ACCESO A LA UNIVERSIDAD by VIsMnAQ

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									 ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS. MATEMÁTICAS ESPECIALES


                       ACCESO A LA UNIVERSIDAD. MATEMÁTICAS ESPECIALES.
Tema 6
                               Funciones
                               Derivables.
 6.1.- Funciones derivables.

 Se dice que una función f es derivable en un punto a cuando existe el límite:

                                                   f (a  f )  f (a)
                                            lim
                                            h 0           h

 En este caso, dicho límite se designa f’(a) y se llama derivada de f en a.

 Por consiguiente, una función f es derivable en a si y sólo si los límites:

                             f (a  f )  f (a)                            f (a  f )  f (a)
                      lim
                                                                    lim
                     h0             h                              h0            h

 existen y son iguales. Estos límites se llaman derivadas laterales (por la derecha y por la
 izquierda, respectivamente) de f en a. La derivada por la izquierda se designa por f‟(a -),
 y la derivada por la derecha por f‟(a+).

 Así pues, la derivada de una función f en un punto a es, por definición

                                                          f (a  f )  f (a)
                                       f‟(a) = lim
                                                   h 0           h

                                                       f ( x)  f (a)
 cuando ese límite exista. A veces se escribe f‟(a) = lim             lo cual no supone
                                                  x a      xa
 más que el cambio de notación x 0 a + f (obsérvese que cuando h tiende a cero, x
 tiende a y recíprocamente).

 Utilizando tasas de variación o incrementos se obtiene una tercera forma de expresar la
 derivada:
                                                 y
                                   f‟(a) = lim
                                           x 0 x




                                                                                                119
APUNTES DE MATEMÁTICAS ESPECIALES. Acceso a la Universidad. Profesor: RAMÓN PARIENTE ALONSO.




Se dice que una función es derivable en un intervalo abierto (a,b) cuando es
derivable en todo punto de dicho intervalo. Decimos que una función es derivable en
un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada punto de (a,b) y derivable por la
derecha en a y por la izquierda en b.

Ejemplos 1:

       a) Sea f la función definida por F(x) = c para cada x   , donde c es un número
          real dado. Entonces:

                               f ( a  h)  f ( a )        cc
                       lim                           lim       lim 0  0
                        h 0            h             h 0  h       h 0


y, por tanto, la función f(x) = c es derivable en todo punto y f‟(a) = 0


       b) Sea f la función definida por f(x) = x para cada x   . Entonces:

                               f ( a  h)  f ( a )        aha
                       lim                           lim         lim 1  1
                       h 0             h             h 0   h     h 0



y, por tanto, la función f(x) = x es derivable en todo punto y f‟(a) = 1 para todo a.

       c) Sea f la función definida por f(x) = x2 para cada x   . Entonces:

                               f ( a  h)  f ( a )        ( a  h) 2  a 2
                       lim                           lim                    lim (2a  h)  2a
                       h 0             h             h 0        h           h 0



y, por tanto, la función f(x) = x2 es derivable en todo punto y f‟(a) = 2a para todo a.

       d) La función f definida por f ( x)  x para cada x   no es derivable en a = 0
          puesto que:

                                            f ( h )  f ( 0) h
                                                             
                                                                      1 si h  0
                                                                      1 si h  0
                                                    h        h
y, por tanto:
                               f (h)  f (0)                                   f (h)  f (0)
                       lim
                                              1                 y     lim
                                                                                             1
                       h 0          h                                  h 0         h

luego no existe

                                        f (h)  f (0)
                                  lim
                                  h0         h




                                                                                                  120
ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS. MATEMÁTICAS ESPECIALES



