g8

‫‪@ @ò톇ÈÛa@Þaë‡Ûa@Þìy@pbîßìàÇ‬‬

‫‪@ @òİ“ãc‬‬

‫ب/ ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ ‪ C f‬و أﻧﺸﺌﻪ‬ ‫أﻧﺸﻄﺔ ﺗﺬآﻴﺮﻳﺔ‬

‫‪ /II‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ‬ ‫ﻧﺸﺎط1‬

‫ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫‪g ( x) = x x − 2x‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:‬

‫1- ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫3 + ‪−2 x‬‬

‫2- ﺣﺪد ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ب/ ‪f ( x ) = 1 − 2 x‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫أ/‬

‫2 + ‪x2 − x‬‬

‫) ‪(O ; i ; j‬‬ ‫3- أﻧﺸﺊ ‪ Cg‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬

‫‪x2 − x‬‬

‫ﻧﺸﺎط4‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫ج/‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ‬ ‫1 − ‪2x‬‬

‫1 − ‪−2 x‬‬ ‫ﻧﺸﺎط2‬

‫= )‪f ( x‬‬ ‫‪ −5 7 ‬‬

‫1− ‪x‬‬ ‫) ‪(C‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪  ; ‬و‬

‫و ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬ ‫‪ 2 2‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ آﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ:‬

‫) ‪(O ; i ; j‬‬

‫1- أ- ﺣﺪد ‪D f‬‬

‫3−‬

‫+ 2− = ) ‪ f ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬ ‫ب- ﺗﺤﻘﻖ أن‬

‫1− ‪x‬‬

‫2- أ- ﺑﻴﻦ أن ‪ C f‬ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫3−‬

‫→ ‪ x‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) 2− ;1( ‪u‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫‪x‬‬

‫ب- أﻧﺸﺊ ‪C f‬‬

‫1 − ‪−2 x‬‬

‫= )‪g ( x‬‬ ‫3- ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫1− ‪x‬‬

‫أ- ﺣﺪد ‪ D g‬و أدرس زوﺟﻴﺔ ‪g‬‬

‫1- ﺣﺪد اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى و اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ ﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‬

‫ب- أﻧﺸﺊ ‪C g‬‬

‫‪ −5 7 ‬‬

‫ﻧﺸﺎط5‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل ‪ 2 ; 2 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ‬

‫71− ‪ −5 7 ‬‬ ‫5‬

‫= )‪g ( x‬‬

‫1 + ‪−2 x‬‬

‫و‬ ‫= )‪f ( x‬‬

‫2 − ‪3x‬‬ ‫‪∀x ∈  ; ‬‬ ‫2- اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ≤ ) ‪≤ f ( x‬‬

‫1+ ‪x‬‬ ‫1 − ‪2x‬‬ ‫‪ 2 2‬‬ ‫6‬ ‫3‬

‫1- أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات آﻞ ﻣﻦ ‪ f‬و ‪g‬‬ ‫3- ﺣﻞ ﻣﻴﺎﻧﻴﺎ أ- 0 = ) ‪ f ( x‬ب- 0 ≥ ) ‪f ( x‬‬

‫2- ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ ‪ C f‬و ‪ C g‬ﻣﻊ إﻋﻄﺎء ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ‬ ‫4- ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺣﻠﻮ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 1 = ) ‪f ( x‬‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰة‬ ‫ﻧﺸﺎط3‬

‫أﻧﺸﻄﺔ اﻟﺘﻘﺪﻳﻢ‬ ‫‪ /I‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫ﻧﺸﺎط6 )داﻟﺔ ﻣﻜﺒﻮرة- داﻟﺔ ﻣﺼﻐﻮرة – داﻟﺔ ﻣﺤﺪودة(‬ ‫‪f ( x ) = x2 − 2 x‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫و ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬

‫1 + 2‪2 x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫1 + 2‪x‬‬ ‫) ‪(O ; i ; j‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬ ‫1- ﺑﻴﻦ ﺑﻴﻦ أن 2 ≺ ) ‪f ( x‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬ ‫1- ﺗﺄآﺪ أن 1 − )1 − ‪f ( x ) = ( x‬‬

‫2‬



‫∈ ‪∀x‬‬ ‫2- أ/ ﺑﻴﻦ أن ) ‪1 ≤ f ( x‬‬ ‫أ/ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻤﺜﻞ‬

