Mat Prim 2o y 3er ciclo

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Mat Prim 2o y 3er ciclo Powered By Docstoc
					El cuaderno de trabajo de Matemáticas fue elaborado para el Programa Intensivo de
Reforzamiento Académico para Maestros de la Secretaría de Educación y Cultura del Estado
de Coahuila, implementado con el propósito de mejorar los aprendizajes de niños, niñas y
jóvenes de Educación Inicial y Básica.




Coordinación General
Secretaría Técnica de la SEC


Asesoría, Sección, Estrategias Generales:
Dolores Flores Ortiz
J. Guadalupe Villegas Díaz
Rosario García Rodríguez
Cudberto Barajas Coronado


Autores:
Elías Lumbreras Flores
Enrique González Ramírez
J. Guadalupe Villegas Díaz
Ma. Adelaida Gutiérrez Romo


Coordinación Editorial
Dolores Flores Ortiz


Diseño
Jorge Alberto Cano Rosiles
Liliana Isabel Gutiérrez Orozco




Primera Edición                   Secretaría de Educación y Cultura




                                                 1
Índice                                                                              Página


Presentación
                                                                                         3
Introducción
                                                                                         4
Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión                                                                              7

Organización del programa de matemáticas en la RIEB
                                                                                        10
Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. Y 3er.
Ciclo de Educación Primaria                                                             11

Aprendizajes esperados
                                                                                        12
I. Los Números Fraccionarios y sus Operaciones
                                                                                        13
II. Geometría
                                                                                        24

III. Manejo de la Información                                                           59

IV. Unidades del Sistema Métrico Decima                                                 68

Bibliografía
                                                                                        83
Comentarios y sugerencias
                                                                                        84




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Presentación

La Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila se propone en el marco de la política
educativa, desplegar una serie de acciones para impulsar el mejoramiento de la enseñanza en
la Educación inicial y básica. Con éste propósito se pone en marcha para el ciclo escolar
2010-2011, el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.



Dentro de las acciones previstas, se asume el compromiso de proveer estrategias y recursos
de enseñanza destinados a los maestros que han de capitalizar su funcionalidad. Este material
se incorpora a las escuelas para que los maestros dispongan de herramientas que faciliten su
retroalimentación académica y el trabajo didáctico en el aula.



La voluntad de aportar al trabajo pedagógico de los docentes en las escuelas el siguiente
material a través de este programa, logrará mejores concreciones si se alimenta del análisis y
de una reflexión compartida, de criterios a partir de los cuales se tomen las mejores decisiones.



Por ello, es fundamental que todo docente primero lo trabaje de manera personal y con el
colectivo escolar, para que después lo ponga en práctica con sus alumnos y alumnas. Será
indispensable además que a partir de ello, evalúe el material y haga llegar sus comentarios y
sugerencias que permitan mejorar tanto el material como la estrategia de formación docente
implementada.



La participación de las autoridades educativas será fundamental ya que ellas tendrán la
responsabilidad de crear las condiciones que hagan posible el desarrollo de ésta propuesta, así
mismo serán los responsables de identificar las fortalezas y debilidades de la misma al tiempo
que se este desarrollando de manera que les permita orientar sobre el rumbo que deben tomar
e intervenir oportunamente.



                                                              Secretaría de Educación y Cultura

                                                                                        Coahuila




                                               3
Introducción
En la actualidad el papel de los docentes esta centrado fundamentalmente en que las reformas
educativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el docente se convierte en el actor
clave del proceso de transformación educativa.

Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta ocasión el reto es
analizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que la enseñanza de las matemáticas y
el español se pueden guiar sólo y sí el docente tiene consolidado el contenido del currículo de
Educación inicial y básica.

La principal forma de abordar esta acción es dándole énfasis al trabajo docente en colectivo,
donde se encuentra una fuente inagotable de experiencias de aprendizaje decente que en la
cotidianeidad del quehacer escolar se intercambia e impacta la práctica pedagógica, además,
el colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones didácticas
tomadas y acordadas en la escuela.

El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedagógico en la escuela, de ellos
depende el éxito o el fracaso en cada una de las aulas, así como el resultado de las estrategias
pedagógicas y didácticas implementadas,

La sociedad actual exige ciudadanos cada vez más competentes que logren obtener e
identificar información, que resuelvan problemas más complejos que aquellos que establecen
una relación directa y evidente, que realicen deducciones, que interpreten relaciones directas
en contextos específicos y puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que les
permita mejorar su nivel de vida.


Para estructurar este material, un equipo de asesores técnico se dio a la tarea de identificar las
problemáticas de aprendizaje, es decir se realizó un diagnóstico de los aprendizajes no
consolidados que prevalecen en la educación de Coahuila, el referente principal fueron los
resultados de las evaluaciones internacionales, nacionales y estatales, aplicadas tanto a
alumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada del Conocimiento,
Diagnóstico Estatal y Exámenes Nacionales de Actualización para Maestros en Servicio).

El análisis de resultados permitió identificar con precisión los contenidos de difícil comprensión
y elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia, permitan a los docentes y colectivos
escolares de educación inicial y básica decidir y actuar en forma racionalizada.

Este fue un análisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los diferentes niveles y
áreas de la Secretaría de Educación y Cultura del Estado estuvieron representadas por los
asesores técnico pedagógicos responsables de los procesos de la capacitación y actualización
docente.

En general a continuación se enlistan los contenidos de difícil comprensión identificados para
llevar a cabo el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.




Matemáticas


                                                 4
Contextos numéricos y funciones del número
           Cardinal
           Ordinal
           Mixto
           Códigos
           Cálculo
           Memoria de la cantidad
           Valores y equivalencias
           Secuencias

Números fraccionarios y sus operaciones

Conteo
Resolución de problemas
           Aditivos
           Multiplicativos (razones y proporciones)
           Tablas y gráficas
           Escala

Geometría
               Relaciones topológicas (área)
               Relaciones tridimensionales (cuerpos)
               Ángulos, lados, paralelismo, simetría

Principios de álgebra
             Identifica regularidades numéricas y patrones
             Complementos aditivos y multiplicativos
             Fórmulas
             La potencia
             El porcentaje

Medición
               Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos-
                sistema de medición decimal.

Cálculo mental
           Descomposición de números
           Regularidades numéricos
           Complementos aditivos, multiplicativos
           Desarrollos aritméticos




Español


                                               5
Interpretación del significado de un texto
        Estrategias de lectura
                    Activación de conocimientos previos
                    Predicación
                    Anticipación
                    Muestreo
                    Inferencia

Identificación y uso de diferentes tipos de texto
         Textos informativos
                      Noticia
                      Folleto
                      Instructivo
         Textos literarios
                      Cuento
                      Relato
                      Fábula
                      Leyenda
                      Anécdota
                      Historieta

Obtener y organizar información
                  Diccionario
                  Mapas
                  Planos
                  Cuadros sinópticos
                  Esquemas
                  Gráficas, etc.

Conocimiento y uso de estructuras lingüísticas
                  Sustantivos colectivos, propios, comunes, adjetivos, adverbios, verbos,
                    pronombres y artículos

Conocimiento y uso de la lengua escrita
                  Identificación y uso de reglas ortográficas
                  Función de los signos de puntuación

La función comunicativa de la escritura
                  Conocimiento y redacción de diferentes tipos de texto (reporte, reportaje,
                     entrevista, narración, resumen, crónica, reseña, informe, documentos
                     legal)
                  Revisión y escritura de texto (recuperación de contenido en textos
                     informativos, descriptivos, explicativos, manejo de conclusiones,
                     paráfrasis, cita textual, ficha bibliográfica)




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Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión

El Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros de Educación Inicial y
Básica es un programa de acompañamiento pedagógico, que se concibe como una alternativa
de mejora continua, para la escuela y en la escuela.

El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el aula, ofrece a los
maestros experiencias pedagógicas que le permitan generar aprendizajes integrales para el
tratamiento de los contenidos de difícil comprensión.

Objetivos:
             1. Mejorar el rendimiento académico de los alumnos y alumnas de educación inicial
                y básica.

             2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores resolver
                problemas, analizar, aplicar y producir conocimientos.

             3. Implementar un modelo sistemático e integrador de actualización y capacitación
                socioconstructivista en el que los docentes construyan y retroalimenten sus
                conocimientos en colaboración con sus pares.

En el aula el maestro es el animador, es quien encarga de propiciar el desarrollo intelectual de
sus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y manejo didáctico de los contenidos
curriculares, son una exigencia para el desempeño profesional del docente.

El programa Intensivo de Reforzamiento Académico es una más de las acciones para la
profesionalización de los docentes de educación inicial y básica que la Secretaría de Educación
y Cultura emprende.

El siguiente esquema muestra las etapas de nuestro modelo de trabajo.




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El modelo de trabajo se fundamenta en la capacitación continua, como apoyo, se presenta este
Cuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos de difícil comprensión, se busca
promover el aprendizaje en colectivo, la autodidaxia y el papel activo del maestro en y para su
formación.

La práctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra propuesta, por lo
tanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la capacitación se concreta como
modelo de mejora de los aprendizajes.

El programa y su modelo de capacitación aspiran a la formación de un profesor responsable y
comprometido con su escuela, sus alumnos, alumnas y su profesión.

Estrategia Metodológica:

El Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros es una propuesta didáctica
dirigida a docentes con el propósito de impactar el aprendizaje de los alumnos y alumnas, su
implementación se realiza dentro de la escuela y a través del colectivo docente como principal
generador de estrategias áulicas.

El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen realidad en el
contexto escolar, los maestros, así entonces su participación comprometida y responsable es la
clave para el éxito, el logro docente está centrado en la capacidad de aprendizaje interactivo
que tiene lugar en la escuela.

Los directores serán promotores del desarrollo y participación comprometida de los docentes
en esta tarea, deberán involucrarse en el proceso y evaluar el resultado de las actividades
propuestas, intervendrán de acuerdo a la necesidad para asegurar el éxito del colectivo, en
coordinación con el supervisor de zona verificarán y apoyarán a los docentes para que en la
planeación diaria, incluyan las actividades para la atención de los contenidos de difícil
comprensión.

El desarrollo del trabajo comprende la siguiente ruta que presenta los diferentes momentos del
proceso de aprendizaje y retroalimentación docente, en una secuencia lógica y organizada.

1.- Identificamos y discutimos a partir de la lectura general del material los retos, necesidades
personales y del colectivo con respecto a los contenidos del documento y proponemos
alternativas que contribuyan a su dominio académico y a la definición de formas efectivas de
enseñanza.

2.- Definimos qué contenidos y de qué forma los revisaremos en colectivo, considerando
siempre que la interacción con el conocimiento y el intercambio de experiencias son la fuente
principal de aprendizaje.