       Sea f una función derivable en un punto a y consideremos la gráfica de f, es
        decir, el conjunto de puntos de R2 de la forma (x,f(x)), donde x recorre el
        dominio de f. Dos puntos de la gráfica f determinan una recta secante a dicha
        gráfica. La ecuación de la secante que pasa por el punto (a,f(a)) y por otro
        punto arbitrario (a+h,f(a+h)), h  0, de la gráfica f es:
                                                                                  La tangente a la gráfica de f en el
                          Y                                                       punto (a,f(a)) es la recta límite de
                 f(a+h)                                                           las rectas secantes que pasan por
                                                                                  (a,f(a)) y por otro punto arbitrario
                                                          f(a+h)-f(a)             (a+h,f(a+h)), h  0, de la gráfica
                    f(a)                                                          cuando este último “tiende a
                                            h                                     confundirse” con el punto
                                                                                  (a,f(a)), es decir, cuando h
                                                                X                 tiende a 0.
                                a                       a+h                       Pero cuando h tiende a cero el
                                                                                  cociente:

                                                                                  ) a ( f  )h  a ( f
                                                                                            h

tiende a f‟(a). así pues, por definición, la tangente a la gráfica de f en (a,f(a)) es la recta:

                                        y-f(a) = f’(a) (x-a)


Obsérvese que esta tangente sólo está definida cuando f es derivable en a. Obsérvese
también que la tangente en (a,f(a)) es la recta que pasa por (a,f(a)) y que tiene como
vector direccional (1,f‟(a)).

              Si una función f es derivable en a entonces f es continua en a.


En efecto por ser f derivable en a existe:

                                                    f ( x)  f ( a )
                                    f ' (a)  lim
                                             x a        xa

y como, para x  a, es:
                                                    f ( x)  f ( a )
                              f ( x)  f ( a )                       ( x  a)
                                                         xa

se tiene:
                      lim  f ( x)  f (a)  f ' (a)  0  0
                      x a


luego:
                      lim f ( x)  f (a)
                      xa




es decir, f es continua en a.

                                                                                                                   121
APUNTES DE MATEMÁTICAS ESPECIALES. Acceso a la Universidad. Profesor: RAMÓN PARIENTE ALONSO.




         El resultado recíproco no es cierto en general. Hay funciones continuas que no
          son derivables. Un ejemplo nos lo proporciona la función f ( x)  x que es
          continua en 0 pero no es derivable en 0. Incluso existen funciones que son
          continuas en todo punto y no son derivables en ninguno.

El resultado anterior nos da un criterio de no derivabilidad. Si una función no es
continua en un punto a entonces tampoco es derivable en a pues, si lo fuese, en virtud
de dicho resultado, sería continua en a.

Ejemplo 2:
                                                 -1 si x < 0
La función f definida por               f(x) =
                                                 1 si x  0


no es derivable en 0 puesto que no es continua en 0.




6.2.- Interpretación geométrica de la derivada.

6.2.1.- La recta tangente como límite de secantes.

Se trata de definir la tangente a la curva en un punto P. Para ello consideramos el
conjunto de puntos P1, P2,..., Pn,..., aproximándose a P.


        Y
                           P1           Observando la figura se deduce que si los puntos Pi i=
                       P                1,2,...., n,... se aproximan a P, las rectas secantes se
                                t
                                        aproximan a una recta t que coincide con la tangente
                 P                      en el punto P.
    O                               X
                                        Este proceso justifica la siguiente definición de recta
                                        tangente a una curva en el punto P.


La recta tangente a una curva en el punto P es la posición límite t, si existe, de las
rectas secantes determinadas por P y Pi cuando Pi se aproxima a P.


6.2.2.- La derivada como pendiente de la recta tangente.

La secante que pasa por P queda completamente determinada por su pendiente, ya que
el punto P es fijo.




