Inhoud - Get as DOC

Document Sample
Inhoud - Get as DOC Powered By Docstoc
					1 Lading, stroom, spanning en arbeid
Inleiding
Het atoom koper (Cu) heeft dezelfde eigenschappen als de moleculen van koper; koper is één
van de zuivere elementen. De kern van het atoom bestaat uit protonen en neutronen; om de
kern bevinden zich, in de K, L, M, N-schil, de elektronen. De verdeling van de elektronen
over de verschillende schillen is gegeven in de volgende tabel.
                                 K-schil L-schil M-schil N-schil Totaal
                    Elektronen 2            8        18         1         29
                          Tabel 1.0, de elektronenschillen met hun bezetting
Het elektron in de N-schil is een zogenaamd valentie-elektron. De elektronen cirkelen met een
snelheid van rond de 2.106m/s. De centrifugaal kracht van het elektron is in evenwicht met de
aantrekking van de kern.
1.1 Elektrische lading
Uit bovenstaande blijkt; gelijksoortige ladingen stoten elkaar af en ongelijksoortige ladingen
trekken elkaar aan. Een atoom is uitwendig neutraal wanneer het aantal protonen gelijk is aan
het aantal elektronen. Een atoom met een tekort aan elektronen heet een positief ion; een
atoom met een overschot aan elektronen heet een negatief ion.
Het SI-eenhedenstelsel definieert de grootheid lading met de letter Q en de Coulomb (C) als
de eenheid van lading. Eén Coulomb komt overeen met de lading van ongeveer 6,24.1018
elektronen.
1.2 Elektrische stroom
In een blok koper verzorgen de valentie-elektronen het ladingtransport. Deze elektronen
worden om deze reden vrije elektronen of vrije ladingsdragers genoemd. Een geleider heeft
naar verhouding veel vrije ladingdragers; een isolator heeft weinig of geen vrije
ladingsdragers.
Een elektrische stroom, in een materiaal, is een geordende beweging in één richting van de
vrije ladingsdragers. Het SI-eenhedenstelsel definieert de grootheid stroom met de
symbolische letter I en de Ampère (A) als eenheid van stroom. De definitie gaat uit van de
krachtwerking van de stroom en luidt als volgt.
         Een elektrische stroom van 1A loopt door twee evenwijdige geleiders, als de geleiders
         een kracht van 2.10-7N per meter op elkaar uitoefenen. De geleiders hebben een
         verwaarloosbare doorsnede en zijn in vacuüm opgesteld.
We kunnen een stroom ook definiëren in termen van het ladingstransport. Deze definitie luidt.
         Er vloeit een elektrische stroom van 1A als in één seconde een lading van één
         Coulomb een loodrechte doorsnede van een geleider passeert.
Een elektrische stroom zal dus een hoeveelheid lading transporteren, recht evenredig met de
tijd. In een formule gesteld.
         Q = I * t
Hierin is:
         Q de lading in Coulomb (C),
         I de stroom in Ampère (A),
         t de tijd in seconde (s).




                                              1
             Tekening bij 1.2, de schematische voorstellingen van stroombronnen
Voorbeeld 1.1
Door een geleider loopt gedurende 30 seconden een constante stroom van 2 ampère.
Bereken de verplaatste lading en maak een grafische voorstelling van de verplaatste lading als
functie van de tijd.
De verplaatste lading is:
        Q = I * t = 2*30 = 60C




       Grafiek bij voorbeeld 1.1, grafische voorstelling van de functie Q=f(t), met I=c
Opgave 1.1
Door een constante stroom in een geleider wordt in 60 minuten een lading verplaatst van
100C. Hoe groot is de stroom gedurende de tijd geweest? Maak een grafische voorstelling van
de functie Q=f(t).
De stroom die gedurende de tijd heeft gelopen is:
       I = Q / t = 100/(60*60) = 27.8mA




                                    Grafiek bij opgave 1.1
Opgave 1.2
Door een constante stroom van 10A is een lading verplaatst van 7,2.103C. Hoe lang heeft de
stroom door de geleider gevloeid? Maak een grafische voorstelling van de functie Q=f(t).
De tijd die nodig is geweest om de lading te verplaatsen is:
        t = Q / I = 7,2.103/10 = 720s = 12 minuten




                                              2
                                   Grafiek bij opgave 1.2
De grootheid lading kan volgens de formule worden weergegeven in de eenheid A*s. Bij zeer
grote ladingen wordt de eenheid Ah gehanteerd.
        1Ah = 3600C
Voorbeeld 1.2
Een accu van een auto heeft een elektrische lading van 42Ah. Hoe groot is de lading
uitgedrukt in coulomb?
       Q = 42*3600 = 151,2.103C
Opgave 1.3
Een accubatterij wordt met een constante stroom van 7,5A geladen. De batterijlader is
gedurende 10 uur ingeschakeld. Bereken de, aan de batterij, toegevoerde elektrische lading in
coulomb. Hoe groot is de toegevoerde lading uitgedrukt in Ah? Teken de grafiek van de
toegevoerde lading als functie van de tijd.
De aan de batterij toegevoerde lading is:
       Q = I * t = 7,5*(10*3600) = 270.103C
De toegevoerde lading, in Ah uitgedrukt, wordt:
       Q = I * t = 7,5*10 = 750Ah




                                     Grafiek bij opgave 1.3
Opgave 1.4
Bij het inschakelen van een zaalverlichting gaat een totale stroom lopen van 12A. Na 1,5 uur
wordt de helft van de verlichting uitgeschakeld, gedurende 2 uur. Vervolgens wordt de
verlichting uitgeschakeld. Teken de grafiek van Q=f(t). Hoe groot is de uit het lichtnet
verplaatste lading naar de lampen?
Voor het tekenen van de grafiek berekenen we eerst het volgende:
        1) Q1 = I1 * t1 = 12*(1,5*3600) = 64800C = 18Ah
        2) Q2 = I2 * t2 = 6*(2*3600) = 43200C = 12Ah
De totale, uit het lichtnet opgenomen, lading is:
        Qt = Q1 + Q2 = 64800 + 43200 = 108000C = 30Ah




                                              3
                                   Grafiek bij opgave 1.4
1.3 Elektrische spanning
Evenals een atoom koper is een stuk koper uitwendig elektrisch neutraal. Om een beweging in
één richting van vrije ladingdragers op gang te brengen is een uitwendige kracht nodig. Een
dergelijke elektrische kracht noemen we een potentiaalverschil. Een potentiaalverschil wordt
geleverd door een bron die een spanning opwekt. De grootheid spanning wordt in het SI-
eenhedenstelsel gedefinieerd met de symbolische letter U en de Volt (V) als de eenheid van de
spanning.




             Tekening 1.3, de schematische voorstellingen van spanningsbronnen
Voorbeeld 1.3
Een meetpunt C heeft een potentiaal van Uc=+8V ten opzichte van een punt A. Een meetpunt
B heeft een potentiaal van Ub=-2V ten opzichte van dat zelfde punt A. Hoe groot is het
potentiaalverschil Ucb? En hoe groot is het potentiaalverschil Ubc?
We plaatsen de potentiaalverschillen allereerst op een spanningslijn.




                                  Tekening bij voorbeeld 1.3
Het potentiaalverschil Ucb bedraagt:
       Ucb = Uc – Ub = 8–(-2) = 10V
Het potentiaalverschil Ubc bedraagt, in dit geval:
       Ubc = Ub – Uc = -2-8 = -10V
Opgave 1.5
Een punt X heeft een spanning van +20V ten opzichte van punt Y. Punt Z heeft een spanning
van +5V ten opzichte van X. Een punt W heeft een spanning van –10V ten opzichte van Z.
teken met behulp van deze gegevens de bijbehorende spanningslijn en bereken de volgende
spanningen: Uyw, Uxw en Uyz.
We kiezen, niet louter willekeurig, punt Y als nulpunt. En op een spanningslijn verwerken we
vervolgens de overige spanningen.
                                              4
                                     Tekening bij opgave 1.5
De gevraagde potentiaalverschillen worden als volgt berekend:
       Uyw = Uy-Uw = 0–15 = -15V
       Uxw = Ux-Uw = 20-15 = 5V
       Uyz = Uy-Uz = 0-25 = -25V
Opgave 1.6
Tussen het beginpunt (B) en het eindpunt (E) van een homogene geleider van 100m wordt een
spanning Ueb van +10V gemeten. De spanning is lineair over de geleider verdeeld. Op de
geleider is een aantal meetpunten aangebracht. Meetpunt K is 30m van punt B verwijderd.
Meetpunt L is 75m van punt E verwijderd. Meetpunt M is 55m van punt L verwijderd. Teken
de spanningslijn en bereken de potentiaalverschillen tussen de volgende punten;
B en K; B en L; M en L en tussen E en M.
De spanningslijn ziet er als volgt uit:




                                    Tekening bij opgave 1.6
De gevraagde potentiaalverschillen worden als volgt berekend:
        Ubk = Ub – Uk = 0,0-3,0 = -3,0V
        Ubl = Ub – Ul = 0,0-2,5 = -2,5V
        Uml = Um – Ul = 8,0-2,5 = 5,5V
        Uem = Ue – Um = 10,0-8,0 = 2,0V
1.4 Soorten spanningsbronnen en stroombronnen
Wanneer een potentiaalverschil gedurende de tijd qua grootte niet veranderd spreekt men van
een gelijkspanning. In tegenstelling tot een variërende gelijkspanning; welke in de tijd gezien
van grootte verandert. In beide gevallen is echter de richting van de beweging der vrije
ladingdragers steeds dezelfde. Een potentiaalverschil dat de richting van de beweging der vrije
ladingdragers omkeert heet een wisselspanning. De in een geleider vloeiende stroom is
evenredig met het, op de geleider, aangesloten potentiaalverschil.
1.5 Energie en arbeid
Een massa verplaatst zich onder invloed van een kracht. De benodigde kracht is in te formule
te schrijven als:
        F = m * a
Hierin is:
        F de kracht in Newton (N),
        m de massa in Kilogram (kg),
        a de versnelling in meter per seconde kwadraat (m/s2).
Doordat de massa zich verplaatst wordt arbeid verricht. De verrichtte arbeid wordt gegeven
door de formule:
        W = F * s
                                              5
Hierin is:
        W de verrichtte arbeid in Newton meter (Nm),
        F de kracht in Newton (N),
        s de afgelegde weg in meter (m).
Voor het verrichten van arbeid is energie nodig. Een kracht levert de energie, die tijdens de
arbeid wordt opgenomen door een andere kracht. De definitie voor het begrip energie luidt:
        Energie is het vermogen om arbeid te verrichten.
Voor zowel arbeid als energie wordt dezelfde grootheid gebruikt; de symbolische letter W. Bij
hoeveelheden energie wordt vaak in plaats van de eenheid Newton meter (Nm) de eenheid
Joule (J) gebruikt.
In de elektrotechniek wordt arbeid verricht door de verplaatsing van de vrije ladingsdragers in
een geleider. De verplaatsing is afhankelijk van het aangelegde potentiaalverschil (spanning)
op de geleider. De formule voor dit verband is:
        W = U * Q
Hierin is:
        W de verrichtte arbeid in Newton meter (Nm),
        U het aangelegde potentiaalverschil (spanning) op de geleider in volt (V),
        Q de, door de vrije ladingsdragers, verplaatste lading in ampère seconde (As).
Eerder is gesteld dat lading (Q) het produkt is van stroom (I) en tijd (t) en daarom kan de
bovenstaande formule herleid worden tot:
        W = U * I * t
Hierin is:
        W de, door de vrije ladingsdragers gedurende de tijd, verrichtte arbeid in volt ampère
        seconde (VAs),
        U het aangelegde potentiaalverschil (spanning) in volt (V),
        I de, door de beweging der vrije ladingsdragers, veroorzaakte stroom in ampère (A),
        t de tijd in seconde (s).
Deze formule beschrijft de arbeid die gedurende de tijd wordt verricht. Het vermogen is de
arbeid die per seconde wordt verricht. In formule luidt dit:
        P = W / t
Hierin is:
        P het vermogen in volt ampère (VA),
        W de arbeid in volt ampère seconde (VAs),
        t de tijd in seconde (s).
Voorbeeld 1.4
Een gloeilamp heeft een brandspanning Ul van 220V en een vermogen P van 100W. de lamp
brandt gedurende 5 uur. Bereken de stroom die door de lamp vloeit en bereken de totaal
verrichte arbeid.
De gevraagde stroom door de lamp valt te berekenen volgens:
        I = P / U = 100/220 = 0,455A
De totaal verrichte arbeid is te berekenen volgens:
        W = P * t = 100*(5*3600) = 1,8.106J
De arbeid in joule wordt in de elektrotechniek weergegeven door de eenheid watt seconde. De
bovenstaande arbeid in joule rekenen we daarom naar de gebruikelijke eenheid kilo watt uur.
        1,8.106J = 1,8.106Ws
        1,8.106/1000 = 1,8.103kWs
        1,8.103/3600 = 0,5kWh
Opgave 1.7


                                               6
Een straalkachel wordt op een spanning van 220V aangesloten. De kachel staat 2,5 uur
ingeschakeld en de stroom die gemeten wordt is 8A. Het tarief voor de arbeid van 1kWh is
f 0,25. Bereken het vermogen van de straalkachel; bereken de verbruikte energie; en bereken
de kostprijs van de verbruikte energie.
Het vermogen van de straalkachel is, in dit geval:
        P = U * I = 220*8 = 1760W
De verbruikte energie (arbeid) is het geleverde vermogen gedurende de tijd:
        W = P * t = 1760*(2,5*3600) = 15,84.106Ws
Dit rekenen we om naar de eenheid kilo watt uur:
        15,84.106/(3600*1000) = 4,4kWh
De kosten voor de verbruikte energie wordt hiermee:
        4,4 * 0,25 = 1,1 (1 gulden en 10 cent)
Opgave 1.8
Een spanningsbron van 12V levert aan een radio gedurende 3 uur een stroom van 0,6A.
Bereken het vermogen van de aangesloten belasting en bereken de geleverde arbeid.
Het vermogen van de aangesloten belasting is:
        P = U * I = 12*0,6 = 7,2W
De, aan de belasting, geleverde arbeid is:
        W = P * t = 7,2*(3*3600) = 77,76.103Ws
In kilo watt uur is dit:
        77,76.103/(3600*1000) = 0.0216kWh
1.6 Rendement
Met het verrichten van arbeid gaat onverbrekelijk met het optreden van verliezen gepaard.
Slechts een gedeelte van de beschikbare energie komt ten goede aan de arbeid; de overige
energie gaat over in een andere vorm van energie. Met het rendement wordt de verhouding
bedoeld tussen de toegevoerde energie (arbeid) en de nuttig gebruikte energie (arbeid). De
formule voor het rendement luidt:
        η = Wn / Wt
Het rendement is een verhoudingsgetal en daarom dimensieloos.
Voorbeeld 1.5
Om een ruimte te verlichten wordt gebruik gemaakt van een gloeilamp. De toegepaste lamp
heeft een vermogen P van 150W en wordt gedurende 8 uur ingeschakeld. De gloeilamp heeft
een rendement van 0,15. Bereken; de nuttige arbeid en de overige arbeid, die verricht wordt.
Hoeveel procent van de toegevoerde arbeid is overige arbeid? In welke vorm wordt de nuttige
arbeid omgezet en in welke vorm van arbeid wordt de overige arbeid omgezet? Bereken; het
nuttig vermogen en het verlies vermogen.
De nuttige arbeid bedraagt:
        Wn = P * t * η = 150*(8*3600)*0,15 = 648000Ws
De overige arbeid is dan:
        Wo = P * t * (1-η) = 150*(8*3600)*(1-0,15) = 3672000Ws
De totale toegevoerde arbeid is:
        Wt = P * t = 150*(8*3600) = 4320000Ws
Het deel van de overige arbeid in procenten van de totale arbeid, wordt dan:
        (Wo / Wt)* 100% = (3672.103/4320.103)*100% = 85%
De nuttige arbeid wordt omgezet in licht; terwijl de overige arbeid wordt omgezet in warmte.
Het nuttig vermogen is als volgt te berekenen:
        Pn = 150*0,15 = 22,5W
Het overig vermogen bedraagt in dit geval:
        Po = 150*0,85 = 127,5W
Opgave 1.9
                                             7
Op een motorschildje (typeplaatje) van een handboormachine staat 380W, 220V en 1,8A.
bereken het toegevoerde vermogen voor de boormachine. Bereken het rendement van de
boormachine. Waarin wordt het overig vermogen omgezet?
Het, aan de boormachine, toegevoerde vermogen is:
       P = U * I = 220*1,8 = 396W
Het rendement van de boormachine is:
       η = Wn / Wt = 380 / 396 = 0,96 = 96%
Het overig vermogen wordt omgezet door warmte.
Opgave 1.10
Een elektriciteitscentrale levert een vermogen van 800MW. Het rendement van de centrale is
0,40. Bereken het toegevoerde vermogen voor die centrale. Bereken het overige vermogen
van die centrale. Waarin worden deze verliezen omgezet?
Het, aan de elektriciteitscentrale, toegevoerde vermogen is:
       Wt = Wn / η = 800.106/0,40 = 2000MW
Het overig vermogen is in dit geval:
       Wo = Wt – Wn = 2000-800 = 1200MW
Het overig vermogen is ook op de volgende manier te berekenen:
       Wo = Wt * (1-η) = 2000*(1-0,4) = 1200MW
Vraagstukken
Vraagstuk 1
Een accu levert gedurende 10 minuten een stroom van 6A, daarna gedurende 4 minuten een
stroom van 5A en ten slotte wordt gedurende 12 minuten een stroom van 4A gevraagd.
a) Teken de grafiek I=f(t).
b) Hoeveel elektriciteit heeft de accu gedurende de totale tijd geleverd?
c) Teken de grafiek Q=f(t).
d) Hoe groot is de gemiddelde stroom geweest?
De grafiek I=f(t), is als volgt:




                                   Grafiek A, bij vraagstuk 1
De hoeveelheid elektriciteit (de verplaatste lading) is te berekenen volgens:
       Q1 = I1 * 60(t1 – t0) = 6*60(10-0) = 3600C
       Q2 = I2 * 60(t2 – t1) = 5*60(14-10) = 1200C
       Q3 = I3 * 60(t3 – t2) = 4*60(26-14) = 2880C
       Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 3600+1200+2880 = 7680C
De grafiek Q=f(t), is als volgt:




                                               8
                                   Grafiek B, bij vraagstuk 1
De gemiddelde stroom is op twee manieren te berekenen; de eerste manier is:
        Igem = ((t1*I1)+(t2*I2)+(t3*I3)) / (t1+t2+t3) =
                 ((10*6)+(4*5)+(12*4)) / 26 = 4,92A
De tweede manier is:
        Igem = Q / t = 7680 / (60*26) = 4,92A
Vraagstuk 2
Op een huisinstallatie zijn een aantal apparaten aangesloten. Gedurende één uur neemt het
koffiezet-apparaat een lading op van 2700C, de audio-installatie 1800C en een bureaulamp
900C.
a) Bereken de totaal verplaatste lading gedurende dat uur.
b) Bereken de stroomsterkte door het koffie-zetapparaat.
c) Bereken de stroomsterkte door de audio-installatie.
d) Bereken de stroomsterkte door de lamp.
e) Bereken de totale stroomsterkte op twee verschillende manieren.
De totale verplaatste lading in één uur is:
        Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 2700+1800+900 = 5400C
De stroomsterkten door de apparaten zijn:
        I1 = Q1 / t = 2700 / 3600 = 0,75A
        I2 = Q2 / t = 1800 / 3600 = 0,5A
        I3 = Q3 / t = 900 / 3600 = 0.25A
De twee manieren om de totale stroomsterkte te vinden zijn:
        It = I1 + I2 + I3 = 0,75+0,5+0,25 = 1,5A
        It = Qt / t = 5400 / 3600 = 1,5A
Vraagstuk 3
Bij het inschakelen van een zaalverlichting gaat een totale stroom lopen van 12A. Na 2 uur
wordt in een half uur tijd, door middel van een lichtregeling, de stroom lineair teruggeregeld
tot 0A.
a) Teken de grafiek I=f(t).
b) Bereken de verplaatste lading gedurende de verschillende perioden.
c) Teken de grafiek Q=f(t).
d) Bereken de verplaatste lading in de 2,5 uur.
e) Bereken de gemiddelde stroomsterkte gedurende die 2,5 uur.
De grafiek I=f(t) is:




                                               9
                                  Grafiek A, bij vraagstuk 3
De verplaatste lading gedurende de eerste twee uur is:
         Q = I * 3600(t1 – t0) = 12*3600(2-0) = 86400C
Gedurende het tweede tijdsdeel is de stroom niet constant. De verplaatste lading, gedurende
die tijd, zal meetkundig gevonden moeten worden. De dalende stroom volgt de diagonaal van
een rechthoek. De verplaatste lading is de helft van het oppervlak van deze rechthoek:
         Q = 0,5(I * 3600(t2–t1)) = 0,5(12*3600(2,5-2,0)) = 10800C
De grafiek Q=f(t) is:




                                    Grafiek B, bij opgave 3
De verplaatste lading gedurende de 2,5 uur is
       Qt = Q1 + Q2 = 86400 + 10800 = 97200C
De gemiddelde stromen per tijdsdeel zijn:
       Igem1 = I1 = 12A
       Igem2 = I2 / (t2-t1) = 12 / (2,5-2,0) = 6A
De gemiddelde stroom, gedurende de 2,5 uur, wordt hiermee:
       Igem = (2*12)+(0,5*6) / 2,5 = 10.8A
Vraagstuk 4
Een accubatterij wordt gedurende 10 uur met verschillende stromen belast, namelijk:
van 0 uur tot 5 uur met 4A,
van 5 uur tot 7 uur met 7A,
van 7 uur tot 10 uur met 4A.
a) Teken de grafiek I=f(t).
b) Bereken de totale lading die in deze 10 uur is geleverd.
c) Bereken de gemiddelde stroom op twee verschillende manieren.
d) Teken in bovengenoemde grafiek de gemiddelde stroom.
De grafiek I=f(t) is:



                                             10
                                     Grafiek bij opgave 4
We berekenen eerst de verplaatste lading per tijdsdeel; daarna de in totaal geleverde lading:
        Q1 = I1 * (t1-t0) = 4*3600( 5-0) = 72000C
        Q2 = I2 * (t2-t1) = 7*3600( 7-5) = 50400C
        Q3 = I3 * (t3-t2) = 4*3600(10-7) = 43200C
        Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 72000+50400+43200 = 165600C
De gemiddelde stroom over de gehele tijdsduur is:
        Igem = (I1*(t1-t0)+I2(t2-t1)+I3(t3-t2))/10 = 4,6A
De gemiddelde stroom over de gehele tijdsduur is ook als volgt te berekenen:
        Igem = Qt / t = 165600 / (3600*10) = 4,6A
In de tekening bij opgave 4 is de gemiddelde stroom (Igem)over de gehele tijdsduur getekend.
Vraagstuk 5
In de figuur zijn vier spanningsbronnen aan elkaar geschakeld. Het punt C, is aan een
aardpotentiaal gelegd.
a) Bereken de spanning Ua ten opzichte van aarde.
b) Bereken de spanning Ue ten opzichte van aarde.
c) Bereken de spanning Uae.
d) Bereken de spanning Ubd.
e) Bereken de spanning Uca.
f) Bereken de spanning Ueb.
g) Bereken de spanning Uda.




                                  Tekening bij opgave 5
We noteren de spanning op de punten A tot en met E:
      Ua = Ub2 + Ub1 = 6 + 2              = 8V
      Ub = Ub2                            = 6V
      Uc =                                = 0V
      Ud = Ub3                            = -4V
      Ue = Ub3 + Ub4 = -4+(-3) = -7V
Vervolgens berekenen we de potentiaalverschillen tussen de gevraagde punten:
      Uae = Ua – Ue = 8 – (-7) = 15V
      Ubd = Ub – Ud = 6 – (-4) = 10V
      Uca = Uc – Ua = 0 – 8             = -8V
      Ueb = Ue – Ub = -7 – 6            = -13V
                                              11
        Uda = Ud – Ua = -4 – 8             = -12V
Vraagstuk 6
In de figuur zijn eveneens vier spanningsbronnen geschakeld. De spanningsbronnen van 6V
en 4V zijn nu omgekeerd. Ook hier is het punt C aan aarde gelegd.
a) Bereken de spanning Ua ten opzichte van aarde.
b) Bereken de spanning Ue ten opzichte van aarde.
c) Bereken de spanning Uae.
d) Bereken de spanning Ubd.
e) Bereken de spanning Uca.
f) Bereken de spanning Ueb.
g) Bereken de spanning Uda.




                                      Tekening bij opgave 6
We noteren de spanning op de punten A tot en met E:
        Ua = Ub2 + Ub1 = -6 + 2               = -4V
        Ub = Ub2                              = -6V
        Uc =                                  = 0V
        Ud = Ub3                              = 4V
        Ue = Ub3 + Ub4 = 4 +(-3) = 1V
Vervolgens berekenen we de potentiaalverschillen tussen de gevraagde punten:
        Uae = Ua – Ue = -4 – 1 =                  -5V
        Ubd = Ub – Ud = -6 – 4 = -10V
        Uca = Uc – Ua = 0 –(-4) =                  4V
        Ueb = Ue – Ub = 1 –(-6) =                  7V
        Uda = Ud – Ua = 4 –(-4) =                  8V
Vraagstuk 7
Op een spanningsbron van 220V worden drie lampen van 150W aangesloten.
a) Bereken het totaal aangesloten vermogen.
b) Bereken de totale stroom die er gaat vloeien.
c) Bereken de stroom per gloeilamp.
Het totaal aangesloten vermogen is de som van het vermogen van de drie lampen:
        Pt = P1 + P2 + P3 = 3*P = 3*150 = 450W
De totale stroom die gaat vloeien is:
        It = Pt / U = 450 / 220 = 2,045A
De stroom per gloeilamp is:
        I = P / U = 150 / 220 = 0,682A
Vraagstuk 8
Een strijkijzer verbruikt in 2,5 uur 2kWh. Het strijkijzer is aangesloten op een netspanning
van 220V.
a) Bereken de verbruikte energie in joule.
b) Bereken het vermogen van het strijkijzer als het gemiddeld 80% van de tijd ingeschakeld is
geweest.
c) Bereken de stroom die er loopt als het strijkijzer is ingeschakeld.
De verbruikte energie in joule is:
                                             12
        2kWh = 2*1000*3600Ws = 7,2.106J
Het vermogen is te berekenen volgens:
        P = W / t = 7,2.106 / (0,8 * 3600 * 2,5) = 1000W
De stroom, die door het strijkijzer loopt, is:
        I = P / U = 1000 / 220 = 4,545A
Vraagstuk 9
Met een elektrische dompelaar die een vermogen van 300W en een rendement van 0,96 heeft,
wordt 2 liter water van 15oC naar 95oC verwarmd. (c = 4,2J/goC)
a) Bereken de nuttige arbeid die moet worden verricht.
b) Bereken de toegevoerde arbeid die moet worden verricht.
c) Bereken de benodigde tijd.
d) Waaraan is de overige energie verloren gegaan?
De hoeveelheid nuttige arbeid die nodig is om het water te verwarmen, is:
        Wn = 4,2 * 2000 * (95-15) = 672000J
De toegevoerde arbeid bedraagt dan:
        Wt = Wn / η = 672000 / 0,96 = 700000J
De tijd die nodig is om het water te verwarmen, is:
        t = Wn / P = 672000 / 300 = 2240s = 37m20s
De overige energie is verloren gegaan door warmte afgifte aan de omgeving.
Vraagstuk 10
Een kWh-meter moet voor één kWh 600 omwentelingen maken. Eén kWh kost f0,25. Een
elektrische kachel wordt aangesloten op de netspanning van 220V, waardoor de schijf van de
meter 20 omwentelingen per minuut maakt.
a) Bereken het elektrische vermogen van de kachel.
b) Bereken de opgenomen stroom uit het elektriciteitsnet.
c) Bereken de verbruikte energie na 5 uur in joule.
d) Bereken de kosten van het energieverbruik.
        600omw = 1kWh = 1000 * 3600 = 3,6.106J(Ws)
        1omw = 3,6.106 / 600 = 6000J(Ws)
        20omw = 6000 * 20 = 120.103J(Ws)
Per minuut worden 20 omwentelingen gemaakt, waarbij 120.000J aan arbeid wordt verricht.
Het vermogen wordt hiermee:
        P = W / t = 120.103 / 60 = 2000W
De, door de elektrische kachel, opgenomen stroom is:
        I = P / U = 2000 / 220 = 9,091A
De verbruikte energie na 5 uur is:
        W = P * t = 2000 * (3600 * 5) = 36.106J(Ws)
Uit het energieverbruik in kWh volgt de prijs van de verbruikte energie:
        36.106 / (1000*3600) = 10kWh
De prijs voor dit verbruik wordt dan:
        10 * 0,25 = 2,50 (2 gulden en 50 cent)
Vraagstuk 11
Het verwarmingselement van een boiler is 1100W bij een spanning van 220V. de boiler heeft
een nuttige inhoud van 80 liter. Het leidingwater is 15oC en wordt verwarmd tot 85oC. Het
rendement kan op 100% worden gesteld. (c = 4,2J/goC)
a) Bereken de tijd die nodig is voor het op temperatuur brengen van de totale boiler-inhoud.
b) Bereken de verbruikte hoeveelheid energie.
c) Bereken de gemaakte kosten. Eén kWh kost f0,25.
Voor de tijd die nodig is om het water op temperatuur te brengen, berekenen we eerst de
verrichte arbeid:
                                             13
       W = c * m * (t1 – t0) = 4,2*(80*1000)*(85-15) = 23,52.106J
Met het beschikbare vermogen duurt het leveren van deze arbeid:
       t = W / P = 23,52.106 / 1100 = 21381,818s (5u56m22s)
De verbruikte energie in kWh is:
       23,52.106 / (1000 * 3600) = 6,533kWh
De gemaakte kosten worden hiermee:
       6,533 * 0,25 = 1,63 (1 gulden en 63 cent)
Vraagstuk 12
Een pompinstallatie heeft een rendement van 30%. Deze pomp moet 1500m3 water 15 meter
omhoog pompen. (g = 10m/s2)
a) Bereken de nuttige arbeid die hiervoor nodig is.
b) Bereken de totale arbeid die moet worden geleverd.
c) Waaraan is de overige energie verloren gegaan?
De kracht die nodig is om de watermassa, tegen de zwaartekracht in, omhoog te brengen is:
       F = m * a = (1500*1000) * 10 = 15.106N
De arbeid die, door de kracht over de afgelegde weg, wordt verricht is:
       W = F * s = 15.106 * 15 = 225.106J
Met behulp van het rendement vinden we de totaal geleverde arbeid:
       Wt = Wn / η = 225.106 / 0,30 = 750.106J(Ws)
De overige energie is verloren gegaan in de pompinstallatie.
Vraagstuk 13
Een elektrische oven aangesloten op een netspanning van 220V neemt in warme toestand een
stroom uit het net van 4A. Het rendement van de oven is 95%. De oven is gedurende 20
minuten ingeschakeld.
a) Hoe groot is het opgenomen vermogen?
b) Hoe groot is het nuttige vermogen van deze oven?
c) Hoeveel arbeid wordt er in totaal geleverd?
d) Bereken de nuttige arbeid die wordt geleverd.
Het opgenomen vermogen van de elektrische oven is:
       Pt = U * I = 220 * 4 = 880W
Hiervan is 95% het nuttig vermogen, dus:
       Pn = Pt * η = 880 * 0,95 = 836W
De in totaal geleverde arbeid is het gevraagde vermogen gedurende de tijd:
       Wt = Pt * t = 880 * (60*20) = 1,056.106J
De nuttige arbeid die wordt geleverd is:
       Wn = Wt * η = 1,056.106 * 0,95 = 1003200J
De nuttige arbeid kan ook met behulp van het nuttig vermogen bepaald worden:
       Wn = Pn * t = 836 * (60*20) = 1003200J
Vraagstuk 14
Een elektrische kachel wordt door middel van een snoer van 10 meter op een spanning van
220V aangesloten. De stroom die gaat lopen is 3,5A. De kachel heeft een rendement van 95%
en levert aan de omgeving per seconde 712,5J.
a) Bereken het toegevoerde vermogen aan de kachel.
b) Bereken het vermogensverlies in het snoer.
c) Bereken de spanning waarop de kachel is aangesloten.
De arbeid die, aan de elektrische kachel, wordt toegevoerd is:
       Wt = Wn / η = 712,5 / 0,95 = 750J(Ws)
Het vermogen uit het produkt van spanning en stroom is:
       P = U * I = 220 * 3,5 = 770W
Per seconde wordt dus geleverd:
                                           14
        W = P * t = 770 * 1 = 770J(Ws)
Het vermogensverlies in het snoer wordt hiermee:
        Ps = P – Pk = 770 – 750 = 20W
Het spanningsverlies in het snoer is nu:
        Us = Ps / I = 20 / 3,5 = 5,714V
De spanning op de kachel is dan:
        Uk = U – Us = 220 – 5,714 = 214,286V
Vraagstuk 15
Voor elektriciteitsopwekking wordt gebruik gemaakt van een waterkrachtcentrale. Het
stuwmeer heeft een niveauhoogte van 100 meter. De generator verbruikt 800m3 water per
seconde. Onder normale belasting is het rendement van de totale generator 0,85.
a) Bereken het toegevoerde vermogen aan de generator.
b) Bereken het beschikbare elektrisch vermogen aan de klemmen.
c) Bereken de door het water geleverde arbeid na één uur.
d) Bereken de nuttige arbeid die gedurende één uur wordt geleverd.
We berekenen de druk van een 100m hoge vloeistofkolom:
        P = (kg/m3)*h(m)*g(m/s2) = 1000*100*10 = 1.106Pa(kg/m.s2)
Het oppervlak van een vloeistofkolom van 100m hoogte, met een volume van 800m3 is:
        A = V / h = 800 / 100 = 8m2
De kracht, die het volume, op het oppervlak uitoefent is:
        F = P / A = 1.106 / 8 = 125.103N(kg.m/s2)
De arbeid, die het volume verricht, over de afgelegde weg is:
        W = F * s = 125.103 * 100 = 12,5.106J
Het volume passeert per seconde de generator, het vermogen is dan gelijk aan de arbeid:
        P = W / t = 12,5.106 / 1 = 12,5.106W
Het elektrisch vermogen aan de klemmen is het nuttig vermogen:
        Pn = Pt * η = 12,5.106 * 0,95 = 11,875.106W
De toegevoerde arbeid, na één uur, is:
        W = P * t = 12,5.106 * 3600 = 45.109J = 45000MJ
De nuttige arbeid die, in één uur, wordt geleverd is:
        W = P * t = 11,875.106 * 3600 = 42,75.109J = 42750MJ
Vraagstuk 16
Een cabine van een personenlift heeft een massa van 3000kg. De liftinstallatie heeft een
contragewicht waarvan de massa 2550kg is. De lift is geschikt voor twaalf personen met een
gemiddelde massa van 75kg per persoon. De lift wordt met een snelheid van 1,5m/s
verplaatst. Het rendement van de overbrenging is 0,8 en het rendement van de motor is 0,9.
a) Bereken het minimaal benodigde vermogen van de motor.
b) Bereken het opgenomen vermogen als de lift verplaatst wordt.
c) Bereken de verrichte arbeid als de lift met 12 personen 45m wordt gehesen.
d) Bereken het totale rendement van de installatie.
e) Bereken de stroom als de motor op een netspanning van 220V wordt aangesloten.
We berekenen de massa van een volle lift:
        m = mcab + (12*75) – mcontr = 3000+(12*75)-2550 = 1350kg
De kracht die de zwaartekracht veroorzaakt op deze massa is:
        F = m * a = 1350 * 10 = 13500N
Stel dat de lift zich eenparig beweegt met een snelheid van 1,5m/s. Als we de wrijving
verwaarlozen, kunnen we in dit geval stellen dat de kracht van de motor evenwicht maakt met
de zwaartekracht. Per seconde legt de lift een weg van 1,5m af, de arbeid die daarbij wordt
verricht is:

                                            15
       W = F * s = 13500 * 1,5 = 20250J(Ws)
De arbeid wordt per seconde verricht, zodat het vermogen is:
       P = W / t = 20250 / 1 = 20250W
De overbrenging levert dit vermogen; het aan de overbrenging toegevoerde vermogen is:
       Pt = Pn / η = 20250 / 0,8 = 25312,5W
Het opgenomen vermogen, als de lift verplaatst wordt, is
       Pt = Pn / η = 25312,5 / 0,9 = 28125W
De verrichte arbeid over 45m wordt als volgt berekend:
       W = F * s = 13500 * 45 = 607500J(Ws)
De verrichte arbeid van de overbrenging is dan:
       Wt = Wn / η = 607500 / 0,8 = 759375J(Ws)
De verrichte arbeid van de motor wordt hiermee:
       Wt = Wn / η = 759375 / 0,9 = 843750J(Ws)
Dit komt overeen met de volgende berekening:
       t = s / v = 45 / 1,5 = 30s
       W = P * t = 28125 * 30 = 843750J
Het totale rendement van de liftinstallatie, is quotiënt van nuttig vermogen en toegevoerd
vermogen:
       η = Pn / Pt = 20250 / 28125 = 0,72 = 72%
Dit komt overeen met het produkt van de twee afzonderlijke rendementen in de liftinstallatie:
       η = η1 * η2 = 0,8 * 0,9 = 0,72 = 72%
De stroom valt te berekenen uit het vermogen van de motor:
       I = P / U = 28125 / 220 = 127,841A
2 Weerstanden
Inleiding
Onder invloed van een aangelegde spanning zal in een geleider een geordende beweging van
vrije ladingdragers plaats vinden. Tijdens deze beweging ondervinden de ladingdragers een
tegenwerking. Men noemt deze tegenwerking weerstand.
2.1 Soortelijke weerstand
De grootheid soortelijke weerstand wordt in het SI-eenhedenstelsel gedefinieerd door de
symbolische letter ρ (rho), uitgedrukt in de eenheid ohm meter (Ω m). De definitie van de
soortelijke weerstand luidt:
        De soortelijke weerstand is de weerstand van een geleider met een lengte van 1 meter
        en een doorsnede van 1mm2 bij een materiaaltemperatuur van 293K.
De formule voor de soortelijke weerstand is:
        R = ρ * l/A
Hierin is:
        R de weerstand in ohm (Ω),
        Ρ de soortelijke weerstand in ohm meter (Ωm),
        l de lengte van de geleider in meter (m),
        A het oppervlak van de doorsnede, van de geleider, in vierkante meter (m2).
Voorbeeld 2.1
Van een koperen (Cu) geleider is de soortelijke weerstand 17,5.10-9Ωm. De totale lengte van
de geleider is 40m en de doorsnede is 0,35mm2. Bereken de weerstand van de geleider.
We passen de formule toe om de weerstand te vinden:
        R = ρ * l/A = 17,5.10-9 * 40 / 0,35.10-6 = 2Ω
2.2 Soortelijke geleiding
Het begrip geleiding is een maat voor de mogelijkheid van elektronen om zich, in een
geleider, te verplaatsen.