3.- Revisamos juntos los ejercicios, retroalimentamos nuestros contenidos académicos,
consultamos si es necesario y damos una amplia explicación a cada ejercicio, los resolvemos y
aclaramos nuestras dudas.

4.- Conversamos acerca de la experiencia compartida, identificamos nuestros descubrimientos,
aprendizajes, necesidades, dominios, gustos e intereses académicos relacionados con los
contenidos del material y tomamos acuerdos y decisiones colectivas.



                                               8
5.- Utilizamos los materiales para el fortalecimiento del trabajo en el aula y profundizamos en
los temas de los libros de texto.

6.- Promovemos el conocimiento y reforzamiento de los contenidos de difícil comprensión con
los alumnos y alumnas que así lo requieran, aplicando las actividades según las necesidades.

7.- Valoramos que los alumnos y alumnas logren la comprensión de los contenidos abordados

8.- Informamos a los padres de familia sobre la propuesta de trabajo y los contenidos
abordados con el propósito de promover su participación en ella.

9.- Promovemos el apoyo y el dialogo con otros maestros invitándolos a participar con nuestro
grupo, ya sea como apoyo para abordar un contenido o como demostración de un logro
alcanzado.

10.- Recibimos la visita de nuestras autoridades y mostramos en evidencias claras la atención
en el aula de los contenidos de difícil comprensión, para retroalimentarnos y obtener la
orientación necesaria cuando así se requiera.

11.- Empleamos diversos medios para hacer públicos nuestros resultados y las estrategias de
trabajo implementadas en ésta experiencia.

12.- Participamos en las evaluaciones internacional, nacionales y estatales seguros de obtener
mejores resultados, para posteriormente hacer análisis, reflexión, toma de decisión e
intervención sobre los mismos.

Estrategia de implementación en la escuela




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Organización del programa de matemáticas en la RIEB

Los contenidos que se estudian en la educación primaria se han organizado en tres ejes
temáticos, que coinciden con los de secundaria:

Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de la
aritmética y del álgebra:

      La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje matemático.
      La exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser formuladas
       y validadas con el álgebra.
      La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.

Forma, espacio y medida encierra los tres aspectos esenciales alrededor de los cuales gira, en
la educación inicial y básica, el estudio de la geometría y la medición:

      Explorar las características y propiedades de las figuras geométricas.
      Generar las condiciones para que los alumnos y alumnas ingresen en un trabajo con
       características deductivas.
      Conocer los principios básicos de la ubicación espacial y el cálculo geométrico.

Manejo de la información incluye aspectos que en la sociedad actual, asediada por una gran
cantidad de información que proviene de distintas fuentes, hace que su estudio desde la
educación básica sea fundamental. Los alumnos y alumnas de primaria tendrán la posibilidad
de:

      Formular preguntas y recabar, organizar, analizar, interpretar y presentar la información
       que dé respuesta a dichas preguntas.
      Conocer los principios básicos de la aleatoriedad.
      Vincular el estudio de las matemáticas con el de otras asignaturas.

En estos programas, la vinculación se favorece mediante la organización en bloques temáticos
que incluyen contenidos de los tres ejes. Algunos vínculos ya se sugieren en las orientaciones
didácticas y otros quedan a cargo de los profesores o de los autores de materiales de
desarrollo curricular, tales como libros de texto o ficheros de actividades didácticas.

Un elemento más que atiende la vinculación de contenidos es el denominado “aprendizajes
esperados”, que se presenta al principio de cada bloque y donde se señalan, de modo
sintético, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos y alumnas deben alcanzar
como resultado del estudio del bloque correspondiente. Cabe señalar que los conocimientos y
habilidades en cada bloque se han organizado de tal manera que los alumnos y alumnas
tengan acceso gradual a contenidos cada vez más complejos y a la vez puedan relacionar lo
que ya saben con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios
igualmente válidos para establecer la secuenciación y, por lo tanto, no se trata de un orden
rígido.

Lo que aquí te presentamos, es una alternativa para la autoformación, en términos de los
contenidos de bajo dominio que las evaluaciones externas no han arrojado, no pretendemos
sustituir los componentes curriculares que la RIEB ha prescrito para la educación básica en
nuestro país.



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Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. y 3er.
Ciclo de Educación Primaria



     EJE TEMÁTICO                  TEMA                       SUBTEMA


                           Significado y uso de los          Los números
                                   números.                    naturales
        SENTIDO
                                                         Números fraccionarios

                                                          Números decimales
       NUMÉRICO

            Y              Significado y uso de las        Problemas aditivos
                                 operaciones.
                                                       Problemas multiplicativos y
      ALGEBRÁICO                                              la división

                         Estimación y cálculo mental       Números naturales

                                                         Números fraccionarios

                                   Figuras                   Figuras planas
         FORMA
                                                                Cuerpos
        ESPACIO           Ubicación
                          espacial                          Representación
            Y
           MEDIDA           Medida                         Conceptualización

                                                          Estadística y cálculo

                                                                 Unidades

                                                       Búsqueda y organización
                        Representación de la
                                                          de la información
                        información
      MANEJO DE                                           Diagramas y tablas

                                                             Relaciones de
           LA                                               proporcionalidad
                        Análisis de la información y
                        representación de la
     INFORMACIÓN                                              Nociones de
                        información.
                                                            proporcionalidad




                                        11
Aprendizajes Esperados

Como resultado del trabajo de nuestra propuesta se espera que el alumno tenga disponibles
los siguientes aprendizajes en 6° grado:

BLOQUE I
Usa fracciones para expresar cocientes.
Interpreta información en distintos portadores, como tablas y gráficos, y la usa para resolver
problemas.
Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio, diámetro, centro) y resuelve
problemas que implican calcular su longitud.
Conoce las características de los cuadriláteros.
Traza y define rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos y
obtusos.

BLOQUE II

Aplica el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.
Resuelve problemas que involucran el uso de las medidas de tendencia central (media,
mediana y moda).
Construye y calcula la superficie lateral y total de prismas y pirámides.

BLOQUE III

Determina, por estimación, el orden de magnitud de un cociente.
Calcula porcentajes y los identifica en distintas expresiones (n de cada 100, fracción, decimal).
Resuelve problemas que implican conversiones del Sistema Internacional (si) y el Sistema
Inglés de Medidas.

BLOQUE IV

Ordena, encuadra, compara y convierte números fraccionarios y decimales.
Resuelve problemas que implican comparar razones.
Traza polígonos regulares inscritos en circunferencias o a través de la medida del ángulo
interno del polígono.
Resuelve problemas que implican calcular el volumen de prismas mediante el conteo de
unidades cúbicas.
Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de
capacidad.

BLOQUE V

Utiliza las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidades
de medida.

Selecciona el modo adecuado de presentar información mediante diagramas y tablas.
Compara las probabilidades: teórica y frecuencial de un evento simple.




                                               12
                        I.- Los Números Fraccionarios y sus Operaciones

El concepto de fracción

Objetivo: Propiciar en el alumno la construcción del concepto de fracción.

La fracción como signo pertenece al campo de la semiótica – estudio de los signos-; como tal
requiere de recursos conceptuales, vocabulario y mediación significativa para su cognición, ya
que la fracción como signo, a su vez, requiere de la comprensión sintáctica y semántica del
número –signo-.

La sintaxis describe las reglas de construcción de las grafías matemáticas. La semántica
describe en la fracción la contraposición del uso convencional del signo –número-, la
comprensión por contraposición requiere de mediaciones cognitivas. Por ello, el análisis
programático, la diferenciación progresiva del contenido y las mediaciones cognitivas
(manipulación objetiva), determinarán en gran medida la instrumentación didáctica y la
apropiación del contenido.

En un proceso de enseñanza es necesario que el docente conozca las diferentes
interpretaciones de la fracción:

   1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracción
      asociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como
      fracciones sin ninguna relación( ½ , ¾)

   2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades de
      diferente magnitud, la forma natural de la unidad no existe como tal, existe la idea de
      par ordenado y la relación se escribe a:b.

   3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y
      la cantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños
      tienen zapatos, es lo mismo que decir 40 %.

   4. La fracción como medida. La pulgada es un buen auxiliar – en principio -, para
      conceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción
      está asociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que
      se ha dividido la unidad base.

   5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre
      el todo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro.

   6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir un
      número natural entre otro.

Desde la perspectiva del uso de la fracción en la solución de problemas, podríamos
plantearnos la siguiente pregunta:

          ¿Es posible que el alumno comprenda todos los significados de la fracción?

Si intentáramos encontrar la respuesta, posiblemente encontraríamos las mismas dificultades
que los alumnos y alumnas. En relación con el proceso enseñanza/aprendizaje de la fracción,


                                               13
y en especial el aspecto conceptual, hay que señalar algunas consideraciones de suma
importancia que requieren de un tratamiento especial:

   a) Hay que trabajar primero las relaciones conceptuales.

   b) El significado o aspecto conceptual (constructo), debe ser enriquecido en diversos
      contextos y no sólo con la idea de fraccionamiento o partición secuencial.

   c) Ejercitar el uso de la fracción como medida, cociente, razón y operador; no limitarse al
      uso mecánico del algoritmo.

   d) El algoritmo y su uso convencional han de ser la parte final del proceso y no el principio.



Ejercicios:

1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracción
asociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como fracciones sin
ninguna relación (½, ¾)

Si tienes los siguientes envases:




                       1 kilo   1/2 kilo ¼ kilo

¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 kilogramo de azúcar?
_____________________________

¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 y medio kilogramo de frijol?
________________________

¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 ¾ kilogramo de arroz?
_______________________________

Utilizando los medios y los cuartos, ¿puedes hacer 5 Kilos de frijol? ______________

¿Cuántos de cada uno utilizaste?_________________________________________

Si quieres 2 ½ kilos de azúcar utilizando sólo los cuartos, ¿puedes hacerlo?

¿Cómo?_______________________________________________________________




                                               14
2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades de
diferente magnitud,”una razón es pues la comparación entre dos cantidades”. Una razón se
puede escribir en forma de quebrado. Al primer término se le llama numerador o antecedente,
al segundo se le llama denominador (divisor), consecuente; para encontrar el valor de una
razón se divide su antecedente entre el consecuente.

Ejemplos:

La razón de 4 a 5 se escribe 4: 5 = 4/5; 4 entre 5 = .8 = 8/10 = 80/100 = 80%
La razón de 3 a 4 se escribe 3: 4 = 3/4; 3 entre 4 =.75 = 75/100 = 75 %

En un aula, por cada 4 hombres hay 7 mujeres. Si el número de alumnos es 16 ¿Cuántas
alumnas tiene el aula? Se lee 4 es a 7, 16 es a 28; 4/7 = 16/28.