                                                                                               122
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  Y                                        Si P[a, f(a)] y Pi[xi, f(xi)] son las coordenadas de P y de
                                           un punto cualquiera Pi de la gráfica de la función, la
Y2                                         pendiente de la recta secante es:
                               Y2-Y1                    f ( xi )  f (a )
Y1                                                mi 
                                                             xi  a
                      X2-X1
                                   Si los puntos Pi se aproximan hacia el punto P, sus
                                   X
                                   abscisas se aproximarán a x = a. Por tanto, si indicamos
       X1                  X2
                                   por mt la pendiente de la recta tangente en P, resulta:
Pendiente de la recta que pasa por                             f ( xi )  f (a )
                                                   mt  lim
los puntos (x1,y1) y (x2,y2)                            xi  a      xi  a
             Y2  Y1
       m
             X 2  X1              que es la derivada de la función f(xi) en el punto x = a y
                                   su pendiente coincide con el límite de las pendientes de
                                   las rectas secantes.


          Y
                           f                    La pendiente de la tangente a la curva en un
              m = f‟(a)                         punto es igual a la derivada de ese punto:
                               t
                                                                         mt = f’(a)
  f(a)
                                                La ecuación (punto-pendiente) de la recta
                                                tangente en el punto P [a,f(a)] es:
                                      X
              o      a                                           Y – f(a) = f’(a) (x-a)




6.2.3.- Normal a una curva en un punto.

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho
punto.
     Y                       Si m y m‟ son las pendientes de dos rectas
                 f           perpendiculares entonces:
       m = f‟(a)                                           1
                                                    m'  
                    t                                      m
                  Normal
  f(a)
                                           Dada una función f(x), la pendiente de la tangente en x
                                           = a es m = f‟(a) luego la normal tiene por pendiente:
                                                           1
                                      X         m'            , f ' (a)  0
              o      a                                  f ' (a )

                                           y la ecuación de la normal a la curva en el punto P
(a,f(a)) es:
                                                                    1
                                                 y  f (a)             ( x  a)
                                                                 f ' (a)

                                                                                                   123
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Si f‟(a) = 0 no se puede aplicar la fórmula anterior, pero en este caso la tangente es
paralela al eje de abscisas y la normal será paralela al eje de ordenadas y su ecuación
será simplemente x = a.

6.3.- Cálculo de derivadas.

                  Si f y g son derivadas en a entonces f + g y f - g son también
                  derivables en a y:
                       (f+g)’ (a) = f’(a) + g’ (a) y   (f-g)’(a) = f’(a) – g’(a).



Veámoslo, para h  0 se tiene:

                     ( f  g ) ( a  h)  ( f  g ) ( a ) f ( a  h)  g ( a  h)  f ( a )  g ( a )
                                                                                                     
                                      h                                       h
                      f ( a  h)  f ( a ) g ( a  h)  g ( a )
                                          
                               h                    h

como f y g son derivables en a,

                              f ( a  h)  f ( a )                      g ( a  h)  g ( a )
                      lim                           f ' (a)   y    lim                       g ' (a)
                       h 0            h                            h0          h

luego:
                              ( f  g ) (a  h)  ( f  g )(a)
                       lim                                      f ' (a)  g ' (a)
                       h 0                  h


análogamente se prueba que f - g es también derivable en a y que:

                                               (f-g)„ (a) = f‟(a) – g‟(a)

        De este resultado se obtiene inmediatamente por inducción, que si f 1, f2, ...., fn
         son n funciones derivables en a entonces f 1+f2+....+fn es también derivable en a
         y:
                       f1  f 2  ....  f n ' (a)  f1' (a)  f 2' (a)  ......  f n' (a)

                   Si f y g son derivables en a entonces fg es también
                   derivable en a y:
                               (fg)’ (a) = f’(a) g(a) + f(a) g’(a)


                   Si f y g son derivables en a y g(a)  0 entonces f/g
                   es también derivable en a y:
                                           '
                                     f        f ' (a) g (a)  f (a) g ' (a)
                                       a  
                                     g
                                                         g (a)2

                                                                                                          124
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      Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y las funciones
       racionales son derivables en todo punto que no anule el denominador.