                                              16
Het SI-eenhedenstelsel definieert de grootheid geleiding met de symbolische letter Υ (gamma)
en de siemens/meter (S/m) als eenheid van de geleiding. De formule voor de soortelijke
geleiding is:
        G = Υ * A/l
Hierin is:
        G de geleiding in siemens (S),
        Υ de soortelijke geleiding in siemens per meter (S/m),
        A het oppervlak van de doorsnede, van de geleider, in vierkante meter (m2),
        l de lengte van de geleider in meter (m)
Het mag duidelijk zijn dat de geleiding de reciproque is van de weerstand. In formule geldt
dus:
        G = 1 / R of G * R = 1
Voorbeeld 2.2
Van een koperen strip is de soortelijke geleiding 60.106S/m. De lengte van de totale strip is
180m. De koperen strip heeft een rechthoekige doorsnede van 3 x 0,2mm. Bereken de
geleiding van de strip.
Door het invullen van de formule vinden we geleiding:
        G = Υ * A/l = 60.106 * (3.10-3 * 0,2.10-3) / 180 = 0,2S
Voorbeeld 2.3
Een telefoonverbinding heeft een kabellengte van 4000m. De aders van de kabel zijn van
koperdraad en hebben een diameter van 0,6mm.
a) Bereken van de telefoonverbinding de weerstand.
b) Bereken de geleiding van de verbinding.
Eerst berekenen we het oppervlak van de doorsnede van de kabel:
        opp = π * r2 = π * (0,5*d)2 = 0,25*π*d2
        opp = 0,25*π*(0,6.10-3)2 = 282,7.10-9
Vervolgens kunnen we de weerstand berekenen. We hebben in dit geval te maken met een
heen ader en een terug ader, de totale lengte is dus twee maal de kabellengte:
        R = ρ * l/A = 17,5.10-9 * (2*4000) / 282,7.10-9 = 495,2Ω
De geleiding is te vinden door het invullen van de formule:
        G = Υ * A/l = 60.106 * 282,7.10-9 / (2*4000) = 2.10-3S
De geleiding is ook te vinden uit de weerstand:
        G = 1/ R = 1/495,2 = 2.10-3S
Voorbeeld 2.4
Een verbinding tussen de punten A en C bestaat uit twee, twee-aderige, kabels. De lengte van
de eerste kabel is 90m en de Cu-draad heeft een doorsnede van 0,45mm2. De lengte van de
tweede kabel is 150m en die Cu-draad heeft een doorsnede van 0,6mm2. Bereken de totale
weerstand van de verbinding.
De weerstand van het eerste stuk kabel is:
        R1 = ρ * l/A = 17,5.10-9 * (2*90) / 0,45.10-6 = 7Ω
De weerstand van het tweede stuk kabel is:
        R2 = ρ * l/A = 17,5.10-9 * (2*150) / 0,6.10-6 = 8,75Ω
De weerstand van de heen verbinding en terug verbinding tussen A en C wordt hiermee:
        R = R1 + R2 = 7 + 8,75 = 15,75Ω
Opgave 2.1
Een twee-aderig verlengsnoer heeft een lengte van 10m en een Cu-draaddoorsnede van
0,75mm2. Bereken de weerstand van het totale verlengsnoer.
De weerstand van het verlengsnoer is:
        R = ρ * l/A = 17,5.10-9 * (2*10) / 0,75.10-6 = 0,47Ω
Opgave 2.2
                                             17
Van een twee-aderige elektriciteitskabel is de totale geleiding 5S. De aderdiameter is 10mm
en de specifieke geleiding van de Cu-aders is 60.106S/m.
a) Bereken de lengte van de kabel.
b) Bereken de weerstand van één kabelader.
Het oppervlak van de doorsnede van de geleider is:
        opp = 0,25*π*(10.10-3)2 = 78,54.10-6m2
De lengte van de kabel is nu als volgt te berekenen:
        G = Υ * A/l
        l = Υ * A/G = 60.106*78,54.10-6/5 = 942,48m
Deze lengte is de lengte van de totale geleiding; de lengte van de kabel is helft hiervan:
        lk = 0,5 * 942,48 = 471,24m
De totale geleiding geldt voor de twee aders; de geleiding van één ader is twee maal de totale
geleiding:
        G1 = 2 * G = 2 * 5 = 10S
Ter controle vullen we de formule voor de geleiding nogmaals in:
        G = Υ * A/l = 60.106 * 78,54.10-6 / 471,24 = 10S
De weerstand van één adergeleider wordt dan:
        R1 = 1 / G = 1/ 2,5 = 0,1Ω
2.3 Temperatuurscoëfficiënt
Onder invloed van de temperatuur zal de soortelijke weerstand (soortelijke geleiding) van een
materiaal wijzigen. Voor elk materiaal bepaald de temperatuurscoëfficiënt de mate van de
verandering.
Men spreekt van een materiaal met een positieve temperatuurs coëfficiënt wanneer de
weerstand van het materiaal toeneemt bij een toenemende temperatuur. Een materiaal waarbij
de weerstand afneemt bij een toenemende temperatuur heeft een negatieve temperatuurs
coëfficiënt.
In het SI-eenhedenstelsel is temperatuurscoëfficiënt gedefinieerd met de symbolische letter α
(alfa), met de kelvin-1 (1/K) als eenheid. De definitie van de temperatuurscoëfficiënt luidt:
        De temperatuurscoëfficiënt is de weerstandsverandering van een weerstand van 1Ω bij
        een temperatuurverandering van 1K.
De weerstandverandering van een geleider als gevolg van een temperatuursverandering, is in
formule:
        Rt2 = Rt1 + ΔR
        ΔR = Rt1 * α * ΔT = Rt1 * α * (T2 – T1)
Door het combineren van de twee formules ontstaat de volgende afleiding:
        Rt2 = Rt1 + Rt1 * α * (T2 – T1) = Rt1(1 + α(T2 – T1))
In deze formule is:
        Rt2 de eindweerstand in ohm (Ω),
        Rt1 de beginweerstand in ohm (Ω),
        α de temperatuurscoëfficiënt van het materiaal in kelvin-1 (1/K),
        T2 de eindtemperatuur in graden kelvin (K),
        T1 de begintemperatuur in graden kelvin (K).
Voorbeeld 2.5
Een koperen geleider heeft bij een temperatuur van 20oC een weerstand van 40Ω. De
temperatuur van de geleider wordt 80oC ten gevolge van de omgevingstemperatuur en de
stroom door de geleider. Bereken de weerstand van de geleider.
We passen de formule toe, om de weerstand bij 80 graden te vinden:
        Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 40(1+3,93.10-3(353-293))= 49,43Ω
Voorbeeld 2.6

                                              18
Over een gloeilamp, met een wolframdraad, wordt de spanning zodanig geregeld dat de
temperatuur van de gloeidraad wordt veranderd van 1200oC naar 1800oC. De weerstand van
de draad bij 1200oC is 350Ω. Bereken de weerstand van de gloeidraad bij 1800 graden.
Eerst wordt de weerstand berekend bij 20 graden, met behulp van de weerstand bij 1200oC:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1))
       Rt1 = Rt2 / (1 + α(T2 – T1))=350/(1+4.10-3(1200-20))=61,19Ω
Nu kan de weerstand bij 1800 graden berekend worden:
       Rt2 = 61,19(1+4.10-3(1800-20))= 496,86Ω
Opgave 2.3
Een verwarmingselement van een oventje is vervaardigd van wolframdraad. De weerstand bij
20oC is 8,8Ω. De werktemperatuur van het element wordt 1000oC.
a) Bereken de weerstand van het element bij de werktemperatuur.
b) Teken de grafiek R=f(T).
De weerstand wordt gevonden door het toepassen van de formule:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 8,8(1+4.10-3(1000-20))= 43,3Ω
De grafiek R=f(T) is:




                                     Grafiek bij opgave 2.3
Uit de grafiek blijkt dat de weerstand bij 600+273oK iets minder dan 30 ohm is. We
controleren dit:
        Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 8,8(1+4.10-3(600-20))= 29,2Ω
Opgave 2.4
Een gloeilamp met een kooldraad heeft een werktemperatuur van 1800oC. Bij deze
temperatuur is de weerstand 880Ω. Berekenen de weerstand van de gloeidraad bij 20oC.
We berekenen de weerstand bij 20 graden op de volgende manier:
        Rt1 = Rt2 / (1 + α(T2 - T1))
             = 880 / (1 + -0,5.10-3(1800-20)) = 8000Ω
In dit geval is de weerstand bij 20 graden groter dan de weerstand bij 1800 graden; we hebben
te maken met een negatieve temperatuur coeffiëciënt (NTC) van het materiaal.
Vraagstukken
Vraagstuk 1
Een koperrail van 30mm x 4mm heeft een lengte van 6m.
a) Bereken de weerstand van de geleider.
b) Bereken de geleiding van de geleider.
Het oppervlak van de doorsnede van de geleider is:
        opp = 30*4 = 120mm2 = 120.10-6m2
De weerstand van de geleider wordt dan:
        R = ρ * l/A = 17,5.10-9 * 6 / 120.10-6 = 875.10-6Ω
De geleiding is te berekenen met de formule:
        G = Υ * A/l = 57,14.106 * 120.10-6 / 6 = 1142,8S
Vraagstuk 2

                                             19
Een constantaandraad heeft een lengte van 32cm. De doorsnede van de draad is 1,5mm2. De
soortelijke weerstand is in tabel 2.1 gegeven.
a) Bereken de weerstand van de draad.
b) Bereken de geleiding van de draad op twee manieren.
De weerstand berekenen we met de formule:
        R = ρ * l/A = 0,4800.10-6 * 0,32 / 1,5.10-6 = 0,1024Ω
De geleiding valt enerzijds te berekenen uit de reciproque van de weerstand:
        G = 1 / R = 1 / 0,1024 = 9,77S
Anderzijds valt de geleiding te berekenen door het toepassen van de formule:
        G = Υ * A/l = 2,08.106 * 1,5.10-6 / 0,32 = 9,75S
Vraagstuk 3
Een meetdraad van nieuw-zilver met een lengte van 1 meter heeft een doorsnede van 1mm2.
a) Bereken de geleiding van de draad.
b) Bereken de weerstand van de draad op twee manieren.
De geleiding berekenen we met behulp van de formule:
        G = Υ * A/l = 3,33.106 * 1.10-6 / 1 = 3,33S
De eerste manier om de weerstand te berekenen is, met behulp van de formule:
        R = ρ * l/A = 0,300.10-6 * 1 / 1.10-6 = 0,300Ω
De tweede manier, om de weerstand te vinden, is de reciproque nemen van de geleiding:
        R = 1 / G = 1 / 3,33 = 0,300Ω
Vraagstuk 4
Een relaisspoel is gewikkeld van koperdraad waarvan de doorsnede 0,25mm2 is. De
spoelweerstand is 7Ω.
a) Bereken de lengte van de koperdraad.
b) Bereken de lengte van de draad als we een weerstand van 8Ω moeten maken van de spoel.
De lengte van de koperdraad, voor de relaisspoel, volgt uit de formule:
        l = R * A / ρ = 7 * 0,25.10-6 / 17,5.10-9 = 100m
De lengte van de koperdraad, voor de relaisspoel, bij 8 ohm is:
        l = R * A / ρ = 8 * 0,25.10-6 / 17,5.10-9 = 114,29m
Vraagstuk 5
Voor het vervaardigen van een draadgewonden weerstand wordt gebruik gemaakt van een
nichroomdraad met een doorsnede van 0,3mm2. De weerstand moet een waarde krijgen van
6Ω.
a) Bereken de lengte van de draad
b) Bereken de diameter van de draad.
We berekenen de lengte van de benodigde draad voor een weerstand van 6 ohm:
        l = R * A / ρ = 6 * 0,3.10-6 / 1,0000.10-6 = 1,8m
De diameter van de draad volgt uit:
        d = √(4 * opp / π) = √(4 * 0,3.10-6 / π) = 0,62mm
Vraagstuk 6
Een gloeilamp heeft bij 20oC een weerstand van 40Ω. De gloeispiraal is gemaakt van
koolstofdraad en heeft een lengte van 80cm.
a) Bereken de doorsnede van de draad.
b) Bereken de diameter van de draad.
Het oppervlak van de doorsnede van de draad in de gloeilamp is te berekenen met:
        A = ρ * l / R = 60,0000.10-6 * 0,8 / 40 = 1,2mm2
De diameter van de draad volgt uit:
        d = √(4 * A / π) = √(4 * 1,2.10-6 / π) = 1,2mm
Vraagstuk 7
Een 6 meter lange draad heeft een weerstand van 320,7Ω. De draaddiameter is 0,1mm.
                                           20
a) Bereken de doorsnede van de draad.
b) Bereken de soortelijke weerstand van de geleider.
c) Bepaal met behulp van tabel 2.1 het soort materiaal.
Het oppervlak van de doorsnede van de draad berekenen we met de formule:
       A = 0,25 * π * (0,1.10-3)2 = 7853mm2
De soortelijke weerstand van de draad vinden we uit:
       ρ = A * R / l = 7853.10-6 * 320,7 / 6 = 0,42.10-6Ωm
Volgens de tabel is de uitkomst overeenkomstig met de soortelijke weerstand van het
materiaal manganine.
Vraagstuk 8
Een relaisspoel wordt met koperdraad met een diameter van 0,3mm gewikkeld. De weerstand
van de relaisspoel is 322Ω.
a) Bereken de doorsnede van de draad.
b) Bereken de lengte van de draad.
c) Bereken de minimale wikkelruimte voor de spoel als deze uit 7800 windingen bestaat en er
15% van de ruimte verloren gaat aan isolatie en lucht tussen de draad.




                                  Tekening bij vraagstuk 8
Het oppervlak van de doorsnede van de draad is:
       A = 0,25 * π * (0,3.10-3)2 = 0,071.10-6m2
De lengte van de draad is:
       l = R * A / ρ = 322*0,071.10-9 / 0,0175.10-6 = 1306,4m
De minimale wikkelruimte is:
       7800 * 0,3.10-6 = 2,34.10-3m
De wikkelruimte wordt 15% vergroot voor isolatie en lucht:
       2,34.10-3 + 15% = 2,34. 10-3 + 0,351.10-3 = 2,691.10-3m
Vraagstuk 9
Een schuifweerstand is gewikkeld op een keramische kern met een diameter van 29mm en een
beschikbare wikkellengte van 20cm. De chroomnikkeldraad heeft een diameter van 1mm.
a) Bereken de doorsnede van de draad.
b) Bereken de maximale lengte van de draad.
c) Bereken de weerstand van de draad.
d) Bereken de minimaal af te takken weerstandswaarde.
Het oppervlak van de doorsnede van de draad is:
       A = 0,25 * π * (1.10-3)2 = 0,785.10-6m2
Met de beschikbare wikkelruimte is het maximaal aantal windingen:
       20.10-2 / 1.10-3 = 200
We wikkelen de draad om een kern van 29mm; de lengte van de omtrek van de draad per
winding wordt dan:
       l = 2 * π * r = 2 * π * 30.10-3 = 0,1885m
De totale lengte van de draad wordt hiermee:
       200 * 0,1885 = 37,7m
                                            21
De weerstand van de draad is te berekenen met:
        R = ρ * l/A = 1,0000.10-6 * 37,7 / 0,785.10-6 = 48,03Ω
De minimaal af te takken weerstandswaarde is de weerstand per winding:
        R = ρ * l/A = 1,0000.10-6 * 0,1885 / 0,785.10-6 = 0,24Ω
Vraagstuk 10
Een spoel voor een bel uit een wikkeling van 300 windingen. De wikkeling bestaat uit
koperdraad met een diameter d=0,1mm. De gemiddelde wikkeldiameter van de spoel is
1,5cm.
a) Bereken de doorsnede van de draad.
b) Bereken de lengte van de draad.
c) Bereken de weerstand van de spoel.
Het oppervlak van de doorsnede van de draad is:
        A = 0,25 * π * (0,1.10-3)2 = 0,008.10-6m2
De lengte van de draad is de lengte van de omtrek van een winding maal het aantal
windingen:
        lt = lw * n = (π * d) * n = (π * 1,5.10-2) * 300 = 14,14m
De weerstand van de spoel is dan:
        R = ρ * l/A = 0,0175.10-6 * 14,14 / 0,008.10-6 = 30,9Ω
Vraagstuk 11
Bij het vervaardigen van koperdraad wordt door een trekproces, zonder materiaalverlies, een
geleider 10 maal langer getrokken.
a) Bereken de verhouding tussen de weerstanden voor en na het proces.
b) Wat is er met de geleiding gebeurd tijdens dit draadtrekproces?
We beschouwen de weerstandsverandering na het trekproces, ten opzichte van de weerstand
van de draad voor het trekproces.
        R1 = ρ * l1/A1 en R2 = ρ * l2/A2
De lengte van de draad wordt 10 maal groter, dus geldt:
        l2 = 10 * l1
Tijdens het trekproces gaat geen materiaal verloren, met andere woorden; het volume van het
materiaal blijft constant. Wanneer de lengte toeneemt zal, in dit geval, het oppervlak moeten
afnemen. In formule:
        v1 = v2
        l1 * A1 = l2 * A2
        l1 * A1 = 10l1 * A1/10
Voor de weerstand na het trekproces geldt dus:
        R2 = ρ * 10l1/(A1/10)
        R2 = 100(ρ * l1/A1)
        R2 = 100 * R1
We zien dat de lengte van de draad met een factor 10 toeneemt terwijl de weerstand met een
factor 100 toeneemt. De geleiding zal met een factor 100 afnemen!
Vraagstuk 12
Een twee-aderige meetkabel met een koperdoorsnede van 0,5mm2 heeft een lengte van 80m.
60m van de kabel loopt door een ruimte met een temperatuur van 20oC en de overige 20m
loopt door een ruimte met een temperatuur van 80oC. De meetstroom door de aders heeft hier
een te verwaarlozen temperatuurverandering tot gevolg.
a) Bereken de totale weerstand van de meetkabel als deze in zijn geheel door de ruimte van
20oC zou lopen.
b) Bereken de totale weerstand van de meetkabel als deze op boven omschreven wijze wordt
aangelegd.
c) Bereken hoe groot de procentuele meetfout kan zijn.
                                              22
De totale weerstand van de meetkabel is:
       R = ρ * l/A = 0,0175.10-6 * (2*80) / 0,5.10-6 = 5,6Ω
We stellen de meetkabel nu bloot aan de genoemde temperaturen. We berekenen eerst de
weerstand van het stuk meetkabel dat zich in de omgeving bevindt, met een temperatuur van
20 graden:
       R1 = ρ * l1/A = 0,0175.10-6 * (2*20) / 0,5.10-6 = 1,4Ω
Vervolgens berekenen we de weerstand van het stuk meetkabel dat zich in de omgeving
bevindt van 80 graden:
       R2 = ρ * l2/A = 0,0175.10-6 * (2*60) / 0,5.10-6 = 4,2Ω
We berekenen nu de weerstandsverandering, van het stuk meetkabel, als gevolg van de
temperatuur:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 4,2(1+3,93.10-3(80-20))= 5,19Ω
De totale weerstand van de meetkabel is nu:
       Rt = R1 + Rt2 = 1,4 + 5,19 = 6,59Ω
De procentuele meetfout is de procentuele afwijking van de weerstand van de meetkabel. In
dit geval is deze afwijking:
       100% – ((5,6 / 6,59) * 100%) = 15%
Vraagstuk 13
Een weerstand, die gewikkeld is van zilverdraad met een doorsnede van 0,8mm2, heeft bij
20oC een waarde van 10Ω. De weerstand wordt toegepast voor een temperatuurmeting tussen
40oC en 100oC.
a) Bereken de lengte van de zilverdraad die nodig is om de weerstand te wikkelen.
b) Bereken de weerstandsverandering die maximaal kan ontstaan tijdens het meten van de
temperaturen.
c) Teken de grafiek R=f(T)
De lengte zilverdraad die nodig is om een weerstand van 10 ohm te wikkelen, is:
       l = R * A / ρ = 10 * 0,8.10-6 / 0,0160.10-6 = 500m
Bij 40 graden heeft de weerstand een waarde van:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 10(1+3,60.10-3(40-20))= 10,72Ω
Bij 100 graden heeft de weerstand een waarde van:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 10(1+3,60.10-3(100-20))= 12,88Ω
De weerstandsverandering die maximaal kan optreden tijdens het meten van de temperaturen
bedraagt:
       R = 12,88 – 10,72 = 2,16Ω
De grafiek R=f(T) is als volgt:




                                            23
                                   Grafiek bij vraagstuk 13
Vraagstuk 14
Op een soldeerbout is 220V, 125W vermeld. Een ohmmeter geeft bij 20oC een waarde van
200Ω aan.
a) Bereken de weerstand van het element als het aangesloten is op 220V.
b) Bereken in deze situatie de temperatuurverandering van het element.
c) Bereken de bedrijfstemperatuur van het soldeerelement.
Om de weerstand te berekenen maken we een afleiding van de formule voor het berekenen
van het vermogen:
       P = U * I = U * (U / R) = U2/R
       R = U2 / P = 2202 / 125 = 387,2Ω
Door het warm worden van de soldeerbout veranderd de weerstand; de weerstandsverandering
van de soldeerbout onder invloed van de temperatuur is:
       ΔR = 387,2 – 200 = 187,2Ω
Voor het berekenen van de bedrijfstemperatuur van de soldeerbout, gaan we er van uit dat de
soldeerbout van het materiaal koper gemaakt is. De temperatuur is dan als volgt te berekenen:
       ΔT = (T2 – T1) = ΔR / Rt1 * α
       ΔT = 187,2 / ((273 + 20) * 3,93.10-3) = 162,57K
De bedrijfstemperatuur, in graden celcius, wordt hiermee:
       T2 = 293 + 162,57 = 455,57K = 455,57 – 273 = 182,57oC
Vraagstuk 15
Een twee-aderige meetkabel is zodanig aangelegd dat deze aan temperatuurvariaties tussen -
20oC en +60oC is blootgesteld. De kabellengte is 150 meter en de koperaderdoorsnede is
0,6mm2. Men wil de weerstandsvariatie compenseren door een koolweerstand waarvan de
eigenschappen lineair verlopen, bij de geleider op te nemen die aan dezelfde temperatuurs-
veranderingen is blootgesteld.
a) Bereken de totale weerstand van de kabel bij 20oC.
b) Bereken de weerstandswaarde van de koolweerstand die deze weerstandvariatie van de
kabel goed kan compenseren.
De weerstand van de kabel bij 20oC is:
       R = ρ * l/A = 0,0175.10-6 * 300 / 0,6.10-6 = 8,75Ω
De meetkabel ondergaat als gevolg van het verschil in temperatuur een verandering in de
weerstand. We berekenen de verandering van de weerstand die optreedt bij de twee uiterste
waarden van de temperatuur. Eerst de verandering bij 60 graden:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1)) = 8,75(1+3,60.10-3(60-20))= 10,01Ω
De verandering van de weerstand bij –20 graden is:
       Rt2 = Rt1(1 + α(T2 – T1))= 8,75(1+3,60.10-3(-20-20))= 7,49Ω
Over het temperatuurbereik van -20 tot +60 graden is de weerstandsverandering:
       ΔR = 10,01 – 7,49 = 2,52Ω
We berekenen nu de weerstandswaarde van de koolweerstand:
       Rt1 = ΔR / α(T2 – T1) = 2,52 / -0,50.10-3 * 80 = -63Ω
De waarde van de koolweerstand bij 20 graden is:
       Rt1 = Rt2 / (1 + α(T2 – T1))
       Rt1 = 63 / (1 + -0,50.10-3(-20-20)) = 61,76Ω
3 Netwerken 1
Inleiding
In de elektrotechniek worden schakelingen van elementen netwerken genoemd. Om
berekeningen aan deze netwerken te kunnen uitvoeren zijn afspraken nodig. Allereerst is het
nodig om de elementen in de netwerken nauwkeurig te definiëren. Daarna is het mogelijk om

                                             24
berekeningen aan netwerken uit te voeren door middel van het gebruik van een aantal
basiswetten.
3.1 Basiselementen voor netwerken
De basiselementen in netwerken worden onderscheiden in actieve elementen en passieve
elementen. Actieve elementen zijn elementen die energie leveren; zoals spanningsbronnen en
stroombronnen. Passieve elementen zijn elementen die energie verbruiken; een voorbeeld van
een passief element is een weerstand.
3.1.1 Ideale spanningsbron
Een ideale spanningsbron is een netwerkelement waarvan de geleverde spanning
onafhankelijk is van het aangesloten netwerk. De inwendige weerstand van een spanningsbron
is nul ohm. De bronspanning is gelijk aan de klemspanning.




                 Tekening 3.1.1, een netwerk gekoppeld aan een spanningsbron
3.1.2 Ideale stroombron
Een ideale stroombron is een netwerkelement waarvan de geleverde stroom onafhankelijk is
van het aangesloten netwerk. De inwendige weerstand van een stroombron is oneindig groot.
De bronstroom is gelijk aan de geleverde stroom aan de klemmen.




                Tekening 3.1.2, een netwerk gekoppeld aan een stroombron
3.1.3 Weerstand
De weerstand R van een netwerkelement is een grootheid die de relatie vastlegt tussen de
spanning over het netwerkelement en de stroom door het netwerkelement. Wanneer de
weerstand van een netwerkelement oneindig groot is; spreekt men van open klemmen. En als
de weerstand van het netwerkelement nul Ohm is; dan is er sprake van kortgesloten klemmen.




                                            25
                         Tekening 3.1.3, de weerstand van een netwerk
3.2 De wet van Ohm
De wet van Ohm legt de relatie vast tussen de spanning en de stroom in een netwerk De
definitie van de wet van Ohm luidt:
        De weerstand van een netwerk is het quotiënt van de spanning over het netwerk en de
        stroom door het netwerk.
In formule luidt de wet van Ohm:
        U = I * R
Hierin is:
        U de spanning in Volt (V),
        I de stroom in Ampère (A),
        R de weerstand in Ohm (Ω)
Voorbeeld 3.1
Op een onbekende weerstand wordt een regelbare spanningsbron aangesloten. De spanning
wordt ingesteld op 10V, 15V, 20V en 30V. De daarbij gemeten stromen zijn respectievelijk
20mA, 30mA, 40mA, 50mA en 60mA.
a) Bereken voor de ingestelde spanningswaarden de weerstandswaarde.
b) Maak een grafische voostelling I = f(U).
Voor het berekenen van de weerstandswaarden bij de ingestelde spanningen maken we
gebruik van de wet van Ohm:
        R = U / I = 10 / 20.10-3 = 500Ω
        R = 15 / 30.10-3 = 500Ω
        R = 20 / 40.10-3 = 500Ω
        R = 30 / 50.10-3 = 500Ω
De grafiek I=f(U) is als volgt.




                                 Grafiek bij voorbeeld 3.1
Opgave 3.1

                                             26
Op een weerstand wordt een regelbare spanningsbron van 0V tot 100V aangesloten. De
spanning wordt ingesteld op 100V. Met een ampère-meter wordt een stroom van 25mA
gemeten.
a) Bereken de weerstandswaarde.
b) Bereken de stroom als de spanning omlaag wordt geregeld tot 75V, 50V en vervolgens tot
25V.
c) Teken de grafische voorstelling Ir = f(Ub)
De weerstandswaarde van de weerstand is:
       R = U / I = 100 / 25.10-3 = 4000Ω
De stromen, bij de gevraagde spanningen, zijn:
       I = U / R = 75 / 4000 = 18,75mA
       I = 50 / 4000 = 12,5mA
       I = 25 / 4000 = 6,25mA
De grafiek van de functie Ir = f(Ub) is als volgt:




                                   Grafiek bij opgave 3.1
*Opmerking
De helling van de lijn kan door de tangens van de hoek beschreven worden.
        tan(α) = ΔI / ΔU = 5.10-3 / 20 = 0,25.10-3S
We merken op dat de helling van de lijn bepaald wordt door de grootte van de geleiding door
de weerstand. De reciproke van de geleiding is dus de waarde van de weerstand.
        R = 1 / G = 1 / 0,25.10-3 = 4000Ω
Opgave 3.2
Door een weerstand van 10kΩ wordt een stroom in stappen van 10mA opgeregeld van 0mA
tot en met 100mA.
a) Bereken de spanning over de weerstand bij de verschillende stromen.
b) Teken de grafische voorstelling Ur = f(Ir)
De spanningen over de weerstand zijn achtereenvolgens:
        U = I * R = 10.10-3 * 10.103 = 100V
        U = I * R = 20.10-3 * 10.103 = 200V
        U = I * R = 30.10-3 * 10.103 = 300V
        U = I * R = 40.10-3 * 10.103 = 400V
        U = I * R = 50.10-3 * 10.103 = 500V
        U = I * R = 60.10-3 * 10.103 = 600V
        U = I * R = 70.10-3 * 10.103 = 700V
        U = I * R = 80.10-3 * 10.103 = 800V
        U = I * R = 90.10-3 * 10.103 = 900V
        U = I * R = 100.10-3 * 10.103 = 1000V
De grafiek van de functie Ur = f(Ir) is als volgt:


                                             27
                                      Grafiek bij opgave 3.2
*Opmerking
De helling van de stippellijn kan door de tangens van de hoek beschreven worden.
        tan(α) = ΔU / ΔI = 200 / 20.10-3 = 10.103Ω
We merken op dat de helling van de lijn bepaald wordt door de waarde van de weerstand.
3.3 Wetten van Kirchoff
3.3.1 Stroomwet van Kirchoff
Wanneer in een netwerk twee of meer verbindingen samenkomen kan men op het punt van
samenkomst spreken van een knooppunt. De stroomwet van Kirchoff beschrijft de relatie
tussen de stromen die van het knooppunt stromen en naar het knooppunt stromen. Een stroom
die naar het knooppunt stroomt is per definitie positief. Een stroom die van het knooppunt
stroomt is per definitie negatief. De definitie van de stroomwet van Kirchoff luidt:
        In een knooppunt is de algebraïsche som van de stromen nul
In de onderstaande figuur is het nu mogelijk om voor de punten p de volgende vergelijkingen
te maken:
        ΣIp = 0A
        I1 + (-I2) = 0
Voor het tweede punt p geldt:
        ΣIp = 0A
        I1 + I2 + (-I3) = 0




                             Tekening 3.3.1, twee knooppunten
Voorbeeld 3.2
Een netwerk, bestaande uit twee stroombronnen en een weerstand, is geschakeld volgens de
figuur.
a) Bepaal de vergelijkingen voor de knooppunten A en B.
b) Bereken de stroom door de weerstand voor elke vergelijking afzonderlijk.




                                            28
                                  Tekening bij voorbeeld 3.2
De stroomvergelijking voor het knooppunt A is:
        ΣIa = 0A
        Ib1 + (-Ir) + (-Ib2) = 0
De stroomvergelijking voor het knooppunt B is:
        ΣIa = 0A
        (-Ib1) + Ir + Ib2 = 0
De stroom door de weerstand, bepaald door de vergelijking voor het punt A, is:
        Ir = Ib1 – Ib2 = 3 – 5 = -2A
De stroom door de weerstand, bepaald door de vergelijking voor het punt B, is:
        Ir = Ib1 – Ib2 = 3 – 5 = -2A
De negatieve waarde van de stroom door de weerstand wijst erop dat de stroom door de
weerstand tegengesteld is aan de gekozen richting.
Opgave 3.3
Het knooppunt, zoals is weergegeven in de figuur, bestaat uit vier geleiders in een netwerk.
a) Stel de stroomvergelijkingen op voor punt p.
b) Bereken de stroom I4.
c) Welke richting heeft de stroom I4?




                                   Tekening bij opgave 3.3
De stroomvergelijking voor het punt p is:
        ΣIp = 0A
        I1 + I2 + (-I3) + I4 = 0
De stroom I4 kan worden bepaald uit de stroomvergelijking:
        I4 = (-I1) + (-I2) + I3 = -5 – 4 + 6 = -3A
De negatieve waarde van de stroom I4 duidt erop dat de richting van de stroom tegengesteld is
aan de gekozen richting van de stroom.
Opgave 3.4
Een netwerk bestaande uit twee stroombronnen en één weerstand is geschakeld volgens het
schema in de figuur.
a) Stel de stroomvergelijking op voor punt p1 en voor punt p2.
b) Bereken voor beide vergelijkingen de stroom Ib2.
c) Welke richting heeft de stroom Ib2?




                                              29
                                    Tekening bij opgave 3.4
De stroomvergelijking voor het punt p1 is:
        ΣIp1 = 0A
        Ib1 + Ib2 + (-Ir) = 0
De stroomvergelijking voor het punt p2 is:
        ΣIp2 = 0A
        (-Ib1) + (-Ib2) + Ir = 0
Het uitwerken van de vergelijkingen levert voor de stroom Ib2:
        Ib2 = Ir - Ib1 = 2 – 10 = -8A
        Ib2 = Ir - Ib1 = 2 – 10 = -8A
Uit de antwoorden blijkt dat de stroom door B2 tegengesteld is aan de gekozen richting.
3.3.2 Spanningswet van Kirchoff
Met de spanningswet van Kirchoff is het mogelijk om de spanningsverdeling te bepalen van
een maas in een netwerk. Voor het maken van een spanningsvergelijking is het allereerst
noodzakelijk een aantal afspraken te maken over de definities van de spanningsniveaus. We
definiëren een spanningsdaling als positief en een spanningsstijging als negatief. Voorts
definiëren dat de stroom door een actief element stroomt van min naar plus. En dat de stroom
door een passief element stroomt van plus naar min. Dankzij deze afspraken kan nu de
spanningsvergelijking gedefinieerd worden. De definitie van de spanningswet van Kirchoff
luidt:
        In één maas is de algebraïsche som van de spanningen nul




                            Tekening 3.3.2, een elektrisch circuit
Voorbeeld 3.3
In een netwerk zijn twee spanningsbronnen en een weerstand geschakeld, volgens de figuur.
a) Stel de spanningsvergelijking op voor het netwerk.
b) Bereken met behulp van de vergelijking de spanning over de weerstand.




                                             30
                                  Tekening bij voorbeeld 3.3
De spanningsvergelijking kan als volgt worden opgesteld:
        ΣUp = 0V
        -Ub1 + Ur + Ub2 = 0
        Ur = Ub1 – Ub2 = 10 – 15 = -5V
We zien dat de polariteit van de spanning over de weerstand tegengesteld is aan de gekozen
polariteit van de spanning over de weerstand. Dit houdt tevens in dat de richting van de
stroom Ib tegengesteld is aan de gekozen richting van de stroom Ib in de tekening.
Opgave 3.5
Eén weerstand is aangesloten op twee spanningsbronnen volgens de figuur.
a) Stel de spanningsvergelijking op voor het punt p.
b) Bereken de spanning Ur over de weerstand.
c) Bereken de stroom door de weerstand.




