Polarities in Linear Logic
LL ’02
Olivier LAURENT
e
Preuves Programmes Syst` mes
e
CNRS – Universit´ Paris VII
Olivier.Laurent@pps.jussieu.fr
-calculus and Linear Logic
LL ILL LLP
¡ ¡
-calculus ! ´ Þ ß ÞÓß Þ
ß
! ? ?
polarities Ó ·
-calculus !? ´? ! ´
LC !´ ´? µ !´ ´? µ
Polarized connectives
Type translations:
Call By Name Call By Value
µ ² ª ´
µ ? È !´ È? µ ´
Polarized formulas:
È È ªÈ È ¨È ½ ¼ Æ
Æ Æ ÈÆ Æ ²Æ È
negative ° reversibility
positive ° focalization (Andreoli)
Polarized Linear Logic
ax Æ Æ ¡
Æ Æ ¡ cut
ÆÅ È ¡É
Æ ÈÅ È ¡ È ªÉ
ª
Æ Å È ¨½ É ¨¾
Æ ²Å ² È ¨É È ¨É
ÆÆ È Æ Æ
Æ !Æ !
?È ?d Æ ?w Æ ?c
½
½
Properties
Focalization:
if in LLP, then contains at most one positive formula
Internal translations:
Æ È ²È ² ? ª¨ ª¨ ! È ²È ² ?
³ ²È ? ¨ª ! ²È ?
³ ² ? ¨ ! ² ?
È ³ ¨ ! ² ? ¨ !
Proof-Nets
Polarized nodes
Æ Æ È É Æ Å
ax cut ª È
Æ Æ
È ªÉ Æ ÈÅ
È Æ Æ
Æ Æ
! ?d ?w ?c
!Æ Æ ?È Æ Æ
Invalid proof-nets
ax È É
ax
not typable in LLP ax
ª È ª É ª
È ªÉ
ax cyclic
cut ?w ?w
not connected enough
Correctness
Correctness criterion:
acyclic: as a directed graph
connected: exactly one ?d-node or one positive conclusion
Properties:
linear complexity
without cut µ acyclic
extensions to additives (boxes, weights, slices)
Cut elimination
! Generalized box:
ax sub proof-net
· one positive root
only negative auxiliary doors
È
Cut elimination
!
! ax
!
ax · ax
·
· cut
?c
cut
?c
cut
Games
Arenas = forests
O/P
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼)
(resp. ½)
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
Property:
same additive translation µ same forest
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼)
(resp. ½) O
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
Property:
same additive translation µ same forest
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼)
(resp. ½)
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
Property:
same additive translation µ same forest
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼) Æ Å
(resp. ½)
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
Æ ²Å
Property:
same additive translation µ same forest
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼) Æ Å
(resp. ½)
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
Æ ÈÅ
Property:
same additive translation µ same forest
Arenas constructions
Definitions:
Æ
(resp. ¼) Æ
(resp. ½)
Æ ² Å (resp. È ¨ É)
Æ È Å (resp. È ª É)
!Æ (resp. ?È )
!Æ
Property:
same additive translation µ same forest
Strategies
Definition:
non empty P-prefix closed set of plays ÈÇ ¢ ÅÈ
Constraints:
deterministic ÈÇ ¶ Å È
total ÈÇ Å È
visible
innocent ÎÇ ÅÈ
finite
Game model for LLP
denotational model:
½ ¬ ¾ µ Æ Æ
½ ¾
surjective for formulas:
such that Æ
surjective for proofs (full completeness):
such that Æ
injective for formulas up to isomorphism:
Æ Æ ´µ Ƴ Æ ´µ add add
´µ ³
injective for sliced proof-nets (faithfulness):
Æ Æ
˽ ˾ µ ˽ ¬ ˾
Conclusions
replacing intuitionistic polarities by classical ones
embedding of classical logic (cbn and cbv)
proof-nets
game semantics
categories
coherent semantics
...
Current and future directions
models of second order (LLP LLpol )
geometry of interaction
application to lighter logics
typing of the -calculus (Berger-Honda-Yoshida)
...