MTH 275 Statistics for Scientists

MTH 275 Statistics for Scientists

ภุชงค์ แพรขาว

วัตถุประสงค์การเรียนรู้

เมื่อนักศึกษาเรียนจบรายวิชาStatistics for Scientists แล้วต้องสามารถ

1.นิยามและคานวณความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์

ตามทฤษฎีบทของเบย์ได้

2.นิยามตัวแปรสุ่ม ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

ของตัวแปรสุ่มได้

3.ให้ความหมาย ตัวอย่าง ประชากร ตัวสถิติและตัวพารามิเตอร์ได้

4.นิยามและคานวณหาการแจกแจงตัวอย่าง การประมาณค่า การทดสอบสมมติฐาน

และความสัมพันธ์ถอดถอยอย่างง่ายได้

5.ประยุ กต์ทฤษฎี บทความน่ า จะเป็ น การแจกแจงตัวอย่า ง การประมาณค่า การ

ทดสอบสมมติฐานและความสัมพันธ์ถอดถอยอย่างง่ายกับงานทางวิทยาศาสตร์ได้

แผนการสอน

สัปดาห์ที่ 1 การทดลองเชิงสุ่ม ปริภูมิตัวอย่างและเหตุการณ์ การนับจานวนจุดตัวอย่าง ความ

น่าจะเป็นในปริภูมิตัวอย่างแบบจากัดและไม่จากัด

สัปดาห์ที่ 2 ความน่าจะเป็นแบบมีเ งื่อนไข กฎการรวมความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของ

เหตุการณ์ที่เป็นอิสระกัน กฎความน่าจะเป็นของเบย์

สั ป ดาห์ ที่ 3 ตั ว แปรสุ่ ม ความน่ า จะเป็ น และการแจกแจงความน่ า จะเป็ น ของตั ว แปรสุ่ ม

แบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่อง

สัปดาห์ที่ 4 การแจกแจงความน่าเป็นร่วมและการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของตัว

แปรสุ่ม การคาดคะเนและคุณสมบัติของการคาดคะเน

สัปดาห์ที่ 5 ความแปรปรวน ทฤษฎีเซบบีเชฟ

สัปดาห์ที่ 6 การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องบางชนิด การแจงแจงแบบสม่าเสมอ

แบบทวินาม แบบไฮเอร์ยีออเมตริก แบบปัวส์ซงและแบบเรขาคณิต

สัปดาห์ ที่ 7 การแจกแจงความน่ าจะเป็น แบบต่อเนื่องบางชนิด การแจกแจงแบบปกติ แบบ

แกมม่า แบบเอ็กโปรเนนเชียลและแบบไคกาลังสอง

สัปดาห์ที่ 8 ประชากร ตัวอย่าง การสุ่มตัวอย่าง ตัวสถิติ ตัวพรามิเตอร์และการแจงแจงตัวอย่าง

สัปดาห์ที่ 9 ทฤษฎีบทการประมาณค่า การประมาณค่าแบบจุดและการประมาณค่าแบบช่วงของ

ค่าเฉลี่ย สัดส่วนและความแปรปรวนในกรณีหนึ่งประชากร

สัปดาห์ที่ 10 การประมาณค่าแบบช่วงของค่าเฉลี่ย สัดส่วนและความแปรปรวนในกรณีสอง

ประชากร

สัปดาห์ที่ 11 ทฤษฎีบทการทดสอบสมมติฐาน การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย สัดส่วน

และความแปรปรวนกรณีหนึ่งประชากร

สัปดาห์ที่ 12 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย สัดส่วนและความแปรปรวนในกรณีสอง

ประชากร

สัปดาห์ที่ 13 ทฤษฎีบทการถอดถอยอย่างง่าย การหาสมการการถอดถอยอย่างง่าย

สัปดาห์ที่ 14 การพยากรณ์โดยสมการการถอดถอยอย่างง่าย

บทนา

วัตถุประสงค์การเรียนรู้บทนา

เมื่อนักศึกษาเรียนจบบทนี้แล้วจะต้องสามารถ

1.บอกความหมายของเซต สมาชิกและการใช้สัญลักษณ์แทนได้

2.บอกความหมายของการดาเนินการขอเซต เมื่อยูเนียน อินเตอร์เซ็กชัน

และคอมพลิเมนต์ได้

3.นิยามฟังก์ชั่นแฟกทอเรียลของจานวนเต็มบวกได้

4.คานวณหาจานวนวิธีการจัดสิ่งของแบบไม่ซ้าและแบบซ้าได้

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

นิยาม เซต(Sets)