                                   Tekening bij opgave 3.5
De spanningsvergelijking voor het punt p is:
        ΣUp = 0V
        -Ub2 + (-Ub1) + Ur = 0
De spanning over de weerstand volgt uit de spanningsvergelijking:
        Ur = Ub1 + Ub2 = 1,5 + 1,5 = 3,0V
Bij het maken van de spanningsvergelijking is aangenomen dat de stroom klokwijs vloeit door
de maas van het netwerk. De spanning over de weerstand is positief; wat betekent dat in de
gekozen stroomrichting het passief element een spanningsdaling veroorzaakt. Dit laatste
betekent dat de stroom door het passief element stroomt van plus naar min.
De grootte van de stroom is te formuleren als:
        Ir = Ur / R
Opgave 3.6
In de figuur is een circuit opgebouwd dat bestaat uit drie spanningsbronnen en een weerstand
van 150Ω. De stroom I in het circuit is 10mA.
a) Bereken de spanning over de weerstand.
b) Stel de spanningsvergelijking op.
c) Bereken de spanning van de bron Ub2.
d) Hoe groot is de spanning tussen de punten p en q?




                                             31
                                    Tekening bij opgave 3.6
Voor het berekenen van de spanning over de weerstand gaan we uit van de gegevens:
        Ur = Ib * R = 10.10-3 * 150 = 1,5V
We stellen de spanningsvergelijking op voor het punt p:
        ΣUp = 0V
        -Ub2 + (-Ub3) + Ur + Ub1 = 0
Met de spanningsvergelijking kan de spanning van de bron B2 berekend worden:
        Ub2 = Ur + Ub1 -Ub3 = 1,5 + 1,5 – 1,5 = 1,5V
De spanning tussen de punten p en q is de som van de spanningen van de bronnen B2 en B3. In
de stroomrichting gaat het hierbij om een spanningstijging; het potentiaal is dus negatief:
        Upq = -( Ub2 + Ub3) –(1,5 + 1,5) = -3,0V
3.4 Schakelen van weerstanden
In netwerken komen zowel serieschakelingen als parallelschakelingen voor van elementen.
3.4.1 In serie schakelen van weerstanden
In het algemeen kunnen we de definitie van een serieschakeling als volgt stellen:
        In een serieschakeling loopt op elke plaats in het netwerk dezelfde stroom.
De vervangende weerstand van een serieschakeling van weerstanden is de som van de
weerstanden in serie. In formule gesteld:
        Rv = R1 + R2 + ... + Rn
Voorbeeld 3.4
Een weerstandsnetwerk is geschakeld volgens de figuur. De weerstand R1 is 100Ω en de
weerstand R2 is 200Ω. Over de weerstand R1 wordt een spanning Ur1 = 20V gemeten.
a) Bereken met behulp van de wet van Kirchoff de bronspanning Ub.
b) Bereken de stromen door de weerstanden R1 en R2.
c) Bereken de weerstandswaarde tussen de klemmen A en B met behulp van de wet van Ohm.




                                Tekening bij voorbeeld 3.4
Voor het berekenen van de bronspanning stellen we een spanningsvergelijking op voor het
punt A:
       ΣUa = 0V
       Ur1 + Ur2 + (-Ub) = 0
De spanning over de weerstand R2 volgt uit de volgende vergelijking:
       Ir1 = Ir2
                                            32
        Ur1 / R1 = Ur2 / R2
Omdat tevens geldt dat:
        R2 = 2R1
        Ur1 / R1 = Ur2 / 2R1
        Ur2 = 2Ur1
        Ur2 = 2 * 20 = 40V
Nu zijn we in staat de spanningsvergelijking verder in te vullen om de bronspanning te
kunnen vinden:
        Ub = Ur1 + Ur2 = 20 + 40 = 60V
De stromen door de weerstanden R1 en R2 zijn als volgt te berekenen. Eerst de stroom door
R1 :
        Ir1 = Ur1 / R1 = 20 / 100 = 0,2A
De stroom door R2 is :
        Ir2 = Ur2 / R2 = 40 / 200 = 0,2A
De weerstandswaarde tussen de klemmen A en B is volgens de wet van Ohm:
        R = U / I = Ub / Ir1 = 60 / 0,2 = 300Ω
Opgave 3.7
Een serieschakeling bestaat uit de weerstanden R1, R2 en R3. De weerstand R1 = 10Ω, R2 =
20Ω en R3 = 30Ω. De schakeling is aangesloten op een spanningsbron Ub van 24V.
a) Bereken de stroom in het netwerk.
b) Bereken de spanning over R1.
c) Bereken de spanning over R2.
d) Bereken de spanning over R3.
e) Bereken op twee manieren de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
Om de stroom in het netwerk te kunnen berekenen stellen we een spanningsvergelijking op
voor de serieschakeling:
        Ur1 + Ur2 + Ur3 + (-Ub) = 0
        Ur1 + Ur2 + Ur3 = Ub
        (Ir1 * R1) + (Ir2 * R2) + (Ir3 * R3) = Ub
In een serieschakeling is de stroom in het netwerk op elke plaats dezelfde; dus geldt:
        Ir1 = Ir2 = Ir3
Dit gegeven verwerken we in de spanningsvergelijking:
        (Ir1 * R1) + (Ir1 * R2) + (Ir1 * R3) = Ub
We beperken het aantal variabelen in de vergelijking door de weerstanden R2 en R3 uit te
drukken in de grootte van de weerstand R1:
        R2 = 2 * R1
        R3 = 3 * R1
Ook dit gegeven wordt in de spanningsvergelijking verwerkt. En vervolgens is de stroom in
het netwerk te berekenen:
        (Ir1 * R1) + (Ir1 * 2R1) + (Ir1 * 3R1) = Ub
        Ir1(R1 + 2R1 + 3R1) = Ub
        Ir1 = Ub / 6R1
        Ir1 = 24 / (6 * 10) = 24 / 60 = 0,4A
De spanning over de weerstand R1 is:
        Ur1 = Ir1 * R1 = 0,4 * 10 = 4V
De spanning over de weerstand R2 is:
        Ur2 = Ir2 * R2 = 0,4 * 20 = 8V
De spanning over de weerstand R3 is:
        Ur3 = Ir3 * R3 = 0,4 * 30 = 12V
De eerste manier om de vervangende weerstand Rv te berekenen is:
                                            33
       Rv = Ub / Ib = 24 / 0,4 = 60Ω
De tweede manier om de vervangende weerstand Rv te berekenen is:
       Rv = R1 + R2 + R3 = 10 + 20 + 30 = 60Ω
Opgave 3.8
Een serieschakeling bestaat uit twee weerstanden. In het netwerk loopt een stroom van
100mA. De som van de weerstanden is 1kΩ. De spanning gemeten over R1 is 40V.
a) Bereken de weerstand R1.
b) Bereken de weerstand R2.
c) Bereken de spanning van de spanningsbron op twee manieren.
Van een serieschakeling weten we dat de stroom door het netwerk op elke plaats dezelfde is.
De weerstand R1 kan met dit gegeven berekend worden:
       R1 = Ur1 / I = 40 / 100.10-3 = 400Ω
De grootte van de weerstand R2 volgt uit het volgende:
       R2 = Rt - R1 = 1000 – 400 = 600Ω
Een manier om de spanning van de bron te vinden is:
       Ub = Ib * Rt = 100.10-3 * 1.103 = 100V
Een tweede manier om de spanning van de bron te vinden is door gebruik te maken van een
spanningsvergelijking:
       ΣUp = 0V
       Ur1 + Ur2 + (-Ub) = 0
       Ub = Ur1 + Ur2 = Ur1 + (I * R2) = 40+(100.10-3*600)=100V
3.4.2 Spanningsdelers en spanningsregeling onbelast
We maken een afleiding voor de deelspanning van een onbelaste spanningsdeler.
       U2 = I2 * R2
       I2 = Ub / Rv = Ub / (R1 + R2)
       U2 = Ub / (R1 + R2) * R2
       U2 = Ub * R2 / (R1 + R2)
Voorbeeld 3.5
Twee weerstanden R1 en R2 zijn in serie geschakeld en aangesloten op een spanningsbron Ub
van 12V. De weerstanden zijn respectievelijk 1000Ω en 3000Ω.
Welke twee deelspanningen kunnen er nu geschakeld worden ten opzichte van de
spanningsbron?




                                  Tekening bij voorbeeld 3.5
Ten opzichte van de spanningsbron kunnen twee deelspanningen geschakeld worden. Ten
eerste de spanning over R1 en ten tweede de spanning over R2.
Met de afleiding voor de deelspanning van een onbelaste spanningsdeler is de deelspanning
over de weerstand R1 te vinden:
        Ud = Ub * R1 / (R1 + R2) = 12 * 1000 / (1000 + 3000) = 3V
De deelspanning over de weerstand R2 is op dezelfde wijze te vinden:
                                             34
       Ud = Ub * R2 / (R1 + R2) = 12 * 3000 / (1000 + 3000) = 9V
In de onderstaande grafiek wordt getoond hoe op een grafische wijze de deelspanning
gevonden kan worden.




                                   Grafiek bij voorbeeld 3.5
Opgave 3.9
Een lampje heeft een werkspanning van 6V bij een stroomsterkte van 60mA. De
spanningsbron is 12V.
a) Bereken de weerstand die met het lampje in serie moet worden geschakeld om het lampje
correct te laten branden.
b) Bereken de weerstand van het lampje op twee verschillende manieren.
c) Bepaal grafisch de weerstand van het lampje.
Om de spanning over de voorschakelweerstand te vinden stellen we een
spanningsvergelijking op:
        ΣUp = 0V
        Ul + Ur + (-Ub) = 0
        Ur = Ub – Ul = 12 – 6 = 6V
In een serieschakeling is de stroom op elke plaats in de maas van het netwerk dezelfde; de
stroom door de lamp is gelijk aan de stroom door de voorschakelweerstand. Met dit gegeven
is de grootte van de voorschakelweerstand te berekenen:
        Ib = Il = Ir
        R = Ur / Ir = 6 / 60.10-3 = 100Ω
Een manier om de weerstand van de lamp te vinden is door gebruik te maken van de
gegevens:
        R = Ul / Il = 6 / 60.10-3 = 100Ω
Met de vervangende weerstand van de serieschakeling is de weerstand van de lamp te
bepalen:
        Rv = R + Rl
        Rl = Rv – R = (Ub / I) – R = (12/60.10-3) – 100 = 100Ω
Opgave 3.10
De spanning die met behulp van een voltmeter moet worden gemeten bedraagt maximaal
1000V. de voltmeter heeft een maximaal meetbereik van 100V en wordt als ideaal
verondersteld (Rm = ∞ Ω). De spanningsbron mag tijdens de meting maximaal met 10mA
worden belast.
a) Bereken de minimale weerstandswaarden als de meter tijdens de meting het volle
meetbereik gebruikt.
b) Welke weerstanden dienen er te worden gekozen als gebruik wordt gemaakt van de E12-
reeks?
De weerstand waarmee de bron ten hoogste mag worden belast is:
        R = U / I = 1000 / 10.10-3 = 100kΩ
                                             35
Een spanningsdeler moet de gewenste meetspanning opleveren. We berekenen een weerstand
van de spanningsdeler:
       Ud = Ub * R1/(R1+R2)
       R1 = Ud/Ub * (R1+R2) = 100/1000 * 100.103 = 10kΩ
De waarde van de weerstand R2 in de spanningsdeler is:
       Rv = R1 + R2
       R2 = Rv – R1 = 100.103 – 10.103 = 90kΩ
Uit de E-12 weerstandsreeks kiezen we een waarde tenminste groter dan 10 kilo ohm. We
kiezen een waarde van 12kΩ voor de weerstand R1. De spanningsdeling in een verhouding
van 1 op 9 dient gehandhaafd te blijven en aldus bepalen we de weerstand van R2 op 120kΩ.
De onderstaande tekening laat de meetopstelling zien.




                                    Tekening bij opgave 3.10
Opgave 3.11
Voor een spanningsregeling wordt gebruikt gemaakt van een vaste weerstand van 10kΩ en een
in vijf gelijke stappen regelbare weerstand van 10kΩ. De weerstanden worden geschakeld
volgens de figuur en aangesloten op een spanning van 60V.
a) Bereken de minimale en de maximale deelspanning Ud.
b) Bereken de deelspanning bij elke ingestelde waarde.
c) Teken de grafiek Ud = f(stap).
Hier hebben we te maken met een serieschakeling van twee weerstanden; waarbij één
weerstand zes verschillende waarden kan hebben, van 0 tot 50kΩ. We gebruiken de formule
voor een onbelaste spanningsdeler om de deelspanningen te bepalen:
         Ud = Ub * R1/(R1 + R2)
De deelspanningen bij de extreme waarden van de regelbare weerstand zijn:
         Ud = 60 * 0/(0 + 10.103) = 60 * 0 = 0V
         Ud = 60 * 50/(50.103 + 10.103) = 60 * 0,833 = 50V
In de volgende tabel zijn de berekende waarden van de overige stappen gegeven.
                                   stap1 stap2 stap3 stap4 stap5
                        R1 0kΩ 10kΩ 20kΩ 30kΩ 40kΩ 50kΩ
                        Ud 0V 30V 40V 45V 48V 50V
                                      Tabel bij opgave 3.11
De grafiek van de functie Ud = f(stap) is als volgt:




                                            36
                                   Grafiek bij opgave 3.11
3.5 Parallel schakelen van weerstanden
In het algemeen kunnen we de definitie van een parallelschakeling als volgt stellen:
        De spanning over alle paralleltakken is gelijk.
De vervangende weerstand van een parallelschakeling van weerstanden is in formule gesteld:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn
Wanneer twee weerstanden parallel staan kan uit de bovenstaande formule de volgende
afleiding gemaakt worden:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2
        1/Rv = 1/R1(R2/R2) + 1/R2(R1/R1)
        1/Rv = R2/(R1*R2) + R1/(R2*R1)
        1/Rv = R2 + R1 / (R1*R2)
        Rv = R1 * R2 / R1 + R2
Voorbeeld 3.6
Een weerstandsnetwerk is geschakeld volgens de figuur. De weerstanden R1 en R2 zijn
respectievelijk 300Ω en 600Ω. De spanning van de bron is 24V.
a) Bereken de stromen door R1 en R2.
b) Bereken de stroom Ib die door de spanningsbron wordt geleverd.
c) Bereken de vervangende weerstand van de schakeling.




                                  Tekening bij voorbeeld 3.6
Volgens de definitie voor paralleltakken is de spanning over de takken gelijk. We kunnen de
stromen door de weerstanden als volgt berekenen:
       Ir1 = Ub / R1 = 24 / 300 = 0,08A
       Ir2 = Ub / R2 = 24 / 600 = 0,04A
De stroom, die door de spanningsbron geleverd moet worden, kan gevonden worden met een
stroomvergelijking voor het punt p:
       ΣIp = 0A
       Ir1 + Ir2 + (-Ib) = 0
       Ib = Ir1 + Ir2 = 0,08 + 0,04 = 0,12A
De vervangende weerstand van de twee parallel geschakelde weerstanden is:
       1/Rv = 1/R1 + 1/R2 = 1/300 + 1/600 = 3/600 = 1/200
       Rv = 200Ω
                                             37
De vervangende weerstand is overigens te berekenen met de geleverde spanning en stroom
van de bron:
        Rv = Ub / Ib = 24 / 0,12 = 200Ω
Opgave 3.12
Een parallelschakeling bestaat uit drie mazen met de weerstanden R1 = 100Ω, R2 = 150Ω en R3
= 300Ω. De schakeling is aangesloten op een spanningsbron Ub = 30V.
a) Bereken de stromen door R1, R2 en R3.
b) Bereken de stroom die door de spanningsbron wordt geleverd.
c) Bereken de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
Bij een parallelschakeling is de spanning over de parallelmazen gelijk. De stromen door de
parallel geschakelde weerstanden zijn als volgt te berekenen:
        Ir1 = Ub / R1 = 30 / 100 = 0,3A
        Ir2 = Ub / R2 = 30 / 150 = 0,2A
        Ir3 = Ub / R3 = 30 / 300 = 0,1A
Met behulp van een stroomvergelijking kan de, door de spanningsbron geleverde, stroom
gevonden worden:
        ΣIp = 0A
        Ir1 + Ir2 + Ir3 + (-Ib) = 0
        Ib = Ir1 + Ir2 + Ir3 = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6A
De vervangende weerstand van de drie parallel geschakelde weerstanden is:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/100+1/150+1/300 = 6/300 = 1/50
        Rv = 50Ω
De vervangende weerstand berekent uit de geleverde spanning en stroom van de bron is:
        Rv = Ub / Ib = 30 / 0,6 = 50Ω
Opgave 3.13
Op een spanningsbron van 12V zijn twee ohmse belastingen parallel aangesloten. Door de
weerstand R1 loopt een stroom van 20mA en de weerstandswaarde R2 is 400Ω.
a) Bereken de weerstand R1.
b) Bereken de stroom door R2.
c) Bereken de stroom Ib die door de spanningsbron wordt geleverd.
d) Bereken de vervangende weerstand van de schakeling.
De spanning van de bron staat over de twee parallel geschakelde weerstanden. Met dit
gegeven kunnen we eerstens de grootte van de weerstand R1 berekenen en tweedes de stroom
door de weerstand R2 bepalen.
        R1 = Ub / Ir1 = 12 / 20.10-3 = 600Ω
De stroom door de weerstand van 400 ohm is:
        Ir2 = Ub / R2 = 12 / 400 = 30mA
De geleverde stroom vinden we met behulp van een stroomvergelijking:
        ΣI = 0A
        Ir1 + Ir2 + (-Ib) = 0
        Ib = Ir1 + Ir2 = 20 + 30 = 50mA
De vervangende weerstand van de schakeling:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 = 1/600 + 1/400 = 5/1200 = 1/240
        Rv = 240Ω
Uit de geleverde stroom en spanning van de bron blijkt de vervangende weerstand te zijn:
        Rv = Ub / Ib = 12 / 50.10-3 = 240Ω
Opgave 3.14
Drie weerstanden van respectievelijk 500Ω, 250Ω en 125Ω worden parallel geschakeld.
a) Bereken de geleidingen G1, G2 en G3.

                                            38
b) Bereken de vervangende geleiding Gv.
c) Bereken de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
We weten dat de geleiding de reciproke van de weerstand is. De drie geleidingen zijn als volgt
te berekenen:
        G1 = 1 / R1 = 1/500 = 2mS
        G2 = 1 / R2 = 1/250 = 4mS
        G3 = 1 / R3 = 1/125 = 8mS
Bij een parallel schakeling is de vervangende geleiding de som van de parallel geleidingen.
De vervangende geleiding is in dit geval:
        Gv = G1 + G2 + G3 = 2 + 4 + 8 = 14mS
Een manier om de vervangende weerstand te vinden is:
        Rv = 1/ Gv = 1 / 14.10-3 = 71,43Ω
Vanzelfsprekend kan de vervangende weerstand tevens gevonden worden uit de groottes van
de weerstanden:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/500+1/250+1/125 = 7/500
        Rv = 71,43Ω
Opgave 3.15
Van een parallelschakeling van twee weerstanden is de vervangende weerstand Rv 1000Ω. De
weerstand R1 = 5000Ω. Bereken volgens beide methoden de weerstand R2.
Door het bepalen van de geleidingen vinden we de grootte van de weerstand R2:
        Gv = ΣG = G1 + G2
        G2 = Gv – G1 = 1/Rv – 1/R1
        G2 = 1/1000 – 1/5000 = 4/5000 = 0,8mA
        R2 = 1/G2 = 1/0,8.10-3 = 1250Ω
Een methode om de weerstandswaarde van R2 te vinden is:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2
        1/R2 = 1/Rv - 1/R1 = 1/1000 – 1/5000 = 4/5000
        R2 = 1250Ω
Een andere methode om de weerstandswaarde te vinden is; door de formule van twee
parallelle weerstanden (§ 3.5) te herleiden tot:
        R2 = R1 * Rv / (R1 – Rv) = 5000*1000 / (5000-1000)= 1250Ω
Vraagstukken
Vraagstuk 1
Een gloeilamp is aangesloten op een spanningsbron van 220V. Bij het inschakelen vloeit er
een stroom van 360mA en bij volle brandtemperatuur is de stroomsterkte 180mA.
a) Bereken de weerstandswaarde van de lamp in koude toestand.
b) Bereken de weerstandswaarde van de lamp bij de brandtemperatuur.
c) Is de temperatuurcoëfficiënt van de draad positief of negatief?
De weerstandswaarde van de lamp in koude toestand is:
        R = U / I = 220 / 360.10-3 = 611,11Ω
Wanneer de lamp op de bedrijfstemperatuur brandt, is de weerstandswaarde:
        R = U / I = 220 / 180.10-3 = 2200Ω
De weerstand van de lamp neemt toe bij een toenemende temperatuur. We spreken dan van
een positieve temperatuurscoëfficiënt.
Vraagstuk 2
Een niet-lineaire weerstand wordt op een regelbare spanningsbron aangesloten. De stroom
wordt voortdurend gemeten. De ingestelde waarden en de gemeten waarden zijn in de
onderstaande tabel weergegeven.
                               ingestelde gemeten berekende
                                              39
                            waarde U waarde I waarde
                            V          mA          Ω
                            1,0        10          100,00
                            1,2        20          60,00
                            1,4        40          35,00
                            1,6        80          20,00
                            1,8        160         11,25
                            2,0        320         6,25
                            2,2        640         3,44
                            2,4        1280        1,88
                                  Tabel bij vraagstuk 2
a) Teken de grafiek I = f(U).
b) Bereken de weerstandswaarde bij de verschillende instellingen van de spanning.
c) teken de grafiek R = f(U).
De grafiek van de functie I = f(U) is als volgt:




                                  Grafiek A bij vraagstuk 2
De berekende weerstandswaarden in de bovenstaande tabel zijn met de volgende formule
gevonden:
       R = U / I = 1,0 / 10.10-3 = 100Ω
De grafiek van de functie R = f(U) is als volgt:




                                             40
                                  Grafiek B bij vraagstuk 2
Vraagstuk 3
In een netwerk is een weerstand R van 100Ω aangesloten op drie stroombronnen volgens de
figuur.




                                    Tekening bij vraagstuk 3.3
a) Bereken de stroom door de weerstand R.
b) Bereken de spanning over de weerstand R.
c) Breken de stroomsterkte door de weerstand R als de stroombron Ib1 omgekeerd wordt
aangesloten.
d) Bereken in de laatste situatie ook de spanning over de weerstand.
De som van de stromen in een parallel schakeling is nul. Met een stroomvergelijking kan de
stroom door de weerstand gevonden worden:
        ΣI = 0A
        Ib1 + Ib2 + Ib3 + (-Ir) = 0
        Ir = Ib1 + Ib2 + Ib3 = 4 + 2 + 1 = 7A
De spanning over de weerstand wordt berekend met de wet van Ohm:
        U = Ir * R = 7 * 100 = 700V
Opnieuw wordt een stroomvergelijking opgesteld met in dit geval de stroombron Ib1
omgekeerd:
        ΣI = 0A
        -Ib1 + Ib2 + Ib3 + (-Ir) = 0
        Ir = -Ib1 + Ib2 + Ib3 = -4 + 2 + 1 = -1A
De spanning over de weerstand wordt ook in dit geval berekend met de wet van Ohm:
        U = -Ir * R = 1 * 100 = -100V
Het valt op dat in het laatste geval de aangenomen stroomrichting omgekeerd is!
Vraagstuk 4
In een willekeurig circuit lopen de stromen zoals in de figuur is weergegeven. De weerstanden
R1, R2 , R3 en R4 zijn respectievelijk 1Ω, 4Ω, 8Ω en 8Ω. De bronstroom Ib = 10A.




                                    Tekening bij vraagstuk 3.4
a) Bereken de stromen I2, I4, I5 en I3.
b) Bereken de spanningen Ur1, Ur2, Ur3 en Ur4.
c) Bereken de vervangende spanningsbron voor het hele netwerk.
d) Bereken de vervangende weerstand voor het hele netwerk.
                                             41
De vervangende weerstand voor het hele netwerk kan als volgt gevonden worden:
        Rv = Rv1 + Rv2
        Rv = (R1 * R2 / (R1 + R2)) + (R3 * R4 / (R3 + R4))
        Rv = (1*4 / (1+4)) + (8*8 / (8+8)) = 4/5 + 64/16 = 4/5 + 4
        Rv = 4,8Ω
De vervangende spanningsbron voor het netwerk kan nu gevonden worden met de wet van
Ohm:
        Uv = Ib * Rv = 10 * 4,8 = 48V
Het mag duidelijk zijn dat de weerstanden R1 en R2 twee parallel geschakelde weerstanden
zijn, gelijk de weerstanden R3 en R4 twee parallel geschakelde weerstanden zijn. De spanning
over parallel geschakelde weerstanden is gelijk. Dit betekent dat de spanning Ur1 gelijk is aan
de spanning Ur2 en dat de spanning Ur3 gelijk is aan de spanning Ur4. Met de eerder gevonden
vervangende weerstanden van de parallelschakelingen zijn de spanningen snel gevonden:
        Ur1 = Ur2 = Ib * Rv1 = 10 * 4/5 = 8V
        Ur3 = Ur4 = Ib * Rv2 = 10 * 4 = 40V
We berekenen de stromen door de weerstanden:
        I1 = Ur1 / R1 = 8 / 1 = 8A
        I2 = Ur2 / R2 = 8 / 4 = 2A
        I3 = Ur3 / R3 = 40 / 8 = 5A
        I4 = Ur4 / R4 = 40 / 8 = 5A
Met behulp van een stroomvergelijking kan nu de stroom I5 bepaald worden. We nemen
hiervoor een punt p in gedachten op het knooppunt tussen R1 en R3:
        ΣIp = 0A
        I1 + I5 + (-I3) = 0
        I5 = I3 - I1 = 5 – 8 = -3A
Voor het knooppunt tussen R2 en R4 nemen we punt q in gedachten en maken opnieuw een
stroomvergelijking:
        ΣIq = 0A
        I2 + (-I5) + (-I4) = 0
        I5 = I2 – I4 = 2 – 5 = -3A
De stroom I5 blijkt tegengesteld van richting te zijn dan de veronderstelde richting van de
stroom.
Vraagstuk 5
Een soldeerbout heeft een vermogen van 75W bij 220V.
a) Bereken de stroom door het verwarmingselement.
b) Bereken de weerstand van het element.
De stroom door het element berekenen we met de formule voor het vermogen:
        I = P / U = 75 / 220 = 341mA
De weerstand van het element is te vinden met de wet van Ohm:
        R = U / I = 220 / 341.10-3 = 645,16Ω
Vraagstuk 6
In een schakeling is een weerstand van 220Ω / 0,25W opgenomen.
a) Bereken de maximale stroom die door de weerstand mag lopen.
b) Bereken de maximale spanning die er bij die maximale stroom over de weerstand staat.
Om de maximale stroom te berekenen herleiden we de formule voor het vermogen:
        P = U * I
        P = R * I2
        I = √(P / R) = √(0,25 / 220) = 33,71.10-3A
De spanning die, bij de maximale stroom, over de weerstand staat is:
        U = I * R = 33,71.10-3 * 220 = 7,42V
                                              42
Vraagstuk 7
Een signaallampje heeft een werkspanning van 6V bij een stroom van 500mA. De
spanningbron heeft een spanning Ub van 12V. Met behulp van een voorschakelweerstand
wordt de schakeling opgebouwd.
a) Bereken de spanning over de voorschakelweerstand.
b) Bereken de waarde van de voorschakelweerstand.
c) Bereken het minimale vermogen van de voorschakelweerstand.
In een serieschakeling is de som van de spanning in het netwerk nul. We maken een
spanningvergelijking om de spanning over de weerstand te vinden:
        ΣU = 0V
        Ur + Ul + (-Ub) = 0
        Ur = Ub – Ul = 12 – 6 = 6V
De stroom in een serieschakeling is op elke plaats dezelfde. De stroom door het lampje is de
stroom door de weerstand. Samen met de spanning is de weerstand te berekenen:
        R = Ur / I = 6 / 500.10-3 = 12Ω
Het vermogen dat de weerstand moet kunnen opnemen bedraagt, tenminste:
        P = Ur * I = 6 * 500.10-3 = 3W
Vraagstuk 8
Een twee-aderige kabel met een lengte van 100 meter en koperaders met een doorsnede van
1,5mm2 wordt gebruikt voor het voeden van elektrische kachel. De stroom die in de leiding
vloeit is 10A. De bronspanning waarop de kachel is aangesloten is 220V.
a) Bereken de weerstand van de kabel.
b) Bereken het spanningsverlies over de kabel.
c) Bereken het opgenomen vermogen in de kabel.
d) Bereken de spanning aan de klemmen van het verwarmingstoestel.
Met de specifieke weerstand voor het materiaal koper is de weerstand van de kabel te
berekenen:
        R = ρ * l/A = 17,5.10-9 * (2*100) / 1,5.10-6 = 2,33Ω
Het spanningsverlies in de kabel is dan:
        U = I * R = 10 * 2,33 = 23,3V
Het opgenomen vermogen in de leiding is:
        P = U * I = 23,3 * 10 = 233W
De spanning aan de klemmen van het verwarmingstoestel is te bepalen met een
spanningsvergelijking:
        ΣU = 0V
        -Ub + Ul + Ut = 0
        Ut = Ub – Ul = 220 – 23,3 = 196,7V
Het vermogen dat in het verwarmingstoestel wordt opgenomen bedraagt hiermee:
        P = U * I = 196,7 * 10 = 1967W
Vraagstuk 9
Drie weerstanden 100kΩ, 220kΩ en 680kΩ van elk 1W worden in serie geschakeld.
a) Bereken de totale weerstand van het serie-netwerk.
b) Bereken de maximale stroom die in het netwerk mag gaan lopen.
c) Bereken bij die maximale stroom het opgenomen vermogen in elke weerstand.
In een serieschakeling is de totale weerstand van het netwerk de som van de weerstanden in
serie. De vervangende weerstand wordt hiermee:
        Rv = R1 + R2 + R3 = 100.103 + 220.103 + 680.103 = 1.106Ω
Om de maximale stroom te vinden vergelijken we de stromen die in elk van de weerstanden
het maximale vermogen ontwikkelen:
        I = √(P / R) = √(1 / 680.103) = 1,213.10-3A
                                              43
        I = √(P / R) = √(1 / 220.103) = 2,132.10-3A
        I = √(P / R) = √(1 / 100.103) = 3,162.10-3A
Uit de vergelijking blijkt dat de stroom niet groter mag zijn dan de stroom die in de weerstand
van 680kΩ een vermogen van 1W ontwikkeld.
De vermogens die door de weerstanden worden opgenomen zijn:
        P = I2 * R = (1,213.10-3)2 * 680.103 = 1,0005W
        P = I2 * R = (1,213.10-3)2 * 220.103 = 0,3237W
        P = I2 * R = (1,213.10-3)2 * 100.103 = 0,1471W
In een serieschakeling valt over de grootste weerstand de grootste spanning, terwijl de stroom
door de serieschakeling overal gelijk is. Dit verklaart waarom in een serieschakeling in de
grootste weerstand het grootste vermogen ontwikkeld wordt.
Vraagstuk 10
Voor het meten van een spanning van 25000V wordt een spanningsdeler gemaakt met 50
weerstanden van 100kΩ.
a) Bereken de spanning per weerstand.
b) Bereken de stroom door elke weerstand.
c) Bereken de totale weerstand van de spanningsdeler.
d) Bereken het minimale vermogen van een weerstand.
De te meten spanning wordt in een serieschakeling verdeeld over 50 gelijke weerstanden. De
spanning over elke weerstand is dus 1/50 van de te meten spanning:
        Ur = Ub / 50 = 25.103 / 50 = 500V
In de serieschakeling loopt overal dezelfde stroom. We berekenen de stroom door een van de
vijftig weerstanden:
        I = U / R = 500 / 100.103 = 5mA
De totale weerstand van de spanningsdeler is de som van de weerstanden in serie. De som van
de weerstandswaarden is:
        Rv = 50 * R = 50 * 100.103 = 5.106Ω
Het minimale vermogen voor één van de vijftig weerstanden is dan:
        P = U * I = 500 * 5.10-3 = 2,5W
We berekenen het totale vermogen met behulp van de berekende waarden:
        P = U * I = 25000 * 0,005 = 125W
We merken op dat het totale vermogen de som is van de vermogens in serie!
Vraagstuk 11
Een serieschakeling bestaat uit vijf weerstanden van respectievelijk 2200Ω, 2700Ω, 3300Ω,
3900Ω en 4700Ω. Door het seriecircuit loopt een stroom van 30mA.
a) Bereken de spanningen over elke weerstand afzonderlijk.
b) Bereken alle mogelijke spanningen die van de schakeling kunnen worden afgetakt.
c) Bereken het minimaal vermogen van elke weerstand.
d) Bereken het totale vermogen van de hele schakeling.
In het seriecircuit loopt door elke weerstand dezelfde stroom; met dit gegeven is de spanning
over elke weerstand eenvoudig te bepalen:
        Un = I * Rn
        U1 = I * R1 = 30.10-3 * 2200 = 66V
        U2 = 30.10-3 * 2700 = 81V
        U3 = 30.10-3 * 3300 = 99V
        U4 = 30.10-3 * 3900 = 117V
        U5 = 30.10-3 * 4700 = 141V
        Ut = ΣU = 66 + 81 + 99 + 117 + 141 = 504V
        Rt = ΣR = 2200 + 2700 + 3300 + 3900 + 4700 = 16,8kΩ
        I = Ut / Rt = 504 / 16,8.103 = 30mA
                                              44
Ten opzichte van de bron kunnen de volgende spanningen worden afgetakt:
        504 – 66 = 438V
        438 – 81 = 357V
        357 – 99 = 258V
        258 – 117 = 141V
De stroom door en de spanning over elke weerstand bepaalt het vermogen dat door elke
weerstand wordt opgenomen. Het, in de vijf weerstanden, opgenomen vermogen is:
        P1 = U1 * I = 66 * 30. 10-3 = 1,98W
        P2 = 81 * 30. 10-3 = 2,43W
        P3 = 99 * 30. 10-3 = 2,97W
        P4 = 117 * 30. 10-3 = 3,51W
        P5 = 141 * 30. 10-3 = 4,23W
Het vermogen van de totale schakeling kan op twee manieren worden gevonden. We
berekenen het totale vermogen door de som te nemen van de vermogens in serie. En we
berekenen het totale vermogen uit; de bronspanning over het serie-netwerk en de stroom door
het serie-netwerk:
        Pt = ΣP = 1,98 + 2,43 + 2,97 + 3,51 + 4,23 = 15,12W
        Pt = Ut * I = 504 * 30.10-3 = 15,12W
Vraagstuk 12
Een serieschakeling bestaat uit de weerstanden R1, R2 en R3. De weerstand R1 = 10Ω en over
de weerstand R2 wordt een spanning gemeten van 8V. De schakeling is aangesloten op een
spanningsbron Ub van 24V waardoor in het netwerk een stroom loopt van 1A.
a) Bereken de spanningen over R1 en R3.
b) Bereken de weerstanden R2 en R3.
c) Bereken op twee manieren de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
Door de drie in serie geschakelde weerstanden loopt dezelfde stroom. Met dit gegeven kan de
spanning over de weerstand R1 berekend worden:
        Ur1 = I * R1 = 1 * 10 = 10V
In een serie-netwerk is de som der spanningen nul. We stellen een spanningsvergelijking op
om de spanning over R3 te kunnen vinden:
        ΣUpp = 0V
        Ur1 + Ur2 + Ur3 + (-Ub) = 0
        Ur3 = Ub – Ur1 – Ur2 = 24 – 10 – 8 = 6V
Met de wet van Ohm kan nu de grootte van de weerstand R2 en R3 gevonden worden:
        R2 = Ur2 / I = 8 / 1 = 8Ω
        R3 = Ur3 / I = 6 / 1 = 6Ω
De vervangende weerstand van de schakeling is de som van de weerstanden in serie:
        Rv = R1 + R2 + R3 = 10 + 8 + 6 = 24Ω
De vervangende weerstand is tevens te berekenen uit de bronspanning en de stroom:
        Rv = Ub / I = 24 / 1 = 24Ω
Vraagstuk 13
In een serieschakeling die is opgebouwd uit twee weerstanden loopt een stroom van 100μA.
De spanning Ur1 is 0,68V. De weerstand R2 = 8,2kΩ.
a) Bereken de weerstand R1.
b) Bereken de vervangende weerstand Rv.
c) Bereken de spanning van de spanningsbron.
De weerstand van R1 is:
        R1 = Ur1 / I = 0,68 / 100.10-6 = 6800Ω
De vervangende weerstand van de twee weerstanden in serie, is:
                                            45
        Rv = R1 + R2 = 6800 + 8200 = 15kΩ
De bronspanning volgt uit de vervangende weerstand en de stroom in het serie-circuit:
        Ub = I * Rv = 100.10-6 * 15.103 = 1,5V
De bronspanning kan eveneens gevonden worden uit de som van de spanningen over de
weerstanden in serie:
        Ub = Ur1 + Ur2 = Ur1 + (I * R2)
        Ub = 0,68 + (100.10-6 * 8,2.103) = 1,5V
Vraagstuk 14
Drie weerstanden zijn in serie geschakeld en aangesloten op een spanningsbron van 30V. De
stroom door de weerstand R1 is 0,5A. De spanning over de weerstanden R2 en R3 is 15V. De
weerstandsverhouding van R2 : R3 = 1 : 2.
a) Bereken de vervangende weerstand Rv.
b) Bereken de deelspanningen over de afzonderlijke weerstanden R1, R2 en R3.
c) Bereken de weerstanden R1, R2 en R3.
Voor het berekenen van de weerstand van R1 stellen we een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        Ur1 + U23 + (-Ub) = 0
        Ur1 = Ub - U23 = 30 – 15 = 15V
Met de spanning over R1 en de stroom door R1 is de weerstandswaarde te vinden:
        R1 = Ur1 / I = 15 / 0,5 = 30Ω
Vervolgens berekenen we de vervangende weerstand van de weerstanden R2 en R3:
        R23 = U / I = 15 / 0,5 = 30Ω
De totale vervangende weerstand van de drie weerstanden in serie is hiermee:
        Rv = ΣR = 30 + 30 = 60Ω
Om de deelspanningen over de weerstanden R2 en R3 te vinden, bepalen we eerst de
weerstandswaarden van R2 en R3. We maken hiervoor gebruik van de volgende twee
vergelijkingen:
[1] R2 / R3 = 1 / 2
        R2 = 0,5 * R3
[2] R2 + R3 = 30
        (0,5 * R3) + R3 = 30
        R3 = 30 / 1,5 = 20Ω
        R2 = 0,5 * R3 = 0,5 * 20 = 10Ω
Samen met de stroom door de twee weerstanden in serie, zijn de deelspanningen over de
weerstanden te berekenen:
        Ur3 = I * R3 = 0,5 * 20 = 10V
        Ur2 = I * R2 = 0,5 * 10 = 5V
        Ur1 = 15V
De weerstandswaarden van de drie weerstanden in serie zijn:
        R1 = 30Ω
        R2 = 10Ω
        R3 = 20Ω
Vraagstuk 15
Voor het meten van een spanning van 25kV wordt een meter gebruikt met een maximaal
meetgebied van 500V. De inwendige weerstand Rm van de meter is oneindig groot. De meter
moet bij 25kV een spanning afgeven van 250V. De maximale stroom die de spanningsbron
kan leveren is 20mA.
a) Teken de meetschakeling van de spanningsdeler.
b) Bereken de weerstanden die nodig zijn om de juiste spanningsdeling te verkrijgen.
De spanningsdeler wordt opgebouwd met weerstanden uit de E-12 reeks.
                                            46
c) Welke weerstandswaarde moet hiervoor dan worden gekozen?
De onderstaande tekening laat de meetopstelling zien:




