Modulo 27 by 9h1Ra4

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									                                                VOLUMEN

 En este cuadro se muestran las diversas fórmulas que permiten determinan el área y volumen de los
 más conocidos cuerpos geométricos.


     Nombre              Dibujo                 Desarrollo                   Área              Volumen
Cubo o Hexaedro:
Ortoedro donde las
tres dimensiones                                                            A  6a 2             V  a3
son iguales.
Paralelepípedo u
ortoedro: Prisma
cuyas bases son
                                                                       A = 2(ab+ac+bc)          V = abc
dos rectángulos.
Cilindro: Es el
Cuerpo geométrico
engendrado por la
revolución de un                                                        A  2r ( H  r )     V  r 2  H
rectángulo
alrededor de uno
de sus lados
Pirámide: Cuerpo
geométrico cuya
base es un                                                                                           1
                                                                       A  Abase  Alateral   V       BH
polígono cualquiera                                                                                  3
y sus caras
laterales triangulos
Cono: Es el
Cuerpo geometrico
engendrado por la                                                                                1
                                                                       A  Abase  Alateral   V  r 2  H
revolución de un                                                                                 3
triángulo rectángulo
alrededor de uno
Esfera: Cuerpo
geometrico
engendrado por la                                                                                    4 3
revolución completa                                                        A  4R 2           V      R
de un semicírculo                                                                                    3
alrededor de su
diámetro.



 Es importante saber:

 Que la esfera es el sólido formado al girar 360° una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

 Que el cono se forma por la rotación de un triángulo rectángulo en 360°, en torno a uno de sus catetos.
 La hipotenusa de este triángulo pasa a ser la generatriz del cono.

 Que el cilindro es el sólido formado por un rectángulo al girar 360| en torno a uno de sus lados.
                                                  EJERCICIOS

                                 3
1. Calcular el volumen, en cm , de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm

     a) 1200           b) 300              c) 240           d) 120            e) 120

2. Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro
                                                   3
de la lata es de 6,5 cm. Calcular el volumen, en cm , que queda libre en el interior de una lata.

     a) 162            b) 126              c) 108           d) 54             e) Ninguna de
                                                                                  las anteriores

3. La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42 m de diámetro, ¿cuál es su superficie si suponemos que
es semiesférica?

     a) 220,5          b) 882              c) 1.764         d) 3.582          e) 7.056

                                 3
4. Calcular el volumen, en cm , de una pirámide cuadrada de 6 cm de lado y altura de una cara       73 cm.

     a) 6 73            b) 12 73             c) 96             d) 288             e) Ninguna de
                                                                                  las anteriores
                                     3
5. Determinar el volumen, en cm , de una superficie esférica de 6 cm. de diámetro.

     a) 9              b) 12               c) 24            d) 36             e) 288
                             3
6. Calcular el volumen, en m , de un depósito cilíndrico de radio 3 m y altura 4 m terminado en una
semiesfera.


     a) 54             b) 36               c) 30            d) 18             e) Ninguna de
                                                                                  las anteriores
                  3
7. Calcular, en cm , el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 cm de altura al girar
alrededor de ésta.

             3               3 3                                                      
     a)                 b)                   c)                d)                 e)
            4                 64                  8                 16                 32

                                                                           2
8. La diagonal de una de las caras de un cubo es 3 2 m. Calcular, en cm , la superficie del cubo.

     a) 9               b) 18                c) 18 2           d) 27              e) 54

9. El área de una esfera es 48 cm . Considerando  = 3, determinar la medida de su diámetro.
                                         2



     a) 2 cm.           b) 4 cm.             c) 8 cm.          d) 16 cm.          e) Ninguna de
                                                                                  las anteriores

10. Un albañil pinta un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, por el que cobra 750
pesos el metro cuadrado, ¿cuánto se le debe cancelar por el trabajo hecho, considerando  = 3?

     a) $ 225.000       b) $ 675.000         c) $ 1.125.000    d) $ 1.350.000     e) $ 3.375.000
                                             ALTERNATIVAS

