Calculatrices S�ance 1

							                                    PCL1 de mathématiques

                                       Année 2002-2003

                 Utilisation de la calculatrice – Michèle Artaud et Joël Denisot

                                 SEANCE 1 – 3 OCTOBRE 2002

                                   Programme de la séance


1. Ce que l’on attend d’un candidat au CAPES à l’écrit et à l’oral


2. Algorithmique et programmation


1. CE QUE L’ON ATTEND D’UN CANDIDAT AU CAPES

1.1. A l’écrit

Extrait du programme du CAPES
« L’utilisation des calculatrices électroniques est définie par les arrêtés du 15 mai 1997
complétés par la circulaire n° 99-186 du 16-11-1999 paru au B.O. n° 42 du 25-11-1999.

Dans ce cadre, les candidats doivent se munir d’une calculatrice scientifique programmable,
alphanumérique ou non, et graphique. Ils doivent savoir utiliser leur calculatrice dans les
situations numériques et algorithmiques liées au programme. Cet emploi combine les
capacités suivantes, qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles :
– savoir programmer une instruction d’affectation ;
– savoir effectuer les opérations arithmétiques sur les nombres et savoir comparer des
nombres ;
– savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme et savoir programmer le
calcul des valeurs d’une fonction d’une ou plusieurs variables permis par ces touches ;
– savoir programmer une instruction séquentielle, alternative ou itérative ;
– savoir afficher à l’écran la courbe représentative d’une fonction.

Ils doivent en outre munir leur calculatrice de programmes permettant :
 la recherche de solutions approchées d’une équation numérique à une variable,
 le calcul de valeurs approchées d’une intégrale. »
Les programmes du secondaire

                           Voir le fichier informatique&mathspgms.doc

Travail hors classe : lire le texte du fichier.


Le programme complémentaire

Comme il est indiqué dans les instructions, les problèmes et les méthodes numériques et les
aspects algorithmiques et informatiques (construction et mise en forme d’algorithmes,
comparaison de leur performance, rédaction méthodique de programmes) sont largement
exploités. Dans le texte du programme, ils sont représentés par le signe §.

2. Algèbre et géométrie
I. Nombres et structures
1. Groupes
§ b) Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Cycles; transpositions.
Décomposition d’une permutation en produit de cycles disjoints, en produit de transpositions.
Signature d’une permutation, groupe alterné.

3. Structure des ensembles de nombres
§ b) Nombres premiers ; décomposition en facteurs premiers.
PGCD, PPCM ; algorithme d’Euclide.

II. Polynômes et fractions rationnelles
1. Polynômes à une indéterminée
§ a) Algèbre K[X] ; degré d’un polynôme, terme dominant, polynôme unitaire.
L’anneau K[X] est intègre ; divisibilité dans K[X]. Division euclidienne.
Les idéaux de K[X] sont principaux; théorème de Bezout.
Polynômes irréductibles ; décomposition en facteurs irréductibles.
PGCD, PPCM ; algorithme d’Euclide.

III. Algèbre linéaire
5. Calcul matriciel
§ a) Exemples de calculs par blocs. Exemples d’emploi de normes matricielles.
Conditionnement d’une matrice.
§ b) Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) d’une matrice ; addition d’un
multiple d’une ligne à une autre, multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, échange
de deux lignes. Applications à la résolution des systèmes linéaires, au calcul de déterminants,
à l’inversion des matrices carrées et au calcul du rang.
Algorithme du pivot de Gauss ; pivot partiel, pivot total.

6. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
§ d) Valeurs propres d’une matrice carrée, vecteurs (colonnes) propres. Matrices semblables.
Diagonalisation, trigonalisation des matrices carrées. Exemples d’emploi de décomposition en
blocs (produits, matrices diagonales par blocs, triangulaires par blocs).

IV. Espaces euclidiens, espaces hermitiens
4. Calcul matriciel et normes euclidiennes
§ a) Calcul de la projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace et de la distance d’un
point à un sous-espace. Application aux problèmes de moindres carrés ; minimisation de ||AX
– B||2, où A  Mn,p(R) et rang A = p.
§ b) Décomposition d’un élément M de GLn(R) sous la forme M = QR, où Q est orthogonale
et R est triangulaire supérieure, par la méthode de Householder.