‫∈‪x‬‬ ‫ب/ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪1 = f ( x‬‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ 2 ‪ x → x‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ )1− ;1( ‪u‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬ ‫3- اﺳﺘﻨﺘﺞ أن 2 ≺ ) ‪1 ≤ f ( x‬‬







‫1‬

‫ﻧﺸﺎط01)ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ(‬ ‫ﻧﺸﺎط7 )ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ(‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫; 2 + ‪g ( x) = −x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ ‪f ( x ) = x‬‬ ‫3 + ‪−x‬‬

‫= ) ‪g (x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ ‪; f ( x ) = x 2 − 3x‬‬

‫‪7‬‬ ‫2+ ‪x‬‬

‫1- أﺣﺴﺐ )3 ( ‪ g‬و ) 6 ( ‪ g‬و ‪ g  ‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ‬ ‫‪ C f‬و ‪ C g‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ اﻟﻤﻤﺜﻠﻴﻦ ﻟـ ‪ f‬و ‪ g‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪4‬‬

‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ م.م.‬

‫‪  7 ‬‬

‫) )3 ( ‪ f ( g‬و ) ) 6 ( ‪ f ( g‬و ‪f  g   ‬‬ ‫1- ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ‪ C f‬و ‪. C g‬‬

‫‪  4 ‬‬

‫2- أﻧﺸﺊ ‪ C f‬و ‪. C g‬‬

‫2- ﺣﺪد ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ I‬ﻳﻤﻜﻦ‬

‫ﺣﺴﺎب ) ) ‪ f ( g ( x‬ﺣﺪد ) ) ‪ f ( g ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫3- ﺣﻞ ﻣﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ ) ‪f ( x ) ≥ g ( x‬‬



‫ﻧﺸﺎط11)اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ‪( x → x + a‬‬ ‫4- ﺗﺤﻘﻖ ﺟﺒﺮﻳﺎ ﻣﻦ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ ) ‪f ( x ) ≥ g ( x‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻧﺸﺎط8 ) اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ (‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫; 1 + ‪g ( x) = x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ ‪f ( x ) = x‬‬

‫) ‪f ( x ) = cos (π x‬‬

‫1- ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ آﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪g‬‬

‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات آﻞ ﻣﻦ ‪ f‬و ‪g‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬ ‫1- ﺑﻴﻦ أن ) ‪f ( x + 2 ) = f ( x‬‬

‫3- أ/ أﺗﻤﻢ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫2- أﻧﺸﺊ ﺟﺰء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫]6;6− [ ﻋﻠﻤﺎ أن ﺟﺰء ﺟﺰء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫4‬ ‫4‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]1;1− [ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬

‫)‪f ( x‬‬

‫ب/ ﻣﺴﺘﻌﻴﻨﺎ ﺑﺎﻟﺠﺪول أﻧﺸﺊ ) ‪( C‬‬

‫‪f‬‬



‫4- أ/ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬



‫ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) 0;2− ( ‪u‬‬

‫) ‪(C‬‬

‫‪g‬‬ ‫ب/ أﻧﺸﺊ‬

‫ﻧﺸﺎط21)اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ 3‪( x → ax‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫3‪f ( x ) = 2 x‬‬

‫ﻧﺸﺎط9 )ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل(‬

‫1- ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻤﺜﻞ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫2- أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬

‫3- أ/ أﺗﻤﻢ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫]4 ;3− [‬

‫‪x‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫2‬

‫2‬ ‫4‬ ‫2‬

‫)‪f ( x‬‬

‫ب/ أﻧﺸﺊ ) ‪( C‬‬

‫‪f‬‬



‫ﺑﺎﻹﺗﺒﺎع ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات ﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ 3‪g ( x ) = − x‬‬









‫1- أ/ ﺑﻴﻦ أن 4 ≤ ) ‪∀x ∈ [ −3; 2] 1 ≤ f ( x‬‬

‫ب/ ﻟﻴﻜﻦ ]4 ;1[ ∈ ‪y‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = y‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ ]2 ;3− [‬

‫ج/ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ]4 ;1[ = )]2 ;3− [( ‪f‬‬

‫2- ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل ]1;3− [ ﺛﻢ ]4 ;2 [‬



‫2‬

‫‪@ @ò톇ÈÛa@Þaë‡Ûa@Þìy@pbîßìàÇ‬‬

‫‪ – I‬ﺗﺬآﻴﺮ‬

‫‪ -1/ A‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ- اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻔﺮدﻳﺔ‬

‫أ- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ D f‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬

‫‪−x ∈ D f‬‬ ‫* ﻧﻘﻮل ان ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ اذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن : * ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫) ‪f ( −x ) = f ( x‬‬ ‫* ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫‪−x ∈ D f‬‬ ‫* ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬ ‫* ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن :‬

‫) ‪f ( − x ) = −f ( x‬‬ ‫* ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫ب- اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫‪ C‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪(O ; i ; j‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ و‬

‫*- ﺗﻜﻮن ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬

‫*- ﺗﻜﻮن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺻﻞ اﻟﻤﻌﻠﻢ‬

‫2- ﺗﻐﻴﺮات داﻟﺔ‬

‫‪ -a‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ‪D f‬‬

‫) 2 ‪f (x 1 ) ≤ f (x‬‬ ‫- ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﻦ‪ I‬إذا آﺎن 2 ‪ x 1 ≺ x‬ﻓﺎن‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﻦ‪ I‬إذا آﺎن 2 ‪x 1 ≺ x‬‬ ‫-‬

‫ﻓﺎن ) 2 ‪f ( x 1 ) ≺ f ( x‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﻦ‪ I‬إذا آﺎن 2 ‪ x 1 ≺ x‬ﻓﺎن ) 2 ‪f ( x 1 ) ≥ f ( x‬‬ ‫-‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﻦ‪ I‬إذا آﺎن 2 ‪x 1 ≺ x‬‬ ‫-‬

‫) 1‪f (x‬‬ ‫ﻓﺎن ) 2 ‪f ( x‬‬

‫‪ -b‬ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﻴﺮ‬

‫أ- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ‪D f‬‬

‫) 1 ‪f (x 2 ) − f (x‬‬

‫ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺑﻴﻦ 1 ‪ x‬و 2 ‪. x‬‬ ‫اﻟﻌﺪد‬

‫1‪x 2 − x‬‬

‫ب- ﻣﻌﺪل اﻟﺘﻐﻴﺮ و اﻟﺮﺗﺎﺑﺔ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫) 1‪f ( x2 ) − f ( x‬‬

‫= ‪ T‬ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ‪ D f‬و‬

‫1‪x2 − x‬‬

‫ﺑﻴﻦ 1 ‪ x‬و 2 ‪. x‬‬

‫0≥ ‪T‬‬ ‫‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻣﻦ‪I‬‬ ‫- ﺗﻜﻮن‬

‫‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻣﻦ‪T 0 I‬‬ ‫- ﺗﻜﻮن‬

‫‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻣﻦ‪T ≤ 0 I‬‬ ‫- ﺗﻜﻮن‬

‫‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‪ I‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻜﻞ 1 ‪ x‬و 2 ‪ x‬ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻣﻦ‪T ≺ 0 I‬‬ ‫- ﺗﻜﻮن‬

‫‪ -c‬اﻟﺮﺗﺎﺑﺔ وزوﺟﻴﺔ داﻟﺔ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫)} ‪( J = {−x / x ∈ I‬‬ ‫∩ ‪ D f‬و ‪ J‬ﻣﺠﺎل ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻟـ ‪ I‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ 0‬ ‫+‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ زوﺟﻴﺔ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪.J‬‬ ‫-‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪.J‬‬ ‫-‬







‫3‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫)} ‪( J = {−x / x ∈ I‬‬ ‫∩ ‪ D f‬و ‪ J‬ﻣﺠﺎل ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻟـ ‪ I‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ 0‬ ‫+‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪.J‬‬ ‫-‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪.J‬‬ ‫-‬

‫+‬

‫∩ ‪ D f‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻟﺪراﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮات داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ أو زوﺟﻴﺔ ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺔ ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫−‬

‫∩ ‪Df‬‬

‫3- ﻣﻄﺎرﻳﻒ داﻟﺔ‬

‫أ- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ a‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ‪I‬‬

‫‪ ∀x ∈ I‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪f ( a ) = Max f ( x‬‬ ‫- ﻧﻘﻮل إن ) ‪ f ( a‬هﻮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى ﻟـ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬إذا آﺎن ) ‪f ( x ) ≤ f ( a‬‬