                               Hombres 4          8       12   16
                               Mujeres 7          14      21   28

En parejas trabajen con los siguientes ejercicios, completen la tabla y justifiquen sus
respuestas.

Si por 4 tacos se pagan 6 pesos, ¿cuánto se pagará por 10 tacos?

                                 Tacos
                                 Pesos




En un puesto de frutas, las mandarinas se venden a 3 por 5 pesos. ¿Cuántos pesos se pagará
por 2 docenas de mandarinas?




En una tienda de mascotas, el precio de 3 codornices alcanza para comprar 2 docenas de
pollitos ¿Cuántos pollitos se necesitan para canjearlos por 5 codornices?




                                                15
Para alimentar a dos ponis se necesitan 22 kg. de pasto al día. ¿A cuántos ponis se podrá
alimentar con 110kg. de pasto al día?




En la siguiente tabla anota la fracción que representa la razón de cada uno de los ejercicios

                      Tacos        Mandarinas        Codornices     Ponis




3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y la
cantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños tienen
zapatos, es lo mismo que decir 40 %.


Pedro tenía $ 80 pesos. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le
queda?

                    Cantidad         20%        15% del resto     Diferencia
                        80

¿A cómo hay que vender una camisa que costó $ 680 pesos para ganar el 15% en la venta?



Determina:

         35% de una          20% de 45      l5% de 4       25% del 20%      70% de 5/2
            hora                                              de 80



Calcula el número que aumentado en un 25% es igual a 400 _____________

Una persona gastó 1.475 pesos, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto tenía?______


                                                16
Un hombre al morir dispone que su fortuna, que asciende a 2‟000,000.00 pesos, se entregue
el 35% a su hijo mayor, el 40% del resto a su hijo menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto le
correspondió al asilo?

                     35% hijo mayor       40% del resto     Cantidad para el asilo




4. La fracción como medida. La pulgada y el metro son un buen auxiliar – en principio -, para
conceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción está
asociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que se ha
dividido la unidad base.



     0                                                100 cm



a) la fracción que representa 4/5 del metro se ubica en_________

b) el 30% de la medida del metro es igual a: __________

c) 7/10 del metro es igual a:_______________

d) .20 del metro es igual a:________________

5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre el
todo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro.

Si tenemos los siguientes dibujos que simulan un vaso cilíndrico:




                        1/4         1/2                   1/2          ¾




                        4/8         1/2                   3/4         2/4
a).¿En cuáles vasos no se derramaría el líquido si pasamos el de la izquierda hacia el de la
derecha? __________________

b). En los otros casos. ¿Qué cantidad de líquido habría que dejar en el primer vaso para que
no se derrame? ______________________________

c). ¿Qué porcentaje en el recipiente que contiene ¾ quedaría? _____________________

                                                17
6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir un
número natural entre otro.

Si José tiene 24 chivas, ¿cuántas tendrá cuando las represente como 7/6? ______________

¿Cuál es el monto de 2/7 de un depósito bancario de 4,582.45 pesos? _______________

De un grupo de personas que solicitan trabajo, sólo se acepta a 65. Estas representan 5/6 del
total ¿Cuál es el número de solicitantes? ____________


Ejercicios

   a) Completa la siguiente tabla.


                                                    Fracción Fracción Razón % de   N°
                                     Nº de Nº de
                                                       de       de               decimal
                                     perros gatos
                                                     gatos perros          perros gatos



   b)   Observa y luego completa.




Cuerpos en total ____________ Cubos en total _____________ Conos en total
___________


Cilindros en total __________    Esferas en total _____________


Fracción de cubos                             Fracción común simplificada

Fracción de conos                             Fracción común simplificada

Fracción de esferas                           Fracción común simplificada


Fracción cilindros                            Fracción común simplificada




                                             18
     c) Observa y completa la siguiente tabla
                          Fracción común con           Fracción común
        Objetos                                                              Tanto por ciento
                             denominador 10              simplificada
         Cubos
        Cilindros
        Esferas
         Conos


     d) Si estos objetos estuvieran en una caja y te taparán los ojos ¿qué objeto sería más
        probable que sacaras?




Es más probable sacar _____________ Es poco probable sacar_______________
Es igual de probable sacar_______________________________________________


     e) La probabilidad de un evento indica la posibilidad de que este evento ocurra. La
        probabilidad se puede representar aritméticamente.

Utilizando los datos de la tabla anterior determina mediante un número fraccionario la
probabilidad que tienes al sacar un objeto.


La probabilidad de sacar una esfera es                La probabilidad sacar un cilindro es



La probabilidad de sacar una cubo es                   La probabilidad de sacar el cono es



     f)   La probabilidad también se puede expresar porcentualmente



Existe un        de probabilidades de sacar una esfera. La probabilidad sacar un cilindro es



La probabilidad de sacar un cubo es                    La probabilidad de sacar el cono es



El           es la misma probabilidad para sacar cilindro o una esfera.


                                                19
   g) Con los datos que se encentraran en la etiqueta de las botellas completa la
      siguiente tabla.

                            Litro
                                          Fracción
                         expresados
                                         común con                         Número
Cm3 mililitros gramos    en fracción                     Se lee       %
                                        denominador                        decimal
                           común
                                            100
                         simplificada

                             1/2

                                                      75 por ciento

       200                                20/100

                                                                             .25

                                                                      60




                                          20
Ejercicios de reafirmación

      Si el área del triángulo mayor es 640 cm2 ¿Cuál es área del triángulo rectángulo y qué
       porcentaje del triángulo mayor es?




      De una caja que contiene un lápiz rojo, un azul, un verde y un negro ¿Cuál es la
       probabilidad de sacar el lápiz rojo, sin ver en su interior?



      Sin ver en el interior de un bote que contiene los siguientes botones: dos verdes, tres
       amarillos, cinco rojos y dos blancos ¿Cuál es la probabilidad de sacar un botón blanco?



      Sofía puso a llenar una cubeta en la llave del agua a la mitad, su tía le sacó 4 litros y
       quedó un cuarto. ¿Cuál será la capacidad de la cubeta?



      Tres de cada cinco libros de una biblioteca tienen ilustraciones, si en la sección de
       ciencias hay un total de 530 libros, ¿cuántos de éstos tienen ilustraciones?



      A un estadio asistieron 4800 personas, de éstas el 68% son hombres, el 25% son
       mujeres y el resto son menores de edad. ¿Cuántos menores de edad hay en el estadio?



      Tres llaves tardan en llenar una pipa de agua 4, 6, y 12 horas respectivamente, si se
       abren las tres llaves al mismo tiempo para llenar más rápido la pipa, ¿Qué porcentaje
       de la pipa se cubrirá en una hora? ¿En cuánto tiempo se llenará?



      En la parte baja de una cisterna hay 500 litros de agua, lo que representa ¼ del total,
       por su forma la capacidad se reduce en un 20% cada cuarta parte de su altura.

       ¿Cuál es la capacidad total de la cisterna?___________________________________


       ¿Cuántos decímetros cúbicos habrá cuando su capacidad está al 75%) ___________




                                              21
      Sandra, Julia y Francisco han recibido la misma cantidad de bombones. Sandra se ha
       comido 5/6, Francisco 7/12 y Julia 3 de cada cuatro. ¿A quién le quedan más
       bombones?_______________


      En un reloj de manecillas….

   a).¿Cuántos minutos son dos quintas partes de una hora?

   b).¿Qué parte de una hora son cinco minutos?

   c).¿Cuántos minutos son dos terceras partes de tres cuartos de hora?


Considera los siguientes esquemas para las cuestiones que se te plantean.



       A                B                          C                          D




   a). ¿Cuántas unidades del tipo B caben en el cuadrado C?__________________

   b). ¿Cuántas unidades del tipo D caben en C?____________________________

   c). ¿Qué parte de B es C?___________________________

   d). ¿qué parte de B es D?___________________________




      Del dinero que le regalaron a Juan Carlos -180. 00 - por su cumpleaños, utilizó tres
       quintas partes para comprar un juguete. ¿Cuánto costó el juguete? _______________




                                             22
  0                                                       1                                            2
                                                                    A                  C
                                                                                               D

  a) ¿Qué fracción representa la letra C? ______                         B

  b) ¿Qué letra corresponde al salto 1.7? ______

  c) ¿Qué letra representa 3/10? _____________

  d) ¿Qué letra corresponde a la fracción menor?              ________

   ¿Por qué? R= ________________________


        Completa la siguiente tabla

               Repartir en partes                              A cada uno le      Fracción
                                           Entre
                   iguales                                     corresponden       del total
                                       8 personas             media manzana
                    1 pizza            4 personas
                 12 chocolates                                 4 chocolates
                                       2 personas                1 plátano
                                                                 6 dulces              1/3


        El equipo de caminata

Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:

El equipo de caminata de la escuela practica en un circuito de 4 km. El maestro registra el
recorrido de cada uno de los integrantes en una tabla como la siguiente; analicen los datos y
completen la tabla anotando su equivalente en kilómetros.


Nombre         Pedro      Víctor       Silvio      Eric          Irma        Adriana         Luis   María


Vueltas         1/2        1/4          4/5        2 7/8         0.75         1.25           1.3     2.6


Km




                                                   23
                                          II Geometría

1.- Trazo de Paralelas y de Perpendiculares

Desde la antigüedad, el hombre ha dado mucha importancia al trazo de paralelas y
perpendiculares, ya que son la base de todas sus construcciones. En Egipto, por ejemplo, no
se levantó ningún edificio sin examinar cuidadosamente cada paso de su construcción.



  Con estacas y cordeles        Cada bloque se examinaba       La plomada servía, para
 hacían las perpendiculares         con la escuadra            hacer verticales los muros




   Para trazar paralelas utilizamos las       Para trazar perpendiculares, se puede usar
    escuadras, como se ve enseguida                 la escuadra y también el compás




Una recta completa no puede medirse porque no tiene fin; su extensión es ilimitada.

Supongamos que queremos terminar la recta empezada aquí:

             _______________________________________________________

Aunque añadiésemos a ambos lados de esta hoja, otras hojas o tiras de papel de 100 metros o
de 1,000 metros, nunca acabaríamos de trazar la línea, pues podríamos seguir agregando y
agregando tiras y más tiras de papel y seguiríamos trazando la recta sin acabarla jamás.




                                              24
Lo que sí podemos medir es una parte de una recta. Cualquier parte de una recta se conoce
con el nombre de segmento.

               __________________           Este segmento mide 4 centímetros.
               __________                   Este segmento mide 2 centímetros.

Cuando nos dicen: “traza una recta”, debemos entender que lo único que se traza es un
segmento de ella; pero éste basta para indicar la posición de toda la recta.

Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas, cada una de las cuales nos indica un punto.
Así, al decir recta AB, entendemos que es la recta que pasa por los puntos A y B.
                          A                                       B




Si se trata de un segmento usamos las mismas letras, pero ponemos una rayita arriba     AB , lo
que indica que se trata de la distancia que hay entre A y B.

Toda recta que divide en dos partes iguales a una figura se llama bisectriz. Las líneas de
puntos son las bisectrices de las figuras:




Si una recta divide a un segmento en dos partes iguales es, pues, su bisectriz; pero si, además,
es perpendicular a él recibe el nombre de mediatriz. Para construir la mediatriz de un
segmento, se apoya el compás alternativamente en cada uno de los extremos del segmento, se
trazan arcos a ambos lados y se unen los puntos donde se cruzan los arcos, como se indica en
la ilustración:




                                              25
Para trazar líneas perpendiculares usa la escuadra, así:




Para hacer un cuadrado usa siempre la escuadra y serán perpendiculares sus lados: mide
éstos con una regla, para que tengan exactamente la misma medida.

Los lados opuestos del cuadrado son paralelos, porque están siempre a la misma distancia.




Paralelas

Las líneas paralelas son como las rayas de tu cuaderno, los rieles del ferrocarril, los alambres
de la luz, etc.




                                              26
Para trazar líneas paralelas usa la escuadra apoyada sobre la regla, así:




Las dos líneas que en el cuadrado forman el ángulo recto se llaman: perpendiculares.




Estas líneas también son perpendiculares:




                                              27
Ejercicios de reafirmación

   a) Dado el segmento de recta    AB   traza la bisectriz ED



                           A                                    B




   b) Dada el segmento AB construye un triángulo cuya perpendicular sea 3 unidades y el
      punto de intersección esté a 2 unidades del punto A.




                           A                                    B




   c) El triángulo construido es: _____________________________-



Dado el siguiente par de rectas traza la mediatriz.




                                            28
     d) En cada caso determine que recta es mayor:



            C                          B                    A                   C

 A                      B

                                      A



           D                     C                    D                   B

Recta:___________             Recta:___________           Recta:____________


     e) Escribe el nombre de las siguientes líneas




         ¿Qué ángulos forman dos rectas perpendiculares?

         Traza la mediatriz del siguiente segmento


     f)   Escribe el nombre a cada uno de estos ángulos:




     g) Observa el siguiente ángulo:


                                 ¿Cómo se le puede llamar a la recta que divide al ángulo
                                 en partes iguales?

                                 a).______________________________________
  A                     B
                                 b).______________________________________

                                 c).______________________________________

                                                29
2. Principales Figuras Planas

Los triángulos, cuadriláteros, polígonos y círculos se llaman figuras planas porque todas sus
partes están en un mismo plano, como el plano de una hoja de papel, el plano del pizarrón, el
plano de una pared, etc.

Las figuras planas limitadas por líneas rectas tienen el mismo número de lados que de ángulos.
Se dividen en dos grandes grupos:

1º   Figuras regulares: las que tienen sus ángulos y sus lados iguales.

2º   Figuras irregulares: las que tienen ángulos y lados desiguales.




       Regular                 Regular                 Irregular               Irregular

Triángulos

La palabra triángulo significa tres ángulos; luego, los triángulos son las figuras que tienen tres
ángulos y tres lados.

a)    El triángulo regular, o sea el que tiene sus ángulos y sus lados iguales, se llama
      triángulo equilátero. La siguiente ilustración nos muestra cómo podemos trazar un
      triángulo equilátero usando el compás y la regla.




b)    Los triángulos irregulares son: el isósceles, que tiene sólo dos lados iguales, y el
escaleno, cuyos tres lados son diferentes.



      Triángulo                                       Triángulo
      isósceles                                       escaleno

También se construyen usando el compás y la regla. Las ilustraciones indican cómo

Triángulos isósceles. Ejemplo: lado desigual o base, 2 cm; lados iguales, 2.4 cm cada uno.



                                           2.4 cm                  2.4 cm

            2 cm                  2 cm                   2 cm



                                               30
Triángulo escaleno. Ejemplo: un lado de 4 cm. otro de 3 cm y otro de 2 cm


                                   3 cm                      3 cm
                                                  2 cm
                       2 cm

                           4 cm                          4 cm


Ejercicios de reafirmación


   a) Marca en los siguientes triángulos su altura.




      Señala los triángulos que estén delineados por un ángulo obtuso.

      Marca los triángulos que tienen dos ángulos iguales y dos lados perpendiculares.

      Escribe a cada triángulo su nombre.

      ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo?_________.




   b) Dado el triángulo ABC, identifique su punto medio P.

       A



                                                                               C




                                                  B




                                             31
c) En una recta de 6 cm. marca el centro, con la regla y el compás traza un triángulo
   equilátero. Indica la medida de sus ángulos internos.




d) El maestro Enrique propuso a sus alumnos y alumnas la siguiente actividad: Construyan
   un triángulo equilátero de 9 cm. de lado. Posteriormente dividan cada lado en tres
   segmentos iguales. Unan los límites de los segmentos intermedios; Observa la figura
   que se construyó.                        ¿Qué perímetro tiene?


                                       A




                              D                   E



                        I                              F



                    C             H           G            B




                                        32
3. Cuadriláteros

La palabra cuadrilátero significa cuatro lados. Los cuadriláteros se dividen en tres grandes
grupos:


                                  Cuadrado
                                                           {   Los 4 lados iguales y

                                                               los 4 ángulos rectos.


         Paralelogramos
        Son los que tienen
                                  Rombo
                                                           {   Los 4 lados iguales,
                                                               2 ángulos agudos iguales y
                                                               2 obtusos iguales.
        sus lados opuestos
             paralelos
                                  Rectángulo
                                                           {   Lados iguales de 2 en 2 y

                                                               los 4 ángulos rectos.


                                  Romboide                 {   Lados iguales de 2 en 2,
                                                               2 ángulos agudos iguales
                                                               y 2 obtusos iguales.

            Trapecios
           Sólo tienen 2
          lados paralelos    {    Trapecios




          Trapezoides: Los que no tienen lados paralelos
                                                           {
El único cuadrilátero regular es el cuadrado. Para construir un cuadrado se necesita conocer la
medida de unos de sus lados o una de sus diagonales. Por ejemplo:




                                                       90°
Lado:



Diagonal:




                                                 33
    Ejercicios de reafirmación

          a) Doña Tere le pidió a Don Toño el albañil, que cambiara el azulejo de las paredes de
             su cocina. Don Toño le contesto – yo cobro 60 pesos por metro cuadrado-. La parte
             sombreada representa el área del azulejo que hay que cambiar. ¿Cuánto tendrá que
             pagar doña Tere? R:__________

               4m
                                                4m
                                                                                      3m

     2m                                                                     2m
                                                                 2m


          b) Determina el área de la parte sombreada de las figuras.


               3.1 cm

2.3 cm                                             5 cm                  7M

                                                  14 cm                              7M


          c)    De la siguiente figura determina el área de las figuras inscritas:

    Semicírculo:_____________, cuadrado:____________ , triángulo:____________

    ¿Qué área es mayor, la blanca o la negra? R:_______________


                        1 cm
                                                                   3.5 cm




                                                                   2.5 cm




                                                    34
     d) Julio va a colocar piso en la parte central de su patio y en los extremos pondrá
        pasto, el siguiente dibujo muestra como lo hará, ¿qué cantidad de piso
        necesita?_________________________



                                             Si el rollo de pasto cuesta 75 pesos el metro
                                             cuadrado, ¿cuánto costará cubrir las
7m                                           áreas?________



                  12m

                  8m

     e) María camina diariamente, si da cuatro vueltas y la alameda mide .15km de ancho y
        .57 km de largo ¿Cuántos kilómetros camina diarios?______ ¿Cuántos kilómetros
        camina durante quince días?________



     f)   La escuela “México” presentará una tabla gimnástica alusiva a la Revolución
          Mexicana, para lo cual elaboraron mosaicos de 45 X 45 cm, si participan 15 filas con
          doce alumnos y alumnas en cada una, ¿qué medida tendrá la imagen formada con
          los mosaicos?__________

          ¿Cuál es el perímetro ocupado por la imagen?_________



     g) ¿Cuántas piezas de mosaico se necesitan para cubrir el piso de una habitación que
        mide 6m de largo y 4 m de ancho? considera que las dimensiones del mosaico son
        de 45 cm por lado. _____________________________________



     h) En el grupo de Luis hay 45 alumnos, cada uno de ellos construyó con cartoncillo un
        dm lineal de 1 cm de ancho, para luego juntarlos y formar metros cuadrados.
        ¿Cuántos metros cuadrados se podrán formar?



           1 cm




                                             35
i)     Un perro está atado a una cadena de 2 m de largo unida mediante una argolla, a
      una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2 m y 4 m. La argolla de la
      cadena puede desplazarse libremente por toda la barra. Sombrea toda la región en
      la que el perro puede estar.



     ¿Cuál es el área total de la región que abarca el perro?


                            4M


                                               2M
                                   2M


j)    Un agente de bienes raíces fue a ofrecer un terreno, cuya superficie era de 216
      metros cuadrados. El presunto comprador le preguntó cuales eran las dimensiones
      (largo y ancho) y el hombre contestó; se me olvidó el dato, pero recuerdo muy bien
      que el perímetro total del terreno es de 60 metros.

     ¿Podría deducir usted con estos datos el largo y ancho del terreno? ____________




                                          36
4. El Círculo


Instrucciones: Trabajando primero con la figura adjunta y los datos que se te dan, en parejas,
relacionen las dos columnas; justifiquen y coloquen el número dentro del paréntesis que le
corresponde.




1. La línea que limita un
círculo se llama.                                               (   ) Cuerda.

2. Su trazo es un segmento
recto que une dos puntos de
la circunferencia y delinea a
su vez un eje de simetría.                                      (   ) Circunferencia.

3. Segmento recto que une
dos puntos y no pasa por el
centro de la circunferencia.                                    (   ) Tangente.

4. Delinea la distancia que
hay del centro del círculo a un
punto    cualquiera    de la
circunferencia.                                                 (   ) Diámetro.

5. Superficie delineada por
ángulo cerrado de 3600.

6. Segmento recto que sólo                                      (   ) Círculo.
toca un punto del perímetro.



                                                                (   ) Radio.