      Regla de la Cadena:

                              Si f es derivable en a y g es derivable en f(a)
                        entonces la función compuesta g  f es derivable en
                        a y:
                                     g  f ' (a)  g '  f (a)   f ' (a)


      Regla de derivación de funciones inversas

                   Sea f una función monótona y continua en un intervalo.
                   Si f es derivable en un punto a interior a dicho
                   intervalo su función inversa f-1 es derivable en b = f(a)
                   y:
                                   f 1  (b)  f '1a)  f  f 11 (b)
                                                    (           




Ejemplos 3:

   a) La función f:    definida para cada x   por:

                                                                x
                                                   f ( x) 
                                                              x 1
                                                                 2



es derivable en todo punto a por ser una función racional y ser x 2  1  0

Además:
                        1  ( x 2  1)  ( x  2 x)  x 2  1
              f‟(a) =                               2
                                 ( x 2  1) 2       ( x  1) 2


   b) La función f:       definida por cada x      por:
                         1                                 1

                                                           x 2  5x  6
                                                f ( x) 
                                                               x 1
es derivable en todo punto a  1 y:

                        (2a  5) (a  1)  (a 2  5a  6)  1 a 2  2a  1
              f ' (a)                                       
                                     (a  1) 2                  (a  1) 2


                                                                                125
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   c) Sea n un número natural impar. La función f definida por:

                             f(x) = xn para cada x  

es creciente y continua en  ,  . Su función inversa es:
                                                        1
                      f 1 ( x)  n x  x                   n
                                                                  para cada x   y según el resultado anterior,
para x  0 , se tiene:

                                 1                      1                     1                  1             1  1n 1
        ( f 1 )' ( x)                                                                                      x
                           f ' ( f 1 ( x))           1
                                                  n( f ( x)) n 1             1
                                                                                                  1
                                                                                                       1
                                                                                                               n
                                                                         n( x n ) n 1       nx        n




   d) Sea n un número natural par. La función f definida por f(x) = xn para cada x
       0 es creciente y continua en [0,  ) . Su función inversa es:
                                                        1
                   f 1 ( x)  n x  x n para x  0
de igual manera que en el ejemplo anterior se deduce que, para x > 0 se tiene:

                                                                1 ( 1n )1
                                         ( f 1 )' ( x)          x
                                                                n


6.4.- Derivadas Sucesivas.

Dada una función f, la función que a cada x   en el que f sea derivable hace
corresponder la derivada f‟(x) de f, se llama función derivada (primera) de f y se
designa por f‟ o por f 1 . La función (f‟)‟. Es decir, la función derivada de f‟. Se llama
derivada segunda de f y se designa por f‟‟ o por f  2  . Análogamente, la función (f‟‟)‟,
derivada de f‟‟, se llama derivada tercera de f y se designa por f‟‟‟ o por f 3  .

Por inducción se definen las derivadas sucesivas de una función f:
                                   f 1  f ' ; f n   f n1                           '


Con el fin de unificar las notaciones se escribe a veces f 0   f .


Ejemplos 4:

   a) Las derivadas sucesivas de la función f(x) = x3 son:

                                                               f‟(x) = 3x2.
                                                               f‟‟(x) = 6x.
                                                                f‟‟‟(x) = 6
                                                          n
                                                        f( ) (x) = 0 para n > 3.

   b) Sea m un número natural y consideremos la función:
                                         1
                           f ( x)              ( x  a) m , x  a
                                    ( x  a) m
                                                                                                                            126
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      Entonces, para x  a ,

                    f‟(x) = -m (x-a) –m-1.
                    f‟‟(x) = m (m +1) (x-a)-m-2.
                    f‟‟‟(x) = m (m + 1) (m +2) (x-a)-m-3.


6.5.- Interpretación de la derivada.

Supongamos que una partícula se mueve en línea recta y que el espacio recorrido por
ella al cabo de un tiempo x es f(x). La velocidad media de dicha partícula en un
intervalo de tiempo es, por definición, el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo
partido por el tiempo invertido. Así la velocidad media entre dos instantes a y a + b
viene dada por el cociente:
                                     f ( a  h)  f ( a )
                                              h

La velocidad instantánea de la partícula en el instante a es por definición el límite:
                                        f ( a  h)  f ( a )
                                   lim
                                   h 0          h

es decir, f‟(a) (derivada del espacio respecto al tiempo en el punto a).

