SUBTEMA 2.5.2. PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN by 2RCa21

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									SUBTEMA 2.5.2. PROBLEMAS DE
MOMENTO DE UNA FUERZA
RESPECTO A UN EJE.
 1.- Calcúlese el producto vectorial V
  = P X Q cuando el vector P tiene una
  magnitud de 6 N y se encuentra en el
  plano zx formando un ángulo de 30°
  con el eje x y el vector Q tiene una
  magnitud de 4 N y se encuentra a lo
  largo del eje x . como se ve en la
  figura siguiente:
     Y




              Q
                                X

                  θ = 30°

    θ = 60°
                            P



Z
 A partir de la definición del producto
  vectorial se concluye inmediatamente que
  el vector V, debe estar a lo largo del eje Y,
  que su magnitud es igual a:
 V = PQ sen θ = (6) (4) sen 30° (6) (4)
  (0.5) = 12 N.
    Una tercera propiedad, la propiedad
  asociativa, no es válida para los productos
  vectoriales; en general, se tiene que:
 (P X Q) x S ≠ P x (Q X S).
PRODUCTOS VECTORIALES EXPRESADOS EN
     TERMINOS DE COMPONENTES
          RECTANGULARES.

 A continuación se procederá a
  determinar el producto vectorial de
  cualquier par de vectores unitarios i, j
  y k. Considere primero el producto de
  i x j, como se ve en la figura
  siguiente:
            Y




    j

                    X
                i


        ixj=k


Z
 Como ambos vectores tienen una magnitud
  igual a 1 y dado que éstos forman ángulos
  rectos entre sí, su producto vectorial
  también deberá ser un vector unitario.
  Dicho vector unitario debe ser k, puesto
  que los vectores i, j k son mutuamente
  perpendiculares y forman una tríada a
  derechas. Por otra parte, a partir de la
  regla de la mano derecha presentada en el
  punto 3 de la sección anterior, se concluye
  que el producto j x i debe ser igual a –k
  como se ve en la figura siguiente.
        Y




                j x i = -k

    j


                             X

            i




Z
 Por último, se debe observar que el
  producto vectorial de un vector consigo
  mismo, tal como i x i, es igual a cero, dado
  que ambos vectores tienen la misma
  dirección. Los productos vectoriales para
  los diversos pares posibles de vectores
  unitarios son:
 ixi=0          j x i = -k     kxj=j
 ixj=k          jxj=0          k x j = -i
 i x k = -j     jxk=I          kxk=0
 Ordenando las tres letras que representan
  a los vectores unitarios en un círculo en
  sentido contrario a las manecillas del reloj
  como se ve en la figura siguiente, se puede
  facilitar la determinación del signo del
  producto     vectorial de    dos    vectores
  unitarios: el producto de dos vectores
  unitarios será positivo si estos se
  siguen uno al otro en un orden
  contrario a las manecillas del reloj y
  será negativo si estos se siguen uno al
  otro en un orden en el sentido de las
  manecillas del reloj.
    j




