Curso de Nivelación en Matemática
Ecuaciones
ECUACIONES
Un problema de ingenio frecuente es:
— Pensar un número.
— Sumarle 15.
— Multiplicar por 3 el resultado.
— A lo que se obtiene, restarle 9.
— Dividirlo por 3.
— Restarle 8.
Si la respuesta es, por ejemplo, 32, el número pensado originalmente es 28. ¿Cómo se sabe?
Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas.
Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar). Entonces:
x 15 3 9 8 32 .
3
Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:
x 153 9 8 32
x 153 9 8 32 x 15 3 8 32 x 4 32 .
3 3 3
Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 4 al número
original. De esta manera, restándole 4 a 32 es fácil descubrir cuál había sido el número pensado
en principio.
Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor era
desconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio de las…
Ecuaciones:
Son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas.
Por ejemplo: y + 2x = 5 ; x2 + a = b + 8 , 2x + 9 = 17.
En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamos ecuación con
una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son:
a) 3 x + 4 = 5 x – 8
b) 2 x2 + 20 = 24 x –20
c) log x = 3 – log (x + 2)
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Actividad:
Si x toma los valores 6, –1 ó 10, ¿cuáles de las ecuaciones anteriores se cumplen? ¿Cuáles
no se cumplen?
.....................................................................................................................................
¿Podría determinar todos los valores de x que satisfacen la ecuación b)? ¿Por qué?
.....................................................................................................................................
A aquellos valores de x que satisfacen una determinada ecuación se los denomina soluciones de la
ecuación. Por ejemplo: 5 es solución de la ecuación –2 x + 4 = –x – 1 puesto que –2 5 + 4 = –
5 – 1 = –6 ; sin embargo, 2 no es solución de esa ecuación puesto que –2 2 + 4 = 0 , mientras
que –2 – 1 = –3 y 0 –3 .
El conjunto solución de una ecuación determinada puede:
tener un solo elemento: por ej. 2x = 6 , la única solución de esta ecuación es x = 3 .
Verificarlo.
tener un número finito de elementos: por ej. x3 + 1 x2 –
2
1
2 x = 0 tiene como soluciones
1
solamente a , –1 y 0 . Verificarlo.
2
no tener elementos: por ej. x2 = –4 , ya que vimos anteriormente que todo número real elevado
al cuadrado da como resultado un número no negativo. En este caso decimos que el conjunto
solución es vacío.
tener infinitos elementos: 2x – x = x , puesto que todo número real es solución de dicha
ecuación. ¿Por qué?
Actividad:
¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución?
.....................................................................................................................................
¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución, pero que el conjunto
solución posea más de un elemento?
.....................................................................................................................................
¿Se puede encontrar una ecuación que no tenga ninguna solución en ℝ ?
.........................................................................................................................................
¿Se puede decir cuál es el conjunto solución de la ecuación x + 2y = 5 ?
.........................................................................................................................................
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Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, diremos que dichas ecuaciones son
equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 4x + 6 = x + 9 y x – 2 = –1 tienen ambas como
conjunto solución al {1}.
En el ejemplo introductorio, lo que hicimos fue encontrar sucesivas ecuaciones equivalentes a la
dada en un principio, es decir, ecuaciones que tengan el mismo conjunto solución, de manera tal
que resulten más fáciles de resolver que la primera. Así, la ecuación equivalente que obtuvimos fue
x + 4 = 32 , mucho más simple de resolver que la ecuación original x 153 9 8 32 .
3
¿Cómo podríamos obtener ecuaciones equivalentes de una dada? Para esto, nos valemos de algunas
propiedades básicas de las igualdades:
Si a , b , c y d son cuatro números reales cualesquiera, entonces valen las propiedades
siguientes:
1) Reflexividad: a = a , es decir, todo número es igual a sí mismo.
2) Simetría: a = b b = a , es decir, dados dos números a y b , si el primero es
igual al segundo, entonces el segundo también es igual al primero.
3) Transitividad: a = b b = c a = c , es decir, si un número a es igual a otro b ,
y este último es igual a un tercer número c , entonces el primero es igual al tercero.