5. Réduction des endomorphismes symétriques et des endomorphismes hermitiens
§ a) Diagonalisation d’un endomorphisme symétrique (resp. hermitien) dans une base
orthonormale.
Diagonalisation d’une matrice symétrique (resp. hermitienne) au moyen d’une matrice
orthogonale (resp. unitaire).
La plus grande valeur propre d’une matrice symétrique A est égale à sup;     Error!
                                                                         X0
V. Géométrie affine et euclidienne
4. Emploi des nombres complexes en géométrie
§ d) Lignes de niveau des fonctions z  z–a, z  Arg(z–a), z  Error! et z  Arg Error!.
Exemples de familles de courbes orthogonales associées à des transformations simples du
plan complexe.


3. Analyse et géométrie différentielle
I. Suites et fonctions
1. Suites de nombres réels et de nombres complexes
§ d) Étude du comportement asymptotique de suites. Approximation d’un nombre réel ou
complexe au moyen de suites : rapidité de convergence et performance d’un algorithme.
Accélération de convergence: méthode de Richardson-Romberg.
§ e) Exemples d’étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1
= f(un) et par une condition initiale.
Approximation d’une solution d’une équation numérique. Méthode de dichotomie. Méthode
des approximations successives ; méthodes de Newton, d’interpolation linéaire et
d’ajustement linéaire.

II. Fonctions d’une variable réelle : calcul différentiel et intégral
3. Intégration sur un intervalle compact
§ f) Calcul des valeurs approchées d’une intégrale.
Méthode du milieu (ou des tangentes).
Méthode des trapèzes, méthode de Simpson : majoration du reste. Algorithmes
d’approximation d’une intégrale par ces deux méthodes.
III. Séries
1. Séries de nombres réels ou complexes
§ e) Recherche de valeurs approchées de la somme d’une série convergente.
5. Emploi des séries entières et des séries de Fourier
Exemples de recherche de développements en série entière ou en série de Fourier de fonctions
d’une variable réelle.
§ Exemples d’utilisation de tels développements pour obtenir des valeurs approchées d’une
fonction.
IV. Équations différentielles
3. Notions sur les équations non linéaires
§ b) Recherche de solutions approchées d’une équation différentielle scalaire d’ordre 1 par la
méthode d’Euler.
§ e) Exemples d’étude qualitative des courbes intégrales d’une équation différentielle.
Exemples de recherche des courbes intégrales d’un champ d’éléments de contact ou d’un
champ de vecteurs dans le plan.


1.2. A l’oral

I. CE QUE DIT LE RAPPORT DU JURY 2001

                               À propos de la première épreuve

« Durant les 25 minutes de l’exposé proprement dit pendant lesquelles le jury n’intervient pas,
le candidat doit :
(…)
Utiliser intelligemment la calculatrice en particulier quand l’intitulé du sujet l’exige et en
sachant que le temps de préparation ne permet pas de « découvrir » un programme si celui-ci
n’a pas été testé au cours de l’année. »

                               À propos de la deuxième épreuve

Plusieurs dossiers font mention de l’une des consignes suivantes :
« Pour au moins l’un de ces exercices, la résolution pourra faire appel à l’utilisation d’une
calculatrice »
ou bien
« Pour au moins l’un de ces exercices, la résolution doit faire appel à l’utilisation d’une
calculatrice »
Dans le premier cas, le libre choix est laissé au candidat.
Dans le second cas, que cette mention figure dans l’encadré du sujet ou dans les consignes du
dossier, le jury attend que le candidat arrive avec une calculatrice et l’utilise pour montrer les
applications mathématiques réalisées dans la résolution d’un exercice.

