5.ให้ ความหมายฟังก์ชันหลายตัวแปรอิสระได้
ั
6.นิยามลิมิตและอนุพนธ์ ย่อยของฟังก์ ชันหลายตัวแปรและคานวณหาค่ าได้
ั ั
7.ประยุกต์ อนุพนธ์ ย่อยแก้ ปัญหาโจทย์ เรื่องอัตราสั มพัทธ์ ค่ าเชิงอนุพนธ์ รวมและค่ าสุ ดขีดได้
8.นิยามการอินทิเกรตสองชั้น สามชั้นของฟังก์ชันหลายตัวแปรและหาผลลัพธ์ ได้
้
9.ประยุกต์ การอินทิเกรตสองชั้นและสามชั้น หาพืนบนระนาบและปริมาตรทรงตันได้
แผนการสอน
MTH 102 Calculus and Analytic Geometry II
สั ปดาห์ 1 : Sequences, limit of sequences, monotons sequence
สั ปดาห์ 2 : Series, the integral test, the comparison test
สั ปดาห์ 3 : the ratio test, the alternative series and absolute
convergence tests, binomial expansion
สั ปดาห์ 4 : power series, the Taylor’s formula
สั ปดาห์ 5 : Fourier series, periodic function, the Euler formula
สั ปดาห์ 6 : Convergence of Fourier series, Fourier integral
สั ปดาห์ 7 : Complex Number
สั ปดาห์ 8 : polar coordinate, areas in the polar coordinate.
สั ปดาห์ 9 : parametric equations, arc length, the angle between a
line and a tangent line
สั ปดาห์ 10 : Function of Several variable, limits and continuity,
Graph of Equations, Plane Curve
สั ปดาห์ 11 : Partial Derivatives, Differentials, The Chain Rule
สั ปดาห์ 12 : Second Order Partial Derivative and Relative Extrema
สั ปดาห์ 13 : Definite Integrals Over Plane and Solid Regions, Double
Tntegrals in Rectangular
สั ปดาห์ 14 : Double Integrals in Polar Form, Triple Integrals in
Rectangular Coordinates
สั ปดาห์ 15 : Triple Integrals in Cylindrical and spherical
Coordinates
คาบที่ 1
วัตถุประสงค์ การเรียนรู้ คาบที่ 1
่ ้
เมือนักศึกษาเรียนจบคาบนีจะต้ องสามารถ
1.ให้ ความหมายความของลาดับและชนิดของลาดับได้
2.ให้ ความหมายลิมิตของลาดับได้
3.เมื่อกาหนดลาดับให้ สามารถคานวณหาลิมิตของลาดับได้
4.เมื่อกาหนดลาดับให้ สามารถทดสอบได้ ว่าเป็ นลาดับทางเดียวหรือไม่ ได้
ลาดับ(Sequence)
นิยาม Sequence
่
ลาดับ คือฟังก์ ชัน(f)ทีมีค่าตัวแปรต้ นเป็ นจานวนเต็มและตัวแปรตามเป็ น
พจน์ (Term)ของลาดับ(an) ซึ่งโดยทั่วไปตัวแปรต้ นจะเป็ นจานวนเต็มบวก
เริ่มจาก n = 1,2,3,…
an f n ; n 1, 2,3,...
เขียนสั ญลักษณ์ แทนลาดับด้ วย Bracket Notation
an an n1
or
เมื่อ an คือพจน์ ทวไปของลาดับ
ั่
ตัวอย่ าง จงเขียนสั ญลักษณ์ Bracket Notation แทนลาดับต่ อไปนี้
1 2 3
1. , , ,
2 3 4
1 2 3 4
2. , , , ,
2 3 4 5
วิธีทา
n 1 2 3
1. , , ,
n 1 2 3 4
n 1 2 3 4
2. 1
n 1
, , , ,
n 1 2 3 4 5
ลาดับชนิดต่ าง ๆ
่
ชนิดของลาดับมีมากมายแล้ วแต่ ตามเงือนไขของการแบ่ ง เช่ น
1.Finite Sequence
2.InFinite Sequence
3.Arithmetic Sequence
4.Geometric Sequence
5.Harmonic Sequence
ฯลฯ
ลิมิตของลาดับ
นิยาม ลิมิตของลาดับ
ถ้ าให้ anเป็ นลาดับอนันต์ และ L เป็ นจานวนจริ งใด ๆ แล้ วจะ
กล่ าวว่ าลิมิตของลาดับมีค่าเท่ ากับ L ก็ต่อเมื่อ |an- L| N (n) , N และ คือจานวนจริงใด ๆ โดยที่ > 0 จะเขียน