4) Uniformidad con la suma: a = b a + c = b + c , es decir, si se suma el mismo
número a ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad.
5) Uniformidad con el producto: a = b ac = bc , es decir, si se multiplican ambos
miembros de una igualdad por el mismo número, se obtiene otra igualdad.
Veamos cómo aplicar dichas propiedades en la resolución de algunas ecuaciones sencillas. Por
ejemplo:
3x 8 9
3 x 8 8 9 8 (por la uniformidad con la suma)
3x 1
1 1
3x 1 (por la uniformidad con el producto)
3 3
1
x
3
Es importante verificar que el valor obtenido satisface la ecuación porque un error en los
cálculos puede conducirnos a una solución incorrecta
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Observación: ¿Qué sucedería si quisiéramos aplicar la propiedad uniforme de la multiplicación con
un valor x desconocido? Consideremos la ecuación 2x = 6
Multipliquemos ambos miembros por x . Resulta 2x2 = 6x
¿Cuál es el conjunto solución de la primera ecuación?
.....................................................................................................................................
¿Y de la segunda ecuación?
.....................................................................................................................................
¿Son ecuaciones equivalentes?
.....................................................................................................................................
Conclusión:
Si a ambos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un mismo número distinto
de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Actividad:
Determinar si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. Justificar.
3x – 5 = –2x y 3x – 5 + x2 = –2x + x2
3x + 4 = 6 y x+4= 6
3
x2 = 3x2 – 5x y x = 3x – 5
4 . (–2x + 8) = 6x y –2x + 8 = 3
2 x
–2 . (x + 9) = 8 y x+9=8+2
Clasificación de ecuaciones polinómicas
Determinar el grado de cada polinomio del primer miembro y completar:
P(x) = 2x – 1 grado(P(x)) = ..............
Ecuación lineal o de primer grado: 2x – 1 = 0
P(x) = x2 – 2x – 3 grado(Q(x)) = ..............
Ecuación cuadrática o de segundo grado: x2 – 2x – 3 = 0
R(x) = x3 + 2x2 – x – 2 grado(R(x)) = ..............
Ecuación cúbica o de tercer grado: x3 + 2x2 – x – 2 = 0
S(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 grado(S(x)) = ...........
n
Ecuación de grado n: an x + . . . + a1 x + a0 = 0
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Con las propiedades vistas anteriormente estamos en condiciones de resolver cualquier tipo de
ecuación de primer grado. Veamos ciertos casos particulares.
Sea la ecuación lineal: 2x – 8 = 2(3 + x)
Resolución:
2x 8 2 3 x por propiedad distributiva :
2x 8 6 2x por propiedad uniforme de la suma:
2x 8 2x 6 2x 2x operando:
8 6 ¡ ABSURDO !
¿Qué significa esto? ¿Habremos cometido algún error durante el desarrollo?
No se cometió ningún error. El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución en los
números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación. El conjunto
solución de dicha ecuación es vacío.
Sea la ecuación lineal: –10x = 5(2x – 4x)
Resolución:
10 x 52 x 4 x operando:
10 x 5 2 x
10 x 10 x por propiedad uniforme del producto:
10 x 10
1
10 x 10
1
x x
Observemos que la ecuación equivalente que obtuvimos se verifica para cualquier valor de x. Esto
quiere decir que cualquier número real verifica la ecuación inicial, es decir, el conjunto solución de
dicha ecuación es infinito. Verificar esto con algunos ejemplos.
Sea la ecuación lineal: 3x – 5 = 8
Resolución:
3x 5 8 por propiedad uniforme de la suma:
3x 5 5 85
3x 13
3 x 1
3
13 1
3
por propiedad uniforme del producto:
13
x
3
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En este caso, existe un único valor de x x que verifica la ecuación original. El conjunto
13
3
solución es unitario.
Conclusión:
Dada una ecuación de primer grado, ésta tiene:
ninguna solución.
una única solución.
infinitas soluciones.
