Docstoc

Beberapa Penerapan Teorema Kekongruenan Bilangan Bulat

Document Sample
Beberapa Penerapan Teorema Kekongruenan Bilangan Bulat Powered By Docstoc
					                                                             Smart Mathematics 2011
1. Tunjukkan bahwa jika        genap, maka                        dan    ganjil, maka
   Jawab:
      Kasus I, untuk     genap.
               , untuk suatu


                   artinya       . Karena       , maka
                   . Sehingga
      Kasus II, untuk    ganjil.
                    , untuk suatu




                               , artinya                 untuk suatu               .
       Sehingga


2. Tunjukkan bahwa jika        ganjil, maka
   Jawab:
   Misal    ganjil, berarti                , untuk suatu




                          ,
   Tinjau dua kasus, yaitu      genap dan      ganjil.


      Kasus I, untuk     genap.
               , untuk suatu




                                , artinya                , untuk suatu                       Sehingga



       1   Rusliansyah                                                                  Smart Mathematics
                                                           Smart Mathematics 2011
       Kasus II, untuk      ganjil.
                       , untuk suatu




                                         , artinya             , Untuk suatu
            Sehingga
3. Carilah sisa positif terkecil dari                dari setiap bilangan bulat berikut!

    a                                                      d




             maka                                                  maka


    b                                                      e




             maka                                                  maka


    c            1                                         f




             maka                                                  maka




4. Carilah sisa positif terkecil dari                              dari setiap modulo berikut!
   a.
        Misal                                   ,
        Karena                          kelipatan dari , maka
                     , Untuk suatu
                     , berarti           .

        2   Rusliansyah                                                             Smart Mathematics
                                                                 Smart Mathematics 2011
     Sehingga                      . Atau


b.
     Misal                                         ,
     Karena                            kelipatan dari , maka
                                                       , Untuk suatu
     Karena                                                , dan                    , maka
                       , Untuk suatu
                                , Untuk suatu
                               , berarti                , untuk
     Sehingga                      . Atau


c. 12
     Misal                                         ,
     Karena                            kelipatan dari            , maka
                                  , Untuk suatu              ,
                                , Untuk suatu
                   , berarti                   .
     Sehingga                        . Atau


d.
Misal                                      ,
Karena                               kelipatan dari         , maka
                                  , Untuk suatu              ,
     Karena


                        , maka
                                                                    , Untuk suatu
                       , Untuk suatu
                                  , Untuk suatu

     3   Rusliansyah                                                                  Smart Mathematics
                                                                     Smart Mathematics 2011
                                       , berarti                 , untuk suatu
       Sehingga                                 . atau


5. Tunjukkan bahwa jika                              sedemikian hingga                            dan
                           , maka                        .
   Jawab:
           , maka               untuk suatu              . Karena                    , maka
                    berarti                     untuk suatu           .




                          , berarti                untuk suatu                   .
   Sehingga
6. Tunjukkan bahwa jika                              sedemikian hingga                    dan                    ,
   maka                                .
   Jawab:
                           , berarti                 maka                  untuk suatu        .


                             untuk suatu
                             , berarti                   .
   Sehingga
7. Tunjukkan bahwa jika                            dengan           sedemikian hingga                   , maka
                      .
   Jawab:
                          , berarti
   Misal


                       jika
      Ambil sebarang                      , akan ditunjukkan bahwa          .
       Karena        pembagi sekutu bersama                  dan , maka      dan     .
             , maka                    .

       4    Rusliansyah                                                                         Smart Mathematics
                                                            Smart Mathematics 2011
             , maka                  . Berarti
         Jadi     juga merupakan pembagi sekutu       dan .
         Sehingga dapat disimpulkan bahwa                           . Jadi
        Ambil sebarang           , akan ditunjukkan bahwa             .
         Karena     pembagi sekutu bersama        dan , maka        dan       .
             , maka           .
             , maka                  . Berarti
         Jadi     juga merupakan pembagi sekutu       dan .
         Sehingga dapat disimpulkan bahwa                           . Jadi
   Karena             dan         , maka         . Berakibat
8. Tunjukkan bahwa jika                           untuk                      dimana            , maka
   a.
   b.
   Jawab:
                            untuk                  dimana
         Berarti             , sehingga                     untuk suatu           .
   a. Jika kita menjumlahkan semua                          , diperoleh:




        Berarti                            sehingga
   b. Jika kita mengalikan semua                        , diperoleh:




        5   Rusliansyah                                                               Smart Mathematics
                                                                       Smart Mathematics 2011




      Berarti                                       sehingga


9. Apa yang dapat anda katakana jika                                      , dimana             dan     prima?
   Jawab:
                         , berarti                               . Karena , maka                atau            .
   Jadi                     atau
10. Tunjukkan bahwa jika                                        dan                            dimana
   dengan                sedemikain hingga                            , maka                   . Jika syarat
                 dihilangkan apakah kesimpulan masih valid?
   Jawab:
   Misal                             dan                                  . Jika tiap ruas dari
   dikalikan dengan , akan diperoleh:                                               . Karena                           ,
   maka                                    . Sehingga
                                                            .
   Karena                 , maka                    dan                    . Ini berarti                    . Dengan
   sifat Simetris diperoleh                             .
   Jika syarat                 dihilangkan, kesimpulantidak valid. Contoh: ambil                                dan
           maka                             dan                            , tapi



     6     Rusliansyah                                                                               Smart Mathematics
                                                                 Smart Mathematics 2011
11. Tunjukkan jika              dan     ganjil, maka:


   Bagaimana jika            genap?
   Jawab:
                                      merupakan jumlah suku ke           deret aritmatika dengan bentuk
   umum:
                         .

                                                 .

   Jadi,                                                . Jika   ganjil,maka            genap. Sehingga

                 . Karena                ,maka                                      .

   Ini berarti

   Jika    genap maka                 , untuk suatu          . Sehingga                       . Karena

                       dan            , maka             , Ini berarti

                 .
12. Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa jika                       , maka
   Jawab:
   Misal
   Untuk             , maka                           . Benar
   Andaikan berlaku untuk                 :
                                .
   Akan ditunjukkan berlaku juga untuk
                                                                         . Karena                   , maka


   Jadi untuk                  , diperoleh
                                          .
   Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika                     , maka




      7    Rusliansyah                                                                       Smart Mathematics

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:292
posted:12/12/2011
language:
pages:7