                                   Tekening bij vraagstuk 15
De weerstandswaarde van R2 is:
       R2 = Ur2 / Ib = 500 / 20.10-3 = 25kΩ
De weerstandswaarde van R1 is:
       R1 = (Ub - Ur2) / Ib = (25000 – 500) / 20.10-3 = 1225kΩ
Voor de weerstand R2 kiezen we uit de E-12 weerstandsreeks een waarde van 27kΩ. De
weerstandverhouding van 1 op 49 blijft gehandhaafd:
       R2 = 49 * R1 = 49 * 27.103 = 1323kΩ
Uit de E-12 reeks kiezen we voor R1 een waarde van 1500kΩ.
Met de weerstanden uit de E-12 reeks is een serieschakeling ontstaan, waar door een stroom
loopt van:
       Ib = Ub / (R1 + R2) = 25.103 / (27.103 + 1500.103) = 16,4mA
De stroom blijft met de nieuw gekozen weerstandswaarden onder de maximaal te leveren
stroom. De spanningsdeling, met de nieuw gekozen weerstanden, wordt:
       Ur1 = R1 * Ib = 27.103 * 16,4.10-3 = 442,8V
       Ur2 = R2 * Ib = 1500.103 * 16,4.10-3 = 24,6kV
Vraagstuk 16
Een spanningsdeler bestaat uit twee weerstanden R1 en Rd en wordt aangesloten op een
spanning van 120V. Over de weerstand Rd van 3,3kΩ wordt een spanning gemeten van 66V.
Deze spanning blijkt te hoog te zijn. In serie met de twee weerstanden wordt een regelbare
weerstand Rr van 10kΩ geschakeld om de spanning Ud terug te kunnen regelen naar 49,5V.
a) Bereken de weerstand R1.
b) Bereken de ingestelde waarde van Rr.
c) Bereken de spanningen over R1 en Rr.
De grootte van de weerstand R1 kan berekend worden met de formule voor een onbelaste
spanningsdeler:
       Ud = Ub * Rd / (R1 + Rd)
       R1 = (Ub / Ud * Rd) - Rd = (120/66*3300)-3300 = 2700Ω
Over de weerstand Rd wordt nu de spanning verlaagd van 66V tot 49,5V. We berekenen de
stroom die in dit geval door de serie schakeling gaat lopen:
       I = Ud / Rd = 49,5 / 3,3.103 = 15mA
De spanning die in dit geval over de weerstand R1 staat is:
       U1 = I * R1 = 15.10-3 * 2,7.103 = 40,5V
Om de spanning over de regelbare weerstand te vinden, stellen we een spanningsvergelijking
op:
       ΣUpp = 0V
       Ur + Ul + Ud + (-Ub) = 0
                                            47
        Ur = Ub - Ul - Ud = 120 – 40,5 – 49,5 = 30V
De waarde waarop de regelbare weerstand ingesteld moet worden, voor de gevraagde
spanning over Rd is hiermee:
        Rr = Ur / I = 30 / 15.10-3 = 2000Ω
De spanningen over de weerstanden R1 en Rr zijn in de laatste situatie:
        Rl = 40,5V
        Rr = 30V
Vraagstuk 17
Voor een testschakeling is een weerstandswaarde van 82,5Ω nodig. Er zijn op dat moment
alleen weerstanden van 220Ω en 330Ω beschikbaar.
a) Teken het schema van de benodigde schakeling van weerstanden om deze testweerstand te
verkrijgen.
b) Bereken van elke weerstand hoeveel er nodig zijn en geef dit aan in het schema.
Enig rekenwerk brengt ons tot het inzicht dat een parallel schakeling van vier weerstanden
van 330 ohm de gevraagde weerstand oplevert. We stellen dit inzicht in een formule:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4
        1/82,5 = 1/330 + 1/330 + 1/330 + 1/330 = 4/330 = 1/82,5
De onderstaande tekening laat de parallel schakeling zien; waarvan de vervangende weerstand
gelijk is aan de testweerstand.




                                 Tekening bij vraagstuk 17
Vraagstuk 18
Van een parallelschakeling is één van de weerstanden 680Ω. De schakeling is op een
bronspanning van 5,1V aangesloten waardoor er een bronstroom gaat lopen van 50mA.
a) Bereken de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
b) Bereken de waarde van de tweede weerstand.
De vervangende weerstand van de schakeling is als volgt te vinden:
       Rv = Ub / Ib = 5,1 / 50.10-3 = 102Ω
De waarde van de tweede weerstand is als volgt te vinden:
       R2 = R1 * Rv / (R1 – Rv) = 680 * 102 / (680-102) = 120Ω
De bronstroom verdeelt zich als volgt door de twee weerstanden:
       Ir1 = Ub / R1 = 5,1 / 680 = 7,5mA
       Ir2 = Ub / R2 = 5,1 / 120 = 42,5mA
Vraagstuk 19
Een spanningsdeler, aangesloten op een spanning van 35V, bestaat uit de weerstanden R1 =
68Ω en Rd = 120Ω. De spanning over Rd wordt door een weerstand R2 parallel te schakelen op
18V gebracht.
a) Teken de ontstane schakeling.
b) Bereken de weerstand R2 die parallel aan Rd moet worden geschakeld.
De onderstaande tekening laat de gevraagde schakeling zien.




                                            48
                                   Tekening bij vraagstuk 19
Eerst wordt de stroom door de weerstand R1 berekend:
        Ur1 = Ub – Ur2 = 35 – 18 = 17V
        Ib = Ur2 / R2 = 17 / 68 = 0,25A
De vervangende weerstand van Rd en R2 wordt dan:
        Rv = Ur2 / Ib = 18 / 0,25 = 72Ω
We kunnen de grootte van de weerstand R2 berekenen:
        1/Rv = 1/Rd + 1/R2
        1/R2 = 1/Rv - 1/Rd = 1/72 – 1/120 = 5/360 – 3/360 = 2/360
        R2 = 360 / 2 = 180Ω
De stroom Ib verdeelt zich als volgt door de twee parallelle weerstanden:
        Ird = Ur2 / Rd = 18 / 120 = 0,15A
        Ir2 = Ur2 / R2 = 18 / 180 = 0,10A
Vraagstuk 20
Een parallelschakeling bestaat uit de weerstanden 1000Ω, 1200Ω en 1500Ω. De tolerantie van
de weerstanden is 10%.
a) Bereken de vervangende weerstand van de schakeling.
b) Bereken de minimale en maximale waarde van de weerstanden.
c) Bereken de minimale en maximale waarde van de vervangende weerstand op twee
manieren.
De vervangende weerstand, van de drie parallel geschakelde weerstanden, is:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/1000 + 1/1200 + 1/1500
        1/Rv = 6/6000 + 5/6000 + 4/6000 = 15/6000
        Rv = 6000 / 15 = 400Ω
Een tolerantie van 10 procent wil zeggen dat de werkelijke waarde van de weerstand kan
liggen tussen min 5 procent en plus 5 procent van de opgegeven waarde. We berekenen de
procentuele afwijkingen van de drie weerstanden:
        R1 = 1000Ω R1min = 950Ω R1max = 1050Ω
        R2 = 1200Ω R2min = 1140Ω R2max = 1260Ω
        R3 = 1500Ω R3min = 1425Ω R3max = 1575Ω
Wanneer de drie weerstanden alle hun minimale waarde hebben, is de vervangingsweerstand
van de weerstanden:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/950 + 1/1140 + 1/1425
        1/Rv = 6/5700 + 5/5700 + 4/5700 = 15/5700
        Rv = 5700/15 = 380Ω
Opnieuw berekenen we de vervangingsweerstand van de weerstanden, wanneer deze allen
hun maximale waarde hebben:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/1050 + 1/1260 + 1/1575
        1/Rv = 6/6300 + 5/6300 + 4/6300 = 15/6300
        Rv = 6300/15 = 420Ω
                                            49
De minimale waarde en maximale waarde van de vervangingsweerstand blijkt dezelfde
tolerantie te hebben als de drie parallelle weerstanden. We berekenen de minimale en de
maximale waarde van de vervangingsweerstand met de tolerantie van 10 procent:
        Rv = 400Ω Rvmin = 380Ω Rvmax = 420Ω
Vraagstuk 21
De vervangende weerstand Rv, van drie parallel geschakelde weerstanden, is 100Ω. Het
netwerk is op een stroombron van 200mA aangesloten. De stromen door de weerstanden
verhouden zich als Ir1 : Ir2 : Ir3 = 1 : 2 : 5. Bereken de weerstanden R1, R2 en R3.
De spanning over de drie parallel geschakelde weerstand is:
        U = I * Rv = 200.10-3 * 100 = 20V
Inzicht in de verhouding van de stromen door de drie weerstanden, leert ons het volgende:
        Ir1 = 200.10-3 / 8 * 1 = 25mA
        Ir2 = 200.10-3 / 8 * 2 = 50mA
        Ir3 = 200.10-3 / 8 * 5 = 125mA
De groottes van de weerstanden zijn nu snel gevonden:
        R1 = U / Ir1 = 20 / 25.10-3 = 800Ω
        R2 = U / Ir2 = 20 / 50.10-3 = 400Ω
        R3 = U / Ir3 = 20 / 125.10-3 = 160Ω
De vervangingsweerstand van de drie weerstanden zal gelijk moeten zijn aan het gegeven van
100 ohm:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/800 + 1/400 + 1/160
        1/Rv = 1/800 + 2/800 + 5/800 = 8/800
        Rv = 800/8 = 100Ω
Vraagstuk 22
Als twee weerstanden R1 en R2 in serie worden geschakeld blijkt de vervangende weerstand
Rv 25kΩ te zijn. Schakelen we echter de weerstanden R1 en R2 parallel dan blijkt Rv 6kΩ.
Bereken de weerstandswaarden van R1 en R2.
We stellen een vergelijkingen op voor een serie schakeling van twee weerstanden:
        Rv = R1 + R2
        R1 + R2 = 25k
        R1 = 25k - R2
Nu een vergelijking voor de parallel schakeling van twee weerstanden:
        1/Rv = 1/R1 + 1/R2
        (R2 + R1) / R1 * R2 = 1/6k
        (R2 + R1) = R1 * R2 / 6k
        R1 * R2 = 25k * 6k
        R1 = 150k / R2
Uit de twee vergelijkingen zijn twee uitdrukkingen gemaakt voor de weerstand R1. We stellen
deze twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk:
        25k - R2 = 150k / R2
        -R22 + 25k*R2 – 150k = 0
        R22 - 25k*R2 + 150k = 0
We hebben nu een kwadratische functie, om de nulpunten te berekenen maken we gebruik van
een merkwaardig product:
        R22 - 25k*R2 + 150k = (R2 – 10k)(R2 – 15k)
De functie levert twee oplossingen, deze zijn:
        R2 = 10k of R2 = 15k
De twee oplossingen zijn beide juist. Het mag duidelijk zijn dat met het bepalen van de
waarde van R2 tevens de waarde van de weerstand R1 is bepaald. Er geldt:
        R1 = 10kΩ en R2 = 15kΩ
                                            50
       R1 = 15kΩ en R2 = 10kΩ
Vraagstuk 23
Een ampère-meter heeft een weerstand van 1Ω en een meetgebied van 0 tot 1mA. We willen
de meter gaan gebruiken voor het meten van 500mA maximaal.
a) Teken de benodigde meetschakeling.
b) Bereken de benodigde weerstand om aan het gestelde doel te kunnen voldoen.
c) Wat zou de werkelijke stroom zijn in de schakeling als de meter 0,32mA aanwijst?
De onderstaande tekening laat de meetschakeling zien:




                                     Tekening bij vraagstuk 23
We maken een parallel schakeling van de meter en een weerstand. De spanning over de
parallel schakeling, bij volle meter uitslag, wordt:
        U = I * R = 1.10-3 * 1 = 1mV
We meten maximaal 500mA, waarvan 1mA door de meter gaat en 499mA door de parallel
weerstand. De waarde van de weerstand kan hiermee bepaald worden:
        R = 1.10-3 / 499.10-3 = 0,002Ω
De spanning over de parallel schakeling bij een stroom van 0,32mA door de meter is:
        U = I * R = 0,32.10-3 * 1 = 0,32mV
De stroom door de parallel weerstand is dan:
        I = U / R = 0,32.10-3 / 0,002 = 160mA
De gemeten stroom is de som van de stromen door de parallel takken:
        It = 160.10-3 + 0,32.10-3 = 160,32mA
Vraagstuk 24
Een regelbare spanningsdeler wordt gevormd door een vaste weerstand van 4700Ω en een
potentiometer van 1000Ω / 3W. De spanningsdeler wordt aangesloten op een spanning van
24V. De potentiometerschakeling wordt belast met een weerstand van 100Ω.
a) Bereken de maximale bronstroom die er mag gaan lopen.
b) Bereken de maximale en de minimale spanning aan de uitgangsklemmen van de
potentiometer zonder dat de belastingsweerstand Rb eraan is geschakeld.
c) Bereken de minimale en de maximale spanning die over de belasting kan komen te staan.
d) Teken de grafiek Uuit = f(Rpotentiometer) zonder de belastingsweerstand Rb.
e) Teken de grafiek Uuit = f(Rpotentiometer) met de belastingsweerstand Rb.
De maximale grootte van de bronstroom wordt bepaald door het vermogen dat maximaal door
de potentiometer kan worden opgenomen. We berekenen de spanning die maximaal over de
potentiometer mag staan:
        P = U * I = I2 * R
        I = √(P / R) = √(3 / 1000) = 54,8mA
        U = I * R = 54,8.10-3 * 1000 = 54,8V
Het valt op dat de spanningsbron niet in staat is om het maximale vermogen in de
potentiometer te leveren!
De minimale spanning die van de potentiometer kan worden afgenomen is nul volt. De
maximale spanning die van de potentiometer kan worden afgenomen is te berekenen met de
formule voor een onbelaste spanningsdeler:
                                           51
        Ud = Ub * Rp / (Rp + R) = 24*1000 / (1000 + 4700) = 4,211V
Over de weerstand van 4700 ohm staat dan:
        Ud = Ub * R / (Rp + R) = 24*4700 / (1000 + 4700) = 19,789V
De minimale spanning die over de belasting kan komen te staan is nul volt. De maximale
spanning die over de belasting kan komen te staan is als volgt te bepalen:
        Rv = Rp * Rb / (Rp + Rb) = 1000*100 / (1000 + 100) = 90,91Ω
        Ud = Ub * Rv / (Rv + R) = 24*90,91/(90,91 + 4700) = 0,455V
In dit geval staat over de weerstand van 4700 ohm een spanning van:
        Ud = Ub * R / (Rp + R) = 24*4700 / (90,91 + 4700) = 23,545V
De volgende grafieken laten de functie Uuit = f(Rpotentiometer) zien; ten eerste zonder aangesloten
belasting, ten tweede met aangesloten belasting.




                                   Grafiek A bij vraagstuk 24




                                   Grafiek B bij vraagstuk 24

Vraagstuk 25
In een sterkstroom-installatie moet een stroom gemeten worden van 50A. De beschikbare
ampère-meter heeft een meetbereik van 10mA. De meterweerstand is 0,5Ω. Om de stroom van
50A te meten wordt een parallelweerstand, de zogenaamde shunt, aan de meter geschakeld.
a) Teken de schakeling voor het meten van de stroom.
                                                52
b) Bereken de weerstandswaarde van de shunt.
c) Bereken het vermogen dat de shunt minimaal moet bezitten.
De volgende tekening laat de meetschakeling zien.




                                  Tekening bij vraagstuk 25
De spanning, die bij volle meteruitslag over de meter en de shunt staat, is:
       U = Im * Rm = 10.10-3 * 0,5 = 5mV
De weerstand van de shunt is nu te berekenen:
       Rshunt = U / Ir = 5.10-3 / (50-10.10-3) = 0,1mΩ
Het minimale vermogen van de shunt moet zijn:
       P = U * I = 5.10-3 * 50 = 0,25W
Vraagstuk 26
Drie weerstanden zijn in serie geschakeld en aangesloten op een spanning van 15V. In drie
minuten wordt in weerstand R1 een warmte ontwikkeld van 0,8kJ. Over de weerstand R3 staat
een spanning van 5V. Verder is verhouding van de weerstanden R1 : R2 = 2 : 3.
a) Bereken de weerstanden R1, R2 en R3.
b) Bereken de warmte ontwikkeling in R2 en R3.
c) Bereken het minimale vermogen van elke weerstand.
Een spanningsvergelijking van het seriecircuit levert de som van de spanningen over R1 en R2:
       ΣUpp = 0V
       (-Ub) + Ur1 + Ur2 + Ur3 = 0
       Ur1 + Ur2 = Ub - Ur3 = 15 – 5 = 10V
De verhouding van de weerstandswaarden R1 en R2 is gegeven. Hieruit leiden we de
spanningsverhouding tussen de weerstanden af:
       R1 / R2 = 2 / 3
       (Ur1 / I) / (Ur2 / I) = 2/3
       (Ur1 / I)*(I / Ur2) = 2/3
       Ur1 / Ur2 = 2/3
We drukken de spanning over R2 uit in de spanning over R1:
       Ur1 / (10-Ur1) = 2/3
       Ur1 = 2(10-Ur1) / 3
       Ur1 = (20 - 2Ur1) / 3
       Ur1 = 20/3 – 2/3Ur1
       5/3Ur1 = 20/3
       Ur1 = 20/3 * 3/5 = 4V
Voor de spanning over de weerstand R2 geldt dan:
       Ur2 = 10 - Ur1 = 10 – 6 = 6V
We berekenen nu de stroom door het serie-circuit uit het in de weerstand R1 ontwikkelde
vermogen:
       W = P * t
       P = W / t = 0,8.103 / (3 * 60) = 4,44W
                                             53
       P = Ur1 * I
       I = P / Ur1 = 4,44 / 4 = 1,11A
De drie weerstanden zijn nu te berekenen uit de stroom door de weerstanden en de spanningen
over elk van de weerstanden:
       R1 = Ur1 / I = 4 / 1,11 = 3,60Ω
       R2 = Ur2 / I = 6 / 1,11 = 5,41Ω
       R3 = Ur3 / I = 5 / 1,11 = 4,50Ω
De warmteontwikkeling in de weerstanden R2 en R3 is:
       W1 = P1 * t
       W1 = Ur1 * I * t = 4 * 1,11 * (3*60) = 799,2J = 0,8kJ
       W2 = Ur2 * I * t = 6 * 1,11 * (3*60) = 1198,8J = 1,2kJ
       W3 = Ur3 * I * t = 5 * 1,11 * (3*60) = 999,0J = 1,0kJ
De minimale vermogens voor de weerstanden zijn:
       P = U * I
       P1 = Ur1 * I = 4 * 1,11 = 4,44W
       P2 = Ur2 * I = 6 * 1,11 = 6,66W
       P3 = Ur3 * I = 5 * 1,11 = 5,55W
4 Netwerken 2
Inleiding
In de elektrotechniek zijn vele schakelingen te vinden die zijn opgebouwd uit een groot aantal
elementen. De elementen zijn in dat geval opgebouwd als combinaties van serie schakelingen
en parallel schakelingen. Voor het berekenen van de spanningen en stromen in dergelijke
combinaties van serie schakelingen en parallel schakelingen zijn verscheidene rekenmethoden
te gebruiken. In dit hoofdstuk worden twee van deze rekenmethoden gebruikt.
4.1 In serie en parallel schakelen van weerstanden
Bestaat een netwerk uit een combinatie van een serie schakeling en een parallel schakeling,
spreekt men van een gemengde schakeling.
4.1.1 Serieschakeling met een parallel geschakelde weerstand
In de volgende methode wordt een berekening gemaakt aan een schakeling als in de tekening
van het voorbeeld 4.1 wordt voorgesteld. Deze methode komt neer op het reduceren van de
serie schakelingen en parallel schakelingen; zodanig dat uiteindelijk slechts één weerstand,
tezamen met de spanningsbron, overblijft.
Berekening volgens de reductiemethode 1
Voor de serieschakeling van de twee weerstanden geldt:
        Rv1,2 = R1 + R2
Hiermee is de serie schakeling van twee weerstanden teruggebracht tot één weerstand; die
parallel staat aan de overige weerstand. Voor deze parallel schakeling geldt:
        Rv = Rv1,2 * R3 / (Rv1,2 + R3)
De schakeling is nu teruggebracht tot één weerstand, tezamen met de spanningsbron. De
bronstroom is nu met de wet van Ohm te bepalen:
        Ib = Ub / Rv
Voorbeeld 4.1
Gegeven is de schakeling volgens de figuur.
a) Bereken de vervangende weerstand Rv1,2 van de serieschakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
c) Bereken de bronstroom Ib.
d) Bereken de deelstromen Irv1,2 en Ir3.
e) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.


                                              54
                                    Tekening bij voorbeeld 4.1
Voor de twee weerstanden in de serietak geldt:
       Rv1,2 = R1 + R2 = 20 + 30 = 50Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling wordt:
       Rv = Rv1,2 * R3 / (Rv1,2 + R3)
       Rv = 50 * 50 / (50 + 50) = 25Ω
De bronstroom is nu volgens de wet van Ohm te berekenen:
       Ib = Ub / Rv = 100 / 25 = 4A
De stroom door de tak van de weerstand R3 is:
       Ir3 = Ub / R3 = 100 / 50 = 2A
De stroom door de tak van de serieschakeling van de weerstanden R1 en R2 is:
       Ir1,2 = Ub / Rv1,2 = 100 / 50 = 2A
De spanningen over de weerstanden in de serietak zijn achtereenvolgens:
       Ur1 = Ir1,2 * R1 = 2 * 20 = 40V
       Ur2 = Ir1,2 * R2 = 2 * 30 = 60V
Opgave 4.1
Een serieschakeling bestaat uit de weerstanden R1 = 80Ω en R2 = 40Ω. Parallel aan deze
weerstanden is een weerstand R3 geschakeld van 360Ω. Op het weerstandsnetwerk is een
spanningsbron Ub = 30V aangesloten.
a) Teken de schakeling en plaats daarin de gegeven waarden.
b) Bereken de vervangende weerstand Rvs van de serieschakeling.
c) Bereken de vervangende weerstand van de totale schakeling.
d) Bereken de bronstroom Ib.
e) Bereken de stromen Irv1,2en Ir3.
f) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
De tekening van deze schakeling is overeenkomstig de tekening bij het voorbeeld 4.1!
Voor de vervangende weerstand van de serietak geldt:
       Rvs = R1 + R2 = 80 + 40 = 120Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling is in dit geval:
       Rv = Rvs * R3 / (Rvs + R3)
       Rv = 120 * 360 / (120 + 360) = 90Ω
Volgens de wet van Ohm is de bronstroom in dit geval:
       Ib = Ub / Rv = 30 / 90 = 1/3A
De stromen door de twee parallelle takken zijn:
       Ir3 = 30 / 360 = 1/12A
       Is1,2 = 30 / 120 = 1/4A
De spanningen over de twee weerstanden in de serieschakeling zijn achtereenvolgens:
       Ur1 = Is1,2 * R1 = 0,25 * 80 = 20V
       Ur2 = Is1,2 * R2 = 0,25 * 40 = 10V
                                            55
Opgave 4.2
Parallel aan een serieschakeling van de weerstanden R1, R2 en R3 van respectievelijk 15Ω, 45Ω
en 90Ω is een serieschakeling van twee weerstanden R4 en R5 van respectievelijk 180Ω en
120Ω geschakeld. Het weerstandsnetwerk is aangesloten op een spanning van 15V.
a) Teken de schakeling en plaats de gegeven waarden bij de elementen.
b) Bereken de vervangende weerstand Rvs1 van R1, R2 en R3.
c) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
d) Bereken de bronstroom Ib.
e) Bereken de stromen Irvs1 en Irvs2
f) Bereken de spanningen over de afzonderlijke weerstanden.
De tekening bij deze opgave is vergelijkbaar met de tekening bij het voorbeeld 4.1. Echter; in
deze opgave bestaat de schakeling uit een tak met drie weerstanden in serie; met parallel aan
deze tak een tak met twee weerstanden in serie.
Voor de eerste tak met drie weerstanden in serie geldt:
        Rvs1 = R1 + R2 + R3 = 15 + 45 + 90 = 150Ω
Voor de tweede tak met twee weerstanden in serie geldt:
        Rvs2 = R4 + R5 = 180 + 120 = 300Ω
De schakeling is nu gereduceerd tot twee parallelle weerstanden. De vervangende weerstand
van de totale schakeling is hiermee:
        Rv = Rvs1 * Rvs2 / (Rvs1 + Rvs2)
        Rv = 150 * 300 / (150 + 300) = 100Ω
De bronstroom is dan:
        Ib = Ub / Rv = 15 / 100 = 0,15A
De stromen door de twee takken kunnen nu als volgt bepaald worden:
        Irvs1 = 15 / 150 = 0,10A
        Irvs2 = 15 / 300 = 0,05A
De spanningen over de weerstanden R1, R2 en R3 zijn achtereenvolgens:
        Ur1 = Irvs1 * R1 = 0,10 * 15 = 1,5V
        Ur2 = Irvs1 * R2 = 0,10 * 45 = 4,5V
        Ur3 = Irvs1 * R3 = 0,10 * 90 = 9,0V
De spanningen over de weerstanden R4, en R5 zijn achtereenvolgens:
        Ur4 = Irvs2 * R4 = 0,05 * 180 = 9,0V
        Ur5 = Irvs2 * R5 = 0,05 * 120 = 6,0V
Maas-knooppuntmethode 1
Naast de hierboven beschreven reductie methode is er nog de volgende methode. Deze
methode biedt in met name complexere netwerken voordelen. We passen de methode toe op
de schakeling die in de tekening bij het voorbeeld 4.1 is gegeven. Voor elke tak, in dit geval
ook wel maas genoemd, stellen we een spanningsvergelijking op. We nemen hiervoor een
punt p in gedachten, dat zich aan min van de voedingsbron bevindt.
In de eerste maas geldt de spanningsvergelijking:
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur1 + Ur2 = 0
        -Ub + (Ir1,2 * R1) + (Ir1,2 * R2) = 0
        Ir1,2 = Ub / (R1 + R2)
Voor de tweede maas geldt de volgende spanningsvergelijking:
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur3 = 0
        -Ub + (Ir3 * R3) = 0
        Ir3 = Ub / R3
Voor het punt p wordt nu een stroomvergelijking gemaakt:
                                              56
        ΣIp = 0A
        -Ib + Ir3 + Ir1,2 = 0
        Ib = Ir3 + Ir1,2
De vervangende weerstand van de schakeling is nu als volgt te bepalen:
        Rv = Ub / Ib
Voorbeeld 4.2
Gegeven is de schakeling volgens de figuur bij het voorbeeld 4.1.
a) Bereken de stroom Irv1,2 door de weerstanden R1 en R2.
b) Bereken de stroom Ir3 door de weerstand R3.
c) Bereken de bronstroom Ib.
d) Bereken de vervangende weerstand van de totale schakeling.
e) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
We werken deze opgave uit met behulp van de maas-knooppuntmethode. Voor de twee mazen
in de schakeling stellen we een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur1 + Ur2 = 0
        -Ub + (Ir1,2 * R1) + (Ir1,2 * R2) = 0
        Ir1,2 = Ub / (R1 + R2) = 100 / (20 + 30) = 2A
In de tweede maas geldt:
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur3 = 0
        -Ub + (Ir3 * R3) = 0
        Ir3 = Ub / R3 = 100 / 50 = 2A
Om de bronstroom te vinden, maken we gebruik van een stroomvergelijking:
        ΣIp = 0A
        -Ib + Ir3 + Ir1,2 = 0
        Ib = Ir3 + Ir1,2 = 2 + 2 = 4A
De vervangende weerstand van de schakeling wordt hiermee:
        Rv = Ub / Ib = 100 / 4 = 25Ω
De spanningen over de weerstanden R1 en R2 zijn:
        Ur1 = Ir1,2 * R1 = 2 * 20 = 40V
        Ur2 = Ir1,2 * R2 = 2 * 30 = 60V
Opgave 4.3
Een netwerk bestaat uit een serieschakeling van drie weerstanden R1, R2 en R3 van
respectievelijk 25Ω, 50Ω en 75Ω. Parallel aan deze serieschakeling is een weerstand R4
geschakeld van 300Ω. De schakeling is aangesloten op een spanning Ub = 100V.
a) Teken de schakeling en plaats daarin alle gegeven waarden.
b) Bereken de stroom door de serieschakeling.
c) Bereken de stroom door de parallel geschakelde weerstand.
d) Bereken de bronstroom Ib.
e) Bereken de vervangende weerstand Rv van de schakeling.
f) Bereken de spanningen over de weerstanden R1, R2 en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. Volgens
de maas-knooppuntmethode werken we de opgave uit. De spanningsvergelijking in de maas
met de drie weerstanden in serie is:
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur1 + Ur2 + Ur3 = 0
        -Ub + (Is * R1) + (Is * R2) (Is * R2) = 0
        Is = Ub / (R1 + R2 + R2) = 100 / (25 + 50 + 75) = 2/3A
Voor de maas met de parallelweerstand geldt de spanningsvergelijking:
                                            57
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur4 = 0
        -Ub + (Ir4 * R4) = 0
        I4 = Ub / R4 = 100 / 300 = 1/3A
De bronstroom is met behulp van een stroomvergelijking te bepalen:
        ΣIp = 0A
        -Ib + I4 + Is = 0
        Ib = I4 + Is = 1/3 + 2/3 = 1A
De vervangende weerstand van de schakeling is nu:
        Rv = Ub / Ib = 100 / 1 = 100Ω
Een andere manier om de vervangende weerstand te vinden is:
        Rv = Rvs * R4 / (Rvs + R4) = 150*300 / (150+300) = 100Ω
De spanningen over de drie weerstanden in serie zijn achtereenvolgens:
        Ur1 = Is * R1 = 2/3 * 25 = 50/3 = 16,67V
        Ur2 = Is * R2 = 2/3 * 50 = 100/3 = 33,33V
        Ur3 = Is * R3 = 2/3 * 75 = 150/3 = 50,00V
Opgave 4.4
Op een spanning van Ub = 40V is een weerstand R3 = 80Ω aangesloten. Parallel aan deze
weerstand is een serieschakeling van twee weerstanden R1 en R2 geschakeld. De waarde van
R1 = 10Ω. De waarde van R2 is onbekend. De stroom Ib blijkt bij meting 1,5A te bedragen.
a) Teken de schakeling waarbij de waarden van de elementen duidelijk worden aangegeven.
b) Bereken de stroom Ir3 door de weerstand R3.
c) Bereken de stroom Irv1,2 door de serieschakeling.
d) Bereken de waarde van de onbekende weerstand R2.
e) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
f) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. De
stroom door de weerstand R3 is als volgt te berekenen:
        Ir3 = Ub / R3 = 40 / 80 = 0,5A
Middels een stroomvergelijking is de stroom door de maas met de twee weerstanden in serie
te vinden:
        ΣIp = 0A
        -Ib + Ir3 + Is = 0
        Is = Ib – Ir3 = 1,5 – 0,5 = 1,0A
Om de waarde van de weerstand R2 te vinden, berekenen we eerst de vervangende weerstand
van de serie tak:
        Rvs = Ub / Is = 40 / 1 = 40Ω
De vervangende weerstand in de serie tak wordt gevormd door de som van de weerstanden in
serie. Voor de vervangende weerstand van de serie tak geldt dus:
        Rvs = R1 + R2
        R2 = Rvs – R1 = 40 – 10 = 30Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling is allereerst te berekenen uit de gegevens:
        Rv = Ub / Ib = 40 / 1,5 = 26,67Ω
Ook kan de vervangende weerstand gevonden worden uit de weerstanden van de twee parallel
takken:
        Rv = Rvs * R3 / (Rvs + R3) = 40 * 80 / (40 + 80) = 26,67Ω
De spanningen over de twee weerstanden in serie zijn achtereenvolgens:
        Ur1 = Is * R1 = 1 * 10 = 10V
        Ur2 = Is * R2 = 1 * 30 = 30V
4.1.2 Parallelschakeling met een in serie geschakelde weerstand
                                             58
Bij dit soort netwerken is de reductie methode goed te gebruiken. Ook hier reduceren we de
schakeling tot één weerstand overblijft; tezamen met de spanningsbron. De tweede methode
verschilt van de eerste methode in de volgorde van het uitvoeren van de berekeningen. We
gaan uit van de schakeling zoals deze is gegeven in de tekening bij voorbeeld 4.4.
Berekening volgens de reductiemethode 2
In dit geval ligt het voor de hand om eerst de parallel schakeling te reduceren tot één
vervangende weerstand.
        Rvp = R2 * R3 / (R2 + R3)
Het netwerk is gereduceerd tot een serieschakeling van twee weerstanden. De vervangende
weerstand voor het netwerk is dan.
        Rv = R1 + Rvp
De bronstroom in het netwerk is nu te bepalen, volgens.
        Ib = Ub / Rv
Vervolgens zijn de spanningen over de weerstand R1 en de parallel schakeling van R2 en R3,
met behulp van de bronstroom, te bepalen.
        Ur1 = Ib * R1
        Ur1,2 = Ib * Rvp
Als laatste kunnen de stromen in de twee parallelle weerstanden bepaald worden.
        Ir2 = Ur1,2 / R2
        Ir2 = Ur1,2 / R3
Uit het laatste blijkt de volgende definitie:
        In een parallelle tak verhouden de stromen zich omgekeerd evenredig met de
        verhouding van de weerstanden.
Voorbeeld 4.3
Gegeven is de schakeling volgens de tekening bij het voorbeeld 4.4. De voedingsspanning Ub
bedraagt 5V. De weerstanden R1, R2 en R3 zijn respectievelijk: 8Ω, 20Ω en 30Ω.
a) Bereken de vervangende weerstand Rv2,3 van de parallelschakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
c) Bereken de bronstroom Ib.
d) Bereken de spanningen over R1 en Rv2,3.
e) Bereken de stromen door de weerstanden R2 en R3.
De vervangende weerstand van de twee parallel geschakelde weerstanden is:
        Rvp = R2 * R3 / (R2 + R3) = 20 * 30 / (20 + 30) = 12Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling is de som van de grootte van R1 en de
grootte van Rvp:
        Rv = R1 + Rvp = 8 + 12 = 20Ω
De bronstroom is met behulp van de gegeven bronspanning te bepalen, volgens:
        Ib = = Ub / Rv = 5 / 20 = 0,25A
De spanningen over de in serie staande weerstanden zijn:
        Ur1 = Ib * R1 = 0,25 * 8 = 2V
        Uvp = Ib * Rvp = 0,25 * 12 = 3V
De verhouding van de stromen in de parallel tak verhoudt zich naar de verhouding van de
weerstanden; aldus:
        Ir2 / Ir3 = R3 / R2
        Ir2 = Ib * 3 / 5 = 0,25 * 3/5 = 0,15A
        Ir3 = Ib * 2 / 5 = 0,25 * 2/5 = 0,10A
Een andere manier om de stromen te vinden is:
        Ir2 = Uvp / R2 = 3 / 20 = 0,15A
        Ir3 = Uvp / R3 = 3 / 30 = 0,10A
Opgave 4.5
                                            59
Een netwerk van weerstanden bestaat uit een paralleltak en een daarmee in serie geschakelde
weerstand. De parallelschakeling bestaat uit de weerstanden R1, R2 en R3 van respectievelijk
24Ω, 16Ω en 48Ω. De in serie geschakelde weerstand R4 is 22Ω. De totale schakeling is
aangesloten op een spanning van 10V.
a) Teken de schakeling en plaats de gegeven waarden in het schema.
b) Bereken de vervangende parallelweerstand Rvp.
c) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
d) Bereken de bronstroom Ib.
e) Bereken de spanningen over Rvp en R4.
f) Bereken de stromen Ir1, Ir2 en Ir3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. Het ligt
voor de hand om eerst de vervangende weerstand van de drie parallelle weerstanden te
bepalen:
        1/Rvp = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/24 + 1/16 + 1/48 = 6/48
        Rvp = 48/6 = 8Ω
De schakeling is nu gereduceerd tot een serie schakeling van twee weerstanden. De
vervangende weerstand van de totale schakeling is:
        Rv = Rvp + R4 = 8 + 22 = 30Ω
De bronstroom kan gevonden worden met de wet van Ohm:
        Ib = Ub / Rv = 10 / 30 = 1/3A
De spanningen over de twee in serie staande weerstanden zijn:
        Uvp = Ib * Rvp = 1/3 * 8 = 2,67V
        Ur4 = Ib * R4 = 1/3 * 22 = 7,33V
De bronstroom verdeelt zich over de drie parallelle weerstanden als volgt:
        Ir1 = Uvp / R1 = 8/3 / 24 = 8/72 = 1/9A
        Ir2 = Uvp / R2 = 8/3 / 16 = 8/48 = 1/6A
        Ir3 = Uvp / R3 = 8/3 / 48 = 8/144 = 1/18A
De som van deze stromen moet gelijk zij aan de bronstroom, dus:
        1/9 + 1/6 + 1/18 = 6/18 = 1/3A
Opgave 4.6
Op een spanningsbron Ub van 12V is een weerstandsnetwerk aangesloten waardoor een
bronstroom Ib gaat lopen van 0,2A. Het weerstandsnetwerk bestaat uit een parallelschakeling
van twee weerstanden R1 en R2. Weerstand R1 is 60Ω en R2 is onbekend. In serie met deze
parallelschakeling is een weerstand R3 opgenomen van 20Ω.
a) Teken de schakeling en plaats de gegeven waarden bij de verschillende elementen.
b) Bereken de vervangende weerstand Rv van de totale schakeling.
c) Bereken de spanningen over de weerstanden Rvp en R3 van de schakeling.
d) Bereken de stromen door de weerstanden R1 en R2.
e) Bereken de weerstandswaarde van R2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. De
vervangende weerstand van de totale schakeling is te vinden uit de gegevens:
        Rv = Ub / Ib = 12 / 0,2 = 60Ω
De vervangende weerstand van de twee parallel geschakelde weerstanden volgt uit:
        Rv = Rvp + R3
        Rvp = Rv – R3 = 60 – 20 = 40Ω
De spanningen over de vervangende weerstand en de weerstand R3 kunnen nu bepaald
worden:
        Uvp = Ib * Rvp = 0,2 * 40 = 8V
        Ur3 = Ib * R3 = 0,2 * 20 = 4V
De bronstroom verdeelt zich door de twee parallelle weerstanden. De stroom door R1 is:
                                             60
        Ir1 = Uvp / R1 = 8 / 60 = 2/15A
De stroom door R2 is nu te bepalen:
        Ir2 = Ib – Ir1 = 1/5 – 2/15 = 1/15A
De grootte van de weerstand R2 is dan:
        R2 = Uvp / Ir2 = 8 / (1/15) = 120Ω
Maas-knooppuntmethode 2
Wanneer we te maken hebben met complexe netwerken zal het lastig zijn om de schakeling te
reduceren. In zulke getallen is een andere aanpak vereist. Beschouw de schakeling die in de
tekening bij het voorbeeld 4.4 is gegeven. Stel daarbij dat de stromen Ir1, Ir2 en Ir3 onbekenden
zijn. Met het opstellen van stroomvergelijkingen en spanningsvergelijkingen zijn voor de drie
onbekenden vergelijkingen op te stellen. De oplossingen van de vergelijkingen geven de
onbekende stromen. Voor het punt stellen we als eerste een stroomvergelijking op.
        ΣIp = 0A
        -Ib + Ir2 + Ir3 = 0
        Ib = Ir2 + Ir3
        Ir1 = Ib = Ir2 + Ir3
Vervolgens stellen we een spanningsvergelijking op, door een van de mazen van de parallel
tak.
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur1 + Ur2 = 0
        -Ub + (Ib * R1) + (Ir2 * R2) = 0
De derde vergelijking is een spanningsvergelijking door de andere maas van de parallel tak.
        ΣUpp = 0V
        -Ub + Ur1 + Ur3 = 0
        -Ub + (Ib * R1) + (Ir3 * R3) = 0
We substitueren nu de eerste vergelijking in de tweede vergelijking.
        -Ub + ((Ir2 + Ir3) * R1) + (Ir2 * R2) = 0
        -Ub + (Ir2 * R1) + (Ir3 * R1) + (Ir2 * R2) = 0
        -Ub + Ir2(R1 + R2) + Ir3 * R1 = 0
In de derde vergelijking substitueren we tevens de eerste vergelijking.
        -Ub + ((Ir2 + Ir3) * R1) + (Ir3 * R3) = 0
        -Ub + (Ir2 * R1) + (Ir3 * R1) + (Ir3 * R3) = 0
        -Ub + Ir3(R1 + R3) + Ir2 * R1 = 0
Uit de twee gesubstitueerde vergelijkingen zijn de stromen te vinden. Het volgende voorbeeld
laat het oplossen van de twee vergelijkingen zien.
Voorbeeld 4.4
Gegeven is de schakeling volgens de figuur.
a) Bereken de stromen Ib, Ir2 en Ir3.
b) Bereken de spanningen over de serieweerstand R1 en de parallelweerstanden R2 en R3.
c) Bereken de vervangende weerstanden Rv en Rvp.




