ESERCIZI SULLE PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
- Ripassiamo la definizione di logaritmo
Definizione di logaritmo di b in base a
Dati due numeri positivi a e b, il logaritmo di un numero b, detto argomento, rispetto a numero a,
detto base, è l’esponente x a cui si deve elevare a per avere b.
Si indica con x log a b ; x è il logaritmo di b rispetto ad a se a x b
1
Esempi: log 3 27 3 perché 33=27 log 5 2 perché 5-2=1/25.
25
IMPORTANTE
Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e b sono numeri
positivi.
La base del logaritmo a deve essere diverso da 1 perché 1x=b è un’equazione impossibile se b≠1 o
indeterminata se b=1.
Ricordiamo che:
log a 1 0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a 1.
log a a 1 perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso.
- Ripassiamo ora le proprietà dei logaritmi
Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre:
I) log a b c log a b log a c : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma
dei logaritmi dei singoli fattori.
Questa formula viene applicata anche al “contrario” ossia log a b log a c log a b c .
b
II) log a log a b log a c : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla
c
differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.
b
Questa formula è letta anche al “contrario” ossia log a b log a c log a .
c
III) log a b n log a b : il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto
n
dell’esponente della potenza per il logaritmo della base.
Questa formula può essere applicata anche al “contrario” ossia n log a b log a b n .
Queste formule, applicate da sinistra verso destra, si usano per risolvere i seguenti esercizi:
- Applicando le proprietà dei logaritmi sviluppare le espressioni di seguito indicate:
3 23 2 a 3 (a 2 1) 1 a2 5 b
1) log 2) log 2
2
3) log 4) log 1 4
5a b2 2
4 b c
3
1) log : per sviluppare tale espressione si applica la formula del logaritmo di un quoziente
5a
b 3
log a log a b log a c in cui si sostituiscono b=3 e c=5a si ha dunque log log 3 log 5 .
c 5a
23 2
2) log 2
2 : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un
23 2
quoziente e si ha log 2
2 = log 2 2 2 log 2 2 . In seguito al termine log 2 2 2 si applica la
3 3
formula del prodotto log a b c log a b log a c dove b=2 e c= 3 2 e si ha log 2 23 2 =
“Esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi” Pr.ssa Rita Laudazi a. s. 2008/09 1
log 2 2 log 2 3 2 , poi al termine log 2 3 2 applichiamo la formula del logaritmo di una potenza
1
log a b n n log a b con b=2 e n= 1/3 e si ha log 2 3 2 = log 2 2 . Analogamente il secondo termine
3
1 23 2 1 1
- log 2 2 diventa - log 2 2 . Unendo il tutto si ha log 2
2 = log 2 2 3 log 2 2 2 log 2 2. Per
2
2 23
1 1 623 5
finire, poiché log 2 2 1 si ha che log 2
2 = 1 3 2 .
6 6
a 3 (a 2 1)
3) log : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un
b2
a 3 (a 2 1)
quoziente e si ha log 2
= log a 3 (a 2 1) log b 2 . In seguito al termine log a 3 (a 2 1) si
b
applica la formula del prodotto log a b c log a b log a c dove b=a3 e c= (a2+1) si ha
log a 3 (a 2 1) = log a 3 log( a 2 1) poi al termine log a 3 applichiamo la formula del logaritmo di
una potenza log a b n n log a b con b=a e n=3 e si ha log a 3 = 3 log a . Analogamente il secondo
a 3 (a 2 1)
termine - log b 2 diventa - 2 log b . Unendo il tutto si ha log 2
= 3 log a log( a 2 1) 2 log b.
b
(si noti che il termine log( a 2 1) rimane invariato perchè non c’è una formula che coinvolge la
somma degli addendi nell’argomento del logaritmo!)