                                             37
     Ejercicios de reafirmación

     El círculo en el cilindro

     1.- En parejas, respondan lo que se les pide y justifiquen sus respuestas.




a)   ¿Cuántas caras laterales tiene? ____________ ¿Qué forma tienen y cómo son entre

     sí?___________________________________________________________________


b)   ¿Cuántas bases tiene?__________________________________________________



c)   La circunferencia en este cuerpo se denomina:_____________________________



d)   La superficie que ocupa una de sus caras laterales la podemos determinar


     conociendo___________________________________________


e)   La longitud del perímetro de una de las bases circulares es igual a:________________




                                                                                  .1415926




                                                   38
2.- En parejas resolvamos el siguiente problema.

                Algunas medidas de una llanta de automóvil son las siguientes




            ¿Cuál es la medida del diámetro total externo de una llanta185/60R14?

El primer número nos da la medida de lo ancho de la llanta en milímetros.

El segundo número es la medida de la altura del costado, dada en porcentaje del ancho de la
llanta.

El último número es el diámetro del rin en pulgadas.

           Ancho                         Altura                   Diámetro del rin



Medida del diámetro externo de una llanta185/60R14:_______________________

¿Cuál es la medida del segmento de recta que describe un giro de la llanta185/60R14?
___________________________________________________

Llantas: 185/60R14, 295/50R14, 235/70R14: Si la medida del rin es constante, ¿cuál de las
medidas de la llanta nos dará mayor rendimiento por litro de combustible?
_______________________________________________________




                                              39
3.- Para responder a las siguientes preguntas trabaja primero con la figura adjunta y los datos
que se te dan.

¿Qué es un círculo?_________________________________________________

¿Qué es una circunferencia?__________________________________________

El perímetro de un círculo es igual a la medida de________________________

                                      Radio = 5 cm.      Diámetro =___________

                                      Área =

                                      Perímetro =

4.- Si a los datos anteriores les adjuntas 12 cm de altura ¿qué forma geométrica delinearías?

                                      Radio = 5 cm

                                      Diámetro =

                                      Área =

                                      Altura =

                                      Volumen =

5.- Para determinar el volumen del cono realiza el ejercicio que se te propone.

Materiales: agua, cono, y cilindro (misma altura y diámetro); llena el cono de agua y vacíalo en
el cilindro. ¿Cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro?___

                                                  El volumen de la pirámide es la tercera
                                                  parte del prisma que la determina.



                                                                      6cm


                                                                  6 cm

Radio = 5 cm, Altura = 12 cm                      6 cm

Área del círculo _________

Volumen del cono ___________




                                                 40
5. El círculo y los polígonos inscritos



                                            El trazo de la circunferencia es muy útil para
                                            la construcción de polígonos inscritos en
                                            ellas. Así, para hacer un cuadrado se traza
                                            primero la circunferencia, y luego dos
                                            diámetros perpendiculares. Los extremos
                                            de los diámetros se unen y se forma el
                                            cuadrado.




                                            Para trazar un octágono basta trazar las
                                            bisectrices de los ángulos que forman dos
                                            diámetros     perpendiculares    y   unir,
                                            sucesivamente, los puntos señalados en la
                                            circunferencia.




Si con la medida del radio, trazamos tres
arcos y los      unimos ordenadamente,
delineamos un triángulo equilátero
inscrito.




                                            Si con el radio de una circunferencia se
                                            trazan cuerdas, una a continuación de otra,
                                            se forma un hexágono inscrito.




                                            41
6. El círculo y sus ángulos

Los ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.



Cada grado tiene 60 minutos („), y cada
minuto, 60 segundos (“).

          1º = 60‟       1‟ = 60”

             1º = 60‟ = 3,600”
                                                           Ángulo de = 360°


El transportador lo debes colocar así: El punto que marca la mitad en la base del transportador
tiene que colocarse en el vértice del ángulo (origen del radio). La línea base del ángulo
(diámetro) debe señalar el 0 del transportador.




Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:

1.     Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).

2.     Colineal, el que mide media vuelta (180º llano).

3.     Perígono, el que mide una vuelta entera (360º).




                                              42
Ejercicios de retroalimentación

1.- Con un poco de imaginación el presente gráfico representa el dispositivo mecánico de la
bicicleta, obsérvalo y responde las interrogantes que de él se desprenden.




                       C


                                A                                     B




Si el círculo B es tres veces menor que C y dos veces mayor que A;

¿Cuántos giros da C cuando B da tres revoluciones?

a) 1/3 de giro. b) 3 giros.   c) 2 giros. d) 6 giros.

2.- El avance de este dispositivo está determinado por:

a) El perímetro de B. b) El perímetro de A. c) El perímetro de C. d) La relación entre A y B

3.- Semánticamente al siguiente gráfico no se le puede llamar:


   a) ángulo llano

   b) perígono

   c) circunferencia

   d) círculo




                                              43
4.- En el terreno de mi abuelito Lorenzo, que está en Monclova, Coahuila, queremos hacer una
pista para patinar. El arquitecto hace el siguiente diseño. La región del centro es pasto y el
resto será cemento pulido.
¿Cuál es el área del pasto? __________________
¿Cuál es el área del cemento? _______________
¿Cuál es el área total? _____________________


                          7m



                           3.5 m




5.- En el grupo de Carlos construirán un túnel de 1.8 m de altura y 2 m de fondo, ¿qué cantidad
de varilla necesitan para una estructura de tres arcos y la base?______________




Si el túnel lo van a cubrir con tela, ¿qué cantidad necesitan comprar?_____________________




                                              44
7. Polígonos

La palabra polígono significa muchos ángulos, y con ella se pueden nombrar todas las figuras
planas limitadas por líneas rectas; así, un polígono de tres ángulos es un triángulo; uno de
cuatro ángulos es un cuadrilátero; los de cinco ángulos se llaman pentágonos; los de seis
ángulos hexágonos; los de ocho ángulos octágonos. Los hay de 15, 20, 100 ángulos, y así
hasta llegar al que tiene un número tan grande de lados que no se pueden contar y que se
denomina círculo.




     Pentágono                Hexágono                 Octágono                 Círculo



Círculo

Recordemos que todo objeto que tiene la forma de una rueda, de una moneda, etc., es
circular, ya que su superficie principal tiene la figura de un círculo.



Cuando un polígono tiene sus vértices en una
circunferencia, ese polígono está inscrito en la
circunferencia (“inscrito” quiere decir trazado dentro); en ese
caso la circunferencia está circunscrita al polígono
(“circunscrito” significa trazado alrededor).



                                                     Para trazar un octágono basta trazar las
                                                     bisectrices de los ángulos que forman dos
                                                     diámetros     perpendiculares    y   unir,
                                                     sucesivamente, los puntos señalados en
                                                     la circunferencia.


                                                     Como lo vimos en el tema anterior, si con
                                                     el radio de una circunferencia se trazan
                                                     cuerdas, una a continuación de otra, se
                                                     forma un hexágono inscrito.




                                                45
Trazando los radios que van a los vértices de cualquier polígono regular inscrito, el polígono
queda dividido en triángulos iguales.




         Pentágono                        Hexágono
                                                                          Octágono

Cada ángulo cuyo vértice está en el centro mide la quinta, la sexta o la octava parte de 360º,
según los lados sean 5, 6 u 8; así, en el pentágono, cada ángulo mide 72º, en el hexágono 60º
y en el octágono 45º.

Esta propiedad nos sirve para trazar un polígono regular de cualquier número de lados. Por
ejemplo, para construir un pentágono se traza una circunferencia y uno de sus radios; sobre
este radio, y con vértice en el centro, se traza un ángulo de 72º; se toma la medida de la cuerda
y se repite ordenadamente esta medida en toda la circunferencia; se unen los puntos y se
obtiene el pentágono. La ilustración indica los pasos mencionados:




Ejercicios de Retroalimentación




1.- En los siguientes polígonos traza sus ejes de simetría y responde a las siguientes
preguntas.

a).- ¿Qué relación encuentras entre el número de ejes de simetría y el número de lados de las
figuras regulares? __________________________________________

b).- Las alturas del triángulo equilátero son ejes de simetría?_________________

c).- ¿Las diagonales del cuadrado son ejes de simetría? ____________________

e).- ¿Las diagonales de cualquier polígono regular son ejes de simetría? _______

f).- Un polígono tiene 8 ejes de simetría. ¿Escribe tres características del
polígono?____________________________________________________________________
_____

h).- ¿Qué clase de triángulo tiene más ejes de simetría? ___________________
                                               46
2.- Observa las figuras del recuadro y contesta las preguntas:




a) ¿Cuál de las figuras no tiene diagonales ni ejes simétricos?___________.

b) ¿Qué figura tiene solamente un par de lados paralelos?_________________________.


c) ¿Qué figura no es un polígono?________________________.

d) ¿Qué figura al trazar sus diagonales coincide con los ejes simétricos?______________.

e) ¿En cuáles figuras al trazar sus ejes simétricos se forman triángulos
   equiláteros?_________________.

f)   ¿En qué figura sus diagonales forman líneas perpendiculares?___________________.




                                              47
8. Cuerpos geométricos

La siguiente guía de trabajo te permitirá reforzar y ejercitar estos contenidos. Lee atentamente
las instrucciones y no olvides revisar cada actividad una vez terminada.


1. Completa la tabla siguiente.


                  Cuerpo          Número de         Número de        Número de
                                    caras            vértices          aristas




      ¿Cuántas aristas tiene un prisma de base triangular?




      ¿Y una pirámide de base triangular?




      ¿Qué diferencia hay entre un prisma y una pirámide?


   _________________________________________________________________________




                                               48
2. Describe cada uno de los elementos que se señalan.




3.- La siguiente guía te permitirá ampliar los contenidos trabajados. Por medio de la resolución
de problemas. Lee atentamente las instrucciones e identifica los cuerpos que se te describen.


      Tacha los cuerpos que son pirámides.




      Tacha los cuerpos que son cubos.




      Tacha el o los cuerpos que tienen 6 vértices.




      Tacha los cuerpos que no tienen 12 aristas.




                                              49
4.- La familia Hernández se mudará a otra ciudad por lo que necesitan empacar sus muebles
¿Cuántos metros de cartón necesitarán para cubrir el refrigerador si mide 1.8 m de altura .8m
de fondo y .9m de ancho?




5- Elena tiene 48 cubos de colores y va a construir tres prismas diferentes. ¿Qué dimensiones
deberán tener los prismas si ocupa los 48 cubos en cada construcción? Dibújalos.




6.- Un ladrillo mide 20 X 10 X 5 cm. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar un metro
cúbico? _______________________________________________




7.- Luis trabaja en una fábrica de perfumes, donde se encarga de acomodar paquetes de 1
decímetro cúbico en grandes cajas de 1 metro cúbico. ¿Cuántos paquetes caben en una caja?




                                                         1m




                                                      1m
                                     1m
                                              50
Ejercicios de Retroalimentación


      Si el volumen de un cubo es 512 cm3, encuentra su área total y la dimensión de su
       arista.


      Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y de radio basal 2 cm.


      Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de aristas 2 cm, 5 cm y 8 cm


      Determina el área total y el volumen de un cubo:

       a) de arista 2 cm.

       b) en que el área de una de sus caras es 36 cm2.

       c) en que el perímetro de una cara es 36 cm.

      Calcula el volumen de:

       a) un cilindro de altura 9 m. y de diámetro basal 2 m.

       b) Un cono de altura 8 cm. y perímetro basal 12 cm.

      ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo cuya área total es de 64 cm2?


      Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3 y
       15 cm. de altura, si el largo de la base es el triple del ancho.


      El radio basal de un cilindro es 35cm. y su altura es el doble del diámetro de la base.
       Calcula el volumen total del cilindro y el volumen del cono de las mismas medidas.




                                               51
9. Ángulos

Observemos esta figura:

                                    Del punto 0 parten dos rayos: el señalado con a y el
                                    señalado con b. Si el rayo a gira alrededor del punto 0
                                    hasta llegar al b, se ha descrito el ángulo m; entonces
                                    podemos decir que un ángulo es la abertura entre dos
                                    rayos que parten de un mismo punto. En otras
                                    palabras: es la amplitud de la rotación de una recta que
                                    gira en torno de un punto fijo.




El punto del que parten los rayos se llama vértice del ángulo, y los rayos, lados del ángulo.

Los ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.

Cada grado tiene 60 minutos („), y cada minuto, 60
segundos (“).


               1º = 60‟       1‟ = 60”
                                                                  1º = 60‟ = 3,600”

El valor de un ángulo no depende del tamaño de los lados, sino de la abertura de ellos, o sea,
de la amplitud de la rotación.


                                                                 Todos estos ángulos son
                                                                         iguales




Como el ángulo de una vuelta mide 360º, el ángulo de media vuelta medirá 180º, y el de un
cuarto de vuelta, 90º.




                                                           Lados perpendiculares




                                               52
Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:

1.    Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).
2.    Colineal, el que mide media vuelta (180º).
3.    Perígono, el que mide una vuelta entera (360º).




Para trazar estos ángulos no necesitan del transportador, los rectos (se trazan dos
perpendiculares), los colineales y perígonos (basta una línea).


4.   Agudos son los ángulos que miden menos de un cuarto de vuelta, es decir, que están
     comprendidos entre 0º y 90º (como el ángulo a).

5.   Obtusos, los que miden más de un cuarto de vuelta, pero menos de una media vuelta, o
     sea, entre 90º y 180º (como el ángulo b).

6.   Entrantes, los que miden más de media vuelta y menos de una vuelta, o sea, entre 180º
     y 360º (como el ángulo c).




Para medir y para trazar ángulos de determinada medida usamos el transportador.




                                            53
El transportador lo debes colocar así:




El punto que marca la mitad en la base del transportador tiene que colocarse en el vértice del
ángulo. La línea base del ángulo debe señalar el 0 del transportador. La perpendicular señala
el número 90. Esto quiere decir que el ángulo mide 90 grados. Para escribir grados pones un
pequeño cero a la derecha y arriba de la cantidad, ejemplo: 90º.

                           Los ángulos rectos miden siempre 90º

En el siguiente ángulo el transportador marca 45º, es un ángulo agudo.




                     Ángulos agudos son lo que miden menos de 90º


La línea señala 120º. Así formas un ángulo obtuso, porque mide más de 90º.




             Ángulos obtusos son los que miden más de 90º y menos de 180º




                                             54
Existen otros que pueden construirse utilizando el juego de escuadras.


Con una escuadra podemos trazar ángulos
de 45º y 90º, y con la otra, ángulos de 30º,
60º y también de 90º.



Con las dos escuadras juntas podemos
trazar otros muchos ángulos. A la derecha
vemos cómo trazar uno de 75º.




Para trazar la bisectriz de un ángulo, como dijimos anteriormente, la semirrecta que lo divide
en dos partes iguales, podemos medir el ángulo con el transportador y dividirlo entre dos; sin
embargo, resulta más fácil usar el compás y la escuadra o la regla.




 1.- En la siguiente figura el valor del ángulo C es:

                      21°
   a) 45°
   b) 43°
   c) 22°


                                                                               C




                                                  45º           22º




                                                55
2.- Luis invitó a sus amigos a jugar al tiro al blanco, él tiene una ruleta como la siguiente.

                                                   A

                          J                                                  R

                               J              O




                   F                                                               D




   a) ¿Qué ángulo se forma con las líneas J, centro, R?___________________.
   b) ¿Con qué líneas se forma un ángulo llano?_________________________.

   c) ¿Cuánto mide el ángulo que se forma con las líneas D, centro J?_________________
                      T                                               U
   d) ¿Qué nombre recibe el ángulo que se forma con las líneas F, centro, D?____________

   e) ¿Con qué líneas se forma un ángulo obtuso?________________________.


3.- Martín tiene un terreno de forma triangular y quiere comprar otro que lo colinda, que medida
corresponde a los siguientes ángulos.           S
                         60°                 medida del < h ___ medida del < x ___


                                                           S
                                                               terreno a comprar

                                         x             h




                                                  56
Ejercicios de Retroalimentación

      Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros
       dos son: a) 67° y 47°                             b) 22° y 135°

      En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los
       ángulos interiores de la base?




      El ángulo A de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo B es tres veces mayor
       que el ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo C?




      En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden
       estos ángulos?




      Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos
       ángulos?




      En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo A tiene 15º más que el ángulo B y éste 12º
       más que el ángulo C. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.




      En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el
       ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.



      En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la
       medida de los ángulos interiores del triángulo.



      En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro.
       ¿Cuánto miden los ángulos agudos?




                                               57
Como determinar el valor de los ángulos internos de un polígono regular




                                  Suma de los
        Figura      Lados                               Forma         Cada ángulo
                                ángulos interiores


       Triángulo       3                180°                                60°



     Cuadrilátero      4                360°                                90°



      Pentágono        5                540°                               108°



      Hexágono         6                720°                               120°


       Cualquier
                       n            (n-2) × 180°                      (n-2) × 180° / n
       polígono

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?


           Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440°


           Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°




                                               58
                               III. Manejo de la Información


Medidas de tendencia central en un conjuntos de datos

Una medida de posición es un valor calculado de un grupo de datos que sirve para describir a
éstos de alguna manera. Lo interesante es que este valor sea representativo de todos los
valores del grupo, motivo por el cual se trabaja con el promedio. En sentido estadístico, un
promedio es una medida de la tendencia central de una serie de valores.

Rango
El rango, o R, es la diferencia entre el dato más alto y el dato más bajo de una serie de datos,
Sí, My o Dm (valor mayor), Mn o dm (valor menor), entonces R = My – Mn o Dm – dm

Ejemplo 1.
Dados los siguientes datos determinar el rango: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. R = Dm – dm
R = 16 – 5 = 11.0 el rango al igual que otra medidas de variabilidad se reporta con un decimal
adicional. 11.0 es el diferencial de nuestros datos.
Media Aritmética

La media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de datos
dividida entre el número de valores.

En estadística, una medida descriptiva de una población, o parámetro de la población, se
representa por lo general con alguna de las letras del alfabeto griego, mientras que una medida
descriptiva de una muestra, o estadística muestral, se representa con alguna de las letras del
alfabeto latino. Así, la medía aritmética de una población de valores se representa con el
símbolo μ (mu), en tanto que la media aritmética de una muestra de valores se representa con
el símbolo X (equis barra). Las fórmulas de la media poblacional y la media muestral son:




Operacionalmente, ambas fórmulas son idénticas: en ambos casos se suman todos los valores
y se les divide después entre el número de valores. Sin embargo, la distinción entre los
denominadores es que en el análisis estadístico la N mayúscula indica habitualmente el
número de elementos de la población, mientras que la a minúscula indica el número de
elementos de la muestra.




                                              59
Ejemplo 2.

 Durante uno de los meses del verano, los ocho vendedores de una empresa de servicios de
calefacción y aire acondicionado vendieron el siguiente número de unidades centrales de aire
acondicionado: 8, II, 5, 14, 8, 11, 16, 11.

Considerando ese mes como la población estadística de interés, el número medio de unidades
vendidas es:




Nota: Para efectos de reporte, las medidas de posición contienen por lo general un dígito
adicional al nivel original de medición.

Mediana

La mediana de un grupo de elementos es el valor del elemento intermedio cuando todos los
elementos del grupo siguen, en términos de valor, un orden ascendente o descendente. En un
grupo con un número par de elementos, se supone que la mediana se halla a medio camino
entre los dos valores adyacentes al punto intermedio. Cuando el grupo contiene un gran
número de valores, se emplea la siguiente fórmula para determinar la posición de la mediana
en el grupo ordenado:




Ejemplo 3.

Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número de unidades
centrales de aire acondicionado, en orden ascendente: 5, 8, 8, 11, 11, 11, 14, 16. El valor de la
mediana es




El valor de la mediana se halla entre el cuarto y quinto valores del grupo ordenado. Dado que
en este caso ambos valores son de “1 1”, la mediana es igual a 11.0.
Moda

La moda es el valor que ocurre más frecuentemente en un conjunto de valores. A esta
distribución se le conoce como unimodal. Un conjunto pequeño de datos en el que no se
repiten valores medidos carece de moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales



                                               60
en cuanto a frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama bimodal. Las
distribuciones de medidas con varias modas se llaman multimodales.

Ejemplo 4.

Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número de
unidades centrales de aire acondicionado: 8, 11,5, 14,8, 11, 16 y 11. La moda de este grupo
de valores es el valor con mayor frecuencia, o moda = 11.0.
Relación entre media y mediana

En toda distribución simétrica, media, mediana y moda coinciden en valor* [véase figura 3-la)].
En una distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana [véase
figura 3-lb)]. En una distribución asimétrica negativa, la media siempre es menor que la
mediana [véase figura 3-lc)]. Estas dos últimas relaciones son siempre verdaderas,
independientemente de que la distribución sea unimodal o no. Una medida de asimetría en
estadística, basada en la diferencia entre los valores de la media y la mediana de un grupo de
valores, es el coeficiente de asimetría de Pearson, que se describe en la sección 4.12. Los
conceptos de simetría y asimetría se explican en la sección 2.4.




Ejemplo 5.

En los datos de ventas considerados en los ejemplos 1, 3 y 4, la media es 10.5, mientras que la
mediana es 11.0. Puesto que la media es menor que la mediana, la distribución de valores
observados tiende a ser asimétrica negativa; es decir, sesgada a la izquierda.