                                               61
                                    Tekening bij voorbeeld 4.4
Voor deze schakeling zijn in de bovenstaande uitleg twee afleidingen gemaakt, met twee
onbekenden. Om de onbekenden te vinden vullen we eerst de afleidingen met de bekende
waarden:
        -Ub + Ir2(R1 + R2) + Ir3 * R1 = 0
        36 Ir2 + 18 Ir3 = 30
        -Ub + Ir3(R1 + R3) + Ir2 * R1 = 0
        54 Ir3 + 18 Ir2 = 30
Door middel van eliminatie verwijderen we een onbekende uit de vergelijkingen:
        36 Ir2 + 18 Ir3 = 30 |*1| 36 Ir2 + 18 Ir3 = 30
        18 Ir2 + 54 Ir3 = 30 |*2| 36 Ir2 + 108 Ir3 = 60 -
        -90 Ir3 = -30
        Ir3 = 1/3A
We vullen de gevonden waarde van de stroom Ir3 in een vergelijking, om de stroom Ir2 te
vinden:
        36 Ir2 + 18*1/3 = 30
        Ir2 = 30 – 6 / 36 = 2/3A
We gebruiken nu de stroomvergelijking om de waarde van de stroom door de weerstand R1 te
vinden:
        Ir1 = Ib = Ir2 + Ir3 = 1/3 + 2/3 = 1,0A
De spanning over de weerstand R1 is:
        Ur1 = Ir1 * R1 = 1,0 * 18 = 18,0V
De spanning over de parallel schakeling kunnen we met behulp van de stromen door de
parallelle weerstanden bepalen:
        Ur2 = Ir2 * R2 = 2/3 * 18 = 12,0V
        Ur3 = Ir3 * R3 = 1/3 * 36 = 12,0V
De vervangende weerstand van de twee parallelle weerstanden is:
        Rvp = Ur2 / Ib = 12 / 1 = 12Ω.
De vervangende weerstand van de totale schakeling is:
        Rv = Ub / Ib = 30 / 1 = 30Ω
Opgave 4.7
Een netwerk bestaat uit een parallelschakeling van de weerstanden R1 = 75Ω en R2 = 50Ω en
een in serie geschakelde weerstand R3 = 20Ω. De spanningsbron van het netwerk is 25V.
a) Teken de schakeling en geef daarin de waarde van de elementen aan.
b) Stel de vergelijking voor de stromen op in een punt p.
c) Stel de vergelijkingen op voor de twee onafhankelijke te vormen mazen op.
d) Bereken de stromen Ib, Ir1 en Ir2.
e) Bereken de spanningen over de parallel- en serieschakeling.
f) Bereken de vervangende weerstand Rv en Rvp.
                                           62
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. We gaan
te werk volgens de maas-knooppuntmethode 2 en stellen daarom eerst een stroomvergelijking
op voor het punt p. In gedachte denken we het punt p tussen de parallel schakeling en
weerstand die hier mee in serie staat. De stroomvergelijking voor dit punt is:
        ΣIp = 0A
        Ir1 + Ir2 + (-Ir3) = 0
        Ir3 = Ir1 + Ir2
        Ib = Ir3 = Ir1 + Ir2
Een spanningsvergelijking voor het punt p, door een van de takken van de parallel schakeling,
is:
        ΣUpp = 0V
        Ur3 + (-Ub) + Ur1 = 0
        -Ub + (Ir1 * R1) + (Ir3 * R3) = 0
        -Ub + (Ir1 * R1) + ((Ir1 + Ir2) * R3) = 0
De spanningsvergelijking voor het punt p, door de andere tak van de parallel schakeling luidt:
        ΣUpp = 0V
        Ur3 + (-Ub) + Ur2 = 0
        -Ub + (Ir2 * R2) + ((Ir1 + Ir2) * R3) = 0
We vullen de afleidingen met de gegeven waarden en elimineren Ir2:
        95 Ir1 + 20 Ir2 = 25 |*7| 665 Ir1 + 140 Ir2 = 175
        20 Ir1 + 70 Ir2 = 25 |*2| 40 Ir1 + 140 Ir2 = 50 -
        625 Ir1 = 125
        Ir1 = 0,2A
Voor de stroom Ir2 geldt dan:
        (20 * 0,2) + 70 Ir2 = 25
        Ir2 = (25 – 4) / 70 = 0,3A
De grootte van de stroom door de serie weerstand, die gelijk is aan de bronstroom, wordt
hiermee:
        Ib = Ir3 = Ir1 + Ir2 = 0,2 + 0,3 = 0,5A
Nu de stromen bekend zijn kunnen de spanningen over de weerstanden berekend worden. De
spanning over de weerstand R3 is:
        Ur3 = Ir3 * R3 = 0,5 * 20 = 10V
Over de parallel schakeling van de weerstanden R1 en R2 staat een spanning ter grootte van:
        Uvp = Ir1 * R1 = 0,2 * 75 = 15V
De vervangende weerstand van de parallel schakeling is:
        Rvp = Uvp / Ib = 15 / 0,5 = 30Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling is:
        Rv = Ub / Ib = 25 / 0,5 = 50Ω
Opgave 4.8
Een schakeling bestaat uit vier weerstanden die geschakeld zijn zoals in de figuur is
weergegeven. De weerstandswaarden zijn R1 = 25Ω, R2 = 300Ω, R3 = 100Ω en R4 = 75Ω. Het
netwerk wordt gevoed vanuit een spanningsbron Ub = 35V.
a) Stel de vergelijking voor de stromen op in een punt p.
b) Stel de vergelijkingen voor de twee onafhankelijk te vormen mazen op.
c) Bereken de stromen Ib, Ir2 en Ir3.
d) Bereken de spanning over de parallelschakeling, over de weerstand R1 en over de
weerstand R4.
e) Bereken de vervangende weerstanden Rv van de totale schakeling en de vervangende
weerstand Rvp van de parallelschakeling.

                                              63
                                    Tekening bij opgave 4.8
Het mag duidelijk zijn dat de stroom door R1 gelijk is aan de bronstroom. Om aan te tonen dat
de stroom door R4 gelijk is aan de stroom door R1; stellen we voor de knooppunten, die aan
beide zijden van de parallelschakeling liggen, een stroomvergelijking op:
        ΣIp1 = 0A
        Ir1 + (-Ir2) + (-Ir3) = 0
        Ir1 = Ir2 + Ir3
        Ib = Ir1 = Ir2 + Ir3
        ΣIp2 = 0A
        Ir2 + Ir3 + (-Ir4) = 0
        Ir4 = Ir2 + Ir3
        Ib = Ir4 = Ir1 = Ir2 + Ir3
Voor een van de punten p, in dit geval het punt p1, stellen we twee spanningsvergelijkingen
op; door de beide mazen van de parallel schakeling van de weerstanden R2 en R3.
        ΣUpp = 0V
        Ur2 + Ur4 + (-Ub) + Ur1 = 0
        (Ir2 * R2) + (Ir4 * R4) + (-Ub)+ (Ir1 * R1) = 0
        (Ir2 * R2)+((Ir2 + Ir3) * R4)+(-Ub)+((Ir2 + Ir3) * R1) = 0
        300 Ir2 + 75 Ir2 + 75 Ir3 + 25 Ir2 + 25 Ir3 = 35
        400 Ir2 + 100 Ir3 = 35
        ΣUpp = 0V
        Ur3 + Ur4 + (-Ub) + Ur1 = 0
        (Ir3 * R3) + (Ir4 * R4) + (-Ub)+ (Ir1 * R1) = 0
        (Ir3 * R3)+((Ir2 + Ir3) * R4)+(-Ub)+((Ir2 + Ir3) * R1) = 0
        100 Ir3 + 75 Ir2 + 75 Ir3 + 25 Ir2 + 25 Ir3 = 35
        100 Ir2 + 200 Ir3 = 35
Uit de twee ontstane vergelijkingen elimineren we de onbekende Ir3 om de stroom Ir2 te
kunnen vinden:
        400 Ir2 + 100 Ir3 = 35 |*2| 800 Ir2 + 200 Ir3 = 70
        100 Ir2 + 200 Ir3 = 35 |*1| 100 Ir2 + 200 Ir3 = 35 -
        700 Ir2 = 35
        Ir2 = 0,05A
We berekenen de stroom Ir3, door de gevonden waarde van de stroom Ir2 in een van de
vergelijkingen in te vullen:
        400 Ir2 + 100 Ir3 = 35
        Ir3 = (35 – (400*0,05)) / 100 = 0,15A
De stroom door de weerstanden R1 en R2, die tevens gelijk is aan de bronstroom, is te vinden
met de eerder opgestelde stroomvergelijking voor het punt p2:
        Ib = Ir4 = Ir1 = Ir2 + Ir3 = 0,05 = 0,15 = 0,20A
De weerstanden R2 en R3 vormen een vervagende weerstand die in serie staat met de
weerstanden R1 en R4. Op deze manier ontstaat een serie schakeling van drie weerstanden. De
spanningen over deze drie weerstanden zijn, achtereenvolgens:

                                             64
        Ur1 = Ib * R1 = 0,2 * 25 = 5V
        Uvp = Ir2 * R2 = 0,05 * 300 = 15V
        Uvp = Ir3 * R3 = 0,15 * 100 = 15V
        Ur4 = Ib * R4 = 0,2 * 75 = 15V
De vervangende weerstand van de totale schakeling is:
        Rv = Ub / Ib = 35 / 0,2 = 175Ω
De vervangende weerstand van de parallel schakeling van de weerstanden R2 en R3 is:
        Rvp = Uvp / Ib = 15 / 0,2 = 75Ω
4.2 In serie en parallel schakelen van spanningsbronnen en weerstanden
4.2.1 In serie schakelen van spanningsbronnen en een belastingsweerstand
Wanneer een voedingsbron onvoldoende in staat is om de gevraagde energievoorziening te
verzorgen, kan de toegevoerde energie vergroot worden door: het in serie schakelen of door
het parallel schakelen van meerdere voedingsbronnen. Als voedingsbronnen in serie
geschakeld worden of parallel geschakeld worden zal met de inwendige weerstand van de
voedingsbronnen rekening gehouden moeten worden.
We beschouwen de schakeling zoals deze getekend is in de figuur bij het voorbeeld 4.5. Voor
de stroom door de belastingsweerstand Rb willen we een afleiding maken. Hiervoor stellen als
eerste een stroomvergelijking op voor het punt p.
        ΣIp = 0A
        Ib + (-Irb) = 0
        Irb = Ib
Nu een spanningsvergelijking voor het punt p.
        ΣUpp = 0V
        Urb + Uri2 + (-Ub2) + Uri1 + (-Ub1) = 0
        Urb + Uri2 + Uri1 = Ub1 + Ub2
Het verder herleiden van de vergelijking levert het volgende.
        Irb * Rb + Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = Ub1 + Ub2
De stroomvergelijking stelt Irb gelijk aan Ib, dus volgt.
        Ib * Rb + Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = Ub1 + Ub2
        Ib (Rb + Ri1 + Ri2) = Ub1 + Ub2
        Ib = Ub1 + Ub2 / (Rb + Ri1 + Ri2)
Voorbeeld 4.5
Twee spanningsbronnen worden in serie geschakeld om een hogere spanning te verkrijgen. De
schakeling voedt een belastingsweerstand Rb van 47Ω. Spanningsbron 1 heeft een onbelaste
spanning van Ub1 van 3V en een inwendige weerstand Ri1 van 2Ω. Spanningsbron 2 heeft een
onbelaste spanning Ub2 van 2V en een inwendige weerstand Ri2 van 1Ω.
a) Bereken de stroom door de weerstand Rb.
b) Bereken de spanning over de weerstand Rb.
c) Bereken de klemspanning van de spanningsbron 1, tussen de punten p en A.
d) Bereken de klemspanning van de spanningsbron 2, tussen de punten B en C.




                                Tekening bij voorbeeld 4.5
                                             65
Voor dit voorbeeld hebben we in de bovenstaande uitleg een afleiding voor de bronstroom
gemaakt. We hebben verder gezien dat de stroom door de belastingsweerstand gelijk is aan de
bronstroom. De grootte van de stroom door Rb is aldus:
        Irb = Ub1 + Ub2 / (Rb + Ri1 + Ri2)
        Irb = 3 + 2 / (47 + 2 + 1) = 5 / 50 = 0,10A
De spanning over de belastingsweerstand Rb is:
        Urb = Irb * Rb = 0,1 * 47 = 4,7V
De klemspanning tussen de punten p en A, is de klemspanning van het voedingselement 1. De
klemspanning is de bronspanning van het element minus de spanningsval, over de inwendige
weerstand van het element, die veroorzaakt wordt door de belasting van het element. In
formule gesteld betekent dit:
        Uk = Ub – (Ib * Ri)
De klemspanning van het eerste voedingselement wordt hiermee:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1) = 3 – (0,1 * 2) = 2,8V
De spanning tussen de punten B en C is de klemspanning van het tweede voedingselement.
De klemspanning van het tweede voedingselement is:
        Uk2 = Ub2 – (Ib * Ri2) = 2 – (0,1 * 1) = 1,9V
Merk op dat twee klemspanningen samen de spanning over de belastingsweerstand vormen!
Opgave 4.9
Een schakeling bestaat uit drie in serie geschakelde batterijen om een bronspanning van 4,5V
te verkrijgen. De spanningsbronnen zijn respectievelijk Ub1 = 1,5V met een Ri1 = 0,2Ω; Ub2 =
1,5V met een Ri2 = 0,15Ω en Ub3 = 1,5V met een Ri3 = 0,25Ω. De belastingsweerstand Rb =
0,9Ω.
a) Bereken de stroom in het circuit.
b) Bereken de spanning over de belastingsweerstand Rb.
c) Bereken de klemspanning van iedere spanningsbron.
We passen de afleiding voor de bronstroom toe die in het vorige voorbeeld is gebruikt. In dit
geval leidt de afleiding tot de volgende formule voor de bronstroom:
        Irb = Ub1 + Ub2 + Ub3 / (Rb + Ri1 + Ri2 + Ri3)
        Irb = 1,5 + 1,5 + 1,5 / (0,9+0,2+0,15+0,25) = 3A
De spanning over de belastingsweerstand is met de berekende bronstroom:
        Urb = Irb * Rb = 3 * 0,9 = 2,7V
De voedingsbronnen leveren de volgende klemspanningen bij de gevonden belastingsstroom:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1) = 1,5 – (3 * 0,20) = 0,90V
        Uk2 = Ub2 – (Ib * Ri2) = 1,5 – (3 * 0,15) = 1,05V
        Uk3 = Ub3 – (Ib * Ri3) = 1,5 – (3 * 0,25) = 0,75V
Opgave 4.10
Twee accumulatoren worden in serie geschakeld om een spanning te verkrijgen van 18V.
Accu 1 heeft een bronspanning Ub1 van 12V en een inwendige weerstand Ri1 van 0,1Ω en accu
2 heeft een bronspanning Ub2 van 6V met een inwendige weerstand Ri2 van 0,1Ω. De stroom
die in het circuit gaat lopen is 10A. De belastingsweerstand wordt gevormd door een lamp.
a) Bereken de waarde van de belastingsweerstand.
b) Bereken de spanning over de lamp.
c) Bereken de klemspanning van elke accu in belaste toestand.
Met de afleiding die is gevonden voor de bronstroom van in serie geschakelde
voedingsbronnen kan de aangesloten belasting gevonden worden:
        Irb = Ub1 + Ub2 / (Rb + Ri1 + Ri2)
        Rb = (Ub1 + Ub2)/Irb - (Ri1 + Ri2)=(12+6)/10–(0,1+0,1)= 1,6Ω
De spanning over de lamp is dan:
        Urb = Irb * Rb = 10 * 1,6 = 16V
                                             66
De klemspanningen van de accu’s zijn achtereenvolgens:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1) = 12 – (10 * 0,1) = 11V
        Uk2 = Ub2 – (Ib * Ri2) = 6 – (10 * 0,1) = 5V
4.2.2 Parallel schakelen van spanningsbronnen en een belastingsweerstand
Naast het in serie schakelen van voedingsbronnen, om in een grotere energie behoefte te
voorzien, is het ook mogelijk voedingsbronnen parallel te schakelen. In plaats van het
verhogen van de voedingsspanning wordt bij het parallel schakelen de voedingsstroom
vergroot.
We beschouwen de schakeling zoals deze in de tekening bij het voorbeeld 4.6 is gegeven.
Voor de in het netwerk lopende stromen willen we een afleiding maken. Daartoe stellen we
een stroomvergelijking op voor het punt p, in de schakeling.
        ΣIp = 0A
        Ib1 + Ib2 + (-Irb) = 0
        Irb = Ib1 + Ib2
Voor twee mazen in het netwerk wordt een spanningsvergelijking opgesteld.
        ΣUpp = 0V
        Urb + Uri1 + (-Ub1) = 0
        Ub1 = Urb + Uri1
        Ub1 = Irb * Rb + Ib1 * Ri1
        Ub1 = (Ib1 + Ib2) Rb + Ib1 * Ri1
        Ub1 = Ib1 (Rb + Ri1) + Ib2 * Rb
        ΣUpp = 0V
        Urb + Uri2 + (-Ub2) = 0
        Ub2 = Irb * Rb + Ib2 * Ri2
        Ub2 = (Ib1 + Ib2) Rb + Ib2 * Ri2
        Ub2 = Ib2 (Rb + Ri2) + Ib1 * Rb
In het volgende voorbeeld zullen deze twee vergelijkingen uitgewerkt worden.
Voorbeeld 4.6
Een schakeling van twee niet-ideale spanningsbronnen met daaraan gekoppeld een
belastingsweerstand Rb, volgens de figuur.
a) Bereken de stroom Ib1, Ib2 en Irb.




                                 Tekening bij voorbeeld 4.6
De afleidingen die in de bovenstaande uitleg zijn gemaakt worden met de gegeven waardes
ingevuld:
       Ub1 = Ib1 (Rb + Ri1) + Ib2 * Rb
       14 = Ib1 (4 + 2) + Ib2 * 4
       6 Ib1 + 4 Ib2 = 14
       Ub2 = Ib2 (Rb + Ri2) + Ib1 * Rb
                                            67
        14 = Ib2 (4 + 1) + Ib1 * 4
        4 Ib1 + 5 Ib2 = 14
Uit de twee vergelijkingen lossen we de stroom Ib1 op:
        6 Ib1 + 4 Ib2 = 14 |*5| 30 Ib1 + 20 Ib2 = 70
        4 Ib1 + 5 Ib2 = 14 |*4| 16 Ib1 + 20 Ib2 = 56 -
        14 Ib1 = 14
        Ib1 = 1A
De gevonden waarde voor de stroom Ib1 vullen we in een van de vergelijkingen in:
        6 Ib1 + 4 Ib2 = 14
        Ib2 = (14 – 6) / 4 = 2A
Om de grootte van de stroom door belastingsweerstand te vinden maken we gebruik van de
afleiding die in de bovenstaande uitleg als eerste is gemaakt:
        Irb = Ib1 + Ib2 = 1 + 2 = 3A
Opgave 4.11
Twee spanningsbronnen Ub1 en Ub2 worden zodanig parallel geschakeld dat de pluspolen aan
elkaar komen te liggen. Beide spanningsbronnen hebben een bronspanning Ub van 12V en een
inwendige weerstand Ri van 1Ω. Parallel aan deze schakeling is een belastingsweerstand Rb
geschakeld met een waarde van 5,5Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Stel de vergelijking volgens de stroomwet op.
c) Stel de vergelijkingen volgens de spanningswet op.
d) Bereken de drie onbekende stromen.
e) Bereken de spanning over de belastingsweerstand.
f) Bereken de klemspanning over de voedingsbron Ub1.
g) Bereken de klemspanning over de voedingsbron Ub2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. Merk op
dat dit netwerk identiek is aan de schakeling welke in het voorbeeld 4.6 is gegeven. De
vergelijkingen volgens de stroomwet en de spanningswet; die in de uitleg zijn gemaakt en in
het voorbeeld zijn gebruikt, gelden dus ook voor dit netwerk. We passen de vergelijkingen toe
om de onbekende stromen te vinden:
        Ub1 = Ib1 (Rb + Ri1) + Ib2 * Rb
        12 = Ib1 (5,5 + 1) + Ib2 * 5,5
        6,5 Ib1 + 5,5 Ib2 = 12
        Ub2 = Ib2 (Rb + Ri2) + Ib1 * Rb
        12 = Ib2 (5,5 + 1) + Ib1 * 5,5
        5,5 Ib1 + 6,5 Ib2 = 12
We werken de onbekende variabele voor de stroom Ib2 weg uit de vergelijkingen; om de
stroom Ib1 te kunnen vinden:
        6,5 Ib1 + 5,5 Ib2 = 12 |*6,5| 42,25 Ib1 + 35,75 Ib2 = 78
        5,5 Ib1 + 6,5 Ib2 = 12 |*5,5| 30,25 Ib1 + 35,75 Ib2 = 66 -
        12 Ib1 = 12
        Ib1 = 1A
De waarde van de stroom Ib2 wordt hiermee:
        6,5 Ib1 + 5,5 Ib2 = 12
        Ib2 = (12 – 6,5) / 5,5 = 1A
De grootte van de stroom door de belasting is nu te vinden met de vergelijking:
        Irb = Ib1 + Ib2 = 1 + 1 = 2A
Nu de stroom door de belasting bepaald is, kan de spanning over de belastingsweerstand
gevonden worden met de wet van Ohm:
        Urb = Ib * Rb = 2 * 5,5 = 11V
                                             68
We weten dat de klemspanning van een voedingsbron gelijk is aan de bronspanning van de
bron verminderd met de spanningsval over de inwendige weerstand als gevolg van de lopende
stroom. De bronspanning van de twee bronnen zijn achtereenvolgens:
        Uk1 = Ub1 – (Ib1 * Ri1) = 12 – (1 * 1) = 11V
        Uk2 = Ub2 – (Ib2 * Ri2) = 12 – (1 * 1) = 11V
Opgave 4.12
Van spanningsbron 1, waarvan Ub = 14V en Ri = 0,25Ω, wordt de pluspool aan de pluspool
geschakeld van spanningsbron 2, waarvan Ub = 12V en Ri = 0,50Ω. De minpolen worden ook
aan elkaar gekoppeld. Parallel aan deze schakeling wordt een belasting aangesloten met een
weerstandswaarde Rb van 6,5Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Stel de vergelijking volgens de stroomwet op.
c) Stel de vergelijkingen volgens de spanningswet op.
d) Bereken de drie onbekende stromen.
e) Bereken de spanning over de belasting.
f) Bereken de klemspanning over de voedingsbron Ub1.
g) Bereken de klemspanning over de voedingsbron Ub2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij deze opgave achterwege. Voor het
opstellen van de stroomvergelijking en de spanningsvergelijkingen maken we gebruik van de
eerder gevonden afleidingen:
        Irb = Ib1 + Ib2
        Ub1 = Ib1 (Rb + Ri1) + Ib2 * Rb
        Ub2 = Ib2 (Rb + Ri2) + Ib1 * Rb
We vullen de spanningsvergelijkingen met de gegeven waardes:
        14 = Ib1 (6,5 + 0,25) + Ib2 * 6,5
        12 = Ib2 (6,5 + 0,50) + Ib1 * 6,5
        6,75 Ib1 + 6,5 Ib2 = 14
        6,50 Ib1 + 7,0 Ib2 = 12
We elimineren de varabele Ib2 en bepalen de waarde van de stroom Ib1:
        6,75 Ib1 + 6,5 Ib2 = 14 |*7,0| 47,25 Ib1 + 45,5 Ib2 = 98
        6,50 Ib1 + 7,0 Ib2 = 12 |*6,5| 42,25 Ib1 + 45,5 Ib2 = 78 -
        5 Ib1 = 20
        Ib1 = 20 / 5 = 4A
De grootte van de stroom Ib2 wordt hiermee:
        6,75 Ib1 + 6,5 Ib2 = 14
        Ib2 = (14 – (6,75 * 4)) / 6,5 = -2A
We bepalen nu de grootte van de stroom door de belastingsweerstand:
        Irb = Ib1 + Ib2 = 4 + (-2) = 2A
Met de gevonden stroom door de belasting is de spanning over de belasting:
        Urb = Irb * Rb = 2 * 6,5 = 13V
De klemspanning van de voedingsbronnen zijn achtereenvolgens:
        Uk1 = Ub1 – (Ib1 * Ri1) = 14 – ( 4 * 0,25) = 13V
        Uk2 = Ub2 – (Ib2 * Ri2) = 12 – (-2 * 0,50) = 13V
Vraagstukken
Vraagstuk 1
Twee weerstanden R1 en R2 van respectievelijk 100Ω en 200Ω zijn in serie geschakeld.
Parallel aan deze serieschakeling is een weerstand R3 van 600Ω geschakeld. De hele
schakeling is aangesloten op een spanning Ub van 200V.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand van de hele schakeling.
                                            69
c) Bereken de stroom Ib.
d) Bereken de stroom door de weerstanden R1 en R2.
e) Bereken de stroom door de weerstand R3.
f) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De
vervangende weerstand voor de twee in serie geschakelde weerstanden is:
       Rvs = R1 + R2 = 100 + 200 = 300Ω
De vervangende weerstand van de parallel staande weerstanden Rvs en R3 is:
       Rv = Rvs * R3 / (Rvs + R3) = 300*600 / (300+600) = 200Ω
De stroom die door de voedingsbron wordt geleverd is:
       Ib = Ub / Rv = 200 / 200 = 1A
De stroom door de weerstanden R1 en R2 is:
       I1,2 = Ub / Rvs = 200 / 300 = 2/3A
De stroom door de weerstand R3 is:
       I3 = Ub / R3 = 200 / 600 = 1/3A
De spanningen over de twee in serie staande weerstanden zijn:
       Ur1 = I1,2 * R1 = 2/3 * 100 = 66,67V
       Ur2 = I1,2 * R2 = 2/3 * 200 = 133,33V
Vraagstuk 2
Op een spanningsbron Ub van 40V is een weerstand R3 van 80Ω aangesloten. Parallel aan deze
weerstand is een serieschakeling van twee weerstanden R1 en R2 geschakeld. De
weerstandswaarde van R1 is 10Ω en de waarde van R2 is onbekend. De stroom Ib blijkt bij
meting 1,5A te zijn.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stroom Ir3 door de weerstand R3.
c) Bereken de stroom in de serieschakeling van R1 en R2.
d) Bereken de waarde van de onbekende weerstand R2.
e) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De
stroom door de weerstand R3 is:
       Ir3 = Ub / R3 = 40 / 80 = 0,5A
De stroom door de serieschakeling van R1 en R2 volgt uit:
       Ib = Ir1,2 + Ir3
       Ir1,2 = Ib - Ir3 = 1,5 – 0,5 = 1A
De vervangende weerstand van de serieschakeling van R1 en R2 is:
       Rvs = Ub / Ir1,2 = 40 / 1 = 40Ω
De waarde van de weerstand R2 kan nu bepaald worden volgens:
       Rvs = R1 + R2
       R2 = Rvs – R1 = 40 – 10 = 30Ω
De spanningen over de weerstanden R1 en R2 zijn achtereenvolgens:
       Ur1 = Ir1,2 * R1 = 1 * 10 = 10V
       Ur2 = Ir1,2 * R2 = 1 * 30 = 30V
Vraagstuk 3
Een spanningsbron Ub van 30V levert aan een schakeling een stroom Ib van 0,3A. Door de
serieschakeling van R1 en R2 loopt een stroom van 0,1A. De spanning over de weerstand R1 is
5V. Aan deze schakeling is een weerstand R3 parallel geschakeld.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de weerstand R1.
c) Bereken de weerstand R2.
d) Bereken de weerstand R3.
                                            70
e) Bereken op twee manieren de vervangende weerstand Rv.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De
waarde van de weerstand R1 is:
       R1 = Ur1 / Ir1,2 = 5 / 0,1 = 50Ω
De grootte van de weerstand R2 is als volgt te berekenen:
       R2 = (Ub – Ur1) / Ir1,2 = (30 – 5) / 0,1 = 250Ω
De weerstand R3 heeft een waarde van:
       R3 = Ub / (Ib – Ir1,2) = 30 / (0,3 – 0,1) = 150Ω
Een manier om de vervangende weerstand van de schakeling te berekenen is:
       Rv = Ub / Ib = 30 / 0,3 = 100Ω
Een andere manier is:
       Rv = Rvs * R3 / (Rs + R3) = 300 * 150 / (300 + 150) = 100Ω
Vraagstuk 4
Een schakeling is opgebouwd volgens de figuur.
a) Bereken de stroom Ib.
b) Bereken de stromen door de weerstanden R1, R2, R3 en R4.
c) Bereken de spanningen over R1, R2, R3 en R4.
d) Bereken de stroom door de tak AB en bepaal de richting van die stroom.




