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									Chapitre n° : la géométrie dans l’espace (1/2)

1. Positions relatives dans l’espace (a) Positions relatives de deux droites Deux droites d 1 et d 2 de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. • Si elles sont coplanaires, elles sont soit o sécantes : d 1 ∩ d 2 = {A}

o

parallèles :

d1 ∩ d 2 = ∅
•

d1 ∩ d 2 = d1

Si elles sont non coplanaires : aucun point ne les contient toutes les deux.

(b) Positions relatives de deux plans Deux plans P1 et P2 de l’espace sont soit sécants, soit parallèles. • S’ils sont sécants :

P1 ∩ P2 = d
• S’ils sont parallèles, ils sont soit : o strictement parallèles :

P1 ∩ P2 = ∅
o confondus

P1 ∩ P2 = P1

(c) Positions relatives d’une droite et d’un plan Une droite D et un plan P sont soit sécants, soit parallèles. • S’ils sont sécants :

D ∩ P = {A}
• S’ils sont parallèles : o soit D est incluse dans P

D∩P=D
o soit D et P n’ont pas de point commun

D∩ P =∅
2. Règles d’incidence (a) Propriété fondamentale Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent. (b) Propriétés d’appartenance Prop : Par 2 points A et B distincts, il passe une seule droite (AB). Prop : Par 3 points A, B et C non alignés, il passe un seul plan, noté (ABC). Prop : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P. (c) Parallélisme dans l’espace Définitions : • Deux droites sont parallèles dans l’espace si elles sont coplanaires et parlallèles dans leur plan. • Deux plans sont parallèles dans l’espace s’ils sont sans point commun ou confondus. • Une droite est parallèle à un plan s’ils n’ont aucun point commun. Propriétés (parallèlisme entre droites) : Si P et P’ sont deux plans parallèles, alors tout plan Q qui coupe P coupe aussi P’, et les droites d’intersection sont parallèles.

Propriété (parallélisme entre plans) : si deux droites sécantes d’un plan P sont parallèles à un plan P’, alors les plans P et P’ sont parallèles.

Propriétés (parallélisme entre droite et plan) : • Si une droite d est parallèle à une droite d’, alors d est parallèle à tout plan P contenant d’.

•

Si deux droites d et d’ sont parallèles, et si d’ est incluse dans un plan P, alors d est parallèle à P.


								
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