GEOMETRIA
1. DIDACTICA DE LA
GEOMETRIA PARA
LOS MAESTROS
Capitulo 1: Figuras Geométricas
- Orientaciones Curriculares
Diseño Curricular Base del MEC:
“objetivo 9: identificar formas
geométricas en su entorno inmediato,
utilizando el conocimiento de sus
elementos, propiedades y relaciones
entre las mismas para incrementar su
comprensión y desarrollar nuevas
posibilidades de acción en el mismo”
Hechos, conceptos y principios:
Formas planas.
Las figuras y sus elementos.
Relaciones entre los elementos de una figura y
de las figuras entres si.
Regularidades y simetrías.
Suma de los ángulos de un triángulo
Formas espaciales.
Los cuerpos geométricos y sus elementos:
vértices, aristas y caras.
Cubo, esfera, prismas, pirámides, conos y
cilindros.
Relación entre los elementos del cubo.
Regularidades y simetrías.
Procedimientos:
Descripción de la forma de objetivos familiares utilizando el
vocabulario geométrico.
Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos
previamente establecidos.
Construcción de cuerpos geométricos
Comparación y clasificación de figuras planas y cuerpos
geométricos utilizando diversos criterios.
Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de
otras por composición y descomposición.
Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y
cuerpos geométricos.
Trazado de una figura simétrica de otra respecto de un
elemento dado.
Utilización de los instrumentos de dibujo para la construcción
y exploración de formas geométricas.
Actitudes, valores y normas:
Curiosidad e interés por identificar formas y
relaciones geométricas en los objetos del entorno.
Interés y perseverancia en la búsqueda de
soluciones a situaciones problemáticas relacionadas
con la organización y utilización del espacio.
Gusto por la precisión en la descripción y
representación de formas geométricas.
Disposición favorable para la utilización de los
instrumentos convencionales de dibujo y para la
búsqueda de instrumentos alternativos.
Principios y Estándares 2000 del NCTM
Los programas de enseñanza de matemáticas desde
educación infantil, hasta bachillerato deben
capacitar a todos los alumnos para:
Analizar las características y propiedades de los objetos
de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos sobre
ellos.
Especificar posiciones de los objetos en el espacio y
describir relaciones espaciales.
Aplicar transformaciones geométricas y usar la simetría
para analizar situaciones matemáticas.
Usar la visualización, el razonamiento espacial y la
modelización geométrica para resolver problemas.
- Desarrollo Cognitivo y
Progresión en el Aprendizaje
Las investigaciones de Piaget sobre el
desarrollo de conceptos geométricos:
Propone una teoría del desarrollo de los
conceptos espaciales en el niño. Distingue
entre:
PERCEPCIÓN: Conocimiento de objetos como
consecuencia del contacto directo con ellos
(hasta 2 años).
REPRESENTACIÓN: Evocación de objetos en
ausencia de ellos (a partir de dos años).
El modelo de los niveles de van Hiele
En este modelo se proponen cinco niveles
jerárquicos para describir la comprensión y
el dominio de las nociones y habilidades
espaciales.
NIVEL 0: VISUALIZACIÓN.
En este nivel, los objetos de pensamiento son formas y
se conciben según su apariencia. Los productos del
pensamiento son clases o agrupaciones de formas que
parecen ser similares.
NIVEL 1: ANÁLISIS.
Los productos del pensamiento son las propiedades de
las formas. En este nivel los objetos de pensamiento
son clases de formas, en lugar de formas individuales.
NIVEL 2: DEDUCCIÓN INFORMAL.
En este nivel los objetos del pensamiento son las
propiedades de las formas.
NIVEL 3: DEDUCCIÓN.
En este nivel, los objetos de pensamiento son relaciones
entre propiedades de los objetos geométricos.
NIVEL 4: RIGOR.
En este nivel los objetivos de pensamiento son sistemas
axiomáticos para la geometría. El objeto de atención son
los propios sistemas axiomáticos, no las deducciones
dentro de un sistema.
La principal característica de este modelo de
pensamiento geométrico es que en cada nivel (excepto
en el 4º) se deben crear uno objetos de manera que
las relaciones entre estos objetos se convierten en
los objetos del siguiente nivel.
- Situaciones y Recursos
Didácticos
Las siguientes actividades, se realizan en el
primer ciclo de educación secundaria (12 a 14
años):
Juegos de psicomotricidad:
Actividad: Líneas, regiones y psicomotricidad:
Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de
una música.
Nos movemos en grupos.
Nos movemos en grupos de acuerdo con las líneas que
se dibujan en la pizarra
Descripción y clasificación de objetos:
Partir del vocabulario que tienen aprendido los
alumnos sobre las figuras geométricas.
Actividad: Clasificación de formas:
En una cartulina grande dibujaremos diferentes
formas para que los alumnos elijan una y la comparen
con el resto según el aspecto que tenga. Podemos
pedirles que las organicen en subconjuntos descritos
por el rasgo que las caracterice.