La derivada segunda f‟‟(a) se llama aceleración de la partícula en el instante a.


6.6.- Reglas de derivación.

6.6.1.- Suma y diferencia.

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones.

                                (f + g)’ = f’ + g’


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de
dichas funciones.
                                (f – g)’ = f’ – g’


6.6.2.- Producto y cociente.

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función
por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda.
                                (fg)’ = f’g + fg’



                                                                                         127
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La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el
denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo ello
por el cuadrado del denominador.

                                          '
                                     f   f ' g  fg'
                                       
                                     g
                                              g2


6.6.3.- Producto de un número real por una función.

La derivada del producto de un número por una función es igual al número por la
derivada de la función.

                                      (af)‟ = a f‟


6.6.4.- Composición de funciones (Regla de la Cadena).

La derivada de la composición de dos funciones es igual al producto de las derivadas
evaluadas en los mismos puntos en que lo estaban en la función compuesta.

                                 [g(f(x9)]‟ = g‟(f(x)) f‟(x)


La derivada de la función recíproca es igual a 1 partido por la derivada de la función
directa.
                                        (f-1)‟ = 1/f‟

6.6.5.- Derivadas de las funciones elementales.

       1. Tipo potencial:
              Forma simple: y = xa.
                La derivada de una potencia de x es igual al exponente por la base
                elevada al exponente menos uno.

                                                        D xa = a xa-1 .

                Forma compuesta: y = fa.
                 La derivada de la potencia de una función es igual al exponente por la
                 base elevada al exponente menos uno, y por la derivada de la función.

                                                     D fa = a fa-1 f’ .

       2. Tipo logaritmo:

                Forma simple: y = Lx. y = logax.
                 La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a 1 dividido por x.

                                                        D Lx = 1/x .
                                                                                               128
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La derivada de logaritmo en base a de x es igual a 1 dividido por x por el logaritmo en
base a del número e.
                                                    1
                                         D log a x  log a x .
                                                    x


              Forma compuesta: y = Lf, y = loga f
               La derivada del logaritmo neperiano de una función es         igual a la
               derivada de la función dividido por la función.

                                               D Lf = f’/ f .

La derivada del logaritmo en base a de una función es igual a la derivada de la función
dividido por la función, por el logaritmo en base a del número e.

                                                      f'
                                        D log a f       log a e
                                                      f



      3. Tipo exponencial

                   Forma simple: y = ex. y = ax.

La derivada de la función exponencial ex es igual a ella misma.

                                                  D ex= ex

La derivada de la función exponencial ax es igual a la misma función por el logaritmo
neperiano de la base.

                                                D ax = ax La


             Forma compuesta: y = ef. Y = af .
La derivada de la función exponencial ef es igual a la función por la derivada del
exponente.

                                                 D ef = ef f’

La derivada de la función exponencial af es igual a la misma función por el logaritmo
neperiano de la base y por la derivada del exponente.

                                               D af = af La f’




                                                                                    129
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       4. Funciones potencial-exponencial.

Reciben en nombre de funciones potencial-exponenciales las que se representan de la
forma y = f(x) g(x) , es decir, la base y el exponente son funciones. La base debe ser
siempre positiva. La derivada de estas funciones es:
                              g(x)
                     D f(x)          = g(x) f(x) g(x)-1 f’(x) + f(x)   g(x)
                                                                              L f(x) g’(x)

                                Tipo potencial            Tipo exponencial              .


       5. Tipo seno.

                Forma simple: y = sen x.

La derivada de seno de x es coseno de x.

                                                        D sen x = cos x

                Forma compuesta: y = sen f

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de
la función

                                                       D sen f = cos f f’


       6. Tipo coseno.
              Forma simple: y = cos x.

La derivada de coseno de x es menos seno de x.

