Théorème de Pythagore. Factorisation ABCD est un rectangle tel que AB= 6 cm et AD = 4 cm. I est le milieu de [ BC ] et K un point du segment [ AB ] . On pose AK = x avec 0 x 6. On cherche à savoir s'il existe un réel x tel que le triangle DKI soit rectangle en K .
I. Utilisation de Géogébra 1) Construire le rectangle ABCD (on pourra utiliser les coordonnées en écrivant par exemple B = 6,0 dans la ligne de saisie). 2) Placer I milieu de [ BC ] . 3) Placer un point libre sur [ AB ] et l'appeler K . 4) Construire le triangle DKI . 5) Afficher l'angle DKI (chercher « angle » dans les menus déroulants) (Si l'angle affiché n'est pas celui recherché, clic droit sur l'angle, puis propriété, et décocher « autoriser les angles rentrants »). 6) Marquer la longueur AK (on utilisera l'icône « distance ou longueur »). 7) Donner, si possible, la ou les valeurs approchées des valeurs de AK répondant au problème. II. Calculs On suppose que le triangle DKI est rectangle en K . 1) a) Calculer DI 2 . b) Calculer en fonction de x , DK 2 et KI 2 . c) En déduire que le triangle DKI est rectangle en K si et seulement si : x 2 − 6 x 8 =0 2) a) Développer x − 2 x − 4 . b) En déduire les deux valeurs de x pour lesquelles DKI est rectangle en K . III. Vérification avec Maple (Ne pas effacer ce qui a été fait sous Géogébra) Lancer le logiciel et taper la formule suivante : >solve(x^2-6x+8=0,x)
Partie B : (Ne pas effacer ce qui a été fait sous Géogébra) On reprend l'énoncé avec AB= 4 cm et AD = 3 cm. I. Utilisation de Géogébra Déplacer les points B , C et D pour que la figure corresponde au nouvel énoncé, et donner, si possible, la valeur de AK répondant au problème. II. Calculs On suppose que le triangle DKI est rectangle en K . 1) Comme dans la partie A , calculer DI 2 et exprimer en fonction de x , DK 2 et KI 2 . 2) En déduire que le triangle DKI est rectangle en K si et seulement si : 2 x 2 −8 x 9= 0 3) En utilisant I., en déduire les solutions de l'équation : 2 x 2 −8 x 9= 0. Partie C : à faire à la maison Cette fois-ci, AB= 2 cm et AD = 1 cm. On suppose que le triangle DKI est rectangle en K . 1) Montrer que AK = x vérifie l'équation 2 x 2 − 2 2 x 1 =0. 2) Factoriser 2 x 2 −2 2 x 1 et en déduire pour quelle(s) valeur(s) de AK le triangle DKI est rectangle.
On peut retenir, plus généralement : ● Dans un rectangle ABCD , I milieu de [ BC ] . AB 2 , alors il existe deux points K sur le segment [ AB ] tels que DKI soit ■ Si AD rectangle en K . AB = 2 , alors il existe un seul point K sur le segment [ AB ] tels que DKI soit ■ Si AD rectangle en K . AB 2 , alors il n'existe aucun point K sur le segment [ AB ] tels que DKI soit ■ Si AD rectangle en K .
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Les équations du type ax 2 bx c = 0 peuvent avoir aucune, une, ou deux solutions !
Tout cela peut être ou sera démontré en 1ère S ! En espérant vous avoir donné envie d'y aller !