Un matériel de rétroprojection a été mis à disposition du candidat dans la salle de chaque
commission. S’étant servi de ce dispositif souvent à bon escient, le candidat a pu montrer ses
compétences à utiliser de manière pertinente la calculatrice dans un cadre formel, numérique,
graphique ou géométrique ainsi que sa capacité à analyser les résultats obtenus.
Il est toutefois rappelé qu’il est conseillé de ne se servir que d’un matériel que l’on connaît
parfaitement, l’utilisation du rétroprojecteur n’étant pas une difficulté supplémentaire.

Lors de l’utilisation de la calculatrice, le jury a apprécié notamment :
 la capacité à écrire un algorithme correspondant à un problème donné ;
 la capacité à programmer cet algorithme sur une calculatrice (démarche pouvant être
   effectuée pendant la préparation) ;
 la capacité à justifier le choix d’un test d’arrêt dans un programme itératif ;
 la comparaison de différentes méthodes dans l’approximation de nombres par exemple ;
 la gestion des arrondis par la calculatrice ;
 la mise en évidence de la complémentarité des aspects numérique et graphique dans
   l’étude d’un même problème ;
 la conjecture de phénomènes mathématiques.
Nous rappelons que la calculatrice fait partie des outils de l’enseignant et que de nombreuses
parties des programmes enseignés à différents niveaux y font appel.
L'utilisation, lors de cette session, de calculatrices rétroprojetables a incité le jury à faire une
étude de leur utilisation. Sur l’ensemble de la session 1992 calculatrices ont été empruntées,
dont 182 « rétroprojetables », ce qui correspond à un pourcentage de 4,2% de telles
calculatrices demandées pour l’ensemble des épreuves. On observe que les candidats qui ont
utilisé le rétroprojecteur l’ont souvent fait dans les deux épreuves.
Les commissions d'oral ont apprécié la variété des sujets traités qui prouvent l’intérêt de
l’usage des calculatrices.
Par contre la pauvreté de certaines applications, et surtout leur faible taux de présentation,
mettent en évidence l’importance que les centres de préparation au concours (IUFM,
Université, CNED) doivent accorder à l’utilisation des calculatrices.


                                          Dans l’annexe

1. Statistiques sur l’emploi des calculatrices
Pour 4280 épreuves orales, 1192 calculatrices ont été empruntées dont 182 rétroprojetables.
Ainsi 27,8 % des candidats empruntent une calculatrice et 4,2 % une calculatrice
rétroprojetable. Ces pourcentages sont en fait plus élevés si on ne considère que les sujets
faisant explicitement référence à l’usage d'une calculatrice. Il faut signaler que certains
candidats ont illustré leur épreuve au moyen d'une calculatrice rétroprojetable même lorsque
l’énonce n'y faisait pas allusion. Certains candidats ont su faire un usage pertinent de cet outil
et ont su mettre en évidence son intérêt pédagogique. Certains sujets ont donné lieu à des
prestations réussies :
 approximations de nombres ;
 programmation d'une dichotomie ;
 programmation de l’algorithme d'Euclide ;
 programmation d'une suite récurrente ;
 courbes intégrales d'une équation différentielle ;
 limites d'une fonction : asymptote position relative ;
 représentation d'un nuage de points et droite d'ajustement linéaire...
Les aspects techniques concernant l’usage des calculatrices rétroprojetables est à améliorer.
En plus des rétroprojecteurs il faudrait pouvoir équiper les salles en écrans. II faut également
signaler que les cristaux liquides des tablettes sont assez sensibles aux variations de
température ce qui a cause quelques difficultés lors des exposés des candidats.
A présent que l’utilisation de cet outil a été initialisé, on peut penser que les différentes
préparations aux concours en tiendront compte ce qui devrait accroître son utilisation.
Nous solliciterons encore le S.I.E.C. afin qu'il nous fournisse comme en 2001 une quantité
suffisante de rétroprojecteurs, mais aussi d'écrans.
Nous remercions les marques CASIO, HEWLETT-PACKARD, TEXAS INSTRUMENT qui
nous ont prêté des calculatrices rétroprojetables en grande quantité ainsi que les tablettes de
rétroprojecteurs assorties. Nous comptons sur leur générosité pour la session 2002.
(…)
4. Calculatrices
Depuis la session 1994, les calculatrices personnelles sont interdites pour les deux épreuves
orales (cf. B.O. no13 du 15-04-93). Pour les sujets qui en nécessiteraient l’usage, les
candidats pourront en emprunter une a la bibliothèque du CAPES. Le Jury propose en grande
quantité de nouveaux modèles qui ont suivi l’évolution de la technologie.