                                                       D cos x = - sen x

                Forma compuesta: y = cos f.

La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la
derivada de la función.

                                                 D cos f = - sen f f’


       7. Tipo tangente.
              Forma simple: y = tg x.

La derivada de tangente de x es secante cuadrado de x.

                                                        D ta x = sec2 x



                                                                                               130
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              Forma compuesta: y = tg f.

La derivada de la tangente de una función es igual al cuadrado de la secante de la
función por la derivada de la función.
                                       D tg f = sec2 f f’

      8. Tipo cotangente.
             Forma simple: y = cotg x.

La derivada de cotangente de x es menos cosecante cuadrado de x.

                                           D cotg x = - cosec2 x

             Forma compuesta: y = cotg f.
La derivada de la cotangente de una función es igual a menos el cuadrado de la
cosecante de la función por la derivada de la función.

                                        D cotg f = - cosec2 f f’

      9. Tipo arco seno (= arco coseno).
              Forma simple: y = arcsen x.
La derivada del arco seno de x es igual a 1 dividido por la raíz cuadrada de 1 menos x
cuadrado.

                                                        1
                                    D arcsen x 
                                                      1 x2

               Forma compuesta: y = arcsen f.
La derivada del arco seno de una función es igual a la derivada de la función dividida
por la raíz cuadrada de 1 menos el cuadrado de la función.

                                                            f'
                                      D arcsen f 
                                                       1 f      2




      10.    Tipo arco tangente (= arco cotangente).
              Forma simple: y = arctg x.
La derivada del arco tangente de x es igual a 1 dividido por 1 más x cuadrado.

                                                               1
                                            D arctg x 
                                                            1  x2


               Forma compuesta: y = arctg f.
La derivada del arco tangente de una función es igual a la derivada de la función
dividido por 1 más el cuadrado de la función.
                                                        f'
                                           D arctg f 
                                                       1 f 2

                                                                                   131
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7. Funciones derivables: Monotonía y curvatura.

7.1.- Funciones crecientes y estrictamente crecientes.

                       Una función es creciente en un intervalo cuando
                 para dos puntos cualesquiera del mismo x y x + h se verifica
                 que:

                         x  x  h  f ( x)  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x)  0

                       Esta definición puede expresarse en función de la
                 tasa de variación media del siguiente modo:
                                     y f ( x  h)  f ( x)
                                                           h0
                                     x

                        Una función es creciente en un intervalo si la tasa de
                 variación media entre dos puntos cualesquiera del mismo es
                 mayor o igual que cero.

                 Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando
           para dos puntos cualesquiera del mismo x y x + h se verifica que:

                           x  x  h  f ( x)  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x)  0

                  Esta definición puede expresarse en función de la tasa de
           variación media del siguiente modo:
                               y f ( x  h)  f ( x)
                                                     h0
                               x
                  Una función es creciente en un intervalo si la tasa de variación
           media entre dos puntos cualesquiera del mismo es
           mayor que cero.



7.1.- Funciones crecientes y estrictamente crecientes.

             Una función es decreciente en un intervalo cuando para dos puntos
             cualesquiera del mismo x y x + h se verifica que:

                            x  x  h  f ( x)  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x)  0

             Esta definición puede expresarse en función de la tasa de variación
             media del siguiente modo:
                                 y f ( x  h)  f ( x)
                                                       h0
                                 x
             Una función es decreciente en un intervalo si la tasa de variación
             media entre dos puntos cualesquiera del mismo es menor o igual que
             cero.


                                                                                               132
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                      Una función es estrictamente decreciente en un intervalo
               cuando para dos puntos cualesquiera del mismo x y x + h se verifica
               que:         x  x  h  f ( x)  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x)  0
                      Esta definición puede expresarse en función de la tasa de
               variación media del siguiente modo:
                                    y f ( x  h)  f ( x)
                                                           h0
                                    x
                      Una función es creciente en un intervalo si la tasa de variación
               media entre dos puntos cualesquiera del mismo es negativa.