                                3
1. Calcular el volumen, en cm , de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm

Alternativa A: Incorrecta. Se determina el volumen utilizando el diámetro en vez de hacerlo con el radio.
Alternativa B. CORRECTA. El volumen de un cilindro se determina por la relación V  r 2 h , como
vimos en los contenidos; reemplazando, obtenemos que V =  · 25 · 12 = 300
Alternativa C. Incorrecta. Doble error al trabajar con la medida del diámetro y luego resolver 10 2 como
20.
Alternativa D: Incorrecta. El error se produce al resolver 5 2 como 10 y no como 25, que es lo correcto.
Alternativa E:. Incorrecta. Se resuelve multiplicando el diámetro por la altura, lo que no corresponde al
volumen del cilindro.

2. Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el
                                                            3
diámetro de la lata es de 6,5 cm. Calcular el volumen, en cm , que queda libre en el interior de una
lata.

Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al volumen del cilindro y no al solicitado.
Alternativa B. Incorrecta. Esta alternativa se obtiene al considerar sólo una de las tres pelotas que
contiene la lata.
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde al volumen total de las pelotas y no al pedido en el enunciado.
Alternativa D: CORRECTA. El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por ·32 ·18  162 
                               4
y el volumen de la esfera por ·3 3  108  . Por lo tanto, el volumen libre al interior de la lata es 162 -
                               3
                3
108 = 54 cm .
Alternativa E: Incorrecta. Diversos errores de procedimientos llevan a optar por esta alternativa.

3. La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42 m de diámetro, ¿cuál es su superficie si
suponemos que es semiesférica?

Alternativa A: Incorrecta. Se calcula el área de una semicircunferencia en vez del volumen de una
semiesfera.
Alternativa B. CORRECTA. La superficie de una esfera es 4r 2 , o sea, 4·441 = 1764. Como
queremos determinar la mitad de ella, la respuesta es 882
Alternativa C. Incorrecta. Se calcula la superficie de la esfera y no la de la cúpula que corresponde a
una semiesfera.
Alternativa D: Incorrecta. Al calcular la superficie de la semiesfera se considera equivocadamente el
diámetro en vez del radio.
Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a la superficie de la esfera y, además, se calculó considerando el
diámetro y no el radio, que es l que corresponde.
                                3
4. Calcular el volumen, en cm , de una pirámide cuadrada de 6 cm de lado y altura de una cara
  73 cm.

Alternativa A: Incorrecta. Se multiplica el lado del cuadrado por la altura de una cara, lo cual no
determina el volumen de una pirámide y es un cálculo sin sentido.
                                                    1
Alternativa B. Incorrecta. Se efectúa el producto  6 2  73 , pero la altura dada es de una cara y no la
                                                    3
correspondiente a la pirámide.
Alternativa C. CORRECTA. Se calcula la altura de la pirámide a través del teorema de Pitágoras, o sea,
               2                                              1
 h 2  3 2  73 ; resultando que h = 8. Luego su volumen es  36  8  96
                                                              3
Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene que la altura de la pirámide es 8, por el teorema de Pitágoras, pero
luego se calcula erradamente el volumen, efectuando 36  8 = 288.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a optar por esta alternativa.
                                   3
5. Determinar el volumen, en cm , de una superficie esférica de 6 cm. de diámetro.

Alternativa A: Incorrecta. En vez del volumen se determina la superficie de un círculo.
Alternativa B. Incorrecta. Errores de cálculo de potencias llevan a obtener que la superficie es 12
Alternativa C. Incorrecta. Doble error al considerar la medida del diámetro en vez del radio y luego
resolver 33 como 9, siendo 27.
                                                            4              4
Alternativa D: CORRECTA. El volumen de una esfera es R 3 , o sea   3 3  36
                                                            3              3
Alternativa E: Incorrecta. Se calcula el volumen de la esfera, pero utilizando el diámetro en vez del
radio.
                               3
6. Calcular el volumen, en m , de un depósito cilíndrico de radio 3 m y altura 4 m terminado en
una semiesfera.