สั ญลักษณ์ แทนด้ วย
lim an L
n
หมายเหตุ
ิ
1.ถ้ าลาดับมีลมิตจะกล่าวว่ าลาดับลู่เข้ า(Convergent)สู่ ค่านั้น
2.ถ้ าไม่ มีค่า L ที่สอดคล้ องดังกล่ าวจะกล่ าวว่ าลาดับไม่ มีลิมิตหรื อลู่ออก
(Divergent)
ทฤษฎีบทการคานวณหา
ลิมิตของลาดับ
ทฤษฎีบท 1
ถ้ าให้ ลาดับ anและ bnเป็ นลาดับค่ าจริ งที่ล่ ูเข้ าหาค่ าจริ ง L1
และL2 ตามลาดับ แล้ วลาดับทีเ่ กิดจากกฎต่ อไปนีเ้ ป็ นจริง
1.Sum Rule : lim an bn L1 L2
n
2.Difference Rule : lim an bn L1 L2
n
3.Product Rule : lim an bn L1 L2
n
4.Constan Multiple Rule : lim k an k L1 , k any number
n
an L1
5.Quotient Rule :lim if L2 0
n b
n L2
ทฤษฎีบท 2 Squeeze Theorem
ถ้ าให้ ลาดับ an bn และ cnเป็ นลาดับค่ าจริ งใด ๆ ที่
anbncn ทุกค่ า n > N สาหรับบางจานวนเต็มบวก N จานวนหนึ่งแล้ ว
lim an lim cn L
n n
ดังนั้นจะได้ lim bn L
n
บทแทรก ถ้ า |bn| cn และ cn 0 ดังนั้น bn 0
bn cn cn bn cn
ทฤษฎีบท 2 Composite Function
ถ้ าให้ ลาดับ an เป็ นลาดับค่ าจริงใด ๆ ทีมี
่
lim an L
n
และ f เป็ นฟังก์ ชันต่ อเนื่องที่เป็ นฟังก์ ชันประกอบ f(an) นิยามทุกค่ าของ an
แล้ วจะได้ ว่าลิมิตของลาดับ f(an) หาได้ จาก
lim f an f lim an f L
n n
1 1
เช่ น lim ln ln lim
n
n n n
ทฤษฎีบท 2 Continuous Function
ถ้ าให้ ลาดับ an เป็ นลาดับค่ าจริงใด ๆ ซึ่ง an = f(n) สาหรับ
n n0 แล้ วมีฟังก์ ชันต่ อเนื่อง f(x) ทีนิยามทุกค่ า x n0 จะได้ ว่า
่
lim f x L lim an L
x n
แต่ ถ้า lim f x nonexist
x
็ ้ ั
ลิมิตของลาดับอาจหาค่ าได้ หรือไม่ ได้ กได้ ขึนอยู่กบ lim an
n
หมายเหตุ การใช้ กฎโลปิ ตาลสาหรับหาลิมิตของลาดับต้ องนิยามพจน์ ทั่วไป
้
ของลาดับเป็ นฟังก์ ชันค่ าจริงตามทฤษฎีบทนีก่อน
้
สรุปทฤษฎีบทลิมิตของลาดับจากทฎษฎีบทพืนฐานของฟังก์ ชันต่ อเนื่อง
1
1.lim 0 5.lim n n 1
n n n
xn 1
2.lim 0 6.lim x 1 ; x 1
n
n n ! n
n
x 1
3.lim 1 e 7.lim x n 0 ; x 1
x
n
n n
ln n
4.lim 0
n n
n 1 1 n
ตัวอย่ าง จงหาลาดับต่ อไปนีลู่เข้ าหรือออก
้ 1
n 2n 1
วิธีทา หา
1 n
lim an lim 1
n 1
lim
n n n n 2n 1
1 1
lim 1
n 1
lim
n n n 2 1
n
1 1
0
2 2
่ ิ ่
ลาดับเป็ นลาดับทีมีลมิต จึงจัดเป็ นลาดับทีลู่เข้ า
้
ตัวอย่ าง จงหาลาดับต่ อไปนีลู่เข้ าหรือออก ถ้ าลู่เข้ าลู่เข้ าสู่ ค่าใด
n ln n
n
e n
วิธีทา นิยามให้ an = f(n) เป็ นฟังก์ ชันต่ อเนื่อง f(x)
x ln x
lim f x lim x lim
x x e x x
1
1
lim x lim x using L'Hosptal's
x e x 1
00 0
่ ิ ่
ลาดับเป็ นลาดับทีมีลมิต จัดเป็ นลาดับทีลู่เข้ าและลู่เข้ าสู่ 0
้
ตัวอย่ าง จงหาลาดับต่ อไปนีลู่เข้ าหรือออก ถ้ าลู่เข้ าลู่เข้ าสู่ ค่าใด
4n 1
n2 1
tan 2
n 3 4n
วิธีทา หา lim an lim
4n 1 n2 1
lim tan
n n n n
3 4n 2
1 1
4
n tan lim n2
lim 3
n 1 n
2 4
n
4 tan 4 1 5
4
ลาดับเป็ นลาดับทีมีลมิต จัดเป็ นลาดับทีลู่เข้ าและลู่เข้ าสู่ 5
่ ิ ่
แบบฝึ กหัดคาบที่ 1
้
จงหาว่ าลาดับต่ อไปนีลู่เข้ าหรือออก
ln n 2 n 2 n
1. 4.
n n
100n
2. n
n2 5.
n!
1 n
1
3. 6. 1
2 n
คาตอบแบบฝึ กหัดคาบที่ 1
1. 0 4. e 2
2. 1 5. 0
3. 0 6. 1