Trigonométrie
I. Repérage sur le cercle trigonométrique
1. Le cercle trigonométrique Définition : Le plan est muni du repère orthonormal O; , . i j Le cercle trigonométrique est le cercle C de centre O , de rayon 1 et orienté de la manière suivante : ● le ........................ est contraire au sens des aiguilles d'une montre ; ● le ........................ est le sens des aiguilles d'une montre. L'arc orienté AB est ............... L'angle orienté ;' est ........................... OA OB
Exemple : Donner un exemple d'arc orienté : ............................................................................................. Donner un exemple d'angle orienté direct : ............................................................................... Remarque : Le cercle trigonométrique a une longueur égale à ................................ . Le demi-cercle AA a une mesure égale à ....... et l'arc AB ' a une mesure égale à ................. . 2. Enroulement de ℝ sur le cercle La droite d , tangente à C en A et munie du repère A, I (avec AI =.........), représente l'ensemble ℝ des nombres réels. On « enroule » la droite d autour du cercle C . La demi-droite [ AI ), formée des points d'abscisses positives, s'enroule dans le sens direct, alors que l'autre demi-droite, formée des points d'abscisses négatives, s'enroule dans le sens indirect.
Par exemple, I s'enroule en ......, et I ' s'enroule en ............ . Propriété : A tout réel x , correspond un unique point P de la droite d , d'abscisse x . A tout point P correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique. x est alors une mesure de l'arc orienté AM . Remarque : La droite d étant infinie, elle s'enroule en une infinité de tours du cercle, en repassant à chaque tour par le point M . Chaque tour ayant une longueur égale à ........... , on peut associer au point M une inifnité de réels : x , .................................................................. 3. Le radian Définition : Au point I d'abscisse 1 sur la droite d correspond l'unique point J sur le cercle C tel que AJ = AI =1 . On dit que l'angle orienté ( , ) correspondant à une mesure d'un radian (notation : 1 rad) OA OJ Remarque : on a la correspondance suivante : radians = .............. degrés. Pour convertir des radians en degrés ou des degrés en radians, on peut utiliser un tableau de proportionnalité : a radians degrés 180 b
II. Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition : Soit x un nombre réel et M le point associé à x sur le cercle trigonométrique. ● Le cosinus de x , noté cos x , est l'abscisse du point M . ● Le sinus de x , noté sin x , est l'ordonnée du point M . Lorsque cos x ≠0 , on définit tan x= sin x . cos x
Propriétés : −1cos x1 ●
● ●
−1sin x 1
Relation fondamentale : cos x 2 sin x 2=1
Valeurs remarquables : réel x cos x sin x 0 1 0 6 4 3 1 2 2 0 1 -1 0
3
2 1 2
2
2
2
2
3
2
III.Fonctions trigonométriques
1. Généralités Définition : ● La fonction cosinus est la fonction, notée cos , qui à tout nombre réel x associe le nombre cos x . ● La fonction sinus est la fonction, notée sin , qui à tout nombre réel x associe le nombre sin x . Autrement dit : cos : ℝ ℝ x cos x sin : ℝ ℝ x sin x
Propriétés : ● La fonction cosinus est paire. (en effet, ..........................................pour tout nombre réel x ) ● La fonction sinus est impaire. (en effet, .........................................pour tout nombre réel x ) ● Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période égale à 2 . En effet, pour tout nombre réel x , ................................................... et ................................................................
2. Variations des fonctions cosinus et sinus sur [− ; ] La fonction cosinus est ....................................... sur [− ; 0 ] et ............................... sur [ 0 ; ] . La fonction sinus est ........................................ sur [− ; 0 ] et ................................... sur [ 0 ; ] .
x
cos x
x
sin x
3. Représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus Le plan est muni d'un repère orthogonal O; ; . i j