                                 Tekening bij vraagstuk 4
Een methode om dit vraagstuk op te lossen is het toepassen van de reductiemethode. De
weerstanden R1 en R3 worden gezien als parallel staande weerstanden, evenals de weerstanden
R2 en R4. De vervangende weerstanden van deze parallel schakelingen staan in serie met
elkaar. De vervangende weerstand van de totale schakeling is dus:
        Rv = Rv1 + Rv2
        Rv = (R1 * R3 / (R1 + R3)) + (R2 * R4 / (R2 + R4))
        Rv = (300 * 200 / (300+200)) + (250 * 1000 / (250+1000))
        Rv = 120 + 200 = 320Ω
De stroom Ib wordt hiermee:
        Ib = Ub / Rv = 16 / 320 = 0,05A
Om de overige stromen te vinden berekenen we eerst de spanningsval over de twee
vervangende weerstanden:
        Urv1 = Ib * Rv1 = 0,05 * 120 = 6V
        Urv2 = Ib * Rv2 = 0,05 * 200 = 10V
Met de gevonden deelspanningen zijn de stromen door de weerstanden snel gevonden. De
stromen zijn achtereenvolgens:
        Ir1 = Urv1 / R1 = 6 / 300 = 0,02A
        Ir2 = Urv2 / R2 = 10 / 250 = 0,04A
                                            71
        Ir3 = Urv1 / R3 = 6 / 200 = 0,03A
        Ir4 = Urv2 / R4 = 10 / 1000 = 0,01A
Om de waarde van de stroom door de tak AB te vinden stellen we een stroomvergelijking op
voor het puntA. We gaan er hierbij van uit dat de stroom loopt van B naar A:
        ΣIa = 0A
        Ir1 + Iab + (-Ir2) = 0
        Iab = Ir2 – Ir1 = 0,04 – 0,02 = 0,02A
Vraagstuk 5
Van een schakeling is bekend dat deze bestaat uit een serieschakeling van R1 en R2 en parallel
daaraan is de weerstand R3 geschakeld. De vervangende weerstand van de schakeling is gelijk
aan de waarde van R1. Verder is door meten vastgesteld dat de spanning over de weerstand R2
tweemaal zo hoog is als de spanning over R1.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de verhouding van de weerstanden R1, R2, en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Uit de
gegevens blijkt het volgende:
        Rv = R1
        R2 = 2R1
De verhouding van R3, ten opzichte van de weerstand R1, is nu nog onbekend. We stellen
hiervoor de volgende vergelijkingen op:
        R1 = x
        Rv = x
        R2 = 2x
        Rs = R1 + R2 = x + 2x = 3x
        R3 = Rv * Rs / (Rv - Rs)
        R3 = x * 3x / (3x – x) = 1,5x
De verhouding tussen de waarden van de weerstanden R1, R2, en R3 is hiermee:
        R1 : R2 : R3 = 1 : 2 : 1,5
Vraagstuk 6
Een schakeling bestaat uit twee parallel geschakelde serieschakelingen. Maas 1 bestaat uit de
weerstanden R1 en R2. Maas 2 bestaat uit de weerstanden R3 en R4. De weerstanden R2 en R4
zijn respectievelijk 30Ω en 90Ω. Verder is bekend dat R3 = 3 * R1. Als de weerstanden R1 en
R3 worden verwisseld is de vervangende weerstand 10Ω groter.
a) Teken de beide schakeling.
b) Stel de vergelijkingen op om de vervangende weerstand te berekenen.
c) Bereken de weerstanden R1 en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Uit de
gegevens kunnen de volgende vergelijkingen gemaakt worden:
        Rv’ = Rv + 10
        R3 = 3R1
Voor de twee gevallen waarin de weerstanden geschakeld zijn, stellen we een vergelijking op
voor de vervangende weerstand van het netwerk:
        Rv = Ra * Rb / (Ra + Rb)                    Rv’ = Ra’ * Rb’ / (Ra’ + Rb’)
In deze vergelijkingen zijn:
        Ra = R1 + 30                                Ra’ = 3R1 + 30
        Rb = 3R1 + 90                               Rb’ = R1 + 90
Om de waardes van de onbekende weerstanden R1 en R3 te vinden, stellen we de
vergelijkingen gelijk:
        (3R1 + 30)(R1 + 90) = (R1 + 30)(3R1 + 90) + 10
        (R1 + 30)+(3R1 + 90)               (3R1 + 30)+(R1 + 90)
                                              72
       3R12 + 300R1 + 2700 – 3R12 + 180R1 + 2700 = 10
                        4R1 + 120

       120R1 / 4R1 + 120 = 10
       30R1 / R1 + 30 = 10
       30R1 = 10(R1 + 30)
       30R1 = 10R1 + 300
       R1 = 300/20 = 15Ω
Voor de waarde van de weerstand R3 geldt dan:
       R3 = 3R1 = 3 * 15 = 45Ω
Voor de volledigheid berekenen we nog de vervangende weerstand van het netwerk in de
beide gevallen:
       Rv = 45 * 135 / (45 + 135) = 33,75Ω
       Rv’ = 75 * 105 / (75 + 105) = 43,75Ω
Vraagstuk 7
Een schakeling bestaat uit een parallelschakeling van de weerstanden R2 en R3 van
respectievelijk 330Ω en 220Ω. In serie met deze schakeling is een weerstand R1 van 68Ω
geschakeld. De schakeling is aangesloten op een spanning van 25V.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand van de parallelschakeling.
c) Bereken de vervangende weerstand van de gehele schakeling.
d) Bereken de stroom Ib van de schakeling.
e) Bereken de spanningen over de weerstanden R1, R2 en R3.
f) Bereken de stromen door de weerstanden R2 en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De
vervangende weerstand van de parallelschakeling is:
       Rvp = R2 * R3 / (R2 + R3) = 330 * 220 / (330+220) = 132Ω
De vervangende weerstand van de totale schakeling is:
       Rv = Rvp + R1 = 132 + 68 = 200Ω
De stroom Ib door de schakeling is:
       Ib = Ub / Rv = 25 / 200 = 0,125A
De spanning over de parallel schakeling van R2 en R3 en de spanning over de weerstand R1
zijn:
       Urp = Ib * Rvp = 0,125 * 132 = 16,5V
       Ur1 = Ib * R1 = 0,125 * 68 = 8,5V
De stroom door de weerstanden R2 en R3 zijn:
       Ir2 = Urp / R2 = 16,5 / 330 = 0,050A
       Ir3 = Urp / R3 = 16,5 / 220 = 0,075A
Vraagstuk 8
Een spanningsbron Ub van 12V levert aan een schakeling een stroom Ib van 1A. De
schakeling bestaat uit een weerstand R1 van 8Ω met daarmee in serie een parallelschakeling
van R2 en R3. De weerstand R3 is eveneens 8Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand Rvp.
c) Bereken de spanningen over de weerstanden R1 en R2.
d) Bereken de stromen door de weerstanden R2 en R3.
e) Bereken de weerstand R2.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Voor de
vervangende weerstand van het netwerk geldt:
                                             73
        Rv = Ub / Ib = 12 / 1 = 12Ω
De vervangende weerstand van de parallel schakeling kan als volgt gevonden worden:
        Rvp = Rv – R1 = 12 – 8 = 4Ω
De spanningen over de weerstand R1 en de weerstand R2 zijn, respectievelijk:
        Ur1 = Ib * R1 = 1 * 8 = 8V
        Ur2 = Ib * Rvp = 1 * 4 = 4V
De stroom Ib verdeelt zich over de parallel schakeling volgens:
        Ib = Ir2 + Ir3
        Ir2 = Ib – Ir3
        Ir2 = Ib – (Ur2/R3) = 1 – (4/8) = 0,5A
De stroom door de weerstand R2 is gelijk aan de stroom door de weerstand R3, dit betekent dat
de waarde van de weerstand R2 gelijk is aan de waarde van R3:
        R2 = R3 = 8Ω
Vraagstuk 9
Twee weerstanden R2 en R3 van respectievelijk 20Ω en 60Ω zijn parallel geschakeld. In serie
met deze schakeling is een weerstand is een weerstand R1 geschakeld. Over deze weerstand
staat een spanning Ur1 van 6V. De schakeling is aangesloten op een spanningsbron Ub van
15V.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de spanning over de weerstanden R2 en R3.
c) Bereken de stromen door R2 en R3.
d) Bereken de weerstand R1.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De
spanning over de parallel schakeling van de weerstanden R2 en R3 is:
        Urp = Ub – Ur1 = 15 – 6 = 9V
De stromen door de twee parallelle weerstanden zijn nu als volgt te berekenen:
        Ir2 = Urp / R2 = 9 / 20 = 0,45A
        Ir3 = Urp / R3 = 9 / 60 = 0,15A
De grootte van de weerstand R1 kan nu als volgt berekend worden:
        R1 = Ur1 / Ib
        R1 = Ur1 / (Ir2 + Ir3) = 6 / (0,45 + 0,15) = 10Ω
Vraagstuk 10
In een schakeling loopt een Ib van 0,1A. De spanningsbron Ub geeft een spanning van 36V.
Een weerstand R1 van 270Ω in serie met een parallelschakeling van R2 en R3 vormt de totale
schakeling. Van deze parallelschakeling is bekend dat R3 = 9 * R2.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de vervangende weerstand van de parallelschakeling.
c) Bereken de weerstanden R2 en R3.
d) Bereken de stromen door de weerstanden R2 en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Om de
vervangende weerstand van de twee parallel geschakelde weerstanden R2 en R3 te kunnen
vinden, berekenen we eerst de spanningsval over de weerstand R1:
        Ur1 = Ib * R1 = 0,1 * 270 = 27V
Met dit gegeven is de spanning over de parallel schakeling als volgt te vinden:
        Urp = Ub – Ur1 = 36 – 27 = 9V
De vervangende weerstand is nu te berekenen:
        Rvp = Urp / Ib = 9 / 0,1 = 90Ω
Met de waarde van de vervangende weerstand kan de grootte van één van de parallelle
weerstanden gevonden worden:
                                             74
        R2 = R3 * Rvp / (R3 - Rvp)
        R2 = 9R2 * 90 / (9R2 - 90)
        R2 = 810R2 / 9(R2 - 10)
        R2 (R2 - 10) / R2 = 810 / 9
        R22 - 10R2 / R2 = 90
        R2 - 10 = 90
        R2 = 100Ω
De waarde van de weerstand R3 is te vinden uit het gegeven:
        R3 = 9R2 = 9 * 100 = 900Ω
Vraagstuk 11
Van een serie-parallelschakeling is bekend dat de vervangende weerstand Rv 9Ω is. De
schakeling bestaat uit de parallelschakeling van R2 en R3 met daarmee in serie R1. De
verhouding van de weerstanden is R1 : R2 : R3 = 1 : 2 : 3.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de weerstandswaarden R1, R2 en R3.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Uit de
verhouding van de weerstandswaarden mag het volgende gesteld worden:
        R1 = x
        R2 = 2x
        R3 = 3x
Met de vervangende weerstand als gegeven mogen we het volgende stellen:
        R1 + (R2 * R3 / (R2 + R3)) = 9
In deze vergelijking vullen we de verhoudingen van de weerstanden in en lossen één van de
weerstandswaarden op:
        x + (2x * 3x / (2x + 3x)) = 9
        x + (6x2 / 5x) = 9
        x + 6/5X = 9
        x = 9 * 5 / 11 = 4,091
De waarden van de weerstanden R1, R2 en R3 zijn respectievelijk:
        R1 = 4,091Ω
        R2 = 2R1 = 2 * 4,091 = 8,182Ω
        R3 = 3R1 = 3 * 4,091 = 12,273Ω
Vraagstuk 12
Een schakeling bestaat uit de weerstanden R3 en R4 parallel geschakeld en daarmee in serie de
weerstanden R1 en R2 als serieschakeling. De weerstanden R2 en R4 zijn respectievelijk 60Ω
en 120Ω. De weerstand R3 is 80Ω. De vervangende weerstandswaarde Rv van de hele
schakeling wordt 22 ohm groter wanneer de weerstanden R1 en R3 van plaats worden
gewisseld.
a) Teken de schakeling.
b) Stel de vergelijkingen op om de vervangende weerstand te berekenen.
c) Bereken de weerstand R1.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. We
stellen een vergelijking op voor de vervangende weerstand van het netwerk in beide situaties:
        Rv = R1 + R2 + (R3 * R4 / (R3 + R4))
        Rv’ = R3 + R2 + (R1 * R4 / (R1 + R4))
        Rv’ = Rv + 22
We vullen de eerste vergelijking en de tweede vergelijking met de gegeven waarden en stellen
deze daarna, volgens de derde vergelijking, aan elkaar gelijk:
        Rv = R1 + 60 + (80 * 120 / (80 + 120))
        Rv = R1 + 60 + 48 = R1 + 108
                                             75
        Rv’ = 80 + 60 + (R1 * 120 / (R1 + 120))
        Rv’ = 140 + 120R1 / R1 + 120
        Rv’ = Rv + 22
        140 + 120R1 / R1 + 120 = R1 + 108 + 22
        R1 - 120R1 / R1 + 120 = 140 – 130
        R1(R1 + 120) - 120R1 / R1 + 120 = 10
        R12 + 120R1 - 120R1 = 10(R1 + 120)
        R12 = 10R1 + 1200
        R12 - 10R1 – 1200 = 0
        (R1 – 40)( R1 + 30) = 0
        R1 = 40 v R1 = -30
Een negatieve waarde voor de weerstand R1 ligt niet voor de hand; een waarde van 40 ohm is
denkbaar. We controleren deze uitkomst, in de beide situaties van het netwerk:
        Rv = 40 + 60 + 48 = 148Ω
        Rv’ = 80 + 60 + (40 * 120 / (40 + 120))
        Rv’ = 140 + 30 = 170Ω
We zien dat het verschil tussen beide gevonden waarden inderdaad 22 ohm is!
Vraagstuk 13
Twee batterijen worden in serie geschakeld om de vereiste spanning van ongeveer 3V te
verkrijgen. De bronspanningen zijn van beide elementen 1,5V. Van de spanningsbronnen is
de inwendige weerstand Ri1=0,1Ω en Ri2=0,2Ω. De belastingsstroom die gaat vloeien is 25mA.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de belastingsweerstand Rb.
c) Bereken de klemspanning van elke spanningsbron.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Om de
waarde van de belastingsweerstand te vinden stellen we een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        Urb + (-U1) + Uri1 + (-U2) + Uri2 = 0
        Ib * Rb + Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = Uri1 + Uri2
        Ib (Rb + Ri1 + Ri2) = Uri1 + Uri2
        Rb = (Uri1 + Uri2 / Ib) – (Ri1 + Ri2)
        Rb = (1,5 + 1,5 / 0,025) – (0,1 + 0,2) = 120 – 0,3
        Rb = 119,7Ω
De klemspanningen van de twee spanningsbronnen zijn, achtereenvolgens:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1) = 1,5 – (0,025 * 0,1) = 1,4975V
        Uk2 = Ub2 – (Ib * Ri2) = 1,5 – (0,025 * 0,2) = 1,4950V
Uit de klemspanningen blijkt de spanning over de belasting te zijn:
        Ub = Uk1 + Uk2 = 1,4975 + 1,495 = 2,9925V
Vraagstuk 14
Een spanningsbron Ub1 van 12,5V en een Ri1 van 0,18Ω wordt om de spanning te verhogen in
serie geschakeld met een spanningsbron Ub2 van 8,5V en een Ri2 van 0,16Ω. De spanning Urb
over de belastingsweerstand Rb is 4V.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stroom Ib in het circuit.
c) Bereken de klemspanning van elke spanningsbron.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Om de
stroom in het netwerk te berekenen stellen we een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        Urb + (-Ub1) + Uri1 + (-Ub2) + Uri2 = 0
        Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = Ub1 + Ub2 - Urb
                                            76
        Ib (Ri1 + Ri2) = Ub1 + Ub2 - Urb
        Ib = (Ub1 + Ub2 - Urb) / Ri1 + Ri2
        Ib = (12,5 + 8,5 - 4,0) / 0,18 + 0,16 = 50A
De klemspanningen van de twee spanningsbronnen zijn, achtereenvolgens:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1) = 12,5 – (50 * 0,18) = 3,5V
        Uk2 = Ub2 – (Ib * Ri2) = 8,5 – (50 * 0,16) = 0,5V
De waarde van de belastingsweerstand is in dit geval:
        Rb = Ub / Ib = 4,0 / 50 = 0,08Ω
Vraagstuk 15
In een schakeling heeft men de spanning willen verhogen door een spanningsbron Ub2 van
16V en een Ri2 van 1,2Ω in serie met een spanningsbron Ub1 van 45V en een Ri1 van 0,8Ω te
schakelen. Per abuis zijn de polen van de spanningsbron Ub2 verkeerd aangesloten. De
belastingsweerstand Rb is 56Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stroom Ib die in het circuit gaat lopen.
c) Bereken de spanning over de belastingsweerstand Rb.
d) Bereken de klemspanning over de afzonderlijke spanningsbronnen.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Om de
stroom door het circuit te vinden stellen we een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        Urb + (-Ub1) + Uri1 + Ub2 + Uri2 = 0
        Ib * Rb + Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = Ub1 - Ub2
        Ib(Rb + Ri1 + Ri2) = Ub1 - Ub2
        Ib = Ub1 - Ub2 / (Rb + Ri1 + Ri2)
        Ib = 45 – 16 / (56 + 0,8 + 1,2) = 0,5A
De spanning over de belastingsweerstand is met de wet van Ohm te berekenen:
        Ub = Ib * Rb = 0,5 * 56 = 28V
Voor de spanningsbron Ub1 geldt de normale situatie dat de klemspanning lager is dan de
bronspanning. De spanningsbron Ub2 is echter in dit geval omgepoold. De stroom blijft,
ondanks het om polen, in de oorspronkelijk gekozen richting vloeien. Dit betekent dat de
klemspanning van de spanningsbron Ub2 hoger is dan de bronspanning. In formules gesteld:
        Uk1 = Ub1 – (Ib * Ri1)
        Uk2 = Ub2 + (Ib * Ri2)
We werken deze formules uit:
        Uk1 = 45 – (0,5 * 0,8) = 44,6V
        Uk2 = 16 + (0,5 * 1,2) = 16,6V
De klemspanning van de spanningsbron Ub2 is vanwege het om polen tegengesteld aan de
klemspanning van de bron Ub1. De spanning over de belasting volgt dan uit:
        Ub = Uk1 – Uk2 = 44,6 – 16,6 = 28V
Vraagstuk 16
Twee spanningsbronnen worden in serie geschakeld om een werkspanning te verkrijgen van
220V. Elke spanningsbron heeft een Ub van 115V. De inwendige weerstand Ri1=1,5 Ri2. Door
regeling van de belastingsweerstand loopt er bij de gewenste spanning een Ib van 2A.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de belastingsweerstand.
c) Bereken de inwendige weerstanden Ri1 en Ri2.
d) Bereken de klemspanningen van de afzonderlijke spanningsbronnen.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. Er van
uit gaande staat de werkspanning van 220 volt werkelijk geleverd wordt, is de grootte van de
belastingsweerstand snel gevonden:
                                             77
        Rb = U / Ib = 220 / 2 = 110Ω
Om de waardes van de inwendige weerstanden van de bronnen te vinden, is het nodig om
eerst de spanning over deze weerstanden te vinden. We doen dit door het opstellen van een
spanningsvergelijking:
        ΣUpp = 0V
        Urb + (-Ub1) + Uri1 + (-Ub2) + Uri2 = 0
        Uri1 + Uri2 = Ub1 + Ub2 - Urb
        Uri1 + Uri2 = 115 + 115 – 220 = 10V
We kunnen nu de vergelijking herleiden om de waarde van Ri1 te vinden:
        Ib * Ri1 + Ib * Ri2 = 10
        Ib (Ri1 + Ri2) = 10
        Ib (Ri1 + 1,5Ri1) = 10
        2,5 Ri1 = 10 / Ib
        Ri1 = 10 / (2 * 2,5) = 2Ω
Hier uit volgt dat de grootte van de inwendige weerstand Ri2 is:
        Ri2 = 1,5 Ri1 = 1,5 * 2 = 3Ω
De klemspanningen van de beide bronnen zijn op de gebruikelijke wijze te vinden; ze zijn
achtereenvolgens:
        Uk1 = 115 – (2 * 2) = 111V
        Uk2 = 115 - (2 * 3) = 109V
Vraagstuk 17
Twee spanningsbronnen worden parallel geschakeld om de totale stroom voor een belasting te
kunnen leveren. Spanningsbron Ub1 heeft een spanningsbron van 226V en een inwendige
weerstand Ri1 van 0,1Ω. De andere spanningsbron heeft een Ub2 van 226V en een Ri2 van
0,12Ω. De belastingsweerstand Rb is 2Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stroom Ib, Ib1 en Ib2.
c) Bereken de klemspanningen van de voedingsbronnen.
d) Bereken de spanning over de belastingsweerstand Rb.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege.
Allereerst stellen we een stroomvergelijking op:
        ΣIp = 0A
        Ib + (-Ib1) + (-Ib2) = 0
        Ib = Ib1 + Ib2
Vervolgens stellen we voor de twee mazen in het netwerk een spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
[1] Ub + (-Ub1) + Uri1 = 0
[2] Ub + (-Ub2) + Uri2 = 0
Met enig omwerken van de vergelijkingen en met het invullen van de gegeven waarden in de
vergelijkingen krijgen we:
[1] Ib * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
        (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
        Ib1 * Rb + Ib1 * Ri1 + Ib2 * Rb = Ub1
        2,10 Ib1 + 2,00 Ib2 = 226

[2]    Ib * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       Ib1 * Rb + Ib2 * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       2,00 Ib1 + 2,12 Ib2 = 226

                                            78
Door het elimineren van één van de variabelen uit de twee vergelijkingen is één van de
stromen te bepalen:
[1] 2,10 Ib1 + 2,00 Ib2 = 226 |*2,0| 4,2Ib1 + 4,000Ib2 = 452,0
[2] 2,00 Ib1 + 2,12 Ib2 = 226 |*2,1| 4,2Ib1 + 4,452Ib2 = 474,6 -
        -0,452Ib2 = -22,6
        Ib2 = -22,6 / -0,452 = 50A
Deze uitkomst gebruiken we om de grootte van de stroom Ib1 te bepalen:
        2,00 Ib1 + 2,12 Ib2 = 226
        Ib1 = (226 - 2,12 * 50) / 2 = 60A
Hiermee is de bronstroom Ib bepaald:
        Ib = Ib1 + Ib2 = 50 + 60 = 110A
De klemspanningen over de voedingsbronnen zijn gemakkelijk als volgt te berekenen:
        Uk1 = Ub1 – (Ib1 * Ri1)
        Uk1 = 226 – (60 * 0,10) = 220V
        Uk2 = Ub2 – (Ib2 * Ri2)
        Uk2 = 226 – (50 * 0,12) = 220V
De gevonden klemspanningen over de voedingsbronnen is gelijk aan de spanning over de
belastingsweerstand. Deze spanning is ook met de wet van Ohm te bepalen, volgens:
        Ub = Ib * Rb = 110 * 2 = 220V
Vraagstuk 18
Parallel aan een spanningsbron Ub1 van 21V en Ri1 is 0,25Ω, wordt een spanningsbron Ub2 van
20V met een Ri2 van 0,2Ω geschakeld. De weerstand Rb is 5Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stromen Ib, Ib1 en Ib2.
c) Bereken de klemspanningen van de voedingsbronnen.
d) Bereken de spanning over de belastingsweerstand Rb.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. We
passen de gebruikelijke werkwijze toe, door het opstellen van een stroomvergelijking:
        ΣIp = 0A
        Ib + (-Ib1) + (-Ib2) = 0
        Ib = Ib1 + Ib2
De volgende stappen zijn; het opstellen van een spanningsvergelijking voor de twee mazen in
de schakeling, het omwerken van de vergelijkingen en het invullen van de gegeven waarden:
        ΣUpp = 0V
        Ub + (-Ub1) + Uri1 = 0
        Ib * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
        (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
        Ib1 * Rb + Ib1 * Ri1 + Ib2 * Rb = Ub1
        5,25 Ib1 + 5,00 Ib2 = 21

        Ub + (-Ub2) + Uri2 = 0
        Ib * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
        (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
        Ib1 * Rb + Ib2 * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
        5,00 Ib1 + 5,20 Ib2 = 20
Er zijn nu twee vergelijkingen waar uit een van de onbekenden opgelost kan worden:
        5,25 Ib1 + 5,0 Ib2 = 21 |*5,2| 27,3Ib1 + 26,0Ib2 = 109,2
        5,00 Ib1 + 5,2 Ib2 = 20 |*5,0| 25,0Ib1 + 26,0Ib2 = 100,0 –
        2,3Ib1 = 9,2
        Ib1 = 9,2 / 2,3 = 4A
                                            79
Voor de stroom door de tweede voedingsbron geldt dan:
        5,0 Ib1 + 5,2 Ib2 = 20
        Ib2 = (20 - 5,0 Ib1) / 5,2
        Ib2 = (20 - 5,0 * 4) / 5,2 = 0A
Uit de berekende waarden blijkt dat de voedingsbron Ub2 geen stroom levert!
De stroom door de belasting is hiermee:
        Ib = Ib1 + Ib2 = 4,0 + 0,0 = 4,0A
Voor de voedingsbron Ub1 is de klemspanning:
        Uk1 = Ub1 – (Ib1 * Ri1)
        Uk1 = 21 – (4 * 0,25) = 20V
Omdat de voedingsbron Ub2 geen stroom levert is de klemspanning van deze bron gelijk aan
de bronspanning van de bron:
        Uk2 = Ub2 – (Ib2 * Ri2)
        Uk2 = 20 – (0 * 0,2) = 20V
De spanning over de belastingsweerstand Rb is:
        U = Ib * Rb = 4,0 * 5 = 20,0V
Vraagstuk 19
Een autoaccu Uaccu van 12V met een Raccu van 0,0625Ω wordt gevoed door de autodynamo
Udyn van 14V met Rdyn is 0,15Ω. De belasting van de auto-installatie vormt op dat moment een
weerstand van Rb is 6,25Ω.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de stromen Ib, Idyn en Iaccu.
c) Bereken de spanningen over de verschillende weerstanden.
d) Bereken de klemspanningen van de twee spanningsbronnen.
Door ruimtegebrek blijft de tekening van de schakeling bij dit vraagstuk achterwege. De:
dynamo, accu en belasting zijn parallel geschakeld. We stellen voor een punt p in het netwerk
een stroomvergelijking op:
        ΣIp = 0A
        Ib + (-Iaccu) + (-Idyn) = 0
        Ib = Iaccu + Idyn
Voor zowel de maas door de dynamo, als de maas door de accu stellen we een
spanningsvergelijking op:
        ΣUpp = 0V
        Ub + (-Udyn) + Urdyn = 0
        Ub + (-Uaccu) + Uraccu = 0
De vergelijkingen worden verder uitgewerkt en voorzien van de gegeven waarden:
        Ub + Urdyn = Udyn
        Ib * Rb + Idyn * Rdyn = Udyn
        (Iaccu + Idyn) * Rb + Idyn * Rdyn = Udyn
        Iaccu * Rb + Idyn * Rb + Idyn * Rdyn = Udyn
        6,25 Iaccu + (6,25 + 0,15) Idyn = 14

        Ub + Uraccu = Uaccu
        Ib * Rb + Iaccu * Raccu = Uaccu
        (Iaccu + Idyn) * Rb + Iaccu * Raccu = Uaccu
        Iaccu * Rb + Idyn * Rb + Iaccu * Raccu = Uaccu
        (6,25 + 0,0625) Iaccu + 6,25 Idyn = 12
Uit de twee vergelijkingen lossen we een van de onbekenden op:
        6,2500Iaccu + 6,40Idyn =14 |*6,25| 39,0625Iaccu+40Idyn =87,5
        6,3125Iaccu + 6,25Idyn =12 |*6,40| 40,4000Iaccu+40Idyn =76,8 -
                                             80
        -1,3375 Iaccu = 10,7
        Iaccu = 10,7 / -1,3375 = -8A
We lossen de overige onbekenden op:
        6,2500Iaccu + 6,40Idyn =14
        Idyn =14 – (6,2500Iaccu) / 6,40
        Idyn =14 – (6,2500 * -8) / 6,40 = 10A
        Ib = Iaccu + Idyn = -8 + 10 = 2A
De negatieve waarde van de stroom door de accu betekent dat de dynamo energie levert aan
de accu. De klemspanning van de accu zal om deze reden hoger zijn dan de bronspanning van
de accu. We berekenen nu achtereenvolgens de spanning over de inwendige weerstand van de
dynamo en de spanning over de inwendige weerstand van de accu, alsmede de spanning over
de belasting:
        Urdyn = Idyn * Rdyn = 10 * 0,15 = 1,5V
        Uraccu = Iaccu * Raccu = -8 * 0,0625 = -0,5V
        Urb = Ib * Rb = 2 * 6,25 = 12,5V
De klemspanning van zowel de dynamo als de accu zijn nu snel te vinden:
        Ukdyn = Udyn - Urdyn = 14 – 1,5 = 12,5V
        Ukaccu = Uaccu - Uraccu = 12 – (-0,5) = 12,5V
Vraagstuk 20
Voor het goed functioneren van een schakeling is het noodzakelijk dat de spanning aan die
klemmen minimaal 85V bedraagt. De weerstand van de belastingsschakeling bedraagt 15Ω.
We hebben de beschikking over twee niet-ideale spanningsbronnen. De bronspanningen zijn
Ub1 is 110V en Ub2 is 100V. Van beide is de inwendige weerstand onbekend. Als de belasting
aangesloten wordt op een Ub1 dan is Urb=82,5V en wordt deze aangesloten op Ub2 dan is de
spanning Urb=75V.
a) Bereken de inwendige weerstanden Ri1 en Ri2.
b) Bereken alle voorkomende stromen.
c) Bereken de spanning over de belasting.
d) Teken de schakeling waarbij aan het gestelde doel wordt beantwoord.
e) Bereken de klemspanningen van de beide spanningsbronnen in de getekende schakeling.
De stroom die vloeit, wanneer de belasting achtereenvolgens op beider spanningsbronnen
aangesloten wordt, is:
        Ib = Ub / Rb = 82,5 / 15 = 5,5A
        Ib = Ub / Rb = 75 / 15 = 5A
Om de inwendige weerstand van de twee voedingsbronnen te vinden stellen we voor de beide
situaties een spanningsvergelijking op, voor een punt p in de schakeling:
        ΣUpp = 0V
        Ub + (-Ub1) + Uri1 = 0
        Uri1 = Ub1 – Ub
        Ri1 = (Ub1 – Ub) / Ib
        Ri1 = 110 – 82,5 / 5,5 = 5Ω
        ΣUpp = 0V
        Ub + (-Ub2) + Uri2 = 0
        Uri2 = Ub2 – Ub
        Ri2 = (Ub2 – Ub) / Ib
        Ri2 = 100 – 75 / 5 = 5Ω
Om de gewenste voedingsspanning te kunnen leveren maken we een parallel schakeling van:
de weerstand, Ub1 en Ub2. We berekenen op de gebruikelijke wijze de stromen die door het
netwerk vloeien:
        ΣIp = 0A
                                            81
       Ib + (-Ib1) + (-Ib2) = 0
       Ib = Ib1 + Ib2

       ΣUpp = 0V
       Ub + (-Ub1) + Uri1 = 0
       Ib * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
       (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib1 * Ri1 = Ub1
       Ib1 * Rb + Ib1 * Ri1 + Ib2 * Rb = Ub1
       20 Ib1 + 15 Ib2 = 110

       ΣUpp = 0V
       Ub + (-Ub2) + Uri2 = 0
       Ib * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       (Ib1 + Ib2) * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       Ib1 * Rb + Ib2 * Rb + Ib2 * Ri2 = Ub2
       15 Ib1 + 20 Ib2 = 100

       20 Ib1 + 15 Ib2 = 110 |*3| 60 Ib1 + 45 Ib2 = 330
       15 Ib1 + 20 Ib2 = 100 |*4| 60 Ib1 + 80 Ib2 = 400 -
       -35 Ib2 = -70
       Ib2 = -70 / -35 = 2A

       20 Ib1 + 15 Ib2 = 110
       Ib1 = 110 – (15 * 2) / 20
       Ib1 = 80 / 20 = 4A

       Ib = Ib1 + Ib2 = 4 + 2 = 6A
De spanning over de belasting is nu te berekenen:
       Urb = Ib * Rb = 6 * 15 = 90V
Door ruimtegebrek laten we de tekening van de schakeling achterwege. De klemspanning van
de bronnen is gelijk aan de spanning over de belasting. We kunnen de klemspanning als volgt
berekenen:
       Uk1 = Ub1 – (Ib1 * Ri1)
       Uk1 = 110 – (4 * 5) = 90V

       Uk2 = Ub2 – (Ib2 * Ri2)
       Uk2 = 100 – (2 * 5) = 90V
5 Wisselspanningen en wisselstromen
Inleiding
In de praktijk komen veel soorten van spanning en stroom voor. Een belangrijk onderscheid
dat gemaakt kan worden tussen deze verschillende soorten is het verschil tussen enerzijds;
gelijkspanning en gelijkstroom en anderzijds; wisselspanning, en wisselstroom. In dit
hoofdstuk zullen de verschillen tussen de soorten spanning en stroom belicht worden Tevens
zullen de eigenschappen van de verschillende soorten spanning en stroom, in dit hoofdstuk,
behandeld worden.
5.1 Gelijkspanning en gelijkstroom
De definitie van een gelijkspanning luidt:
        Een gelijkspanning is een spanning die gedurende de tijd niet van richting verandert.
Een gelijkspanning die, gedurende de tijd, niet van grootte verandert noemen we een
constante gelijkspanning. Alle overige vormen van gelijkspanningen zijn veranderlijke
                                              82
gelijkspanningen. De onderstaande grafieken laten een grafische weergave van deze twee
spanningen zien.




              Grafiek van een constante gelijkspanning en een grafiek van een
                                 veranderlijke gelijkspanning
Veel veranderlijke gelijkspanningen vertonen gedurende de tijd een zich herhalend patroon.
Men spreekt in dit geval van een periodiciteit van de spanning. De onderstaande grafieken
laten spanningen zien met een cyclisch verloop van de grootte van de spanning.




                            Drie voorbeelden van blokspanningen
Naast blokspanningen bestaan er nog veel meer spanningsvormen met een periodiek verloop.
De volgende grafieken laten nog enige voorbeelden zien van veel voorkomende vormen van
veranderlijke gelijkspanningen.




           Grafiek van: een driehoek-, een zaagtand- en een sinusvormige-spanning
5.1.1 Periodetijd
Zoals is opgemerkt hebben, in de praktijk veel voorkomende, spanningen een vorm die een
zich herhalend karakter heeft. Vanuit een willekeurig gekozen uitgangspunt doorloopt de
spanning een cyclus en bereikt daarmee een punt dat exact een cyclus verder ligt dan het het
willekeurig gekozen uitgangspunt. De tijd die nodig is om een volledige cyclus te doorlopen
noemt men de periodetijd. Een definitie voor de periodetijd luidt.
        De periodetijd van een spanning wordt bepaald door één volledige cyclus, symbolisch
        voorgesteld door de letter T en uitgedrukt in seconden.
5.1.2 Frequentie
De frequentie van een veranderlijke spanning is het aantal perioden per seconde dat door de
spanning wordt doorlopen. We kunne voor de frequentie de volgende formule definiëren.
        f = 1 / T
Hierin is:
        f de frequentie in Herz (Hz),
        T de periodetijd in seconde (s).
                                             83
5.1.3 Gemiddelde waarde
Om een veranderlijke spanning, qua grootte, te kunnen vergelijken met een andere spanning,
is het nodig om de gemiddelde waarde van de veranderlijke spanning te weten. Om de
gemiddelde waarde te vinden wordt de golfvorm van een veranderlijke spanning gemiddeld.
In een grafische voorstelling van een veranderlijke spanning wordt een oppervlak gevormd
tussen de X-as en de golfvorm. Na het middelen van de golfvorm is het oppervlak dat wordt
ingenomen door de gemiddelde waarde van de spanning gelijk aan het oppervlak dat wordt
ingenomen door de oorspronkelijke veranderlijke spanning. Een definitie van de gemiddelde
waarde luidt.
        De gemiddelde waarde van de spanning wordt bepaald door de algebraïsche som van
        de verschillende oppervlakten gedurende één periode te delen door de periodetijd.
De definitie gesteld in een formule luidt.
        Ugem = (ΣU * t) / T
Hierin is:
        Ugem de gemiddelde waarde van de veranderlijke spanning in Volt (V),
        U de spanning, die gedurende de tijdsduur t constant is, in Volt (V)
        T de periodetijd, waarbinnen de gemiddelde waarde berekend wordt, in seconden (s).
Bij veranderlijke spanningen met een complexe vorm is het opppervlak, wat door de
spanningsvorm wordt begrensd, niet altijd eenvoudig te vinden. In deze gevallen kan de
integraal-rekening een uitkomst bieden. In de appendix is een tabel opgenomen met daarin
een aantal veel voorkomende spanningsvormen. Bij deze spanningsvormen zijn de factoren
voor de gemiddelde waarde en de effectieve waarde van de spanning gegeven.
5.1.4 Effectieve waarde
Om het vermogen te kunnen berekenen, dat een veranderlijke spanning in een element van
een netwerk ontwikkelt, maakt men gebruik van de effectieve waarde van de spanning. De
definitie van de effectieve waarde van een spanning luidt.
        De effectieve waarde van een spanning is die waarde die een constante gelijkspanning
        moet hebben om in hetzelfde element een even groot vermogen te ontwikkelen.
Volgens de definitie mogen we het gemiddeld vermogen van de veranderlijke spanning gelijk
stellen aan het vermogen van een constante gelijkspanning. In formule stellen we aldus.
        Pgem <-> P=
        Pgem = Ueff2 / R <-> P= = U=2 / R
        Ueff2 = Pgem / R
        Pgem = P= = U=2 / R
        Ueff2 = U=2 * R / R
        Ueff2 = U=2
Om de effectieve waarde te kunnen bepalen mogen we het volgende stellen. De effectieve
waarde van een veranderlijke spanning is de wortel uit het kwadraat van de grootte van de
spanning in een constant tijdsdeel. In formule gesteld levert dit.
        Ueff = √((U12)* t1 + (U22)* t2 + (U32)* t3 + ... )
Voorbeeld 5.1
Een pulserende spanning met een maximale waarde van 20V kan grafisch worden voorgesteld
zoals in de figuur is weergegeven. De periodetijd T komt overeen met 40ms.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Teken de U2 van de gegeven spanning U(t).
d) Bereken U2gem de van de grafiek U2(t).
e) Bereken de √(U2gem).