                                              61
Ejercicios de retroalimentación

1.- En el grupo de Rubén se les pidió que registraran en una tabla el nombre y el peso de los
alumnos para facilitar la información sugirieron realizarlo en equipos, como se muestra en
seguida:



        EQUIPO 1                           EQUIPO 2                     EQUIPO 3

ALUMNO       PESO                 ALUMNO       PESO kg.        ALUMNO       PESO kg.
             kg.
                                  Carmen       43. 2           Rubén        34. 2
Jaime        34. 5
                                  Martín       35. 5           Sergio       33. 5
Andrea       32. 8
                                  Ilda         29. 6           Nora         35
Rosita       30. 5
                                  Roberto      33. 4           Martha       34. 2
Pablo        29. 7
                                  Lupita       36. 7           Daniela      29. 8
Néstor       33
                                  Pablo        35. 2           Ricardo      38. 3
Luis         32. 2
                                  Sonia        43              Tomás        42. 3
Paola        30. 5
                                  José         38. 5           Laura        41
Mary         34. 5

Contesta las preguntas, considerando la información de las tablas:

a) ¿Cuál es el peso promedio del equipo 1?_______________.



b) Cuál es la mediana del equipo 2? _____________________.



c) ¿Cuál es la moda del equipo 3? _______________________.



d) ¿Cuál es la media de los tres grupos? _______________________.



e) ¿Qué diferencia hay entre el promedio del equipo 1 y el del grupo?__________.




                                                 62
2.- Carmen revisó en el periódico las ofertas de fin de semana, ella comparó el precio del queso
en diferentes establecimientos y concentró la información en la siguiente tabla:



                           ESTABLECIMIENTO                          PRECIO

                        La tiendita                         $ 21 por ¼ kg.

                        Mi Súper                            $ 15 por 200 g.

                        De todo un poco                     $ 9.50 por 100 g.

                        La esquina                          $ 10 por 125 g.



Considera la información anterior y contesta:


    a) ¿Cuál es el precio del kilogramo de queso en el Súper? _____________.


    b) ¿Cuánto cuesta el medio kilo de queso en la tienda de la esquina? ____ .


    c) ¿Cuál es el costo del kilogramo de queso en La Tiendita? ________


    d) En dónde le conviene comprar el queso a la Sra. Carmen?_____________




3.- Calcula la media, la mediana y la moda de los siguientes grupos de datos:

a).- 5, 9, 12, 21, 5, 7, 13, 8, 5, 7, 5.



b).- 2, 10, 3, 6, 9, 4, 7, 8, 5, 6, 8, 8, 8, 3, 7, 7, 6, 9, 9, 2, 6, 6, 7, 3, 5, 2, 7, 7, 9, 7, 6, 7. 4, 8, 8



c).- 0.2, 0.4, 0.5, 0.1, 0.2, 0.6, 0.5, 0.4, 0.5, 0.2, 0.2, 0.1




                                                       63
4.- El departamento de mercadotecnia de una fábrica de tenis realizó una encuesta relativa a
las tallas de los alumnos de una escuela secundaria.



                                TALLA           FRECUENCIA

                                    4                 38

                                   4.5                40

                                    5                 41

                                   5.5                45

                                    6                 35

                                   6.5                32

a).- ¿Cuáles son la media, la mediana y la moda de los datos anteriores?

       Media ____________ Mediana _____________ Moda ___________

b).- Si se decide la fabricación de sólo cinco tallas de cierto modelo de tenis. ¿Cuáles resulta
más conveniente producir? _____________________________________________

c).- ¿Cuál es la talla que se acerca más al promedio? _______________________________

d).- ¿Es conveniente fabricar el mismo número de tenis de cada talla? ________________

e).- Si se optara por fabricar solo una talla ¿Qué valor resultaría más útil la decisión: la
mediana, la media o la moda? _________________________________________________

f).- Cuántos datos de la encuesta son mayores que la media? _______________



5.- Observa las estaturas, en metros, de los integrantes de dos equipos de basquetbol;

Equipo A: 1.69, 1.68, 1.72, 1.77, 1.72, 1.76, 1.75.

Equipo B: 1.50, 1.61, 1.91, 1.88, 1.61, 1.76, 1.87.

a).- Calcula la media, la mediana y la moda de cada grupo.

b).- Indica a cual grupo pertenecen los tres jugadores más altos.

c).- Indica que equipo tiene la media y moda mayores.




                                                64
6.- Con el siguiente gráfico, responde las 3 preguntas siguientes




¿Cuál es la diferencia de espectadores entre la película más vista y la menos vista?



¿Cuál es el promedio (aproximado) de espectadores que vieron las cinco películas?



Si el valor promedio pagado por los espectadores es de $2.000, ¿cuánto dinero se recaudó en
las cinco películas más vistas durante el 2006?




                                               65
7- Consultando el archivo de cierto hospital, vemos que los pesos (expresados en Kg.) de los
niños nacidos durante un mes fueron los siguientes:

3.010,   2.700,   2.420,   2.510, 2.940,   3.210,   3.220
3.310    3.920,   3.520,   3.770, 3.440,   3.030,   2.860
3.020,   3.000,   2.730,   2.260, 2.380,   3.100,   3.150
3.710,   3.120,   3.110,   2.680, 3.160,   3.120,   2.960
3.340,   3.410,   3.580,   2.680, 2.910,   2.350,   2.650
2.710,   2.930,   2.910,   3.120, 3.125,   3.980,   3.470
3.450,   3.610,   4.050,   3.520, 2.120,   2.940,   2.290
2.710,   3.100,   3.030,   3.620, 3.530,   3.530,   2.210
3.680,   2.840,   2.840,   2.850, 2.720,   3.150,   3.470
2.680,   2.730,   2.380,   2.430, 2.375,   3.280,   3.330
3.340,   3.110,   2.680,   2.860, 3.110,   2.860,   2.450
2.390,   2.590,   3.470.

a).- Clasifique estos pesos en intervalos de 300 kg.



                  Entre 2.000 kg. Y 2.300 kg.

                  Entre 2.300 kg. Y 2.600 kg.

                  Entre 2.600 kg. Y 2.900 kg.

                  Entre 2.900 kg. Y 3.200 kg.

                  Entre 3.200 kg. Y 3.500 kg.

                  Entre 3.500 kg. Y 3.800 kg.

                  Entre 3.800 kg. Y 4.100 kg.

b).- Represente en algún tipo de gráfica la información anterior:

Gráfica de barras, histograma, gráfica circular, pictograma, etc.




                                                     66
8.- Con los siguientes datos, responde desde las siguientes 5 preguntas.




Los datos que se muestran corresponden a la calificación obtenida por los estudiantes del 6º
grado sección C en una prueba de Estudio y Compresión de la Naturaleza:

¿Porcentualmente cuántos estudiantes aprobaron el examen si la calificación aprobatoria es de
6 puntos?



Si el profesor da la oportunidad de presentar a todos aquellos que obtuvieron una calificación
menor a 6 y mayor a 4,5.

¿Cuántos estudiantes deben presentar?



¿Cuál es la media aritmética del conjunto de datos?



¿Cuál es la moda del conjunto de datos?



¿Cuál es la mediana del conjunto de datos?




                                              67
                        IV. Unidades del Sistema Métrico Decima

1. Equivalencia entre las distintas unidades de longitud



La principal unidad de longitud es el metro.

Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor
que la unidad inmediata superior.

Unidad por 10



 miriámetro kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

    mam          Km             hm         dam         m     dm           cm              mm



                                                                        Unidad entre 10



Para determinar la equivalencia coloca la cantidad dada en el cuadro de unidades.

Unidad por 10



    miriámetro          kilómetro         hectómetro        decámetro               metro

       mam                 Km                  hm              dam                   m

                                                 2              3                     4

Ejemplo 1: 234 metros       2.34 hm        23.4 dam



    miriámetro          kilómetro         hectómetro        decámetro               metro

       mam                 Km                  hm              dam                   m

                            1                    2              3                    4

                                                                             Unidad entre 10

Ejemplo 2: 1234 metros       1.234 km     12.34 hm 123.4 dam



                                                 68
Realiza las siguientes conversiones



                 metros                         hectómetros                     decámetros

32 km =                        30 dm =                         3,21 mam=

390 dam =                      29 mm =                         42,3 m =

362 hm =                       125 m =                         2,49 hm =

2,3 mam =                      428 cm =                        3,21 dm=

4,5 km =                       4,9 m =                         3,03 cm =

2,14 dam =                     36,31 cm=                       12,4 mm =

3,12 hm =                      121,5 mm =                      28,3 dm =

4,96 dam =                     314,2 dm =                      1,143 mam =

8,75 km =                      1,418 dam =                     2,145 km =



Ejercicios

1.- Andrea tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta
blanca mide 6 dm, 8 cm.

   a) Calcula la longitud en centímetros de cada cinta.



   b) La cinta azul, la ha cortado en 5 trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros

      de cada trozo?



   c) Andrea necesita 1 metro de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta

     blanca tiene que comprar?




                                               69
2.- Un coche A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro coche B lleva una
velocidad constante de 120 km por hora. Calcula.



a) Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto.



b) Los metros que recorre cada coche en 1 minuto.



c) Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.



3.- Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina. Cada uno
de estos planos está hecho a escala 1: 2.000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2.000
cm sobre el terreno real.




Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol y la piscina.



CAMPO DE FÚTBOL                        PISCINA

Largo =                                Largo =



Ancho =                                Ancho =




                                               70
2. Equivalencia entre las distintas unidades de capacidad




La principal unidad de capacidad es el litro.

Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y

10 veces menor que la unidad inmediata superior.

Unidad por 10



 mirialitro
              kilolitro   hectolitro   decalitro     litro      decilitro   centilitro     mililitro
    mal
                 kl          hl           dal           l           dl          cl           ml


                                                                                     Unidad entre 10




Realiza las siguientes conversiones

                                        litros.                                          hectolitros.

23 dal =                                           59 ml =

114 kl =                                           418 dal =

4,6 mal =                                          3,2 dal =

8,3 kl =                                           1,26 l =

6,9 hl =                                           1,32 cl =

12,4 dal =                                         0,14 ml =

1,315 mal =                                        0,135 l =

2,163 kl =                                         1,432 cl =

31,18 hl =                                         21,14 dl =




                                                   71
                                decalitros. Un depósito contiene 13,5 hl de agua; 500
                                            litros se van a envasar en botellas de 250 cl
3,14 hl =                                   cada una, 250 litros se van a envasar en
                                            botellas de 500 cl cada una y el resto de
12,5 l =                                    litros en botellas de 1,5 litros cada una.
                                            Calcula:
3,142 kl =

3,128 mal =
                                              a) El número de botellas que se necesitan
13,4 hl =                                     de 250 cl.

1,865 l =

32,18 dl =                                    b) El número de botellas que se necesitan
                                              de 500 cl.
1,114 cl =

391,6 ml =
                                              c) El número de botellas que se necesitan
                                              de 1,5 l.