Resolución de ecuaciones de segundo grado
Como hemos visto, una ecuación de segundo grado es de la forma:
ax2 + bx + c = 0 , donde a 0 , a , b , c ℝ o cualquier expresión equivalente a ésta.
¿Por qué se aclara que a 0 ? ......................................................................................................
Ejemplos:
–x2 + 5x – 8 = 6 , puesto que es equivalente a: –x2 + 5x – 14 = 0
x (7 – x) = x , puesto que es equivalente a: –x2 + 6x + 0 = 0
5 = 3x2 – 2 , puesto que es equivalente a: 3x2 + 0x – 7 = 0
(x + 2)2 = 0 , puesto que es equivalente a: x2 + 4x + 4 = 0
Veamos un caso particular de resolución de una ecuación de segundo grado. Sea la ecuación:
2x2 + 6x – 8 = 0
En primer lugar, extraemos 2 como factor común:
2(x2 + 3x – 4) = 0
Ahora, tenemos que sumar y restar un número para que en la expresión entre paréntesis se forme un
9
trinomio cuadrado perfecto. Este número es . ¿Cómo lo obtuvimos? ¿Por qué lo sumamos y
4
restamos?
La expresión resulta:
9 9
2.(x2 + 3x + – – 4) = 0
4 4
Factorizando el trinomio y operando:
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3 2 25
2.[(x + ) – ]=0
2 4
Dividiendo ambos miembros por 2 y despejando el binomio al cuadrado, resulta:
3 2 25
(x + ) =
2 4
Como ambos miembros son positivos, podemos calcular sus raíces cuadradas, y se obtiene:
3 5
x+ =
2 2
De donde:
5 3 5 3
x= – =1, o bien x = – – = –4
2 2 2 2
Por lo tanto, la soluciones de la ecuación son {1, –4}. Verificarlo.
A este procedimiento se lo conoce como ―completamiento de cuadrados‖.
Apliquemos, ahora, el completamiento de cuadrados para resolver una ecuación general de segundo
grado:
ax2 + bx + c = 0 , donde a 0
a x 2 b x c 0 (podemos hacerlo pues a 0 )
a a
En este caso, debemos sumar y restar b 2 para obtener un trinomio cuadrado perfecto.
4a 2
a x 2 b x b 2 b 2 c 0 a x b b 2 c 0
2 2 2 2
a 4a 4a a 2a 4a a
Dividiendo por , calculando el denominador común y despejando el binomio al cuadrado,
resulta:
x b b 4ac b 2 4ac
2 2
b
x
2a 4a 2 2a 4a 2
b b 2 4ac b b 2 4ac
x x
2a 2a 2a 2a
b b 2 4ac
x
2a
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Observemos que, mediante este desarrollo genérico, hemos conseguido obtener una fórmula que
nos permite conocer las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, sin tener que aplicar el
procedimiento de completamiento de cuadrados cada vez que queremos resolver una ecuación
cuadrática. Esta fórmula es la resolvente de la ecuación de segundo grado.
Ejemplo: Si queremos hallar las soluciones de la ecuación –2x2 – 3x = –2 , en primer lugar
debemos llevarla a la forma general ax2 + bx + c = 0 , donde a 0 , es decir, –2x2 – 3x + 2 = 0.
En este caso particular, tenemos que a = –2 , b = –3 y c = 2. Luego, utilizando la fórmula ya
3 32 4 22 .
vista las soluciones están dadas por: x1,2
2 2
35 35 35 1
Operando se tiene: x1,2 , es decir x1 2 y x2 .
4 4 4 2
Veamos qué información nos puede brindar sobre las soluciones la fórmula para resolver
ecuaciones de segundo grado:
Supongamos que tenemos una ecuación de segundo grado en la que b 2 4ac = 0. ¿Cómo
influye esto en el conjunto solución?
.....................................................................................................................................
Supongamos que b 2 4ac 0? ¿Cómo son las soluciones?
.....................................................................................................................................