CASIO     fx 180       fx 3900 P    fx 7900 GC
          graph 20     graph 65     graph 100
HP        20 S         38 G         48 GX
TI        TI 67        TI 82        TI 83      TI 89



Pour la session 2001 les constructeurs ont permis de proposer une quantité équivalente de
modèles récents de calculatrices rétroprojetables, soit de :

CASIO graph 100 ensemble de retroprojection RM 9000
HP    40 G      49 G
TI    TI 83     TI 89


Par contre les modèles anciens ne pourront pas être réapprovisionnés et leur nombre reste
limité, ceci concerne les modèles :

CASIO fx 180         fx 3900 P fx 7900 GC      graph 20
HP    20 S           38 G      48 GX
TI    TI 67          TI 82


Le jury remercie les constructeurs pour les prêts ou les dons qu'ils ont effectués, ainsi que le
S.I.E.C. qui en prête pendant les épreuves.

L'équipement de chaque salle d'interrogation en rétroprojecteurs ayant pu être effectué en
2001 on espère pouvoir le faire pour la session 2002.


1. ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION

1.1. Quelques définitions

                                ENCYCLOPAEDIA UNIVERSALIS :

Un algorithme est un nombre fini de règles à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre
fini de données, pour arriver en un nombre fini d’étapes, à un certain résultat, et cela
indépendamment des données.

Alain Cardon et Christian Charras. Introduction à l’algorithmique et à la programmation.
ellipses : Paris, 1996 :
Un algorithme est une forme bien décrite d’un certain procédé de calcul, constitué d’une suite
d’étapes plus ou moins élémentaires où sont précisés les traitements que l’on veut y faire. Ces
étapes s’écrivent séquentiellement. Chacune est définie de façon précise et rigoureuse et en
cohérence avec l’ensemble. Nous nommerons ces étapes instructions de l’algorithme.
Page 38
(...)
Un algorithme se compose d’une partie déclaration, celle ou par exemple nous précisons les
identificateurs de variables et leurs domaines, et d’une partie instructions encadrée par les
mots clés Début et Fin. L’écriture de l’algorithme se termine par le signe de ponctuation « . ».
page 53


Déclaration            Algorithme valeurs
       Variables…      X et Y réels
Début                  Début
       Instructions    Connaître X
                       X3 +2X –1  Y
                       Restituer Y
Fin.                   Fin.

X3 +2X –1  Y : instruction d’affectation

Instruction séquentielle :
Une instruction séquentielle est une instruction composée d’une suite finie, éventuellement
vide, d’instructions séparée par un point virgule ou un retour à la ligne.
Cardon&Charras, page 59

La partie instruction du programme précédent est ainsi une instruction séquentielle.


Alain Cardon et Christian Charras. Introduction à l’algorithmique et à la programmation.
ellipses : Paris, 1996 :

Un programme est la traduction d’un algorithme dans un langage informatique particulier et
parfaitement précis. Cette écriture est réalisée pour prendre place dans les éléments
architecturaux d’un ordinateur et permettre d’effectuer par la suite son traitement
automatique.
Page 39


Algorithme valeurs
X et Y réels
Début
Connaître X
X3 +2X –1  Y
Restituer Y
Fin.
Programme TI correspondant

Input « X= », X
X^3 +2*X –1 STO Y
Disp « Y= », Y

Remarque : la touche STO se traduit par  à l’écran


Programme CASIO correspondant

« X= » ?X
X^3 +2*X –1  Y
« Y= » : Y


Instruction conditionnelle
Étant donné une expression booléenne C (le test) et les deux instructions I et J on appelle
instruction conditionnelle ou alternative l’instruction composée de la forme :

     si C
            alors I
            sinon J
     finsi
Cardon&Charras, page 61

Traduction TI

If C
Then I
Else J
End(If)