7.2.- ¿Dónde crece o decrece la función?

Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que sólo es creciente
o sólo decreciente.

            f ( x  h)  f ( x )                            f ( x  h)  f ( x )
                                 0                                              0
                     h                                               h
        Funciones crecientes                          Funciones decrecientes

Tomando ahora límites, se pasa a la tasa de variación o derivada:


                                                     f ( x  h)  f ( x )
                                f ' ( x)  lim
                                              h 0            h

        Y                                               Y
                                      f                 f

                                          t             t
                                                                     P
                            P


                          O                                    O
    x              X                                                 x                X
                       f (x) > 0                                            f(x) < 0
                       f’  0 Creciente.                                  f’  0 Decreciente


             Si f ' ( x)  0 en un intervalo, entonces la función f es creciente en
              él.
             Si f ' ( x)  0 en un intervalo, entonces la función f es decreciente
              en él.



                                                                                               133
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7.2.- ¿Cómo crece o decrece la función?

La derivada no sólo da información sobre los intervalos de crecimiento / decrecimiento
de la función, sino que informa también en la rapidez del mismo.

Así la función y = Lx que tiene por derivada y‟ = 1/x

       ¿dónde crece? La función es creciente en todo el dominio.

       ¿cómo crece? La rapidez de crecimiento disminuye según aumenta el valor de x,
        ya que y‟ tiende a cero. Esto significa que la gráfica de la función se asemeja a
        una función constante según van creciendo los valores de x.


                                       Y
                                   1                          y = Lx



                                       O       1                       X




8.- Máximos y mínimos.

8.1.- Idea intuitiva de máximos y mínimos relativos.

                      Y                         Hemos visto que si la derivada es distinta de cero la
   f(x) = 3x-x3       2       A.Máximo         función es creciente o decreciente. ¿Qué sucede en
                                               los puntos en los que se anula la derivada? ¿Qué
                                           X   puede decirse de ellos?
                  -1           1
                                               Observemos la función f(x) = 3x-x3 representada en la
                  B    . -2                    figura.
            Mínimo
   La derivada es f‟(x) = 3-3x2 = 3 (1 + x) (1-x) luego f‟ se anula para x = 1 y x =-1.

            Los valores que toma la función en un entorno del punto 1 son todos menores
             que f(1) = 2, se dice entonces que la función tiene un máximo relativo en x =
             1 y que el punto A (1,2) es un punto máximo relativo o simplemente el
             máximo de la gráfica de f.

            Los valores que toma la función en un entorno del punto x = -1 son todos
             mayores que f(-1) = -2; en este caso se dice que la función tiene un mínimo
             relativo en x =-1 y que el punto B(-1.-2) es un punto mínimo relativo, o
             simplemente el mínimo de la gráfica de f.
                                                                                                  134
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En esta función el máximo y el mínimo son los puntos en los que la función cambia de
monotonía:

      Mínimo: La función pasa de decreciente a creciente. Es el punto B.

      Máximo: La función pasa de creciente a decreciente. Es el punto A.

La palabra relativo indica que se compara el valor que toma la función en el punto x = a
con los que toma en el entorno del mismo.


8.2.- Definición de máximo y mínimo.

                     La función f tiene en el punto x = a un máximo relativo (un
               mínimo relativo) si existe un entorno de a tal que para todo x  a
               del entorno se verifica:

                                 f(x) < f(a)           [f(x) > f(a)]



8.3.- Puntos en los que puede existir máximo o mínimo.

                      Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable
               en ellos, entonces su derivada se anula en esos puntos.



La recta tangente a la curva en los puntos donde hay máximo o mínimo es paralela al
eje de abscisas, ya que la pendiente en esos puntos es cero. Esto nos permite calcular
los puntos de la función que pueden ser máximos o mínimos. Las abscisas de esos puntos
deben encontrarse entre las raíces de la ecuación f’(x) = 0.