Construcción y exploración de polígonos:
Es muy importante que sean los propios niño quienes dibujen
las formas; en primer lugar les pediremos que dibujen figuras
libres, las que ellos quieran, para mas tarde pasar a que
construyan las figuras que cumplan una serie de condiciones
que les demos. Para construirlas, se pueden usar diferentes
materiales como plastilina, cartulina, bloques, geoplanos,
tangram…
Construcción y exploración de sólidos:
Actividad: Hacer que los alumnos dibujen desarrollos de
diversos sólidos. Sobre papel cuadriculado con una retícula de
1cm de lado se pueden trazar líneas paralelas y ángulos sin
tener que hacer mediciones.
Geometría dinámica (Logo y Cabrí)
Si disponemos de un aula con
ordenadores podremos hacer uso de
programas comerciales disponibles para
el estudio de la geometría. (Módulo de la
“geometría de la tortuga”).
- Conflictos en el Aprendizaje.
Instrumentos de Evaluación.
Ítems usados en diversas investigaciones para evaluar
los conocimientos geométricos de los niños.
1. La recta a es paralela a b, y la b es paralela a c.
¿Es cierto que a será paralela a c?
Respuesta: “No, porque b está en medio”
¿Cuáles de las siguientes figuras son
ángulos rectos?
Los porcentajes indicados corresponden a
las respuestas dadas por niños de diez
años afirmando que tales figuras son
ángulos rectos.
3. ¿Cuáles de los siguientes segmentos
son paralelos?
Los porcentajes indicados corresponden a
las respuestas dadas por niños de diez años
afirmando que tales segmentos son
paralelos.
4. Señala entre las siguientes figuras, 1) La
que sea un cuadrado; 2) La que sea un
triángulo.
Respuestas:
2.TRANSFORMACION
ES GEOMÉTRICAS.
SIMETRÍA Y
SEMEJANZA
ORIENTACIONES
CURRICULARES.
Las orientaciones curriculares del MEC para la educación
primaria incluyen “las formas en los espacios”, dentro de
“procedimientos”, con las siguientes indicaciones”:
búsqueda de elementos de regularidad y simetría en
figuras y cuerpos geométricos.
Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto
de un elemento dado.
Para los niveles de educación infantil y primaria el objetivo
general es
“aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar
situaciones matemáticas”.
SITUACIONES Y RECURSOS
DIDÁCTICOS
Juegos de psicomotricidad:
• Actividades de psicomotricidad y apreciación del giro
• Actividades de psicomotricidad y simetrías
Simetría axial: doblar una hoja de papel y hacer diversos cortes de
los bordes, al desdoblar la hoja se obtendrán figuras con eje de simetría por
el doblez inicial.
Simetría rotacional
Simetría de figuras tridimensionales: cubos encajables
Figuras semejantes: medidas de ángulos, calcular áreas y
volúmenes que sean semejantes
CONFLICTOS EN EL APRENDIZAJE.
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN.
Traslaciones Conservación de la longitud de
segmentos ante las
La comprensión del traslaciones: Un test clásico
concepto de vector libre usado por Piaget
como vector asociado a
una traslación.
La realización de
traslaciones cuando la
figura tiene forma
poligonal (especialmente
si es rectangular) y el
vector de la traslación es
paralelo a uno de sus
lados.
Simetrías:
Errores cuyo origen está en el concepto de simetría, que
surgen cuando no se aplican correctamente las dos
propiedades que relacionan una figura y su imagen:
Falta de equidistancia al eje de cada punto y su imagen.
Errores cuyo origen está en una interpretación reducida
o deformada de la simetría. Esto surge cuando se
utilizan concepciones erróneas de tipo visual: Dibujo de
la imagen paralela a la figura original aunque esta no
sea paralela al eje.
3. ORIENTACIÓN
ESPACIAL.
SISTEMAS DE
REFERENCIA
ORIENTACIONES
CURRICULARES
ORIENTACIONES CURRICULARES:
Conocimiento y representación espacial.
Percepción, conocimiento y generalización de
nociones topológicas básicas y aplicación de las
mismas al conocimiento del medio.
Coordinación de las diversas perspectivas
desde las que se puede contemplar una
realidad espacial.
Desarrollo de los sistemas de referencia.
Localización de objetos en el espacio.
Los Principios y Estándares
2000 del NCTM
Infantil a 2º curso 3º a 5º curso
Describir, nombrar e interpretar Describir posiciones y
las posiciones relativas en el movimientos usando el lenguaje
espacio y aplicar ideas sobre común y el vocabulario
posición relativa. geométrico
Describir, nombrar e interpretar la
dirección y distancia en el Construir y usar sistemas de
movimiento espacial y aplicar coordenadas para especificar
ideas sobre dirección y distancia posiciones y describir trayectorias
Encontrar y nombrar posiciones
con relaciones simples, como Encontrar la distancia entre
“cerca de” y en sistemas de puntos en las direcciones
coordenadas tales como en los horizontal y vertical del sistema de
mapas coordenadas
DESARROLLO COGNITIVO Y
PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE
El desarrollo de sistemas de referencia
El movimiento en el espacio supone servirse de
puntos de referencia gracias a los cuales se
pueden localizar la dirección y la posición.