1 a2 5 b
4) log 1 4 : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un
2
4 b c
1 a2 5 b 1 a2 5 b a2 5 b
prodotto si ha log 1 4 = log 1 log 1 4 . In seguito al termine log 1 4 si applica la
2
4 b c 2
4 2 b c 2 b c
a2 5 b
formula del quoziente e si ha log 1 4
= log 1 a 2 5 b log 1 b4 c ; in seguito con le formule del
2 b c 2 2
prodotto e del logaritmo di una potenza si continua a sviluppare gli addendi log 1 a 2 5 b e
2
log 1 b c e si ha:
4
2
1
log 1 a 2 5 b = log 1 a 2 log 1 5 b = 2 log 1 a log 1 b
2 2 2 2
5 2
1
log 1 b4 c = log 1 b log 1 4 c = log 1 b log 1 c .
2 2 2 2
4 2
1 a2 5 b 1 1 1
Unendo tutti i pezzi si ha log 1 4 = log 1 2 log 1 a log 1 b log 1 b log 1 c , ma
2
4 b c 2
4 2
5 2 2
4 2
1
log 1 2 si ha
2
4
1 a2 5 b 1 1 4 1
log 1 4 =2+ 2 log 1 a log 1 b log 1 b log 1 c =2+ 2 log 1 a log 1 b log 1 c .
2
4 b c 2
5 2 2
4 2 2
5 2
4 2
“Esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi” Pr.ssa Rita Laudazi a. s. 2008/09 2
Le stesse formule, applicate destra verso sinistra, si usano per risolvere un’altra tipologia di esercizi,
l’inversa di quelli appena visti:
- Applicandole proprietà dei logaritmi scriviamo le seguenti espressioni sotto forma di un unico
logaritmo:
1
1) log 3 log 7 log 6 2) log 2 x log 2 ( x 1) log 2 5 3) log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1
4
1) log 3 log 7 log 6 : per ridurre i primi due termini in un unico logaritmo usiamo la formula
log a b log a c log a b c con b=3 e c=7 e si ha
log 3 log 7 log 6 = log(3 7) log 6 log 21 log 6 ; applichiamo in seguito la formula del
b 21 7
quoziente log a b log a c log a con b=21 e c = 6 e si ha log 21 log 6 log log ; in
c 6 2
7
definitiva si ha log 3 log 7 log 6 = log .
2
2) log 2 x log 2 ( x 1) log 2 5 : per ridurre tale espressione in un unico logaritmo applichiamo la
formula log a b log a c log a b c al primo e al terzo termine con b = x e c = 5 e si ha
log 2 x log 2 ( x 1) log 2 5 = log 2 5 x log 2 ( x 1) ; applichiamo in seguito la formula del quoziente
b 5x
log a b log a c log a con b=5x e c = (x-1) si ha log 2 5 x log 2 ( x 1) = log 2 .
c x 1
1
3) log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1 : prima di ridurre, notiamo che l’ultimo termine è un numero, 1, e
4
non un logaritmo, quindi trasformiamolo in logaritmo. Poiché gli altri logaritmi hanno come base 2
trasformiamo 1 in un logaritmo di base 2 e ricordando che log a a 1 scriviamo 1 log 2 2 .
1 1
L’esercizio log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) 1 diventa log 2 ( x 3) log 2 ( x 1) log 2 2 . Per ridurre
4 4
tale espressione in un unico logaritmo applichiamo la formula n log a b log a b n al secondo termine
1
1
che diventa log 2 ( x 1) = log 2 ( x 1) 4 log 2 4 x 1 . Riscriviamo
4
log 2 ( x 3) log 2 4 x 1 log 2 2 = log 2 ( x 3) (log 2 4 x 1 log 2 2) e applichiamo la formula
log a b log a c log a b c al secondo e al terzo termine con b = 4
x 1 e c = 2 si ha
log 2 ( x 3) (log 2 4 x 1 log 2 2) = log 2 ( x 3) (log 2 24 x 1) ; per finire applichiamo la formula
b
del quoziente log a b log a c log a con b = (x-3) e c = 24 x 1 si ha
c
( x 3)
log 2 ( x 3) (log 2 24 x 1) = log 2 .
24 x 1
“Esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi” Pr.ssa Rita Laudazi a. s. 2008/09 3