COURS by Megalo81

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									Chapitre : Géométrie dans l’espace partie 1
Objectifs du chapitre : 1.a) Construire un solide à partir de son patron b) Réaliser le patron d’un solide c) Exploiter les données d’un patron 2. a) Représenter un solide en perspective cavalière b) Lire une perspective cavalière 3. a) Déterminer et construire l’intersection de droites et plans. b) Exploiter et démontrer des propriétés de parallélisme et d’incidence. 4. Extraire une configuration plane d’une figure dans l’espace pour : a) calculer des longueurs et aires b) appliquer les de théorèmes de géométrie plane 5. Connaître et utiliser les formules donnant le volume des solides usuels.

I. Représentation en perspective cavalière
Dans une représentation en perspective cavalière : 1. Les éléments visibles sont représentés en traits pleins ; les autres sont dessinés en pointillés 2. Deux droites de l’espace parallèles sont représentées par deux droites parallèles. 3. Des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes ; des points alignés par des points alignés. 4. Le milieu d’un segment est représenté par le milieu du segment dessiné. 5. Dans le plan de face, la figure est représentée en vraie grandeur. Exemples : figure 1 figure 2

L’arête [BD] n’est pas visible : elle est cachée par les faces (ABC) et (ACD)

Les arêtes [AD], [DC] et [HD] ne sont pas visibles. Le plan ABFE est un plan de face.

ATTENTION : Deux droites qui semblent se couper sur le dessin ne sont pas forcément sécantes. Exemple : (FB) et (CD) Des segments de même longueur ne sont pas forcément représentés par des segments de même longueur. Exemple : [EF] et [FG]

II. Détermination d’un plan
Un plan est déterminé soit par : 3 points non alignés 2 droites sécantes 2 droites strictement parallèles 1 droite et 1 point hors de cette droite

Définition : Des « objets » sont dits coplanaires s’ils appartiennent au même plan. Exemples : - 3 points sont toujours coplanaires - 4 points ne sont pas forcément coplanaires

Donner un exemple de la figure 2 de plan défini par 3 points :……………………………………….. par deux droites sécantes :………………………. par deux droites strictement parallèles :………………………. par une droite et un point hors de cette droite :……………….

Propriété 1 : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P. Propriété 2 : Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent.

III. Positions relatives
1. Position relative de deux plans Définition : Deux plans sont parallèles s’ils sont confondus ou sans aucun point commun. Deux plans de l’espace sont soit sécants, soit parallèles. Soient P1 et P2 deux plans.

SECANTS

PARALLELES

P1 ∩ P2 = ∅ P1 ∩ P2=d
strictement parallèles

P1=P2
confondus

Propriété 3 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Exemple : Quelle est l’intersection des plans ABC et BFG de la figure 2 :…………………………… Quelle est l’intersection des plans ABD et ADC de la figure 1 :………………… ………..

2. Position relative de deux droites Deux droites d1 et d2 de l’espace sont soit coplanaires (dans le même plan), soit non coplanaires. COPLANAIRES Sécantes Parallèles NON COLPLANAIRES Aucun plan ne contient les deux droites

d1 ∩ d2={A}

d1 ∩ d2 = ∅
strictement parallèles

d1=d2
confondues

d1 ∩ d2 = ∅
Ainsi deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement elles sont coplanaires ET parallèles dans le plan qui les contient. Exemples: Citer deux droites sécantes de la figure 2 :……………………………. Citer deux droites parallèles de la figure 2 :………………………….. Citer deux droites non coplanaires de la figure 2 :………………………….

3. Position relative d’une droite et d’un plan Définition : Une droite d est parallèle à un plan P si d est incluse dans P ou si d et P n’ont aucun point commun. Une droite d et un plan P sont soit sécants, soit parallèles.

SECANTS d et P ont un seul point commun A d est incluse dans P

PARALLELES d et P n’ont pas de point commun

d ∩ P = {A}

d⊂P

d∩P = ∅

Exemples : Citer un plan et une droite sécantes à ce plan de la figure 1 ainsi que leur intersection :……………………………………………………………………..

Citer un plan et une droite parallèle à ce plan dans la figure 2……………………………………

IV. Parallélisme dans l’espace
1. parallélisme entre plans Propriété 4 : Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.

Propriété 5 : Si deux droites sécantes d’un plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.

2. parallélisme entre droites propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre. Théorème du toit (admis) : Si on a : - deux droites parallèles d1 et d2 - un plan P1 contenant d1 - un plan P2 contenant d2 - P1 et P2 sécants suivant une droite ∆ alors l’intersection ∆ des deux plans est parallèle aux droites d1 et d2.

Théorème (admis) : Si deux plans sont parallèles : tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

P1 et P2 sont parallèles et Figure : Si P3 ∩ P1=d1 , alors

P3 ∩ P2=d2 et d1 et d2 sont parallèles

3. parallélisme entre droite et plan Propriété 6 : si deux plans sont parallèles alors toute droite de l’un des plans est parallèle à l’autre plan. Propriété 7 : si une droite d1 est parallèle à une droite d2 contenue dans un plan P, alors d1 est parallèle à P

ATTENTION : si une droite d est parallèle à un plan P, on ne peut pas en déduire que d est parallèle à toute droite incluse dans P.

V. Volumes


								
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