เซต คือคาเรียก กลุ่ม หมู่ เหล่า พวก ฝูง สิ่งต่างๆ ที่สนใจพร้อมกัน ซึ่งอาจ

เป็นคน สัตว์ สิ่งของ ผลการทดลอง ... ฯลฯ และนิยมตั้งชื่อเซตด้วยตัวอักษรตัว

ใหญ่ เช่น A, B, C, … เป็นต้น ส่วนสิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่าสมาชิกจะใช้ตัวอักษรตัว

เล็กแทน เช่น a, b, c, …

การเขียนเซต มีวิธีเขียนโดยทั่วไป 2 วิธี

1.บอกสมาชิกโดยชัดเจนลงในเครื่องหมายปีกกาคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น

A = {1,3,5,…,19}

2.บอกสมาชิกแบบระบุเงื่อนไขในเครื่องหมายปีกกา คือเขียนตัวแปรแทนสมาชิกทุก

ตัวแล้วใส่เครื่องหมาย such that (“/”) ตามด้วยบอกคุณสมบัติของสมาชิกทั้งหมดใน

รูปความสัมพันธ์ของตัวแปร เช่น B = {x/x เป็นเลขคี่และ x<21}

การดาเนินการของเซต(Operation of Sets)

นิยาม ยูเนียน(Union)

เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของเซต A

หรือ B : A  B  x / x  A or x  B





A B

A B



C

นิยาม อินเตอร์เซกชัน(Intersection)

เซต A อินเตอร์เซกชันกับเซต B คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของ

เซต A และเซต B : A  B  x / x  A and x  B





A B

นิยาม คอมพลิเมนต์(Complement)

เซต A คอมพลิเมนต์( AC) คือเซตที่มสมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต

ี

A หมายความว่าเป็นเซตที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์แต่ไม่อยู่ในเซต A :

Ac  U  Ac  U  A  x / x U and x  A







A B





Ac

C

กฎการดาเนินการของเซต

1.กฎการสลับที(Commutative Laws)

่

A  B  B  A, A B  B  A

2.กฎการจัดหมู(Associative laws)

่

A   B  C    A  B   C, A   B  C    A  B   C

3.กฎการกระจาย(Distributive laws)

A   B  C    A  B   A  C 

A   B  C    A  B   A  C 

4.กฎของเดอมอร์แกน(De Morgan’s laws)

 A  B  A B ,  A  B  Ac  B c

c c c c

นิยาม (Factorial Function)

ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ ฟังก์ชันแฟกทอเรียลของ n จะเขียน

สัญลักษณ์แทนด้วย n! มีค่าเท่ากับผลคูณของจานวนเต็มบวก n ตัวแรก

n !  n  n  1 n  2  3 21

0!  1

1!  1

n !    n  1

หมายเหตุ ถ้า x เป็นจานวนจริงใด ๆ



x !    x  1   t x et dt

0

n!

ตัวอย่าง จงหาค่า n ถ้า  3192

 n  2 !

วิธีทา จากโจทย์จะได้

n  n  1 n  2 !

 3192

 n  2 !

n  n  1  3192



n2  n  3192  0



 n  57  n  56  0

n  56,57



ดังนั้น n = 57 เนื่องจาก n เป็นจานวนเต็มบวก

จานวนวิธีการจัดสิ่งของ

นิยาม การนับจานวนวิธี

1.การจัดสิ่งของแบบซ้ากันได้(with replacement) ถ้าให้มีสิ่งของ

n เลือกมาจัด r สิ่งแบบซ้ากันได้ จานวนวิธีของการจัดจะเท่ากับ nr

2.การจัดสิ่งของแบบไม่ซ้ากัน(without replacement) แบ่งเป็น

2.1.การจัดลาดับ(Permutation)เป็นวิธีการจัดเรียงที่

คานึงถึงลาดับที่เป็นสาคัญ ถ้าให้มี n สิ่งของแล้วเลือกมาจัดลาดับ r สิ่ง

จานวนวิธีของการจัดจะเท่ากับ n Pr  n!

 n  r !

2.2.การจัดหมู่(Combination)เป็นวิธีการจัดสิ่งของที่ไม่

คานึงถึงลาดับที่เป็นสาคัญ ถ้าให้มี n สิ่งของแล้วเลือกมาจัดหมู่ r สิ่ง

จานวนวิธีของการจัดจะเท่ากับ nC  n!

r ! n  r !

r

ตัวอย่าง มีแผ่นโลหะ 20 ชิ้นจะเลือกเป็นตัวอย่างในการทดลอง 5 ชิ้น จะมี

วิธีการเลือกได้ทั้งหมดกี่ชุดการทดลอง

วิธีทา การเลือกแผ่นโลหะ 5 ชิ้นมาทาการทดลองไม่คานึงถึงลาดับ



ดังนั้น จึงเป็นการจัดหมู่จานวนวิธีหาได้จาก

n!

n

Cr 

r ! n  r !

