Passage au carré, à la racine carrée, à l'inverse. Comparaison de a, a² et a 3 lorsque a 0.
1. Passage au carré, à la racine carrée Théorème 1 : a et b étant deux nombres positifs distincts, a b équivaut à a 2 b2 . Voir démonstration 1. Autrement dit, deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leur carrés. Il en résulte que : deux nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même ordre. Pourquoi le théorème est-il faux lorsque a et b ne sont pas tous les deux positifs ? Parce que, par exemple, −2 1 est vrai, mais ....................................................................... 2. Passage à l'inverse Théorème 2 : a et b étant deux nombres strictement positifs, a b équivaut à
1 1 . a b
Voir démonstration 2. Autrement dit, deux nombres strictement positifs sont rangés dans l'ordre contraire de leurs inverses. 3. Comparaison de a, a² et a3 lorque a 0 Théorème 3 : a est un nombre réel strictement positif. 2 3 ● Si a 1 , alors a a a ; 3 2 ● Si a 1 , alors a a a. Voir démonstration 3.