Ejercicio:

    a) Una bomba de agua impulsa 145 litros por minuto.

Calcula el tiempo en minutos que tardará en llenar un depósito A de 10,15 hl de capacidad, un
depósito B de 94,25 dal de capacidad y un depósito C de 12,325 kl de capacidad.




           DEPÓSITO A                 DEPÓSITO B                    DEPÓSITO C




    b) En un centro deportivo hay tres piscinas y les van a quitar el agua para pintarlas. La
       piscina A tiene una capacidad de 150 kl y ha tardado en vaciarse 2 horas y 30 minutos;
       la piscina B tiene una capacidad de 37,5 kl y ha tardado en vaciarse 75 minutos, y la
       piscina C tiene una capacidad de 9,25 kl y ha tardado en vaciarse 1 hora y 25 minutos.




                                             72
   Calcula los litros de agua por minuto que ha perdido cada piscina.




     PISCINA A                         PISCINA B                   PISCINA C




c) Un carro A gasta aproximadamente 7,5 litros de gasolina cada 100 km, otro

   carro B gasta 8,2 litros de gasolina cada 100 km.



                  Saltillo – Torreón         286 Kilómetros

                 Torreón – Monclova          290 Kilómetros

                 Monclova – Saltillo         210 Kilómetros

   Calcula los litros de gasolina que consumirá cada coche para hacer cada uno de los
   trayectos que se indican en el cuadro de arriba.

            CARRO A                                       CARRO B

   El costo de la gasolina que consume cada coche para hacer cada uno de los trayectos,
   si el litro de gasolina cuesta 8.56 pesos.




                                           73
3. Equivalencia entre las distintas unidades de volumen



La principal unidad de volumen es el metro cúbico.

Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la unidad inmediata inferior

y 1.000 veces menor que la unidad inmediata superior.



Unidad por 1000



 miriámetro   kilometro   hectómetro   decámetro        metro    decímetro    centímetro   milímetro

   cúbico      cúbico       cúbico      cúbico          cúbico    cúbico       cúbico       cúbico
         3           3            3            3             3          3             3           3
   mam          Km           hm          dam             m         dm            cm          mm




                                                                                  Unidad entre1000



Realiza las siguientes conversiones



                          metros cúbicos.                                    hectómetros cúbicos.



12,8 hm3 =                                         1,16 m3 =

0,01 km3 =                                         31,2 dm33=

1,16 hm3 =                                         491,3 cm3 =

0,001 mam3=                                        123,5 mm3 =

0,03 dam3 =                                        0,014 dam3 =

1,004 km3 =                                        0,001 m3=




                                                   74
                     decámetros cúbicos.                                 metros cúbicos.

31,5 hm3 =                                    3,28 km3=

0,14 m3 =                                     42,7 hm3 =

49,6 km3 =                                    7,01 cm3 =

0,14 mam3 =                                   9,26 mm3 =

3,18 dm3 =

0,143 hm3 =

39,18 cm3 =

0,001 mm3 =

Ejercicios:

Un motor A arroja 75 m3 y 120 dm3 de agua en una hora. Otro motor B arroja

42 m3 y 90 dm3 de agua en media hora.

Calcula:

      Los decímetros cúbicos de agua que arroja cada motor en un minuto.

      El tiempo en minutos que tardará el motor A en llenar una piscina de 15 m3 y 24 dm3 de
       capacidad.

      El tiempo en minutos que tardará el motor B en llenar un depósito de 2 m3 y 806 dm3 de
       capacidad.

      El tiempo en minutos que tardarán el motor A y el motor B juntos en llenar un embalse
       de 66 m3 y 375 dm3 de capacidad.

      La capacidad en decímetros cúbicos de un depósito, si el motor A ha tardado en llenarlo
       2 minutos y medio.




                                             75
4. Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa




Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico.               1l = 1 dm3




Un kilogramo es la masa que tiene el agua pura
(agua destilada) que cabe en un recipiente de un
decímetro cúbico de volumen.                                   1kg = 1dm3



                                                              1dm3 = 1l = 1kg

De estas dos igualdades resultan las equivalencias            1m3 = 1kl = 1t
entre las unidades de volumen, capacidad y masa:
                                                              1cm3 = 1ml =1g




Pasa a litros las siguientes unidades de Pasa a kilolitros las siguientes unidades
volumen.                                 de volumen.

2 dm3 = 2 l                                   1 dam3 = 1.000 m3 = 1.000 kl

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 l                    0.5 m3 =

0.3 cm3 =                                     15 dm3 =

1.5 hm3 =                                     8 hm3 =

9.6 m3 =                                      9.2 dam3 =

1.8 cm3 =                                     3.7 dm3 =

31.2 dam3 =                                   14.2 hm3 =

16.12 m3 =                                    71.6 dam3 =

1.96 hm3                                      12.5 m3 =




                                             76
Pasa a mililitros las siguientes unidades
de volumen.
                                            0.32 m3 =

                                            0.01 hm3 =
     3
1 dm = 1.000 cm3 = 1.000 ml
                                            0.15 dm3 =
     3
2 mm =
                                            0.12 mm3 =
1.3 dm3 =
                                            3.18 dam3 =
     3
2.5 m =
                                            21.6 m3 =
             3
7.21 mm =
                                            6.28 dm3 =
         3
0.18 m =




Encuentra la equivalencia en litros y en Encuentra la equivalencia en kilolitros y en
kilogramos, sabiendo que se trata de toneladas, sabiendo que se trata de
cantidades de agua pura.                 cantidades de agua pura.



2 dm3 = 2 l = 2 kg                          3 m3 = 3 kl = 3 t

3 m3 =                                      2 dam3 =

12 cm3 =                                    15 dm3 =

0,9 m3 =                                    0,9 hm3 =

7,2 mm3 =                                   12,8 cm3 =

4,9 hm3 =                                   3,9 km3 =

0,18 m3 =                                   21,5 hm3 =

14,5 cm3 =                                  18,2 dam3 =




                                            77
Encuentra la equivalencia en mililitros y Un depósito de volumen 0,5 m3 y 12 dm3
en gramos, sabiendo que se trata de está lleno de agua. Para vaciar el depósito
cantidades de agua pura.                  se abre un grifo que echa 3 dal y 2 I de
                                          agua por minuto.
4 cm3 = 4 ml = 4g

5 dm3 =
                                                 Calcula en minutos el tiempo que se
15 mm3 =                                         emplea para vaciar el depósito.

0,5 m3 =

0,09 dam3 =

Ejercicios

      En la siguiente gráfica se muestra la cantidad de agua que se ha consumido en un
       domicilio particular durante un mes, calcula.




                    mm3



                    cm3



                    dm3



                     m3



                               1                            350   375   400

a) El total de litros de agua que se han consumido en un mes.

b) El costo total si el m3 tiene un costo de 32.91 pesos.




                                                78
       Un laboratorio farmacéutico         envasa el alcohol en frascos de diferentes tamaños.
        Observa la siguiente tabla.



        Frasco                    55 militros                110 militros            750 militros




 Capacidad en litros




Peso en gramos

(Alcohol 0.8 Kg por litro)




5. Equivalencia entre las distintas unidades de superficie



La unidad principal de superficie es el metro cuadrado.

Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y

100 veces menor que la unidad inmediata superior.

Unidad por 100




 Miriámetro     kilómetro    hectómetro   decámetro        metro    decímetro   centímetro   milímetro

 cuadrado       cuadrado     cuadrado     cuadrado     cuadrado     cuadrado    cuadrado     cuadrado
         2              2            2            2             2           2           2           2
   mam             Km           hm          dam             m          dm          cm          mm



                                                                                     Unidad entre100




                                                      79
Realiza las siguientes conversiones



                        metros cuadrados.                     hectómetros cuadrados.

1,16 hm2 =                                  0,03 m2 =

0,008 km2 =                                 1,2 dm2 =

0,4 dam2 =                                  146,1 m2 =

1,6 hm2 =                                   18,6 dm2 =

3,008 dam2 =                                293,1 cm2 =

3,2 dam2 =                                  196,21 dam2 =

3,6 km2 =                                   16,31 m2 =

0,02 hm2=                                   293,5 dm2 =

1,0005 km2 =                                0,035 dam2=

12,165 hm2=                                 0,0012 cm2=




                   decámetros cuadrados.                    hectómetros cuadrados

2,6 hm2 =

16,3 m2 =                                   21,2 dam2 =

1,256 km2 =                                 1,49 km2 =

149,8 dm2 =                                 43,71 m2 =

136,4 mm2 =                                 1,291 mam2=

3,149 mam2 =

94,6 m2 =

147,2 cm2 =




                                            80
6. Unidades Agrarias




Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie,

llamadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área (a), la hectárea (ha)

y la centiárea (ca). Sus equivalencias son:

1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2, 1 a = 1 dam2 = 100 m2, 1 ca = 1 m2




Realiza las siguientes conversiones



                                  hectáreas.                                           áreas.

                                               42,1 ha=

49,5 ca =                                      2,14 ca =

23,8 km2 =                                     14,6 dm2 =

1,29 mam2 =                                    3,21 cm2 =

3,45 dam2 =                                    25,86 kmv =

39,2 ca =                                      32,1 ha =

4,92 a =                                       1,24 km2 =

5,32 dm2 =                                     3,6 ca =

1,6 mm2 =                                      1,6 dm2 =

42,6 cm2=                                      18,24 mm2=




                                               81
Realiza las siguientes conversiones



                                  centiáreas.

3,9 ha =                                        El Ayuntamiento compró un terreno de 20
                                                ha y 10 a para un parque, un terreno de
1,2 dm2 =                                       20 dam2 y 50 a para una piscina. Calcula:

32,9 mm2 =

39,2 a =                                        a) El precio del terreno para el parque si se
                                                vende a 25.000 pesos el m2.
25,8 dam2 =

42,6 ha =

1,65 ha =

0,03 km2 =
                                                b) El precio del terreno para la piscina si se
9,5 a =                                         vende a 50.000 pesos el m2.

32,1 cm2 =

49,82 ha =

65,03 a =

Ejercicios

Una finca A tiene una superficie de 2 ha, 15 a y 35 ca; una finca B tiene una superficie de 5
hm2, 13 a y 12 m2, y una finca C tiene una superficie de 8 ha, 3 dam2 y 18 ca.

a) Calcula la superficie en metros cuadrados de cada finca.

FINCA A                    FINCA B                       FINCA C

b) La finca A está dividida en 5 parcelas iguales; la finca B está dividida en 16 parcelas iguales,
y la finca C está dividida en 2 parcelas iguales.

¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A, de la finca B y de la finca C?




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Bibliografía

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