Observación: Notemos que al obtener las soluciones de una ecuación polinómica de la forma
ax2 + bx + c = 0 , lo que se hace es hallar las raíces del polinomio P(x) = ax2 + bx + c . Conocidas
las raíces r1 y r2 , esto nos permite escribir al polinomio en la forma P(x) = a (x – r1)(x – r2) , es
decir, escribirlo totalmente factorizado.
Recíprocamente, si tenemos un polinomio escrito de la forma P(x) = a (x – r1)(x – r2) , es decir,
factorizado, sabemos que r1 y r2 son las soluciones de la ecuación a (x – r1)(x – r2) = 0 .
Conclusión:
Dada una ecuación de segundo grado, ésta tiene:
ninguna solución real.
una única solución real doble.
dos soluciones reales distintas.
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Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 4x2 + 8x – 12. Para hallar las raíces, planteamos la ecuación
4x2 + 8x – 12 = 0 y encontramos sus soluciones mediante la fórmula resolvente de la ecuación de
segundo grado: r1 = 1 , r2 = –3.
Luego, el polinomio factorizado resulta: P(x) = 4(x – 1)(x + 3).
Actividad
Resolver las siguientes ecuaciones:
x2 – 5x = 2x2 + 6x + 2 – x2
2x2 = –18
x.(x – 1)(x + 2) = x3
– 2 x2 +
3 2x– 1
2 =0
(x + 3)2 = 12x
x2 + 3x = 3.(x2 + x) – 2x2
Resolver los siguientes problemas:
Julieta empleó la mitad de su dinero en comprar ropa y la mitad del resto en paseos. Si aún le
quedan $10, ¿cuánto dinero tenía?
La edad de Pablo elevada al cuadrado es igual a cinco veces la edad que tendrá dentro de 10
años. ¿Qué edad tiene Pablo?
Ecuaciones fraccionarias que se resuelven mediante ecuaciones de primer y segundo grado
Px
Llamamos ecuaciones fraccionarias a aquellas de la forma 0 , donde P(x) y Q(x) son
Qx
polinomios, Q(x) 0 , o a aquellas ecuaciones que se pueden llevar a esta forma.
Por ejemplo, son ecuaciones fraccionarias:
x 1 x 1 x 1 3x 6 2x 7
3 pues es equivalente a 30 0 0 .
x2 x2 x2 x2
1 5 25 7
0 pues es equivalente a 0 0 .
x 2x 2x 2x
x 3 3x 4 .
0
x2 2
x2 1
Intentemos resolver la siguiente ecuación fraccionaria: 0 . Para esto, aplicamos las
x 1
propiedades ya conocidas.
Multipliquemos ambos miembros por x +1:
x2 1
x 1 0 x 1 x2 – 1 = 0 x1 = 1 y x2 = –1 .
x 1
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Verificar si x 1 y x 2 son solución de la ecuación original. ¿Qué sucede? ¿Qué error hemos
cometido?
.............................................................................................................................................
Conclusión:
P x
Cuando resolvemos una ecuación del tipo 0 , debemos descartar como posibles
Q x
soluciones a los valores de x que anulan el denominador Q(x) , es decir, los valores que
satisfacen la ecuación Q(x) = 0 . Esto se debe a que no está definida la división por 0 .
Actividad
Resolver y verificar las soluciones encontradas:
x 1 3x 3 4 x 3 6 x
a) 2 b) 1 c) 0 d) .
2x 2x 3 x 2 x 2 x 3 6 x
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Analicemos ahora las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo: 2x – y = 3 . Para
encontrar una solución de dicha ecuación, debemos hallar un par de números que la satisfaga. A
diferencia de lo que ocurre con las ecuaciones lineales con una incógnita, en las ecuaciones lineales
con dos incógnitas siempre se encuentran infinitas soluciones. Notemos que si despejamos la
incógnita y en la ecuación dada, obtenemos y = 2x – 3. Entonces para cada valor de x
encontramos un valor de y . Este par de números (x,y) es una de las infinitas soluciones de la
ecuación dada.
Por ejemplo, los siguientes pares de números son solución de la ecuación 2x – y = 3:
(0,–3) ; (1,–1) ; ( 5 ,2) .