จะได้

20! 20 19 18 17 16 15!

20

C5    15504

5! 20  5! 5  4  3  2 115!

ตัวอย่าง มีตัวอักษร a,b,c,d,e และ f นามาจัดเรียงคราวละ 3 ตัว จะมีกี่วิธี

จัดที่ไม่ซ้ากัน

วิธีทา การจัดเรียงตัวอักษรเมื่อลาดับแตกต่างกันถือว่าไม่ซ้ากัน

ดังนั้น จึงเป็นการจัดลาดับจานวนวิธีหาได้จาก

n!

n

Pr 

 n  r !

จะได้

6! 6  5  4  3!

6

P3    120

 6  3 ! 3!

แบบฝึกหัดบทนา

1.จงหาค่า n เมื่อ P(n,10) = 15P(n-1,9)

2.มีจุด 7 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะเขียนลูกศรโดยที่จุดเหล่านี้เป็น

จุดเริ่มต้นและจุดปลาย ได้ทั้งหมดกี่อัน

3.มีหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่ม ต้องการแจกให้นักเรียน 2 คน คนหนึ่ง 5 เล่ม

และอีกคนหนึ่ง 3 เล่ม จงหาจานวนวิธีที่จะแจก

คาตอบแบบฝึกหัดบทนา



1. 15



2. 42



3. 112

บทที่ 1

วัตถุประสงค์การเรียนรู้บทที่ 1

เมื่อนักศึกษาเรียนจบบทนี้แล้วจะต้องสามารถ

1.นิยามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้

2.บอกความหมายการทดลองเชิ ง สุ่ ม ปริ ภู มิ ตั ว อย่ า ง จุ ด ตั ว อย่ า งและ

เหตุการณ์ได้

3.เมื่ อ ก าหนดโจทย์ ปั ญ หาการทดลองเชิ ง สุ่ ม ให้ บอกได้ ว่ า จ านวนจุ ด

ตัวอย่างในปริภูมิตัวอย่างและในเหตุการณ์เป็นเท่าไรได้

ความน่าจะเป็น

(Probability)

นิยาม Probability

ความน่าจะเป็น หมายถึงตัวเลขที่ใช้บอกการวัดโอกาสการเกิดของ

เหตุการณ์ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นได้มากน้อยเพียงใด

ในการคานวณหาค่าความน่าจะเป็นควรทาความเข้าใจกับนิยาม

ต่อไปนี้ก่อน

1.การทดลองสุ่ม

2.ปริภูมิตัวอย่าง

3.เหตุการณ์

นิยาม Random Experiment

การทดลองสุ่ม คือการทดลองหรือการกระทาที่ไม่สามารถทานาย

ผลลัพธ์ได้ล่วงหน้า แต่ควรรู้ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเป็นอย่างไร



An experiment that can result in different outcomes,

even though it is repeated in the same manner every time, is

called a random experiment





Douglas C.Montgomery 1994 Applied Statistics and Probability for Engineers

นิยาม Sample Space

ปริภูมิตัวอย่าง คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการ

ทดลองสุ่ม เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย S และสมาชิกตัวหนึ่งของปริภูมิ

ตัวอย่าง เรียกว่าจุดตัวอย่าง (Sample point)



ปริภูมิตัวอย่างมี 3 แบบ คือ

1.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้จากัด

2.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้ไม่จากัด(อนันต์)

3.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับไม่ได้(ต่อเนื่อง)

1.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้จากัด

ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้จากัด คือผลลัพธ์ของการทดลองทั้งหมดที่

มีจานวนจุดตัวอย่างที่จากัดแน่นอน

เช่น ในการทดลองสุ่มโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งลงบนพื้น ปริภูมิตัวอย่าง

ของการทดลอง คือ



S  1, 2,3, 4,5, 6

2.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้ไม่จากัด(อนันต์)



ปริภูมิตัวอย่างแบบนับได้ไม่จากัด คือผลลัพธ์ของการทดลองทั้งหมด

ที่มีจานวนจุดตัวอย่างมากไม่จากัด



เช่น การทดลองสุ่มหาจานวนที่ 2 หารลงตัวในเซตจานวนเต็มบวก

ปริภูมิตัวอย่างของการทดลอง คือ

S  2, 4, 6,...