La variable tamaño del espacio: El
microespacio, El mesoespacio, Macroespacio.
SITUACIONES Y RECURSOS
Para adquirir dichos conceptos, se pueden plantear
diferentes actividades, como la búsqueda de un objeto
escondido en clase (mesoespacio) o bien dentro del
espacio escolar.
Refiriéndonos al macroespacio, la localización relativa
de lugares conocidos en la ciudad o la construcción de
una brújula y de un plano de la escuela.
4. PRINCIPIOS Y
ESTÁNDARES PARA
LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA.
GEOMETRÍA
ETAPA PREK-2
Objetivos:
Analizar las características y propiedades de figuras
geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar
razonamientos sobre relaciones geométricas.
Localizar y describir relaciones espaciales mediante
coordenadas geométricas y otros sistemas de
representación.
Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar
situaciones matemáticas.
Utilizar la visualización, el razonamiento espacial y la
modelización geométrica para resolver problemas.
ETAPA 3-5 (8 A 10 AÑOS)
Los objetivos:
Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de
dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos sobre
relaciones geométricas
Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas
geométricas y otros sistemas de representación. Se desarrollan
más las ideas que tienen de situación, dirección y distancia.
Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones
matemáticas.
Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la
modelización geométrica para resolver problemas. Para ello
necesitan conocer las características de las figuras.
LA ETAPA 6-8 (11 A 13 AÑOS)
Objetivos:
Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de
dos o tres dimensiones y desarrollar argumentos sobre relaciones
geométricas.
Localizar y describir relaciones espaciales usando coordenadas
geométricas y otros sistemas de representación.
Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar
situaciones matemáticas.
Utilizar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos
geométricos para resolver problemas.
ETAPA 9 – 12 (14-17 años)
Objetivos:
Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de
dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos
sobre las relaciones geométricas
Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas
geométricas y otros sistemas de representación
Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones
matemáticas
Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la
modelización geométrica para resolver problemas
5. TIPOS DE
ESPACIOS
TTOPOLÓGIC
Es la geometría de las transformaciones continuas. Se realiza sobre una
TOPOLÓGICO
superficie de caucho, sobre una membrana.
GEOMETRÍA Es la geometría que se realiza cuando se aplica un foco puntual en la figura.
PROYECTIVA
Se conserva el alineamiento y las propiedades topo lógicas.
GEOMETRÍA Es la geometría que se realiza cuando se proyecta con rayos paralelos, se
AFÍN
consideran éstos los solares por la lejanía del sol a la tierra.
GEOMETRÍA DE LAS Es la geometría que se realiza cuando se proyecta un foco puntual y en la
SEMEJANZAS
figura interrumpe el haz de rayos según planos paralelos a diferentes
distancias del foco. Las figuras conservan la forma pero no el tamaño.
GEOMETRIA Es la geometría de los movimientos. Permanecen todas las características de
MÉTRICA
las figuras. Solo se mueven traslaciones o desplazamientos, rotaciones o
giros y reflexiones o simetrías axiales o especulares.
ACTIVIDADES
DE GEOMETRÍA
UNTANGLED
http://1001juegos.blogspot.com/200
8/01/untangled.html
LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Proyecto de actividades para quinto de
educación primaria para repasar la geometría:
Poliedros
Prismas
Pirámides
Cilindros
Conos
Esferas
http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id
=3398
APRENGEO
Paquete de actividades para el aprendizaje de la
geometría en educación primaria. Este
extenso proyecto tiene 6 partes:
Preguntas y respuestas
Actividad dirigida
Explicación
Actividad libre
Ahora aprendemos
Saber más de...
http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=
3280
TANGRAM
http://www.docente.mendoza.edu.
ar/matematica/tangram.htm
También podemos construir, trabajar y
realizar actividades con juegos creados
con diferentes materiales:
- TANGRAM, y proponer ejercicios
sobre áreas, perímetros, etc.
- POLIMINÓS (grupos de cuadrados
unidos por los lados, teniendo entre
ellos al menos un lado común). Según
estén formados por 1,2,3,4, …
cuadrados, se llaman uniminós,
dominós, triminós, etc.
- POLICUBOS (cuerpos geométricos
formados por cubos iguales unidos
por las caras, teniendo entre cada
dos una cara en común). Según estén
formados por 2, 3, 4, 5, … cubos, se
llaman bicubos, tricubos, tetracubos,
etc.
- MOSAICOS (mosaico es una región
plana recubierta por polígonos de
manera que no se solapen y no dejen
huecos entre ellos).
- Construir figuras geométricas.
- Ejercicios de geometría en libros
de matemáticas de primaria.
http://roc21.blogspot.com/2007/12/hacer-
figuras-geomtricas-con-papel.html