                                             84
f) Geef in een grafiek de niveaus aan van de gemiddelde waarde van de spanning en van de
effectieve waarde van de spanning.
g) Bereken de effectieve waarde van de spanning met de eerder opgestelde formule en
vergelijk de resultaten met elkaar.




                                    Figuur bij voorbeeld 5.1
In de grafiek van de spanning is te zien dat de vorm van de spanning zich herhaalt na een
periodetijd van 40 miliseconde. De frequentie van de spanning wordt hiermee:
        f = 1 / T = 1 / 40.10-3 = 25Hz
De gemiddelde waarde van de spanning is als volgt te berekeken:
        Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
        Ugem = (20 * 30.10-3 + 0 * 10.10-3) / 40.10-3
        Ugem = 600.10-3 / 40.10-3= 15V
De grafiek van het kwadraat van de spanning blijft hier achterwege.
Om de gemiddelde waarde te vinden van het kwadraat van de spanning, volgen we dezelfde
manier van berekenen die eerder in dit voorbeeld toegepast is:
        Ugem2 = (U12 * t1 + U22 * t2) / T
        Ugem2 = (202 * 30.10-3 + 02 * 10.10-3) / 40.10-3
        Ugem2 = 300V
De effectieve waarde van de spanning is de wortel uit het kwadraat van de gemiddelde
spanning. We stellen aldus:
        Ueff = √(Ugem2)
        Ueff = √300 = 17,32V
In de onderstaande figuur is de grafiek van de gemiddelde waarde van de spanning en de
grafiek van de effectieve waarde van de spanning weergegeven.




                  Grafiek van de gemiddelde waarde en de effectieve waarde
Opgave 5.1
Een blokspanning verloopt zoals is aangegeven in de figuur. De tijd t1 is 20ms en de tijd t2 is
30ms.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning.




                                               85
                                     Figuur bij opgave 5.1
We zien in de grafiek dat het periodieke patroon van de veranderlijke spanning zich herhaalt
na t2. De periodetijd van de spanning is daarmee:
        T = t1 + t2 = 20 + 30 = 50ms
De frequentie van de veranderlijke spanning wordt dan:
        f = 1 / T = 1 / 50.10-3 = 20Hz
De gemidelde waarde van de spanning kan in dit geval berekend worden door de gemiddelde
waarde van één periode van de spanning te bepalen:
        Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
        Ugem = (60 * 20.10-3 + 0 * 30.10-3) / 50.10-3
        Ugem = 1200.10-3 / 50.10-3= 24V
De effectieve waarde van de veranderlijke spanning wordt op een eerder gebruikte wijze
gevonden:
        Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2) / T)
        Ueff = √((602 * 20.10-3 + 02 * 30.10-3) / 50.10-3)
        Ueff = √(72000.10-3 / 50.10-3)
        Ueff = √1440
        Ueff = 37,95V
Opgave 5.2
Een veranderlijke gelijkspanning verloopt zoals getekend is in de figuur. De spanningsniveaus
zijn 18V, 9V en 0V.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning.




                                     Figuur bij opgave 5.2
De grafiek laat zien dat het patroon van de spanningsvorm zich herhaalt na 30 microseconde.
De frequentie wordt hiermee:
       f = 1 / T = 1 / 30.10-6 = 33,33kHz
De gemiddelde waarde van de spanning is in dit geval:
       Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2 + U3 * t3) / T
       Ugem = (18 * 10.10-6 + 9 * 10.10-6 + 0 * 10.10-6) / 30.10-6
       Ugem = 270.10-6 / 30.10-6= 9V
De effectieve waarde van de spanning is in dit geval:
       Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2 + U32 * t3) / T)

                                             86
       Ueff = √((182*10.10-6 + 92*10.10-6 + 02*10.10-6) / 30.10-6)
       Ueff = √(4050.10-6 / 30.10-6)
       Ueff = √135
       Ueff = 11,62V
Opgave 5.3
Van een blokspanning is bekend dat de maximale waarde gedurende 1/5 van de periodetijd
aanwezig is en gedurende 4/5 van de periode 0V is. De maximale waarde van de spanning is
30V en de frequentie is 125Hz. De spanning wordt aangesloten op een weerstand van 1kΩ.
a) Teken de spanning U(t) voor een tijd van drie perioden.
b) Bereken de periodetijd en de hoog/laag-tijd.
c) Teken in dezelfde grafiek de stroom I(t).
d) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
e) Bereken de effectieve waarde van de spanning.
f) Bereken de gemiddelde waarde van de stroom.
g) Bereken de effectieve waarde van de stroom.
h) Bereken het ontwikkelde vermogen in de weerstand.
i) Bereken de ontwikkelde arbeid in de weerstand gedurende drie perioden.




                                     Figuur bij opgave 5.3
In de bovenstaande figuur is de grafische voorstelling van de blokspanning, gedurende drie
perioden, weergegeven. De periodetijd volgt uit de frequentie, volgens:
        T = 1 / f = 1 / 125 = 8.10-3s
De hoogtijd, respectievelijk de laagtijd, van de spanning wordt hiermee:
        th = 1 / 5 * T = 1 * 8.10-3 / 5 = 1,6.10-3s
        tl = 4 / 5 * T = 4 * 8.10-3 / 5 = 6,4.10-3s
Gedurende de hoogtijd van de blokspanning loopt door de weerstand een stroom ter grootte
van:
        I = U / R = 30 / 1000 = 0,03A
In de bovenstaande figuur is zowel een grafische voorstelling van de blokspanning getekend
alsmede een voorstelling van de stroom die onder invloed van de spanning door de weerstand
vloeit. De schaalverdeling van de X-as voor zowel de spanning als de stroom is zo gekozen;
dat de grafische weergave van de beide functies in dit geval exact gelijk zijn.
De gemiddelde waarde van de spanning wordt op de gebruikelijke wijze berekend:
        Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
        Ugem = (30 * 1,6.10-3 + 0 * 6,4.10-3) / 8.10-3
        Ugem = 48.10-3 / 8.10-3= 6V
De effectieve waarde van de spanning is dan:
        Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2) / T)
        Ueff = √((302 * 1,6.10-3 + 02 * 6,4.10-3) / 8.10-3)
        Ueff = √(1,44 / 8.10-3)
        Ueff = √180

                                            87
       Ueff = 13,42V
Zoals de gemiddelde waarde van de spanning is gevonden wordt ook de gemiddelde waarde
van de stroom gevonden:
       Igem = (I1 * t1 + I2 * t2) / T
       Igem = (0,03 * 1,6.10-3 + 0 * 6,4.10-3) / 8.10-3
       Igem = 0,048.10-3 / 8.10-3= 0,006A
De effectieve waarde van de stroom is dan:
       Ieff = √((I2 * t1 + I2 * t2) / T)
       Ieff = √((0,032 * 1,6.10-3 + 02 * 6,4.10-3) / 8.10-3)
       Ieff = √(1,44.10-6 / 8.10-3)
       Ieff = √0,18.10-3
       Ieff = 0,01342A
Het ontwikkelde vermogen in de weerstand berekenen we met behulp van de effectieve
waarde van de spanning:
       P = Ueff2 / R = 13,422 / 1000 = 180,1mW
Voor het berekenen van het vermogen in de weerstand kan ook de effectieve waarde van de
stroom gebruikt worden, als volgt:
       P = Ieff2 * R = (13,42.10-3)2 * 1000 = 180,1mW
De in de weerstand verrichte arbeid gedurende drie perioden is:
       W = P * t = 180,1.10-3 * (3 * 8.10-3) = 4,32mJ
Opgave 5.4
Een spanningsbron levert een pulsspanning met een maximale waarde van 40V en een
frequentie van 2000Hz. De puls is gedurende 1/10 T hoog. Deze spanningsbron wordt
aangesloten op een weerstand van 20kΩ.
a) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
b) Bereken de effectieve waarde van de spanning.
c) Bereken de maximale stroom die in het netwerk kan gaan lopen.
d) Bereken de gemiddelde stroom in het netwerk, op twee manieren.
e) Bereken de effectieve stroom in het netwerk, op twee manieren.
f) Bereken de ontwikkelde arbeid gedurende één periode.
g) Bereken het ontwikkelde vermogen in de weerstand.
De periodetijd bedraagt, met de gegeven frequentie van de pulsspanning:
       T = 1 / f = 1 / 2000 = 500μs
Van de periodetijd is de spanning een tiende van de tijd hoog, de hoogtijd bedraagt dus:
       th = 0,1 * T = 0,1 * 500.10-6 = 50μs
Nu kan de grootte van de gemiddelde waarde van de pulsspanning bepaald worden:
       Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
       Ugem = (40 * 50.10-6 + 0 * 450.10-6) / 500.10-6
       Ugem = 2000.10-6 / 500.10-6= 4V
Vervolgens bepalen we de effectieve waarde van de pulsspanning;
       Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2) / T)
       Ueff = √((402 * 50.10-6 + 02 * 450.10-6) / 500.10-6)
       Ueff = √(80000.10-6 / 450.10-6)
       Ueff = √177,78
       Ueff = 13,33V
De maximale stroom loopt tijdens de hoogtijd van de pulsspanning; de grootte van de stroom
bedraagt, gedurende die tijd:
       I = U / R = 40 / 20.103 = 2mA
De grootte van de gemiddelde stroom, in het netwerk, berekenen we eerst op de eerder
toegepaste wijze:
                                            88
        Igem = (I1 * t1 + I2 * t2) / T
        Igem = (2.10-3 * 50.10-6 + 0 * 450.10-6) / 500.10-6
        Igem = 0,1.10-6 / 500.10-6= 0,2mA
Een tweede manier om de grootte van de gemiddelde stroom te berekenen, is door gebruik te
maken van de eerder berekende gemiddelde spanning:
        Igem = Ugem / R = 4 / 20.103 = 0,2mA
De grootte van de effectieve stroom, in het netwerk, berekenen we eveneens op de eerder
toegepaste wijze:
        Ieff = √((I2 * t1 + I2 * t2) / T)
        Ieff = √(((2.10-3)2 * 50.10-6 + (0)2 * 450.10-6) / 500.10-6)
        Ieff = √(0,2.10-9 / 500.10-6)
        Ieff = √0,4.10-6
        Ieff = 632,5μA
Door gebruik te maken van de berekende waarde van de effectieve spanning berekenen we de
grootte van de effectieve stroom op de volgende manier:
        Ieff = Ueff / R = 13,33 / 20.103 = 666,5μA
De in de weerstand verrichte arbeid is het produkt van het vermogen en de tijd. We berekenen
eerst de grootte van het vermogen, op twee manieren, om vervolgens de verrichte arbeid,
gedurende één periode te bepalen:
        P = (Ueff)2 / R = (13,33)2 / 20.103 = 8,88mW
        P = (Ieff)2 * R = (666,5.10-6)2 * 20.103 = 8,88mW
        W = P * t = 8,88.10-3 * 500.10-6 = 4,44μJ
5.2 Wisselspanning en wisselstroom
Een spanning die, gedurende de tijd, van richting veranderd noemt men een wisselspanning.
Bij een dergelijke richtingsverandering van de spanning is er sprake van een polariteits-
wisseling, die gepaard gaat met het van richting veranderen van de vloeiende stroom in het
netwerk. Bij een periodieke wisselspanning is er een regelmaat in het wisselen van de
polariteit. Voorts spreekt men van een zuivere wisselspanning wanneer het oppervlak van de
positieve helften van de wisselspanning exact gelijk is aan het oppervlak van de negatieve
helften van de wisselspanning.
Voorbeeld 5.2
Een periodieke wisselspanning wordt grafisch voorgesteld in de figuur. De periodetijd is
40ms.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de wisselspanning.
c) Teken de grafische voorstelling van u2(t).
d) Bereken de gemiddelde waarde voor de grafiek u2(t).
e) Bereken de waarde √(U2gem).
f) Bereken de effectieve waarde van de wisselspanning met de eerder opgestelde formule.




                                             89
                                   Figuur bij voorbeeld 5.2
Met de gegeven periodetijd is de frequentie van de spanning:
       f = 1 / T = 1 / 40.10-3 = 25Hz
De gemiddelde waarde van de spanning wordt over één periode als volgt berekend:
       Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
       Ugem = (40 * 20.10-3 + -20 * 20.10-3) / 40.10-3
       Ugem = 400.10-3 / 40.10-3= 10V
We laten de grafische wergave van de functie u2(t) achterwege, maar berekenen de extreme
waarden:
       Uk12 = U12 = 402 = 1600V
       Uk22 = U22 = -202 = 400V
De gemiddelde warde van de functie u2(t) wordt dan:
       Ugem2 = (Uk1 * t1 + Uk2 * t2) / T
       Ugem2 = (1600 * 20.10-3 + 400 * 20.10-3) / 40.10-3
       Ugem2 = 40000.10-3 / 40.10-3= 1000V
De wortel uit Ugem2 is de effectieve waarde van de spanning, dus:
       Ueff = √(Ugem2) = √(1000) = 31,62V
De hierboven getoonde berekening laat een stapsgewijs gebruik zien, van de eerder opgestelde
formule om de effectieve waarde van een wisselspanning te berekenen.
Opgave 5.5
Een wisselspanning wordt in de figuur grafisch voorgesteld.
a) Bereken de frequentie van de wisselspanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de wisselspanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de wisselspanning.




                                    Figuur bij opgave 5.5
De grootte van de frequentie van de wisselspanning volgt uit de periodetijd:
                                              90
       f = 1 / T = 1 / 20.10-3 = 50Hz
De gemiddelde waarde van de wisselspanning is:
       Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
       Ugem = (10 * 5.10-3 + -10 * 15.10-3) / 20.10-3
       Ugem = -100.10-3 / 20.10-3= -5V
De effectieve waarde van de wisselspanning is:
       Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2) / T)
       Ueff = √((102 * 5.10-3 + -102 * 15.10-3) / 20.10-3)
       Ueff = √(2000.10-3 / 20.10-3)
       Ueff = √100
       Ueff = 10V
Opgave 5.6
Een zuiver periodieke wisselspanning heeft een maximale waarde van +10V en een minimale
waarde van –10V volgens de figuur.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning.




                                    Figuur bij opgave 5.6
De grootte van de frequentie van de wisselspanning is:
       f = 1 / T = 1 / (15.10-6 – 5.10-6) = 1 / 10.10-6 = 100kHz
De gemiddelde waarde van de wisselspanning is:
       Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2) / T
       Ugem = (10 * 5.10-6 + -10 * 5.10-6) / 10.10-6
       Ugem = 0.10-6 / 10.10-6= 0V
De effectieve waarde van de wisselspanning is:
       Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2) / T)
       Ueff = √((102 * 5.10-6 + -102 * 5.10-6) / 10.10-6)
       Ueff = √(1000.10-6 / 10.10-6)
       Ueff = √100
       Ueff = 10V
Opgave 5.7
Een wisselspanning volgens de figuur wordt aangesloten op een weerstand van 390Ω.
a) Bereken de frequentie van de wisselspanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de wisselspanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de wisselspanning.
d) Teken de grafiek I(t).
e) Bereken de gemiddelde stroom in het netwerk, op twee manieren.
f) Bereken de effectieve stroom in het netwerk, op twee manieren.
g) Bereken het door de weerstand opgenomen vermogen.
                                           91
                                     Figuur bij opgave 5.7
In de tekening valt te zien dat we met een periodetijd van 4 miliseconde te doen hebben; de
frequentie van de wisselspanning wordt daarmee:
        f = 1 / T = 1 / 4.10-3 = 250Hz
De gemiddelde waarde van de wisselspanning is:
        Ugem = (U1 * t1 + U2 * t2 + U3 * t3) / T
        Ugem = (5 * 2.10-3 + 10 * 1.10-3 + -10 * 1.10-3) / 4.10-3
        Ugem = 10.10-3 / 4.10-3= 2,5V
De effectieve waarde van de wisselspanning is:
        Ueff = √((U12 * t1 + U22 * t2 + U32 * t3) / T)
        Ueff = √((52*2.10-3 + 102*1.10-3 + -102*1.10-3) / 4.10-3)
        Ueff = √(250.10-3 / 4.10-3)
        Ueff = √62,5
        Ueff = 7,91V
We laten de grafiek van de functie I(t) achterwege, maar berekenen de extreme waarden van
de stroom:
        I1 = U1 / R = 5 / 390 = 12,821mA
        I2 = U2 / R = 10 / 390 = 25,641mA
        I3 = U3 / R = -10 / 390 = -25,641mA
De gemiddelde waarde van de stroom in het netwerk is:
        Igem = (I1 * t1 + I2 * t2 + I3 * t3) / T
        Igem = ((12,821 * 2 + 25,641 *1 + -25,641 * 1) / 4).10-3
        Igem = 0,048 / 4 = 6,41mA
Een tweede manier om de grootte van de gemiddelde waarde van de wisselspanning te vinden
is de volgende. We berekenen het quotiënt van de gemiddelde waarde van de wisselspnning
en de weerstandswaarde. Dit levert de gemiddelde stroom in het netwerk:
        Igem = Ugem / R = 2,5 / 390 = 6,41mA
De effectieve waarde van de wisselspanning is:
        I12 = (12,821.10-3)2 = 164,378.10-6
        I12 * t1 = 164,378.10-6 * 2.10-3 = 328,756.10-9
        I22 = (25,641.10-3)2 = 657,461.10-6
        I22 * t2 = 657,461.10-6 * 1.10-3 = 657,461.10-9
        I32 = (-25,641.10-3)2 = 657,461.10-6
        I32 * t3 = 657,461.10-6 * 1.10-3 = 657,461.10-9

       Ieff   =   √((I12 * t1 + I22 * t2 + I32 * t3) / T)
       Ieff   =   √((328,756.10-9+657,461.10-9+657,461.10-9) / 4.10-3)
       Ieff   =   √(410,920.10-6)
       Ieff   =   20,271mA
                                            92
Het quotiënt van de effectieve waarde van de wisselspanning en de weerstandswaarde is de
grootte van de effectieve stroom in het netwerk:
        Ieff = Ueff / R = 7,91 / 390 = 20,28mA
Het in de weerstand opgenomen vermogen is zowel met de effectieve spanning als met de
effectieve stroom te berekenen. We laten de beide manieren zien:
        P = (Ueff)2 / R = (7,91)2 / 390 = 160,43mW
        P = (Ieff)2 * R = (20,28.10-3)2 * 390 = 160,40mW
5.3 Sinusvormige wisselspanningen en wisselstromen
Een veel voorkomende zuivere periodieke wisselspanning is de sinusvormige wisselspanning.
Voor de energievoorziening wordt bijvoorbeeld een sinusvormige wisselspanning opgewekt.
Een wisselspanning wordt symbolisch voorgesteld door een kleine letter u. Een
wisselspanning kan grafisch voorgesteld worden door gebruik te maken van een vector. De
lengte van de vector is een maat voor de grootte van de wisselspanning. De vector roteert met
een zekere snelheid, die de hoeksnelheid genoemd wordt. De snelheid waarmee de vector
roteert is een maat voor de frequentie van de wisselspanning. Tijdens de rotatie van de vector
is de grootte van de wisselspanning veranderlijk. We spreken van de momentele waarde van
een wisselspanning voor de grootte van de spanning op een bepaald tijdstip. In de
onderstaande figuur is een grafische weergave te zien van een vector die een sinusvormige
wisselspanning voorstelt. In de tekening is te zien dat de momentele waarde de projectie is
van de vector op de verticale as.




                          Een vector voorstelling van een wisselspanning
Voor de momentele waarde van een wisselspanning geldt de volgende fomule.
        u(t) = û sin(ω * t + α)
Hierin is:
        u(t) de momentele waarde van de wisselspanning in Volt (V),
        û de grootte van de vector voorstelling van de wisselspanning in Volt (V),
        ω de hoeksnelheid van de vector in radialen per seconde (rad/s),
        t de tijd in seconde (s),
        α de fasehoek op tijdstip t0 in radialen (rad).
5.3.1 Periodetijd
Voor de grootte van de periodetijd van een wisselspanning geldt dezelfde definitie als die is
gegeven voor de grootte van de periodetijd van een periodiek veranderlijke gelijkspanning. De
periodetijd van een wisselspanning wordt bepaald door de duur, die een wisselspanning nodig

                                              93
heeft, om één cyclus te volbrengen. De periodetijd wordt symbolisch voorgesteld door de
letter T en wordt uitgedrukt in de eenheid seconde.
5.3.2 Frequentie
Ook hier geldt voor de grootte van de frequentie van een wisselspanning dezelfde definitie als
die is gegeven voor de grootte van de frequentie van een periodiek veranderlijke
gelijkspanning. De frequentie wordt symbolisch voorgesteld door de letter f en wordt
uitgedrukt in de eenheid Herz. De frequentie is met de volgende formule uit de periodetijd af
te leiden.
        f = 1 / T
Hierin is:
        f de frequentie in Herz (Hz),
        T de periodetijd in seconde (s).
5.3.3 Hoeksnelheid
We hebben gezien dat een wisselspanning kan worden voorgesteld door een roterende vector.
De grootte van de eenparige snelheid van de vector noemt men de hoeksnelheid, of
cirkelfrequentie. Het mag duidelijk zijn dat de grootte van de hoeksnelheid afhankelijk is van
de grootte van de frequentie van de wisselspanning. Tussen de hoeksnelheid en de frequentie
bestaat het volgende verband.
        ω = 2 * π * f = 2 * π / T
Hierin is:
        ω de hoeksnelheid in radialen per seconde (rad/s),
        f de frequntie in Herz (Hz),
        T de periodetijd in seconde (s).
5.3.4 Fasehoek
Het begrip fasehoek wordt op twee manieren gebruikt. Enerzijds is de fasehoek de hoek die
een roterende vector bij aanvang maakt met de horizontale as, in de tekening. In de tekening
van een vector voorstelling is de fasehoek nul. Anderzijds is de grootte van de fasehoek
afhankelijk van de hoek die de roterende vector gedurende de tijd maakt.
5.3.5 Amplitude
Een wisselspanning is op te vatten als een trilling. Zoals bij een zich bewegende slinger
spreekt men bij een wisselspanning over de uitwijking, of amplitude van de spanning. Bij een
zuivere wisselspanning is de positieve uitwijking gelijk aan de negatieve uitwijking. De
grootte van de afstand tussen de minimale waarde en de maximale waarde van de
wisselspanning noemt men de top-top waarde van de spanning, symbolisch voorgesteld door
de letters utt. Voor een zuivere wisselspanning gelden de volgende formules.
        ûpositief = -ûnegatief (ûnegatief < 0)
        utt = ûpositief - ûnegatief
5.3.6 Gemiddelde waarde
De grootte van de gemiddelde waarde van een zuivere wisselspanning is gelijk aan nul. In een
tabel van de appendix zijn voor een aantal voorkomende wisselspanningen de gemiddelde
waarden te vinden.
5.3.7 Effectieve waarde
Voor de grootte van de effectieve waarde van een wisselspanning geldt dezelfde definitie als
die voor de grootte van de effectieve waarde van een periodiek veranderlijke gelijkspanning.
In een tabel van de appendix zijn voor een aantal voorkomende wisselspanningen de
effectieve waarden te vinden.
5.4 Schakelen van wisselspannings- en wisselstroombronnen
Om in een grotere energiebehoefte, die door een energiebron geleverd kan worden, te
voorzien is het mogelijk om meerdere wisselspanningsbronnen in serie te schakelen. En door

                                              94
het parallel schakelen van wisselstroombronnen is het ook mogelijk om te voorzien in een
energiebehoefte, die door een enkele bron niet geleverd kan worden.
5.4.1 In serie schakelen van wisselspanningbronnen
Het volgende voorbeeld geeft een rekenvoorbeeld van twee in serie geschakelde
wisselspanningsbronnen.
Voorbeeld 5.3
Twee wisselspanningsbronnen worden in serie geschakeld. De spanningen kunnen worden
voorgesteld door de wiskundige formules:
        u1(t) = 10 sin (ω t + 0)V
        u2(t) = 12 sin (ω t + (π/3))V
a) Teken van de beide spanningen u1en u2 de grafische voorstelling in één assenstelsel.
b) Teken de somspanning us van de spanningen u1en u2 in het assenstelsel.
c) Teken één vectordiagram waarin de spanningen u1en u2 zijn aangegeven.
d) Teken de somspanning us van de spanningen u1en u2.
e) Bereken de somspanning us van de spanningen u1en u2.




                         Grafische voorstelling van de spanningen




                           Vectorvoorstelling van de spanningen
De grootte van de somspanning is als volgt te berekenen. Eerst worden de spanningen u1 en u2
ontbonden in de bijbehorende x- en y-componenten:
      u1,x = 10V
                                             95
       u1,y = 0V
       u2,x = 12 * cos(60) = 12 * 0.500 = 6.00V
       u2,y = 12 * sin(60) = 12 * 0.866 = 10.39V
De grootte van de x- en y-component van de somspanning berekenen we door de som te
bepalen van de x- en y-componenten van de spanningen u1 en u2:
       us,x = u1,x + u2,x = 10 + 6 = 16V
       us,y = u1,y + u2,y = 0 + 10.39 = 10.39V
De hoek die de somspanning maakt met de X-as berekenen we als volgt:
       tan(αs) = us,y / us,x
       αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(10.39 / 16)
       αs = 33o
De grootte (modus) van de somspanning is met behulp van de stelling van Pythagoras te
berekenen:
       us2 = us,x2 + us,y2
       us = √(us,x2 + us,y2)
       us = √(162 + 10.392) = 19.1V
Opgave 5.8
Twee wisselspanningsbronnen worden in serie geschakeld. Van de spanningsbronnen is het
volgende gegeven:
       u1(t) = 15 sin (ω t + (π/6))V
       u2(t) = 15 sin (ω t + (π/2))V
a) Teken het vectordiagram voor de spanningen u1en u2.
b) Bepaal de somspanning us voor de spanningen u1en u2 grafisch.
c) Bepaal de hoek die de somvector maakt met de X-as.
d) Bereken de waarden op de X-as en de Y-as van de projectie voor de spanningen u1en u2.
e) Bereken de waarde op de X-as en de Y-as van de somvector us.
f) Bereken de modulus van de somvector us.
g) Bereken de hoek die de somvector us maakt met de positieve X-as.




                                   Figuur bij opgave 5.8
De projecties van de spanningen op de X- en Y-as zijn:
       u1,x = 15 * cos(30) = 12.99
       u1,y = 15 * sin(30) = 7.50
       u2,x = 15 * cos(90) = 0
       u2,y = 15 * sin(90) = 15
De projectie van de somspanning op de X- en de Y-as is hiermee:
       us,x = u1,x + u2,x = 12.99 + 0 = 12.99V
       us,y = u1,y + u2,y = 7.5 + 15 = 22.50V
De modulus van de somspanning wordt dan:
                                            96
       us2 = us,x2 + us,y2
       us = √(us,x2 + us,y2)
       us = √(12.992 + 22.502) = 25.98V
De hoek die de somspanning maakt met de X-as is:
       tan(αs) = us,y / us,x
       αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(22.5 / 12.99)
       αs = 60o
Opgave 5.9
Drie wisselspanningsbronnen worden in serie geschakeld. De spanningsbronnen u1, u2 en u3
hebben de volgende eigenschappen:
       u1(t) = 10 sin (ω t + 0)V
       u2(t) = 20 sin (ω t + (π/3))V
       u3(t) = 30 sin (ω t - (π/6))V
a) Teken het vectordiagram voor de spanningen u1, u2 en u3.
b) Bepaal de somspanning us voor de spanningen u1, u2 en u3 grafisch.
c) Bepaal de hoek die de somvector us maakt met de X-as.
d) Bereken de waarden op de X-as en de Y-as van de projectie voor de spanningen u1, u2 en
u3.
e) Bereken de waarde op de X-as en de Y-as van de somvector us.
f) Bereken de modulus van de somvector us.
g) Bereken de hoek die de somvector us maakt met de positieve X-as.




                                   Figuur bij opgave 5.9
We berekenen de projecties op de X- en de Y-as van de spanningen: u1, u2 en u3:
       u1,x = 10 * cos(0) = 10V
       u1,y = 10 * sin(0) = 0V
       u2,x = 20 * cos(60) = 10V
       u2,y = 20 * sin(60) = 10√3V
       u3,x = 30 * cos(-30) = 15√3V
       u3,y = 30 * sin(-30) = -15V
De projectie op de X- en de Y-as van de somspanning volgt uit de bovenstaande waarden:
       us,x = u1,x + u2,x + u3,x = 10 + 10 + 15√3 = 45.98V
       us,y = u1,y + u2,y + u3,y = 0 + 10√3 - 15 = 2.32V
De modulus van de somspanning is:
                                            97
       us2 = us,x2 + us,y2
       us = √(us,x2 + us,y2)
       us = √((45.98)2 + (2.32)2) = 46.04V
De hoek die de somspanning maakt met de positieve X-as bedraagt:
       tan(αs) = us,y / us,x
       αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(2.32 / 45.98)
       αs = 2.89o
Opgave 5.10
Twee wisselspanningsbronnen zijn in serie geschakeld en aangesloten op een weerstand van
2828Ω. Van de wisselspanningsbronnen is verder gegeven:
       u1(t) = 20 sin (ω t + (π/3))V
       u2(t) = 20 sin (ω t - (π/3))V
a) Teken het vectordiagram voor de spanningen u1en u2.
b) Bepaal de verschilspanning uv voor u1- u2 grafisch.
c) Bepaal de hoek die de verschilvector uv maakt met de X-as.
d) Bereken de waarden op de X-as en de Y-as van de projectie voor de spanningen u1en u2.
e) Bereken de waarde op de X-as en de Y-as van de verschilvector uv.
(opmerking: in de tabel geldt nu uv = Σu = u1- u2)
f) Bereken de modulus van de verschilvector uv.
g) Bereken de hoek die de verschilvector uv maakt met de positieve X-as.
h) Bereken de stroom ib die in het netwerk gaat lopen.
i) Bereken de effectieve waarde van de verschilspanning uv.
j) Bereken de effectieve waarde van de stroom ib.
k) Bereken het ontwikkelde vermogen Pgem in de weerstand.




                                  Figuur bij opgave 5.10
De waarden van de projecties op de X- en de Y-as van de spanningen u1en u2 zijn:
      u1,x = 20 * cos(60) = 10V
      u1,y = 20 * sin(60) = 17.32V
      u2,x = 20 * cos(-60) = 10V
      u2,y = 20 * sin(-60) = -17.32V
                                            98
De waarden van de projectie op de X- en de Y-as van de veschilspanning uv wordt dan:
        uv,x = u1,x - u2,x = 10 - 10 = 0V
        uv,y = u1,y - u2,y = 17.32 - (-17.32) = 34.64V
De modulus van de verschilspanning is te bepalen volgens:
        uv2 = us,x2 + us,y2
        uv = √(us,x2 + us,y2)
        uv = √((0)2 + (34.64)2) = 34.64V
De projectie van de verschilspanning op de X-as en de Y-as laat zien dat de spanning bestaat
uit louter een component op de Y-as. De faseverschuiving van de spanning is in dit geval
1/2π, oftewel 90 graden.
Voor de effectieve waarde van een zuivere wisselspanning geldt het volgende:
        ueff = 1/2√2 u
De grootte van de effectieve waarde van de verschilspanning uv is dus:
        Uv,eff = 1/2√2 uv = 1/2√2 * 34.64 = 24.49V
De overige vragen in deze opgave laten we achterwege.
5.4.2 Parallel schakelen van wisselstroombronnen
Naast het in serie schakelen van voedingsbronnen is het ook mogelijk voedingsbronnen
parallel te schakelen; om in een grotere energiebehoefte te voorzien. In het volgende
voorbeeld zien we een parallel schakeling van twee wisselstroombronnen.
Voorbeeld 5.4
Twee wisselstroombronnen worden parallel geschakeld. De stromen hebben de volgende
wiskundige functies:
        i1(t) = 2 sin (ω t + (π/6))A
        i2(t) = 6 sin (ω t + (π/3))A
a) Teken één vectordiagram waarin de stromen i1 en i2 zijn aangegeven.
b) Teken de somstroom is van de stromen i1 en i2.
c) Bereken de somstroom is van de stromen i1 en i2.
d) Bereken de modulus van de somstroom is.
e) Bereken de hoek die is maakt met de X-as.
f) Noteer is(t) als een goniometrische functie.