Alternativa A: CORRECTA. Se determina el volumen del cilindro, o sea,   32  4  36 y luego el de la
                   2
semiesfera, o sea,   3 3  18 . La suma de ambos volumenes es 54, que corresponde al volumen del
                   3
depósito.
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde sólo al volumen del cilindro y no al depósito en su totalidad.
Alternativa C. Incorrecta. Errores al resolver operatoria con potencias, llevan a obtener esta alternativa.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde sólo al volumen de la semiesfera y no al depósito en su totalidad.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a optar por esta alternativa.
                   3
7. Calcular, en cm , el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 cm de altura al girar
alrededor de ésta.

Alternativa A: Incorrecta. Se determina el lado del triángulo equilátero y luego se calcula su área y no el
volumen pedido.
Alternativa B. Incorrecta. Se determina el lado del triángulo equilátero y luego se calcula su área y no el
volumen pedido.
                                                                                   3
Alternativa C. Incorrecta. Se determina que el lado del triángulo equilátero es       cm., pero luego al
                                                                                  4
                                                      3               3
determinar el volumen se considera el radio como         y no como      , que es lo correcto.
                                                     4               8
Alternativa D: Incorrecta. No se efectúan los cálculos en forma correcta lo que lleva a optar por esta
alternativa.
Alternativa E: CORRECTA. Con el teorema de Pitágoras se calcula el lado del triángulo, que resulta
                                                                                                 2
  3                                                                  1             1  3         
    cm. Luego se determina el volumen del cono engendrado, calculando   r 2  h      
                                                                                       8   2  32
 4                                                                   3             3     


                                                                               2
8. La diagonal de una de las caras de un cubo es 3 2 m. Calcular, en cm , la superficie del cubo.

Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a la superficie de una de las caras del cubo y no a su totalidad.
Alternativa B. Incorrecta. Se determina la arista del cubo, pero luego se multiplica por 6 (6 caras),
producto que no corresponde a su superficie.
Alternativa C. Incorrecta. Se efectúa el producto 3 2 por 6, considerando que son 6 caras, pero este
producto no corresponde a la superficie del cubo.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde al volumen del cubo y no a su superficie.
Alternativa E: CORRECTA. Por Pitágoras se determina que cada arista del cubo es 3 cm., luego se
calcula la superficie, resolviendo 6  32  54 cm2

9. El área de una esfera es 48 cm . Considerando  = 3, determinar la medida de su diámetro.
                                     2



Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a la medida del radio de la esfera y no al diámetro.
Alternativa B. CORRECTA. Como el área de la esfera corresponde a A  4r 2 , entonces 48  4  3  r 2
de donde r = 2, por lo que el diámetro de la esfera mide 4 cm.
Alternativa C. Incorrecta. Al aplicar en forma equivocada la fórmula sobre el área de una esfera se opta
por esta alternativa.
Alternativa D: Incorrecta. Al aplicar en forma equivocada la fórmula sobre el área de una esfera se opta
por esta alternativa.
Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a optar por esta alternativa.

10. Un albañil pinta un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, por el que cobra
750 pesos el metro cuadrado, ¿cuánto se le debe cancelar por el trabajo hecho, considerando  =
3?

Alternativa A: Incorrecta. Se resuelve toda la operatoria, pero al final no se considera el valor de  en el
producto hecho.
Alternativa B. CORRECTA. Se determina la superficie del cilindro, o sea, 2  3 10 15  900 m 2 y como se
cobra $750 por metro cuadrado, se debe calcular 900  750  $675.000
Alternativa C. Incorrecta. En vez de determinar el perímetro de la base, se calcula el área. Toda la
operación posterior lleva a obtener $ 1.125.000.
Alternativa D: Incorrecta. Al efectuar la operación, se trabaja con la medida 20 cm., considerándolo
como radio de la circunferencia, cuando en realidad es el diámetro de ella.
Alternativa E: Incorrecta. En vez de la superficie del recipiente se calcula su volumen y esto lleva a
obtener que se debe cancelar $ 3.375.000, no considerándose las unidades involucradas.

								
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