2
En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación inicial dada por todas las soluciones en la
ecuación inicial dada 2x – y = 3 , veremos que se satisface la igualdad:
20 – (–3) = 3 ; 21 – (–1) = 3 ; 2 5 – 2 = 3
2
A continuación expresamos el conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación dada,
llamado el conjunto solución o solución general:
Sg = {(x,2x – 3), x ℝ}
Otra forma de hallar los pares que son solución de la ecuación dada es despejando la variable
obteniendo el conjunto solución
Sg = {( 2 3 ,y), y ℝ}
y
2
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Observemos que ambos conjuntos solución son equivalentes, aunque estén expresados de distinta
manera.
TRABAJO PRÁCTICO – ECUACIONES
1)
a) La solución de la ecuación 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) es:
un número fraccionario y entero. 9
un número entero y negativo. 7
9 ninguna de las anteriores.
b) La solución de la ecuación: 5x + 10x –6 – 9 + 4x = x + 3 – 12 es:
15 2
2 3
3 ninguna de las anteriores.
3
2
c) El valor de m que pertenece a N y que es solución de la ecuación
m + 3(4m – 6) = –10 + 2(3m –5) es:
0 2
inexistente ninguna de las anteriores.
2
7
2) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y determinar la cantidad de elementos del
conjunto solución:
1
a) 4 x ( 15 x ) b) ( y 1 )( 2 y ) 5 y( 4 y ) 2 y
2
518x a 4
a 2 a 5a
5 1 2
c) 3( x 9 ) d)
6 2 3 6 3
e) a x 3( x a ) , siendo x la incógnita y a un número real fijo.
f) 5t 4 t 4 ( 1 t )
g) y 2 6( x 4 ) , siendo ambas, x e y , incógnitas.
3) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones e identificar cuáles de ellas son equivalentes:
a) (y – 1
4 )2 = 9
16 d) 3x2 + 3(3x – 1) = 2(3x + 2x2) – 13
b) ( 5 x + 3)2 = 5x + 8
6 e) w2 – 1
2 w– 1
2 =0
c) –3(x – 1)(x + 1
2 )=0 f) – 1 x2 = – 3 x – 5
2 2
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4) Factorizar los siguientes polinomios:
a) P(x) = x2 – 25 c) R(x) = 3x2 – 12x – 63
b) Q(x) = –2x2 + x – 10 d) S(x) = 3x2 – 12x + 12
5) Responder:
a) ¿Es posible encontrar valores de x que satisfagan ( x 3 )( x 3 ) 5( x 2 ) 31
3x 15
y 0 al mismo tiempo?
4
2t 2 2 4
b) ¿Es posible encontrar valores de t que satisfagan 8t 2 4t y t
3 3
simultáneamente?
6) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
2x 2 x
a) El conjunto solución de la ecuación 15 está dado por 0 , 7 .
x
b) El par (x, y) = (5, 2) es solución de la ecuación 3x2 – 2y = 51 + 10y.
( a 3 )2
c) Las ecuaciones 0 y a 3 0 son equivalentes.
a 3
d) 1 es raíz doble del polinomio P(x) = x2 + x – 2.
7) Resolver los siguientes problemas:
a) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido; después, la tercera parte del
resto y quedan aún 1.600 litros. Calcular la capacidad del depósito.
b) Hallar dos números naturales impares consecutivos tales que su producto sea 255.
c) Un poste de luz de 7 m. se rompe y al doblarse, la punta de la sección rota toca el suelo a 3
m. de la base del poste. ¿A qué altura se rompió? (Ayuda: utilizar el Teorema de Pitágoras).
d) Pienso un número, le sumo 5, a este resultado lo multiplico por 3 y el nuevo resultado lo
divido por 10. Obtengo así 6. ¿Qué número pensé?
e) El perímetro del siguiente triángulo es 24 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus
lados?
3 x
1 x
3 x
f) Un rectángulo tiene por dimensiones el triple y el quíntuplo del lado de un cuadrado.
Calcular las dimensiones de ambos cuadriláteros, sabiendo que la diferencia entre sus áreas
es de 2015 cm2.
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