Accès aux commandes par la touche [catalog] (shift 0 pour TI-83 ; shift 2 pour TI-92, direct
pour TI-89) ; End pour TI-83 et EndIf pour TI-89


Traduction CASIO (GRAPH25 ET 100)

If C
Then I
Else J
IfEnd
Instruction itérative
Étant donné une expression booléenne C (la condition de poursuite) et une instruction I
(instruction itérée) on appelle instruction itérative (ou itération) l’instruction composée
suivante :
            tantque C faire
                  I
            fintantque

Traduction TI      Traduction CASIO

While C                 While C
  I                      I
End(while)              WhileEnd

1.2. Exemples

                Approximation de la racine de x3/3 – x – 1 = 0 par dichotomie


Exploration graphique




Graphe sur [-10 ; 10]x[-10 ; 10], pas de 1 en X et Y

Graphe sur [–2 ; 3]x[-1 ;1] pas de 0,25 en X et 0,1 en Y




Une seule solution située dans l’intervalle [2 ; 2,25]
Algorithme DICHOTOMIE
Y et Z bornes de l’intervalle, réels
X milieu de l’intervalle, réel
A précision de l’approximation, réel
Début
2Y
2,25  Z
 0,01  A
tant que Z – Y  A faire
(Y+Z)/2  X
Si X3/3 – X – 1  0
        Alors X  Y
        Sinon X  Z
finsi
fintantque

Restituer Y et Z
fin.

Programme TI-83




EXERCICE :
1. Etablir un algorithme permettant d’approximer la racine précédente par la méthode
de Newton, puis écrire et tester le programme correspondant.
2. Modifier l’algorithme dichotomie de façon à ce qu’il dépendent des trois paramètres :
les bornes de l’intervalle, la fonction dont on cherche une racine, la précision de
l’approximation ; écrire et tester le programme correspondant.
                             Déterminer si un nombre entier est premier



Programme estpremier
PREM booléen, I et J entiers, N entier
E( N) J

Si N = 1
Alors FAUX  PREM
Sinon VRAI  PREM
finsi

 2I
tantque PREM et I < J faire

si N mod I = 0
alors FAUX  PREM
sinon I+1  I
finsi

fintantque

Restituer PREM


                                Décomposition en facteurs premiers

On teste, pour tous les nombres D de 2 à N, la divisibilité de N par D.
Si D divise N, on cherche alors les diviseurs de N/D etc...
On met les diviseurs trouvés dans la liste FACT.

Programme factprem
D, N entiers et FACT liste
2D
{}FACT
tant que DDN faire
si N mod D = 0 alors
 FACT + D FACT
 N/D  N
sinon
D+1  D
finsi
fintantque
Si N  1
FACT + N  FACT
Finsi
Restituer FACT
fin
Traduction TI83+
Version itérative avec les listes : La liste L1 joue le rôle de la liste FACT.
On initialise la liste L1 à { 0 } car la liste vide n'est pas admise...
Puis on rajoute au fur et à mesure les diviseurs en début de liste de façon à laisser le zéro en fin de
liste, puis en fin de programme, on supprime ce zéro gênant en enlevant 1 à la dimension de L1.

PROGRAM ESTPREM
:Input N
:{0} L1
:2D
: While D * D  N
:If fPart(N/D)=0
:Then
:N/DN
:augment( { D } , L1)L1
:Else D+1D
:End
:End
: If N  1
:Then
:augment( { N } , L1)L1
:End
: dim(L1) – 1dim(L1)
: DispL1
:End



Exercice : Améliorer le programme précédent de façon à obtenir l’exposant de chaque diviseur
et à diminuer le temps de calcul. Le programmer et le tester sur votre calculatrice.



                                           LA SUITE…



Se servir le plus possible de sa calculatrice dans le travail de préparation ; soumettre les
problèmes et les difficultés rencontrés par le biais des questions de la semaine d’OEM.


Les séances par groupe débuteront au début du mois de décembre.

                            Voir calendrier_seances_calculatrices.doc