‫‪x∈D f‬‬



‫‪ ∀x ∈ I‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪f ( a ) = Min f ( x‬‬ ‫- ﻧﻘﻮل ان ) ‪ f ( a‬هﻮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ ﻟـ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬إذا آﺎن ) ‪f ( x ) ≥ f ( a‬‬

‫‪x∈D f‬‬



‫ب- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ ‪ a ≺ b ≺ c‬و ‪ f‬داﻟﺔﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [a; b‬و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [b ; c‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻋﻨﺪ ‪b‬‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [a; b‬و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [b ; c‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻋﻨﺪ ‪b‬‬

‫‪ - / B‬دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬

‫1- اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺤﺪودﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬

‫∈ ) ‪ ( a; b; c‬و 0 ≠ ‪a‬‬ ‫3‬

‫ﺑـ ‪ f ( x ) = ax 2 + bx + c‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬



‫‪f ( x) = a ( x − α ) + β‬‬

‫2‬

‫هﺬﻩ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬ ‫* ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ‪ α‬و ‪ β‬ﺣﻴﺚ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫* اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬هﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ x → ax‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪u (α ; β‬‬

‫2‬





‫ذا ‪x = α‬‬ ‫) ‪ Ω (α ; β‬و ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻠﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫* ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ هﻮ ﺷﻠﺠﻢ رأﺳﻪ‬

‫‪b‬‬

‫− = ‪ α‬و ) ‪β = f (α‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ:‬

‫‪2a‬‬



‫* إذا آﺎن 0 ≺ ‪ a‬ﻓﺎن:‬ ‫‪ a‬ﻓﺎن:‬ ‫*- إذا آﺎن 0‬

‫‪−b‬‬ ‫‪−b‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞+‬ ‫∞−‬ ‫‪x‬‬ ‫∞−‬ ‫∞+‬

‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪ b ‬‬ ‫‪ b ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪f − ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f − ‬‬

‫‪ 2a ‬‬ ‫‪ 2a ‬‬









‫4‬

‫2- اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺘﺨﺎﻃﺔ‬



‫‪ax + b‬‬ ‫‪ −d ‬‬

‫= ) ‪ f ( x‬ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪ c‬و 0 ≠ ‪ad − bc‬‬ ‫ﺑـ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺘﺨﺎﻃﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪−  ‬‬

‫‪cx + d‬‬ ‫‪ c ‬‬

‫‪ −d ‬‬ ‫‪λ‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪−  ‬‬ ‫+ ‪f ( x) = β‬‬ ‫* ﺗﻮﺟﺪ أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ λ‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪ c ‬‬ ‫‪x −α‬‬

‫‪λ‬‬

‫→ ‪ x‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذا اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪u (α ; β‬‬ ‫* اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬هﻮ ﺻﻮرة اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C‬اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫‪x‬‬

‫* ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ هﻮ هﺪﻟﻮل ﻣﺮآﺰﻩ ) ‪ Ω (α ; β‬و ﻣﻘﺎرﺑﺎﻩ هﻤﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن اﻟﻤﻌﺮﻓﺎن ﺑـ‬

‫‪ x =α‬و ‪y = β‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪−d‬‬

‫=‪ α‬و =‪β‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ:‬

‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪a b‬‬ ‫‪a b‬‬

‫ﻓﺎن‬ ‫*- إذا آﺎن 0 ≺‬ ‫ﻓﺎن‬ ‫*- إذا آﺎن 0‬

‫‪c d‬‬ ‫‪c d‬‬

‫‪−d‬‬ ‫‪−d‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞−‬ ‫∞+‬ ‫‪x‬‬ ‫∞−‬ ‫∞+‬

‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬



‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬









‫‪ –II‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻜﺒﻮرة –اﻟﺪاﻟﺔاﻟﻤﺼﻐﻮرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺤﺪودة‬

‫1/ ﻧﺸﺎط6‬

‫2/ ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪ f ( x ) ≤ M‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫*- ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﻣﻜﺒﻮرة ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ M‬ﺣﻴﺚ:‬

‫‪ f ( x ) ≥ m‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫*- ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﻣﺼﻐﻮرة ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﺣﻴﺚ:‬

‫‪ m ≤ f ( x ) ≤ M‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫*- ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﺟﺪ ﻋﺪدﻳﻦ ‪ M‬و ‪ m‬ﺣﻴﺚ:‬



‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪ f ( x ) ≤ s‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ‪ s‬ﺣﻴﺚ:‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫4− ‪x+ x‬‬

‫2‬

‫= )‪f ( x‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب‬

‫‪x‬‬

‫5‬

‫1- ﺣﺪد ‪D f‬‬

‫2- ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻜﺒﻮرة ﻋﻠﻰ [∞ + ,2 [ ﺑﺎﻟﻌﺪد 2 و ﻣﺼﻐﻮرة ﻋﻠﻰ [∞ + ,2 [ ﺑﺎﻟﻌﺪد1‬

‫‪ –III‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ- اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬

‫1/ﻧﺸﺎط7‬

‫2/ أ/ ﺗﺴﺎوي داﻟﺘﻴﻦ‬

‫- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ و ‪ D f‬و ‪ Dg‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫* ) ‪ f ( x ) = g ( x‬ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ ‪ x‬ﻣﻦ ‪D f‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬ﺗﺴﺎوي ‪ g‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪ f = g‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن: * ‪ Dg = D f‬و‬

‫ب/ ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ‬

‫- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫) ‪ f ( x ) ≤ g ( x‬ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ f ≤ g‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ f‬أﺻﻐﺮ أو ﺗﺴﺎوي ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا آﺎن:‬

‫ج/ اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬

‫‪ f ≤ g‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻳﻌﻨﻲ هﻨﺪﺳﻴﺎ أن ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫د/ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ- اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫⇔ ) 0 ≥ )‪( ∀x ∈ Ι ; f ( x‬‬ ‫* ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫⇔ ) 0 ≤ )‪( ∀x ∈ Ι ; f ( x‬‬ ‫* ‪ f‬داﻟﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫‪ –IV‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ‬

‫1- ﻧﺸﺎط8‬

‫2- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ T‬ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﺑﺤﻴﺚ‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬ ‫; ‪x +T ∈ Df‬‬ ‫‪x −T ∈ Df‬‬ ‫) ‪f (x + T ) = f (x‬‬

‫اﻟﻌﺪد ‪ T‬ﻳﺴﻤﻰ دور ﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬اﺻﻐﺮ دور ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ‪f‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫* اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → tan x‬دورﻳﺔ دورهﺎ ‪π‬‬ ‫* اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x → cos x‬و ‪ x → sin x‬دورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ ‪2π‬‬

‫‪2π‬‬

‫* اﻟﺪاﻟﺘﺎن ‪ x → cos ax‬و ‪) x → sin ax‬ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪ ( a‬دورﻳﺘﺎن و دورهﻤﺎ‬

‫‪a‬‬

‫‪π‬‬

‫* اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ) x → tan ax‬ﺣﻴﺚ 0 ≠ ‪ ( a‬دورﻳﺔ دورهﺎ‬

‫‪a‬‬

‫3- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫∈ ‪∀x ∈ D f , ∀n‬‬ ‫)‪f ( x + nT ) = f ( x‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬دور ‪ T‬ﻓﺎن‬

‫4- ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ‪ T‬دورا ﻟﻬﺎ ﻓﺎﻧﻪ:‬

‫‪ −T T ‬‬

‫ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪ Df ∩ [ 0, T‬أو ‪Df ∩  , ‬‬ ‫•‬

‫‪ 2 2‬‬

‫‪ −T‬‬ ‫‪−T‬‬ ‫‪‬‬

‫∈ ‪ n‬ﻣﻦ ﺟﺰئ ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪ D f ∩ ‬ﺣﻴﺚ‬ ‫; ‪+ nT‬‬ ‫ﻳﺴﺘﻨﺞ ﺟﺰء ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟــﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪+ (n + 1)T ‬‬ ‫•‬

‫2 ‪‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬

‫‪ −T T ‬‬

‫‪ D f ∩ ‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) 0; ‪ u ( nT‬ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴـﺒﻲ.‬ ‫ﻋﻠﻰ ,‬

‫‪ 2 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ –V‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ‬

‫1- ﻧﺸﺎط9‬

‫2- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﻦ ‪D f‬‬

‫ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﻤﻴﻊ ﺻﻮر ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ I‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪f ( I‬‬

‫}‪f ( I ) = { f ( x) / x ∈ I‬‬





‫6‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ:‬

‫‪y ∈ f ( I ) ⇔ ∃x ∈ I‬‬ ‫* ‪/ f ( x) = y‬‬

‫* ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ و ‪ I‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﻦ ‪ J D f‬ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ‬

‫‪f ( I ) ⊂ J ⇔ ∀x ∈ I‬‬ ‫‪∃y ∈ J‬‬ ‫‪/ f ( x) = y‬‬

‫‪J ⊂ f ( I ) ⇔ ∀y ∈ J‬‬ ‫‪∃x ∈ I‬‬ ‫‪/ f ( x) = y‬‬

‫‪ –VI‬ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ‬

‫1- ﻧﺸﺎط01‬

‫2- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ ‪f ( D f ) ⊂ Dg‬‬

‫ﻣﺮآﺒﺔ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ g f‬ﺣﻴﺚ ﻟﻜﻞ ‪x ∈ D f‬‬

‫)) ‪g f ( x ) = g ( f ( x‬‬









‫‪:g‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪f‬‬

‫‪Dg‬‬ ‫‪f‬‬ ‫} ‪= { x ∈ D f / f ( x ) ∈ Dg‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f ( x ) = x + x‬و 1 − ‪g ( x ) = 2 x‬‬

‫2‬





‫ﺣﺪد ‪ g f‬و ‪ f g‬ﺛﻢ ﻗﺎرﻧﻬﻤﺎ‬

‫‪g‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ : ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻤﻮم ‪f ≠ f g‬‬

‫1 − ‪4x 2 − 4 x‬‬

‫= ) ‪h (x‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 1 + ‪g ( x ) = 2x − 1 ; f ( x ) = 2x 2 + 3x‬‬

‫1 + ‪8x 2 − 8x‬‬

‫‪h g‬‬ ‫‪;g f‬‬ ‫‪;f‬‬ ‫1- ﺣﺪد ‪g‬‬



‫2- ﺣﺪد داﻟﺔ ‪ t‬ﺣﻴﺚ ‪h = t g‬‬

‫3 - ﺣﺪد داﻟﺔ ‪ l‬ﺣﻴﺚ ‪f = l g‬‬

‫3 - ﻣﺮآﻴﺐ داﻟﺘﻴﻦ و اﻟﺮﺗﺎﺑﺔ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ و ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﺠﺎﻟﻴﻦ ﺿﻤﻦ ‪ D f‬و ‪ Dg‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺣﻴﺚ ‪f ( I ) ⊂ J‬‬

‫ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن ‪g f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫-‬

‫ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن ‪ g f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪f‬‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫-‬

‫ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن ‪ g f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪f‬‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫-‬

‫ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن ‪ g f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫‪f‬‬ ‫آﺎن‬ ‫إذا‬ ‫-‬



‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ‬

‫1 − ‪g ( x ) = x 2 + 1 ; f ( x ) = 3x‬‬

‫‪f‬و ‪g f‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و ‪ g‬ﺣﺪد ﺗﻐﻴﺮات ‪g‬‬

‫‪ –VI‬ﺗﻤﺜﻴﻞ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ 3‪ x → ax‬و ‪x → x + a‬‬

‫1- اﻟﺪاﻟﺔ ‪x → x + a‬‬

‫ﻧﺸﺎط11‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬



‫7‬

‫[∞+ ;‪[ −a‬‬ ‫→ ‪ f : x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪x + a‬‬









‫أﻣﺜﻠﺔ : ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ أﻧﺸﺊ ‪ C f‬ﻣﻦ أﺟﻞ 0 = ‪ a‬و 2 = ‪ a‬و 1− = ‪a‬‬



‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬



‫و 1 + 2‪g ( x ) = − x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ 1 + ‪f ( x ) = x‬‬



‫و أﻧﺸﺊ ) ‪( C‬‬

‫‪f‬‬ ‫1- أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪f‬‬



‫2- ﺣﺪد ‪ Dg‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ‬

‫2- اﻟﺪاﻟﺔ 3‪x → ax‬‬

‫ﻧﺸﺎط21‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬



‫∈‪a‬‬ ‫*‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ 3‪ f ( x ) = ax‬و‬



‫*- إذا آﺎن 0 ≺ ‪ a‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ a‬ﻓﺎن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫*- إذا آﺎن 0‬





‫*- 0 ≺ ‪a‬‬

‫‪a‬‬ ‫*- 0‬









‫8‬