Recherche du minimum d'une somme de distances à l'aide de Geogébra Soit quatre points A , B , C et D d'une droite graduée, d'abscisses respectives 6,2,-3,-1. On considère un point M mobile sur cette droite. On s'intéresse aux sommes de distances : S 1 = AM BM , S 2 = AM BM CM et S 3 = AM BM CM DM . I. Quelques calculs sur papier : a) Si M est à l'origine, calculer les trois sommes S 1 , S 2 , et S 3 . b) Calculer S 1 lorsque M est en A, puis en B , puis en un point du segment [ AB ] . c) Calculer S 2 lorsque M est en A , puis en C , puis en B . d) Calculer S 3 lorsque M est en A, puis successivement en C, en B, et en D . Calculer S 3 pour un point M du segment [ DB ] . II. Création de la figure à l'aide de géogébra Vous n'aurez pas besoin de l'axe des ordonnées : clic droit, propriété, axeY et décocher « afficher axeY ». a) Créer les points A, B , C et D sur l'axe des abscisses (vous utilisez la ligne de saisie : A= 6,0 ) b) Créer le point M, libre sur l'axe. c) Créer la distance entre A et M, B et M, C et M, et enfin, D et M. Vous aurez alors dans la fenêtre Algèbre distanceAM ou distanceBM, etc ... Cachez aussi les distances sur la figure : elles chargent inutilement la figure. Afficher la distance S 1 , S 2 et S 3 . Par exemple, pour S 1 , chercher dans les menus « afficher un texte », cliquer en haut de la feuille de travail, et taper : distanceAM+distanceBM+'''' (à éventuellement modifier) III. Recherche de la position du point M Déplacer le point M . a) Pour quelle(s) position(s) de M la somme S 1 est-elle minimale ? b) Même question pour S 2 ; si nécessaire positionner M sur une position particulière. c) Faire de même pour S 3 . Exercice 2 : 2010... Un spationaute projette d'obserer deux étoiles voisines : Alpha et Bêta ... mais pas trop près, car, en raison de leurs masses, elles exercent une force d'attraction très importante. De plus, le spationaute doit disposer d'assez de carburant, c'est-à-dire d'énergie, pour pouvoir s'en éloigner à la fin de sa mission sinon il resterait à jamais prisonnier de ces deux étoiles ! La distance entre les étoiles Alpha et Bêta est de trois unités spatiales, leurs masses respectives sont de une et quatre unités de masse. On sait qu'en tout point M de la droite (AB), distinct de A et de B , l'énergie E nécessaire pour 1 4 quitter cette position et s'éloigner à une grande distance est donnée par la formule : E = MA MB E étant exprimée en unité d'énergie. On repère un point M de AB par son abscisse x dans le repère A ; I où I est le point du segment [ AB ] tel que AI mesure une unité spatiale (voir dessin). Chercher, à l'aide de Géogébra, la position idéale du spationaute, entre l'étoile Alpha et Bêta, qui nécessitera l'énergie minimale pour quitter sa position.