                                   Figuur bij voorbeeld 5.4
De grootte van de somstroom is te berekenen uit de projecties van de twee stromen op de X-as
en de Y-as. We berekenen deze projecties:
       i1,x = i1 cos(α1) = 2 cos(30) = √3
       i1,y = i1 sin(α1) = 2 sin(30) = 1
       i2,x = i2 cos(α2) = 6 cos(60) = 3
       i2,y = i2 sin(α2) = 6 sin(60) = 3√3
De som van de projecties is de projectie van de somstroom:
                                             99
        is,x = Σix = i1,x + i2,x = √3 + 3A
        is,y = Σiy = i1,y + i2,y = 1 + 3√3 = 1 + √27A
De modulus van de somstroom berekenen we met de gevonden waarden:
        is2 = is,x2 + is,y2
        is = √(is,x2 + is,y2)
        is = √((4.73)2 + (6.20)2) = 7.80A
De hoek die de somstroom maakt met de positieve X-as is:
        tan(αs) = is,y / is,x
        αs = tan-1(is,y / is,x) = tan-1(6.20 / 4.73)
        αs = 52.66o
De goniometrische functie, waarmee de somstroom beschreven kan worden, is:
        is(t)= 7.80 sin(ωt + 52.66)A
Met de fasehoek in radialen luidt de functie:
        α = 52.66 / 360 * (2π) = 0.92rad
        is(t)= 7.80 sin(ωt + 0.92)A
Opgave 5.11
Twee wisselstroombronnen worden parallel geschakeld. De eigenschap van de bronnen wordt
wiskundig weergegeven door:
        i1(t) = 80 sin (ω t + (π/3))mA
        i2(t) = 40 sin (ω t + (π/2))mA
a) Teken één vectordiagram met daarin de stromen i1 en i2.
b) Teken de somstroom is van de stromen i1 en i2.
c) Bereken de somstroom is van de stromen i1 en i2.
d) Bereken de modulus van is.
e) Bereken de hoek die is maakt met de X-as.
f) Noteer is(t) in een goniometrische functie.
Door ruimtegebrek laten we de tekening bij deze opgave achterwege.
Om de somstroom te kunnen berekenen, berekenen we eerst de projecties van de stromen i1 en
i2 op de X-as en de Y-as:
        i1,x = i1 cos(α1) = 80 cos(60) = 40
        i1,y = i1 sin(α1) = 80 sin(60) = 40√3
        i2,x = i2 cos(α2) = 40 cos(90) = 0
        i2,y = i2 sin(α2) = 40 sin(90) = 40
De som van de projecties is de projectie van de somstroom:
        is,x = Σix = i1,x + i2,x = 40 + 0 = 40mA
        is,y = Σiy = i1,y + i2,y = 40√3 + 40 = 109.28mA
De modulus van de somstroom berekenen we met de gevonden waarden:
        is2 = is,x2 + is,y2
        is = √(is,x2 + is,y2)
        is = √((40)2 + (109.28)2) = 116.37mA
De hoek die de somstroom maakt met de positieve X-as is:
        tan(αs) = is,y / is,x
        αs = tan-1(is,y / is,x) = tan-1(109.28 / 40)
        αs = 69.90o
Een goniometrische notatie voor de somstroom is:
        is(t)= 116.37 sin(ωt + 69.9)mA
Met de fasehoek in radialen luidt de functie:
        α = 69.9 / 360 * (2π) = 1.22rad
        is(t)= 116.37 sin(ωt + 1.22)mA
Opgave 5.12
                                           100
Twee wisselstroombronnen zijn parallel geschakeld. De stroom i1(t) = 500 sin (ω t +
(π/2))mA. De somstroom is(t) = 500√3 sin (ω t + (2π/6))mA.
a) Teken één vectordiagram waarin de stromen i1 en is zijn aangegeven.
b) Construeer de stroom i2 vanuit de stromen i1 en is.
c) Bereken de stroom i2 vanuit de stromen i1 en is.
d) Bereken de modulus van i2.
e) Bereken de hoek die i2 maakt met de X-as.
f) Noteer i2(t) in een goniometrische functie.
Door ruimtegebrek blijft de tekening bij deze opgave achterwege.
De projecties van de twee gegeven stromen op de X-as en de Y-as zijn:
        i1,x = i1 cos(α1) = 500 cos(90) = 0
        i1,y = i1 sin(α1) = 500 sin(90) = 500
        is,x = is cos(αs) = 500√3 cos(60) = 250√3
        is,y = is sin(αs) = 500√3 sin(60) = 750
De projecties van de gevraagde stroom zijn als volgt te vinden:
        i2,x = is,x - i1,x = 250√3 – 0 = 433.01mA
        i2,y = is,y - i1,y = 750 - 500 = 250mA
De modulus van de stroom i2 is:
        i22 = i2,x2 + i2,y2
        i2 = √(i2,x2 + i2,y2)
        i2 = √((433.01)2 + (250)2) = 500mA
De hoek die de stroom i2 maakt met de positieve X-as is:
        tan(α2) = i2,y / i2,x
        α2 = tan-1(i2,y / i2,x) = tan-1(250 / 433.01)
        α2 = 30.00o
Het functievoorschrift voor de stroom i2 luidt:
        i2(t)= 500 sin(ωt + 30)mA
Of, met de fasehoek in radialen:
        i2(t)= 500 sin(ωt + π/6)mA
Opgave 5.13
Drie stroombronnen worden parallel geschakeld en verzorgen de stroom door een
belastingsweerstand R van 100Ω. De stroombronnen worden weergegeven als:
        i1(t) = 20 sin (ω t + (π/6))mA
        i2(t) = 20 sin (ω t + (π/3))mA
        i3(t) = 20 sin (ω t + (π/2))mA
a) Teken één vectordiagram waarin de stromen i1, i2 en i3 zijn aangegeven.
b) Teken de somstroom is van de stromen i1, i2 en i3.
c) Bereken de somstroom is van de stromen i1, i2 en i3.
d) Bereken de modulus van is.
e) Bereken de hoek die is maakt met de X-as.
f) Noteer is(t) als een goniometrische functie.
g) Bereken de spanning ûr over de weerstand R.
h) Noteer de goniometrische functie voor de spanning ur(t).
i) Bereken de effectieve waarde van de somstroom is.
j) Bereken de effectieve waarde van de somspanning ur.
k) Bereken het door de weerstand R opgenomen vermogen.
De projecies van de stromen op de X-as en de Y-as zijn:
        i1,x = i1 cos(α1) = 20 cos(30) = 10√3
        i1,y = i1 sin(α1) = 20 sin(30) = 10
        i2,x = i2 cos(α2) = 20 cos(60) = 10
                                             101
        i2,y = i2 sin(α2) = 20 sin(60) = 10√3
        i3,x = i3 cos(α3) = 20 cos(90) = 0
        i3,y = i3 sin(α3) = 20 sin(90) = 20
De som van de projecties vormt de projectie van de somstroom:
        is,x = Σix = i1,x + i2,x + i3,x = 10√3 + 10 + 0 = 27.32mA
        is,y = Σiy = i1,y + i2,y + i3,y = 10 + 10√3 + 20 = 47.32mA
De modulus van is is:
        is = √(is,x2 + is,y2)
        is = √((27.32)2 + (47.32)2) = 54.64mA
De hoek die de somstroom maakt is:
        αs = tan-1(is,y / is,x) = tan-1(47.32 / 27.32)
        αs = 60.00o
De somstroom kan als goniometrische functie beschreven worden volgens:
        i2(t)= 54.64 sin(ωt + 60)mA
De spanning over de weerstand R is:
        ur = ir * R = 54.64.10-3 * 100 = 5.46V
Een goniometrische beschrijving van de spanning luidt:
        ur(t)= 5.46 sin(ωt + π/3)V
De grootte van de effectieve waarde van de spanning is te berekenen volgens:
        ueff = 1/2√2 * ur = 1/2√2 * 5.46 = 3.86V
5.5 Het vermogen in wisselspanningsnetwerken
De relatie tussen een wisselspanningsvermogen en een gelijkspanningsvermogen is
vastgelegd volgens:
        Pgem = Ueff2 / R                        P = = U2 / R
De relatie geldt voor circuits met een ohmse belasting. In deze circuits zijn de spanning en de
stroom in fase met elkaar. Een niet zuiver ohmse belasting zal een faseverschuiving
veroorzaken tussen de spanning en de stoom in het wisselspanningscircuit. Het vermogen
wordt beïnvloedt door de mate van faseverschuiving. In formule gesteld:
        Pgem = ueff * ieff * cos(φ)
Hierin is:
        Pgem het wisselspanningsvermogen in Watt (W);
        ueff de effectieve waarde van de wisselspanning in Volt (V);
        ieff de effectieve waarde van de wisselstroom in Ampère (A);
        φ de fasehoek tussen de spanning en de stroom in graden (o),
        of in radialen per seconde (rad/s).
Vraagstukken
Vraagstuk 1
In de figuren, bij dit vraagstuk, zijn een aantal variërende spanningen weergegeven.
a) Bereken van de spanningen uit de figuur de frequentie.
b) Bereken van de spanningen uit de figuur de gemiddelde waarden.




                                   Figuur A, bij vraagstuk 1
                                              102
De signaalvorm herhaalt zich na een periodetijd van 0,4 microseconden. Dit betekent dat de
frequentie van het signaal is:
       f = 1 / T = 1 / 0,4.10-6 = 2500kHz
De gemiddelde waarde van het signaal wordt, gedurende één periode van het signaal,
berekend:
       ugem = (u1 * t1 + u2 * t2) / T
       ugem = (7,5 * 0,2.10-6 + 15 * 0,2.10-6) / 0,4.10-6
       ugem = 11.25V




                                    Figuur B, bij vraagstuk 1
In de tekening is te zien dat een periode van het signaal begint bij t0 = 2µs en eindigt bij t1 =
6µs. De periodetijd van het signaal wordt aldus:
        T = t1 – t0 = 6 – 2 = 4µs
De grequentie van het signaal volgt nu uit de periodetijd:
        f = 1 / T = 1 / 4.10-6 = 250kHz
De gemiddelde waarde van het signaal berekenen we als volgt:
        ugem = (u1 * t1 + u2 * t2 + u3 * t3 + u4 * t4) / T
        ugem = (4*1.10-6 + 6*1.10-6 + 8*1.10-6 + 6*1.10-6) / 4.10-6
        ugem = 6V




                                   Figuur C, bij vraagstuk 1
De tekening laat zien dat één periode 12 nanoseconden duurt; de frequentie van het signaal
wordt dan:
        f = 1 / T = 1 / 12.10-9 = 83.33MHz
Per definitie is de gemiddelde spanning van een zuivere wisselspanning nul. Het oppervlak
van de positieve helft van de wisselspanning is gelijk aan het oppervlak van de negatieve
helft. De gemiddelde spanning van het signaal is dus:
        ugem = 0V




                                                103
                                   Figuur D, bij vraagstuk 1
Met een periodetijd van 5 miliseconde wordt de frequentie van het signaal:
        f = 1 / T = 1 / 5.10-3 = 200Hz
De gemiddelde waarde van het signaal is volgens de tabel:
        ugem = 2/π * u = 2/π * 10 = 9V
Vraagstuk 2
Tussen de bussen van een wandkontaktdoos in een elektrische installatie wordt een
wisselspanning gemeten van 220V. Op deze wandkontaktdoos wordt een soldeerbout van
180W aangesloten.
a) Bereken de maximale waarde van de spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Bereken de effectieve stroom die er gaat lopen.
d) Bereken de verrichte arbeid als deze soldeerbout 6 uur ingeschakeld blijft.
Bij het meten van de wisselspanning wordt de effectieve waarde van de spanning gemeten.
Voor een zuivere wisselspanning geldt:
        ueff = 1/2√2 * u
        u = 2 * ueff / √2 = 311.13V
We hebben te maken met een zuivere wisselspanning, per definitie is de gemiddelde spanning
van een zuivere wisselspanning nul; dus:
        ugem = 0V
Met het gegeven vermogen en de effectieve waarde van de spanning is de weerstand van de
soldeerbout te berekenen, volgens:
        Pgem = ueff2 / R
        R = ueff2 / Pgem = 2202 / 180 = 268.89Ω
Met dit gegeven is het nu mogelijk de grootte van de effectieve stroom te berekenen:
        Pgem = ieff2 * R
        ieff = √(Pgem / R) = √(180 / 268.89) = 0.818A
De arbeid die gedurende zes uur verricht wordt is:
        W = P * t = 180 * (6 * 3600) = 3.89MJ
In de eenheid kilowattuur is de verrichtte arbeid:
        3.89.106 / (1000 * 3600) = 1.08kWh
Vraagstuk 3
Een stroombron wordt in 10 stappen met een onderling tijdsverschil van 20ns opgeregeld. Na
deze 10 stappen begint de regeling weer van voor af aan. De stroom wordt bij elke stap met
10μA verhoogd.
a) Teken de grafische voorstelling van deze stroom als deze bij t=0ms wordt opgeregeld van 0
naar 10μA.
b) Bereken de frequentie van de regeling.
c) Bereken de maximale stroom die kan worden bereikt.
d) Bereken de gemiddelde waarde van de stroom.
                                            104
e) Bereken de effectieve waarde van de stroom.




                                 Figuur bij vraagstuk 5.3
De frequentie van het signaal is:
       f = 1 / T = 1 / (t1 – t0) = 1 / (220.10-3 – 20.10-3) = 5Hz
De maximale stroom die kan worden bereikt is:
       imax = nstap * istap = 10 * 10 = 100μA
Om de grootte van de gemidddelde stroom te berekenen, gaan we als volgt te werk:
       igem = Σin / T
       in = it * tn
       i0 = 0 * 20.10-3              =    0
       i1 = 10.10-6 * 20.10-3 = 200.10-9
       i2 = 20.10-6 * 20.10-3 = 400.10-9
       i3 = 30.10-6 * 20.10-3 = 600.10-9
       i4 = 40.10-6 * 20.10-3 = 800.10-9
       i5 = 50.10-6 * 20.10-3 = 1000.10-9
       i6 = 60.10-6 * 20.10-3 = 1200.10-9
       i7 = 70.10-6 * 20.10-3 = 1400.10-9
       i8 = 80.10-6 * 20.10-3 = 1600.10-9
       i9 = 90.10-6 * 20.10-3 = 1800.10-9
       i10 = 100.10-6 * 20.10-3 = 2000.10-9 +
       Σin =                              11000.10-9
                            -9            -3
       igem = 11000.10 / 200.10 = 55μA
Om de effectieve waarde van de stroom te berekenen, gaan we als volgt te werk:
       igem = √(Σin / T)
       in = it2 * tn
       i0 = 02 * 20.10-3              = 0
       i1 = (10.10-6)2 * 20.10-3 =                  2.10-12
       i2 = (20.10-6)2 * 20.10-3 =                  8.10-12
                       -6 2           -3
       i3 = (30.10 ) * 20.10 =                    18.10-12
                       -6 2           -3
       i4 = (40.10 ) * 20.10 =                    32.10-12
       i5 = (50.10-6)2 * 20.10-3 =                50.10-12
                       -6 2           -3
       i6 = (60.10 ) * 20.10 =                    72.10-12
       i7 = (70.10-6)2 * 20.10-3 =                98.10-12
                       -6 2           -3
       i8 = (80.10 ) * 20.10 =                   128.10-12
                       -6 2           -3
       i9 = (90.10 ) * 20.10 =                   162.10-12
       i10 = (100.10-6)2 * 20.10-3 =             200.10-12 +
       Σin =                                     770.10-12
       Ieff = √(770.10-12 / 200.10-3) = 62.05μA

                                            105
Vraagstuk 4
In een weerstand wordt gedurende 10 minuten een warmte ontwikkeld van 624kJ. De
weerstand R=5Ω. De spanning die over de weerstand wordt gemeten verloopt zoals in de
figuur is aangegeven.
a) Teken de stroom i(t) die door de weerstand loopt.
b) Bereken het gemiddelde vermogen.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning.
d) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.




                                 Figuur A bij vraagstuk 5.4
Aan de hand van de verrichte arbeid berekenen we het vermogen van de weerstand:
       W = P * t
       P = W / t = 624.103 / (10 * 60) = 1040W
De grootte van de stroom die door de weerstand loopt, tijdens de positieve helft van de
spanning, is:
       P = u * i
       i = P / u = 1040 / 100 = 10.4A
De grootte van de stroom die door de weerstand loopt, tijdens de negatieve helft van de
spanning, is:
       i = P / u = 1040 / -20 = -52A
Met de positieve waarde van de stroom en met de negatieve waarde van de stroom is het
verloop van de stroom in de figuur aan te geven.




                                 Figuur B bij vraagstuk 5.4
Om de grootte van het gemiddeld vermogen te vinden, gaan we als volgt te werk.
Het vermogen tijdens de positieve helft van het signaal is:
       P = u * i = 100 * 10.4 = 1040W
Het vermogen tijdens de negatieve helft van het signaal is:
       P = u * i = -20 * -52 = 1040W
                                             106
Het mag duidelijk zijn dat gedurende een periode van het signaal het gemiddelde vermogen
1040 Watt is.
De gemiddelde waarde van de spanning is:
       ugem = (u1 * t1 + u2 * t2) / T
       ugem = (100 * 10.10-3 + -20 * 10.10-3) / 20.10-3
       ugem = 40V
De effectieve waarde van de spanning is:
       ueff = √((u12 * t1 + u22 * t2) / T)
       ueff = √((1002 * 10.10-3 + -202 * 10.10-3) / 20.10-3)
       ueff = √(100 + 4 / 20.10-3) = √5200
       ueff = 72.11V
Vraagstuk 5
Een spanningsbron levert een spanning volgens de grafiek in de figuur. De bron wordt
aangesloten op een weerstand R van 10kΩ.
a) Bereken de frequentie van de variërende spanning.
b) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning.
d) Teken de stroom als de functie van de spanning I(t)=f(U).
e) Bereken de maximale en minimale stroom in het netwerk.
f) Bereken de gemiddelde waarde van de stroom, op twee manieren.
g) Bereken de effectieve waarde van de stroom, op twee manieren.
h) Teken de grafische voorstelling van het vermogen.
i) Bereken het gemiddelde vermogen in de weerstand.




                                Figuur A, bij vraagstuk 5.5
De frequentie van de spanning bepalen we door vooreerst de duur van één periode van de
spanning te bepalen:
       T = 0.5 – 0.2 = 0.3ms
       f = 1 / T = 1 / 0.3.10-3 = 3333.33Hz
De gemiddelde waarde van de spanning is:
       ugem = (u1 * t1 + u2 * t2) / T
       ugem = (30 * 0.1.10-3 + 10 * 0.2.10-3) / 0.3.10-3
       ugem = 0.005 / 0.003
       ugem = 16.67V
De effectieve waarde van de spanning is:
       ueff = √((u12 * t1 + u22 * t2) / T)
       ueff = √((302 * 0.1.10-3 + 102 * 0.2.10-3) / 0.3.10-3)
       ueff = √(0.11 / 0.3.10-3)
       ueff = 19.15V
Om het verloop van de stroom te kunnen tekenen, beginnen we met het berekenen van de
minimale waarde en de maximale waarde van de stroom in het circuit:
       imax = umax / R = 30 / 10.103 = 3mA
       imin = umin / R = 10 / 10.103 = 1mA
                                            107
De gemiddelde waarde van de stroom is:
       igem = (i1 * t1 + i2 * t2) / T
       igem = (3.10-3 * 0.1.10-3 + 1.10-3 * 0.2.10-3) / 0.3.10-3
       igem = 0.5.10-6 / 0.3.10-3
       igem = 1.67mA
De effectieve waarde van de stroom is:
       ieff = √((i12 * t1 + i22 * t2) / T)
       ieff = √((0.0032 * 0.1.10-3 + 0.0012 * 0.2.10-3) / 0.3.10-3)
       ieff = √(1.10-9 / 0.3.10-3)
       ieff = 1.83mA
Het gemiddelde vermogen dat in de weerstand wordt opgenomen berekenen we als volgt:
       Pmax = umax * imax = 30 * 3.10-3 = 0.09W
       Pmin = umin * imin = 10 * 1.10-3 = 0.01W
       Pgem = (Pmax * t1 + Pmin * t2) / T
       Pgem = (0.09 * 0.1.10-3 + 0.01 * 0.2.10-3) / 0.3.10-3
       Pgem = 11.10-6 / 0.3.10-3
       Pgem = 36.67mW
De volgende figuren laten het verloop zien van de stroom en het vermogen in het circuit.




                                 Figuur B, bij opgave 5.5




                                  Figuur C, bij opgave 5.5
Vraagstuk 6
Een spanningsbron veroorzaakt in een weerstand van 200Ω een stroom die verloopt volgens
de in de figuur weergegeven grafiek. Het gemiddelde vermogen dat wordt ontwikkeld in de
weerstand is 50W.
a) Bereken de stroom i door de weerstand.
b) Bereken de stroom î door de weerstand.
c) Bereken de spanning u door de weerstand.
d) Bereken de spanning û door de weerstand.
e) Bereken de gemiddelde waarde van de spanning.
f) Bereken de ontwikkelde warmte in de weerstand gedurende één periode.

                                           108
g) Bereken de frequentie van de spanningsbron.




                                   Figuur bij vraagstuk 6
Uit de tabel met signaalvormen valt op te maken dat voor een signaal met een puls/pauze-
verhouding van 25% geldt:
        ygem = 1/4 * ymax
        yeff = 1/2 * ymax
We maken, als volgt gebruik, van deze kennis:
        Pgem = ieff2 * R
        ieff = √(Pgem / R) = √(50 / 200) = 0.5A
De maximale waarde van de stroom wordt dan:
        imax = 2 * ieff = 2 * 0.5 = 1A
De grootte van de gemiddelde stroom in het circuit is:
        igem = imax / 4 = 1 / 4 = 0.25A

Met de gegevens van: de gemiddelde stroom, de effectieve stroom en de maximale stroom,
zijn dezelfde waardes voor de spanning te berekenen:
        ugem = igem * R = 0.25 * 200 = 50V
        ueff = ieff * R = 0.5 * 200 = 100V
        umax = imax * R = 1 * 200 = 200V
De duur van één periode van het signaal is 0.4 miliseconde, in deze tijd wordt een warmte
ontwikkeld van:
        W = P * t = 50 * 0.4.10-3 = 0.02J
De waarde van de frequentie van het signaal bedraagt:
        f = 1 / T = 1 / 0.4.10-3 = 2500Hz
Vraagstuk 7
Een spanningsbron levert de spanning volgens de figuur. Op deze bron wordt een weerstand
aangesloten van 2,5kΩ.
a) Bereken de frequentie van de spanning.
b) Bereken de maximale stroom door de weerstand.
c) Bereken de effectieve stroom door de weerstand.
d) Bereken de ontwikkelde warmte in de weerstand gedurende 10 perioden.




                                            109
                                     Figuur bij vraagstuk 7
De duur van een periode van de wisselspanning is 20 miliseconde, de grootte van de
frequentie van de wisselspanning wordt hiermee:
       f = 1 / T = 1 / 20.10-3 = 50Hz
De stroom in het circuit is maximaal wanneer de spanning maximaal is. De grootte van de
maximale stroom die door de weerstand kan lopen is:
       imax = umax / R = 50 / 2.5.103 = 20mA
Om de grootte van de effectieve waarde van de stroom te kunnen vinden, berekenen we eerst
de grootte van de minimale stroom die in het circuit kan lopen:
       imin = umin / R = -25 / 2.5.103 = -10mA
Met de twee gevonden waarden is nu de grootte van de effectieve waarde van de stroom te
vinden:
       ieff = √((imax2 * t1 + imin2 * t2) / T)
       ieff = √((202 * 10 + -102 * 10) / 20)
       ieff = √( 5000 / 20) = 15.81mA
De ontwikkelde warmte in de weerstand, gedurende tien perioden, is de verrichte arbeid
gedurende die tijd. We berekenen eerst het vermogen van de weerstand:
       Pgem = ieff2 * R = (15.81.10-3)2 * 2.5.103 = 624.89mW
Nu is de verrichte arbeid, gedurende tien perioden, te bepalen:
       W = P * t = 624.89.10-3 * (10 * 20.10-3) = 124.98mJ
Vraagstuk 8
Door middel van een ideale diode wordt een sinusvormige wisselspanning met een maximale
waarde van 311V gelijkgericht. In serie met de diode is een weerstand R van 27Ω geschakeld.
a) Teken de spanning die over de weerstand komt te staan.
b) Teken de spanning die over de diode komt te staan.
c) Bereken de gemiddelde spanning die over de weerstand komt te staan.
d) Bereken de effectieve waarde van de spanning over de weerstand.
e) Bereken de warmte die gedurende 30 minuten in de weerstand wordt ontwikkeld.
Tijdens de positieve helft van de sinusvormige wisselspanning zal de stroom in de
doorlaatrichting van de diode stromen; dit betekent dat de spanning tijdens deze periode over
de weerstand staat. Tijdens de negatieve helft van de wisselspanning zal de stroom
geblokkeerd worden door de diode; in dit geval staat de spanning dan over de diode.
Over de weerstand staat volgens het bovenstaande dus de helft van een sinusvormige
wisselspanning. De gemiddelde waarde van een dergelijke signaalvorm is volgens de tabel:
       ugem = 1/π * umax = 1/π * 311 = 98.99V
De effectieve waarde van de spanning over de weerstand is volgens de tabel:
       ueff = 1/2 * umax = 1/2 * 311 = 155.5V
Het vermogen vermogen van de weerstand is:
                                             110
        Pgem = ueff2 / R = 155.52 / 27 = 895.56W
Gedurende dertig minuten is de verrichtte arbeid dan:
        W = P * t = 895.56 * (30 * 60) = 1.612MJ
Vraagstuk 9
Een gloeilamp van 40W wordt aangesloten op een wisselspanning ub=42V.
a) Bereken de stroom door de lamp.
b) Bereken de maximale spanning die over de lamp komt te staan.
c) Bereken de maximale stroom die door de lamp loopt.
d) Teken de grafiek van P(t) voor t=T.
De effectieve waarde van de stroom door de lamp is als volgt te berekenen:
        Pgem = ueff * ieff
        ieff = Pgem / ueff = 40 / 42 = 952.38mA
Om de maximale waarde van de spanning te vinden, mogen we stellen:
        ueff = 1/2√2 * umax
        umax = (2 * ueff) / √2 = (2 * 42) / √2 = 59.40V
Op een analoge wijze berekenen we de maximale waarde van de stroom door de lamp:
        imax = (2 * ieff) / √2 = (2 * 952.38.10-3) / √2 = 1.35A
In het volgende figuur is een grafische weergave van het verloop van het vermogen,
gedurende een periode van de wisselspanning, te zien.




                                  Figuur bij vraagstuk 5.9
Vraagstuk 10
Van spanningsbron u1 kan de spanning worden voorgesteld door
        u1(t) = 6 sin (628 t + (2π/3))V.
Spanningsbron u2 wordt als volgt aangegeven
        u2(t) = 16 sin (628 t + (2π/6))V.
a) Bereken de frequentie van de spanningsbronnen.
b) Bepaal grafisch in het vectordiagram us = u1 + u2.
c) Bereken de X- waarde en de Y-waarde voor u1.
d) Bereken de X-waarde en de Y-waarde voor u2.
e) Bereken de X-waarde en de Y-waarde us = u1 + u2.
f) Bereken de hoek αs die us maakt met de X-as.
g) Welke frequentie heeft us?
In het volgende figuur ziet men de grafische weergave van de vectoren.




                                            111
                                     Figuur bij vraagstuk 5.10
De gegeven hoeksnelheid omega, in radialen per seconde, stelt ons in staat de frequentie, van
de beide spanningsbronnen, te berekenen. We weten dat:
        2π radialen = 360o
De grootte van de hoeksnelheid in het vraagstuk bedraagt 628 rad/s. We berekenen nu het
aantal perioden van de wisselspanning per seconde; wat gedefinieerd wordt als de frequentie
van de wisselspanning:
        f = ω / 2π = 628 / 2π = 100Hz
De projecties van de twee spanning op de X-as en de Y-as zijn:
        u1,x = u1 * cos(120) = 6 * -0.5 = -3V
        u1,y = u1 * sin(120) = 6 * 1/2√3 = 3√3V
        u2,x = u2 * cos(60) = 16 * 0.5 = 8V
        u2,y = u2 * sin(60) = 16 * 1/2√3 = 8√3V
De projectie van de somspanning op de X-as en de Y-as is de som van de projecties van de
twee spanningen u1 en u2:
        us = u1+ u2
        us,x = u1,x + u2,x = -3 + 8 = 5V
        us,y = u1,y + u2,y = 3√3 + 8√3V = 11√3 = 19.05V
De modulus, of maximale waarde van de somspanning is:
        us = √((us,x)2 + (us,y)2) = √((5)2 + (11√3)2) = 19.70V
De hoek die de somspanning maakt met de positieve X-as is:
        αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(19.05 / 5) = 75.29o
De twee wisselspanningen hebben dezelfde frequentie. De somspanning die ontstaat uit de
twee spanningen heeft een zelfde frequentie.
Vraagstuk 11
Twee spanningsbronnen worden in serie geschakeld. De spanningen kunnen als volgt worden
voorgesteld:
        u1(t) = 40 sin (ω t)V,
        u2(t) = 30 sin (ω t - (π/2))V.
a) Teken het bijbehorende vectordiagram.
b) Bereken de somspanning us = u1 + u2.
c) Bereken de hoek αs die de somspanning met de X-as maakt.
d) Bereken uit de reeds opgestelde tabel de verschilspanning uv = u1 - u2.
e) Bereken de hoek αv die de verschilspanning met de X-as maakt.
                                             112
De onderstaande figuur laat het gevraagde vectordiagram zien.




                                     Figuur bij vraagstuk 5.11
De projecties van de spanningen u1 en u2 op de X-as en de Y-as zijn:
       u1,x = u1 cos(0) = 40 * 1 = 40V
       u1,y = u1 sin(0) = 40 * 0 = 0V
       u2,x = u2 cos(-90) = 30 * 0 = 0V
       u2,y = u2 sin(-90) = 30 * 1 = -30V
De projecties van de somspanning us op de X-as en de Y-as wordt hiermee:
       us = u1 + u2
       us,x = u1,x + u2,x = 40 + 0 = 40V
       us,y = u1,y + u2,y = 0 + 30 = -30V
De grootte, of modulus, van de somspanning is dan:
       us = √(us,x2+ us,y2) = √(402 + -302) = 50V
De hoek die de somspanning met de positeive X-as maakt is:
       αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(-30 / 40) = -36.87o
De verschilspanning uv van de twee spanningen u1 en u2 is:
       uv = u1 - u2
       uv,x = u1,x - u2,x = 40 - 0 = 40V
       uv,y = u1,y - u2,y = 0 – (-30) = 30V
De absolute waarde, of modulus, van de verschilspanning is gelijk aan de grootte van de
somspanning; de hoek die de verschilspanning maakt met de positieve X-as verschilt echter,
qua richting, met de hoek die de somspanning maakt. De hoek van de verschilspanning is:
       αv = tan-1(uv,y / uv,x) = tan-1(30 / 40) = 36.87o
Vraagstuk 12
Drie spanningsbronnen worden in serie geschakeld. De spanningen kunnen worden
voorgesteld door:
       u1(t) = 28,2 sin (ω t + (π/2))V,
       u2(t) = 28,2 sin (ω t + (π/6))V,
       u3(t) = 28,2 sin (ω t - (π/6))V.
a) Teken het bijbehorende vectordiagram.
b) Bereken de somspanning us = u1 + u2 + u3.
c) Bereken de hoek αs die de somspanning met de X-as maakt.
d) Bepaal de goniometrische functie van us.
e) Bereken de spanning uv = u1 – (u2 + u3).
f) Bereken de hoek αv die de spanning uv met de X-as maakt.
g) Bepaal de goniometrische functie van uv.
                                            113
Het volgende figuur laat het bevraagde vectordiagram zien.




                                     Figuur bij vraagstuk 5.12
De somspanning van de drie wisselspanningen wordt gevonden middels de projecties van de
drie spanningen op de X-as en de Y-as. De projecties zijn:
        u1,x = u1 cos(90) = 28.2 * 0 = 0V
        u1,y = u1 sin(90) = 28.2 * 1 = 28.2V
        u2,x = u2 cos(30) = 28.2 * 1/2√3 = 24.42V
        u2,y = u2 sin(30) = 28.2 * 0.5 = 14.1V
        u3,x = u3 cos(-30) = 28.2 * 1/2√3 = 24.42V
        u3,y = u3 sin(-30) = 28.2 * -0.5 = -14.1V
De projectie op de X-as en porjectie op de Y-as van de somspanning, wordt gevormd door de
som van de berekende projecties, op de verschillende assen:
        us = u1 + u2 + u3
        us,x = u1,x + u2,x + u3,x = 0 + 24.42 + 24.42 = 48.84V
        us,y = u1,y + u2,y + u3,y = 28.2 + 14.1 + (-14.1) = 28.2V
De absolute waarde, modulus, van de somspanning is:
        us = √(us,x2+ us,y2) = √(48.842 + 28.22) = 56.40V
De hoek van de somspanning is:
        αs = tan-1(us,y / us,x) = tan-1(28.2 / 48.84) = 30o
De hoek en de absolute waarde van de somspanning stellen we op respectievelijk: 30 graden
en 56.4 Volt; dan is de somspanning met een goniometrische functie te beschrijven als:
        us(t) = 56.4 sin (ω t + (π/6))V
De gevraagde verschilspanning is:
        uv = u1 – (u2 + u3)
        us,x = u1,x – (u2,x + u3,x) = 0 – (24.42 + 24.42) = -48.84V
        us,y = u1,y – (u2,y + u3,y) = 28.2 – (14.1 + (-14.1)) = 28.2V
De verschilspanning is qua grootte gelijk aan de somspanning. De projectie op de X-as is
echter in dit geval negatief. Dit betekent dat de vector in het derde-kwadrant van het
assenstelsel ligt. Wanneer de hoek berekend wordt die de verschilspanning maakt met de
positieve X-as, moet bij de uitkomst die de rekenmachine geeft 180 graden bijgeteld worden:
        αs = tan-1(us,y / us,x) + 180 = tan-1(28.2/-48.84)+180 = 150o
In radialen is de hoek:
        150 / 180 = 5/6  150o = 5/6π rad
Een goniometrische functie voor de verschilspanning is:
        us(t) = 40 sin (ω t + (5/6*π))V
Vraagstuk 13
                                            114
Een serieschakeling van de weerstanden R1 = 10Ω, R2 = 22Ω en R3 = 68Ω wordt aangesloten
op een wisselspanningbron ub die wordt weergegeven door: ub(t) = 5 sin (314 t + (π/6))V.
a) Teken de schakeling.
b) Bereken de frequentie van de spanningsbron.
c) Bereken de effectieve waarde van de spanning ub.
d) Bereken de spanningen over R1, R2 en R3.
e) Bepaal de goniometrische functie voor de spanning over R3.
De frequentie van de spanningsbron wordt bepaald door de hoeksnelheid. De frequentuie van
ub is:
       ω = 2π * f
       f = ω / 2π = 314 / 2π = 49.97Hz
Met de maximale waarde van de wisselspanning berekenen we de effectieve waarde van de
spanning:
       ueff = 1/2√2 * umax = 1/2√2 * 5 = 3.54V
De spanning verdeelt zich over de in serie geschakelde weerstanden naar de verhouding van
de grootte van de weerstanden. De maximale stroom die door het circuit loopt is:
       imax = umax / (R1 + R2 + R3) = 5 / (10+22+68) = 50mA
De spanningsval over de drie weerstanden ten gevolge van de lopende stroom is:
       ur1 = imax * R1 = 50.10-3 * 10 = 0.5V
       ur2 = imax * R2 = 50.10-3 * 22 = 1.1V
       ur3 = imax * R3 = 50.10-3 * 68 = 3.4V
Een goniometrische functie voor de spanning over de weerstand R3 is:
       ub(t) = 3.4 sin (314 t + (π/6))V
Vraagstuk 14
Twee stroombronnen zijn samen met een weerstand R geschakeld volgens de figuur. De
stroombronnen kunnen worden voorgesteld door:
       i1(t) = 4 sin (1256 t + (π/2))A
       i2(t) = 4 sin (1256 t + (π/2))A
a) Bereken de stroom door de weerstand R.
b) Bereken de ontwikkelde warmte in de weerstand R gedurende één periode.
c) Bereken de spanning over de weerstand R.
d) Bepaal de goniometrische functie voor de spanning ur.




                                     Figuur bij vraagstuk 14
De stromen i1 en i2 zijn identiek, qua: maximale waarde, hoeksnelheid en fase. We mogen
aldus in dit geval de stromen algebraisch optellen:
        Σip = 0A
        i1 + i2 + (-ir) = 0
        ir = i1 + i2 = 4 + 4 = 8A
Om het vermogen van de weerstand R te vinden, berekenen we de effectieve waarde van de
stroom door de weerstand:
        ieff = 1/2√2 * imax = 1/2√2 * 8 = 4√2A
Het vermogen van de weerstand is dan:
                                           115
        Pgem = ieff2 * R = (4√2)2 * 1,5 = 48W
Om de, in één periode, ontwikkelde warmte in de weerstand te vinden, zullen we eerst de
tijdsduur van één periode moeten vinden. We achterhalen de periodetijd als volgt:
        ω = 2π * f
        f = ω / 2π
        T = 1 / f = 2π / ω
        T = 2π / 1256 = 5ms
De grootte van de gevraagde arbeid is nu te vinden:
        W = Pgem * t = 48 * 5.10-3 = 0.24J
De maximale waarde van de spanning over de weerstand R is:
        umax = imax * R = 8 * 1.5 = 12V
Een goniometrische voorstelling van de gevonden spannig over de weerstand is:
        u(t) = 12 sin(1256 t + (π/2))V
Vraagstuk 15
Op een motorplaatje (schildje) van een elektromotor staat:
        n = 3000 omw/min
        u = 220V~
        P = 1,5kW, η = 0,95 en cos Ф = 0,90
a) Bereken het aantal omwentelingen dat de motor per seconde maakt.
b) Bereken het toegevoerde vermogen aan de motor.
c) Bereken de stroom die nodig is om het vermogen te kunnen leveren.
d) Bereken de maximale waarde van de stroom en de spanning.
e) Bereken de gemiddelde waarde van de stroom en de spanning.
Wanneer de motor 3000 omwentelingen per minuut maakt, dan maakt deze per seconde:
        3000 / 60 = 50omw/s
Het gegeven vermogen is het vermogen dat aan de as van de motor beschikbaar is. Het aan de
motor toegevoerde vermogen is door rendementsverliezen iets groter. Het berekenen van het
toegevoerde vermogen gaat als volgt:
        η = Paf / Ptoe
        Ptoe = Paf / η = 1500 / 0.95 = 1578.95W
Het gemiddelde toegevoerde vermogen wordt geleverd door de effectieve waarde van de
stroom en de effectieve waarde van de spanning. De stroom en spanning zijn in dit geval niet
in fase. Hetgeen betekent; dat bij het berekenen van het vermogen rekening gehouden moet
worden met het faseverschil:
        Pgem = ueff * ieff * cos(Ф)
        ieff = Pgem / (ueff * cos(Ф)) = 1578.95/(220 * 0.9) = 7.97A
Met de effectieve waardes van de stroom en de spanning zijn de maximale en de gemiddelde
waardes van de stroom en spanning te berekenen:
        ueff = 1/2√2 * umax
        umax = (2 * ueff) / √2 = (2 * 220) / √2 = 311.13V
        ugem = 0V
        ieff = 1/2√2 * imax
        imax = (2 * ieff) / √2 = (2 * 7.97) / √2 = 11.27A
        igem = 0A




                                            116

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:47
posted:12/11/2011
language:Dutch
pages:116