3.ปริภูมิตัวอย่างแบบนับไม่ได้(ต่อเนื่อง)

ปริภูมิตัวอย่างแบบนับไม่ได้ คือผลลัพธ์ของการทดลองทั้งหมดที่มี

ค่าจุดตัวอย่างแบบต่อเนื่องนับไม่ได้

เช่ น ในการทดลองสุ่ ม บั น ทึ ก เวลาการเดิ น ทางของนั ก ศึ ก ษามา

มหาวิทยาลัย ปริภูมิตัวอย่าง คือ



S  t 0  t  2

t คือ เวลาที่นักศึกษาใช้ในการเดินทางมีหน่วยเป็นชั่วโมง

นิยาม Events

เหตุการณ์ คือเซตย่อย(Subset)ของปริภูมิตัวอย่าง เขียนสัญลักษณ์แทน

อักษรตัวใหญ่ในภาษาอังกฤษ เช่น A, B,…โดยเรียกเซตย่อยที่มีสมาชิก

เพียงตัวเดียวว่า เหตุการณ์เดี่ยว(Simple event) แลเรียกเซตย่อยที่มีสมาชิก

หลายตัวว่า เหตุการณ์ประกอบ(Compound event)

หมายเหตุ

1.ถ้า A,B เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A B



2.ถ้า A,B เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกันหรือไม่เกิดร่วมกันก็ได้ จะเขียนแทน

ด้วยสัญลักษณ์ A  B

ั

การนับจุดตัวอย่างในปริภูมิตวอย่างและเหตุการณ์

1.กฎการคู ณ ถ้ า ปริ ภู มิ ตั ว อย่ า งหรื อ เหตุ ก ารณ์ ที่ เ กิ ด ขึ้ น จากการ

ทดลองเพียงกรณีเดียว(ไม่มีทางเลือก) แต่ประกอบด้วยการกระทาที่เป็น

ขั้นตอนหลายขั้นตอนต่อเนื่องกันไป แล้วจานวนจุดตัวอย่างทั้งหมดจะ

เท่ า กั บ จ านวนจุ ด ตั ว อย่ า งของแต่ ล ะขั้ น ตอนคู ณ กั น เช่ น ประกอบด้ ว ย

ขั้นตอน A และ B จะได้ n  A  B   nAnB

2.กฎการบวก ถ้าปริภูมิ ตัวอย่างหรือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้ นจากการ

ทดลองแยกเป็นหลายกรณี(หลายหนทางเลือก) แต่ละกรณีไม่เกิดขึ้นพร้อม

กัน(เกิดกรณีใดกรณีหนึ่งเท่านั้น) แล้วจานวนจุดตัวอย่างทั้งหมดจะเท่ากับ

จานวนจุดตัวอย่างแต่ละกรณีบวกกัน เช่นประกอบด้วยกรณี A หรือ B จะ

ได้ n  A  B   nA  nB

ตัวอย่าง ในการทดลองสุ่มโยนลูกเต๋า 1 ลูกลงบนพื้น 1 ครั้ง ถ้าสิ่งที่สนใจ

คือแต้มของลูกเต๋าที่หงาย จงหาจานวนจุดตัวอย่างใน

ก.แซมเปิลสเปซของการทดลอง

ข.เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายแต้มคู่

วิธีทา ให้ S คือ แซมเปิลสเปซของการทดลอง S  1, 2,3, 4,5, 6

ซึ่งจะมีจานวนจุดตัวอย่าง n  s   6

ให้ A คือ เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายแต้มคู่ A  2, 4, 6

ซึ่งจะมีจานวนจุดตัวอย่าง n  A  3

ตัวอย่าง ในการทดลองสุ่มโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง ลงบนพื้น ถ้าสิ่งที่

สนใจ คือการหงายของเหรียญ โดยให้ H แทนการหงายหัวของเหรียญ และ

T แทนการหงายกอยของเหรียญ จงหาจุดตัวอย่าง

ก.แซมเปิลสเปซของการทดลอง

ข.เหตุการณ์ที่เหรียญจะหงายหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ

วิธีทา ให้ S คือ แซมเปิลสเปซของการทดลอง

S  HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT 

ซึ่งจะมีจานวนจุดตัวอย่าง n  S   8

ให้ B คือ เหตุการณ์ที่เหรียญหงายหัวอย่างน้อย 2 หัว

ซึ่งจะมีจานวนจุดตัวอย่าง n  B   4

หมายเหตุ การเขียน Tree diagram เพื่อหาแซมเปิลสเปซ

ในตัวอย่าง Sample point

H HHH

H

H T HHT

T H HTH

T HTT

H THH

H

T T THT

H TTH

T

T TTT

ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3

แบบฝึกหัดบทที่ 1

1.Registrants at a large convention are offered 6 sightseeing tours on

each of 3 days. In how many ways can a person arrange to go on a

sightseeing tour planned by this convention

2.If an experiment consists of throwing a die and then drawing a

letter at random from the English alphabet, how many points are in

the sample space

3.A developer of a new subdivision offers a prospective home a choice

of 4 designs, 3 different heating systems, a garage or carport, and a

patio or screened porch. How many different plans are available to

this buyer.

คาตอบแบบฝึกหัดบทที่ 1



1. 18



2. 156



3. 48