probabilités_calculs_proba st2s

Probabilités :

Calcul des probabilités (1/3)

1. Probabilité d'un événement : Définition : Soit  un univers fini. ● La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. ● La probabilité de  est 1. Notation : La probabilité d'un événement A est notée P  A . on a donc P    =1 . On admet le théorème suivant : Théorème : Pour tout événement A , 0 p  A  1 . Propriété : Pour tout événement A , P  A =1− P  A  Exercice d'application : Un joueur lance un dé à six faces qui a été truqué. la probabilité d'apparition de chacun des six chiffres est donnée par le tableau suivant : Numéro 1 2 3 4 5 6 Probabilité 0,1 0,2 0,15 0,15 0,15 x



1. Calculer x . ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... 2. A B C Calculer la probabilité des événements suivants : : « obtenir un nombre pair » ; : « obtenir un nombre impair » ; : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 3 ».



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P  A =............................................................................................................................................... P  B  = ............................................................................................................................................. P  C  = ............................................................................................................................................



Probabilités :

Calcul des probabilités (2/3)

Activité : (Objectif : Construire un arbre et retrouver les calculs de probabilités) Reprenons l'énoncé de l'activité sur les sucettes. On note F 1 et F 2 les deux sucettes à la fraise, M la sucette à la menthe puis C 1 et C 2 les deux sucettes au caramel. 1. a. Reproduire et compléter l'arbre représentant le tirage successif de deux sucettes. b. Déterminer le nombre de cas possible. Réponse : Le nombre de cas possible est ................ 2. On admet que toutes les sucettes ont la même probabilité d'être choisie. 2. Rappels : Equiprobabilité

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Une loi de probabilité est équirépartie quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'apparition. Si l'univers  contient n éventualités, alors la probabilité de tout événement élémentaire {a 1 } est égale à 1 1 P  { a 1 } = = n nombre de cas possibles Si A est un événement non impossible contenant p éventualités  0 pn  , la probabilité de A est égale à : p Nombre de cas favorables Nombre d ' éléments de A P  A= = = n Nombre de cas possibles Nombre d ' éléments de 



On considère les événements suivants : A : « les deux sucettes sont au caramel »; B : « aucune sucette n'est au caramel » ; C : « la première sucette est à la menthe » D : « la deuxième sucette est à la menthe »; E : « une des deux sucettes est à la menthe » a. Calculer P  A . Réponse P  A = ................................................................................................ b. Que réprésente l'événement B ? .............................................................................................. Calculer P  B  . réponse : P  B  = ................................................................................................. c. Calculer P  C  et P  D  . Réponse : P  C  = ..................................... et P  D  = ........................ d. Les événements C et D sont-ils compatibles ? Réponse : .................. En déduire P  C∩ D  . Réponse : P  C∩ D  =........................................................ e. Que représente l'événement E par rapport aux événements C et D ? En déduire P  E  .



Probabilités :

Calcul des probabilités (3/3)

Activité : (Objectif : Calculer la probabilité de la réunion de deux événements) On lance un dé cubique non pipé et on note le nombre qui apparaît sur la face supérieure du dé. On note : A l'événement : « le nombre est un multiple de 3 » ; B l'événement : « le nombre est inférieur ou égal à 2 »; C l'événement : « le nombre est pair ». 1. a. Déterminer P  A et P  B  . P  A = .................................. et P  B  = .......................... b. Vérifier que les événements A et B sont incompatibles. ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... c. Déterminer l'ensemble A∪B . A∪B ={.....................................................} d. Calculer P  A∪B  et comparer le résultat avec P  A P  B  . Réponse : P  A∪B  =....................................... et P  A P  B  =................................................ Donc : ................................................................................... 2. a. Déterminer P  C  . P  C  =................................................................................ b. Déterminer les ensembles A∩C et A∪C . Réponse : A∩C ={ ...................................................} et A∪C ={..............................................} c. Calculer P  A∩C  et P  A∪C  . P  A∩C  =................................................. P  A∪C  =............................................... d. Comparer P  A∪C  et P  A P  C  . Que constate-t-on ? P  A∪C  =..................... et P  A P  C  =.................... Donc .......................................................... e. Trouver une relation liant P  A , P  C  , P  A∪C  , P  A∩C  . .............................................................................................................................................................. 3. Probabilité de la réunion de deux événements : Théorème : Quels que soient les événements A et B : P  A∪B  =........................................................... Si A et B sont incompatibles, P  A∪B  =.................................................................................... Exercice d'application : Soit A et B deux événements tels que : P  A =P  B =0,7 et P  A∩B  =0,5. Calculer P  A∪B  , P  A , P  B  , P  A∪B  , et P  A∩B  .