        i

k
 Ahora se puede expresar fácilmente
  el producto vectorial V de dos
  vectores dados P y Q en términos de
  las componentes rectangulares de
  dichos vectores. Descomponiendo a P
  y   a   Q    en    sus  componentes
  rectangulares, primero se escribe:
 V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi
  + Qyj + Qzk).
 Haciendo uso de la propiedad distributiva, V se
  expresa como la suma de productos vectoriales, tales
  como Pxi x Qyj. Observando que cada una de las
  expresiones obtenidas es igual al producto vectorial
  de dos vectores unitarios como i x j, multiplicados por
  el producto de dos escalares, como PxQy, y
  recordando las identidades, después de factorizar a i,
  j y k, se obtiene:
 V = (PyQz- PzQy)i + (PzQx-PxQz)j + (PxQy – PyQx)k.
 Por lo tanto, se encuentra que las componentes
  rectangulares del producto vectorial V están dadas
  por:
 Vx = PyQz-PzQy
 Vy = PzQx-PxQz
 Vz = PxQy-PyQx
 También se puede obtener como un
  determinante:
V=i j       k
   Px Py Pz
   Qx Qy Qz.
 La representación anterior se denomina un
  determinante y se interpreta de esta
  forma: Si queremos hallar la componente x
  (Vx) del producto de las componentes de P
  y Q, basta con multiplicar la componente y
  del vector P por la componente z del vector
  Q, menos la componente z del vector P por
  la componente y del vector Q. Si queremos
  hallar la componente y (Vy) del producto de
  las componentes de P y Q, basta con
  multiplicar la componente z del P por la
  componente x de Q, menos la componente
  x de P por la componente z de Q.
 Y finalmente si queremos hallar la
  componente z (Vz) del producto de
  las componentes de P y Q, basta con
  multiplicar la componente x de P por
  la componente y de Q, menos la
  componente      y  de    P   por    la
  componente x de Q. A todo lo
  anterior se le denomina desarrollo del
  determinante.
COMPONENTES RECTANGULARES
DEL MOMENTO DE UNA FUERZA.
 En general, el cálculo del momento de una
  fuerza en el espacio se simplifica
  considerablemente si el vector de fuerza y
  el vector de posición a partir de su punto
  de aplicación se descomponen en sus
  componentes rectangulares x, y, Y z. Por
  ejemplo considere el momento Mo, con
  respecto a O, de una fuerza F de
  componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada
  en el punto A de coordenadas x, y z, de la
  figura siguiente.
                Fyj         A(x,yz)
            y

    r



                                Fxi

O
                            x




                      Fzk

        z
   Observando que las componentes del vector de posición r son
    iguales respectivamente, a las coordenadas x, y Y z, del punto A,
    se puede escribir que:
   r = xi + yj + zk
   F = Fxi + Fyj + Fzk
   Sustituyendo a r y a F obtenemos:
   Mo = r x F
   Y recordando los resultados obtenidos anteriormente se puede
    escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente
    forma:
   Mo = Mxi + Myj + Mzk
   donde las componentes escalares Mx, My y Mz, están definidas por
    las relaciones:
   Mx = y Fz – zFy
   My = zFx- x Fz
   Mz = xFy –y Fx.
 1.- Una fuerza vertical de 100 libras
  se aplica en el extremo de una
  palanca que está unida a una flecha
  en el punto O. Determine el momento
  de la fuerza de 100 lb con respecto al
  punto O.
                      A

    24 in




                          100 lb
                60°
O




            d
 Solución: Momento con respecto a O. La
  distancia perpendicular desde O hasta la
  línea de acción de la fuerza de 100 libras
  es:
 d = (24 in) cos 60° = 12 in.
 La magnitud del momento de la fuerza de
  100 lb con respecto a O es igual a:
 Mo = Fd = (100 lb) (12 in) = 1200 lb.in.
 2- Una fuerza de 800 N, actúa sobre
  la ménsula como se muestra en la
  figura determine el momento de la
  fuerza con respecto a B.
              800 N
         A
             60°



160 mm




                       B



              200 mm
        Fy = (693
        N) j
                          F = 800 N



                          Fx = (400 N i)
        A
                                  r A/B
+ 0.16 m j




                                              MB
                                          B
                    - (0.2 m) i
 Solución: El momento MB de la fuerza F con respecto
  a B se obtiene a través del producto vectorial: MB = r
  A/B x F. Donde r A/B es el vector trazado desde B
  hasta A. Descomponiendo a r A/B y a F en sus
  componentes rectangulares se tiene:
 r A/B = - (0.2 m)i + (0.16 m)j
 F = (800 N) cos 60° i + (800 N) sen 60° j
 F = (400 N) i + (693 N) j
 MB = r A/B x F. = [ -(0.2 m)i + (0.16 m)j]x [(400 N)i
  + (693 N) j]
 = -(138 N.m) k – (64.0 N.m) k = (-202.6 N.m) k.

								
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