Una función puede tener varios máximos o mínimos relativos. Así la funciones: seno y
coseno tienen infinitos máximos y mínimos.

Los máximos y mínimos relativos pueden coincidir o no con el máximo o mínimo
absoluto que tome la función. En las funciones seno y coseno los máximos y mínimos
relativos coinciden con los máximos y mínimos absolutos.

El valor de la función en un mínimo relativo puede ser mayor que el de un máximo
relativo.


8.4.-¿ Cómo decidir si un punto es máximo o mínimo?

Obtenidos los puntos en los que la derivada primera f‟ se anula, los siguientes criterios
permiten determinar si se trata de un punto de máximo, mínimo o ninguna de las dos
cosas.


                                                                                        135
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Punto de partida: f’(a) = 0

Se trata de estudiar la función en un entorno de a. Los resultados siguientes se deben a
este posible entorno. Utilizar el criterio más conveniente en cada problema teniendo en
cuenta que el primero es más general que el segundo y éste que el tercero.

   I.         Observando la función.

               Y                   A                      t             Y
                                                                                                                   f
                                                          f                                     A

               O      a-h          a                a+h       X
                                                                            O     a-h            a                  a+h

                        Máximo                                                          Mínimo
                     f(a  h) < f(a)                                                f(a  h) > f(a)

       Los valores que toma la función en un                          Los valores que toma la función en un
   entorno de máximo son menores que f(a).                        entorno de mínimo son mayores que f(a).



   II.        Observando la derivada primera.


               Y                   A                      t             Y
                                                                                  f’(x) < 0            f’(x) > 0          f
                      f’(x) > 0            f’(x) < 0 f                                          A

               O                       a                      X
                                                                            O                    a                        X
                            Máximo                                                       Mínimo

                      En A f(a) = 0                                                 En A f(a) = 0
                   f’ > 0 a la izquierda.                                       f’ < 0 a la izquierda.
                   f’ < 0 a la derecha.                                         f’ > 0 a la derecha.

          Los valores que toma la derivada en un                    Los valores que toma la derivada en un
          entorno de máximo son positivos a la                      entorno de mínimo son negativos a la
          izquierda y negativos a la derecha.                       izquierda y positivos a la derecha.
          La función f’ es decreciente ya que pasa                  La función f’ es creciente ya que pasa
          de más (+) a menos (-), y se anula en el                  de menos (-) a más (+), y se anula en el
          punto máximo.                                             Punto mínimo.


   III.       Observando la derivada segunda.

               Y                  f‟=0                    t             Y
                                                                                    f’(x) < 0           f’(x) > 0         f
                        f’> 0              f’ < 0         f                                     f’=0

               O                       a                      X
                     f’’ < 0     f’ decreciente                            O                    a                        X
                                                                                    f’’ > 0      f’ Creciente

                                                                                                                              136
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                       Máximo                                      Mínimo
                       f’’(a) < 0                                  f’’ (a) > 0
       La derivada primera f’ es decreciente en     La derivada primera f’ es creciente en
       en el entorno del punto, luego la derivada   el entorno del punto, luego la derivada
       segunda en x = a es negativa.                Segunda en x 0 a es positiva.


Si f’’(a) = 0 no puede aplicarse este criterio; hay que utilizar alguno de los anteriores.


8.5.- Problemas sobre máximos y mínimos.

El cálculo de máximos y mínimos mediante derivadas permite resolver de una manera
sencilla y rápida problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo
minimizar los costes de producción, buscar la forma adecuada de comercializar un
producto, etc.

Para resolverlos seguiremos el esquema general que a continuación se propone:

       1) Mediante los datos del problema se plantea la función que hay que maximizar
          o minimizar. La mayoría de las veces tiene dos o más variables.

       2) Si la función tiene más de una variable hay que relacionar las variables
          mediante ecuaciones a fin de conseguir expresar la función inicial planteada
          en función de una sola variable.

       3) Se hallan los máximos y mínimos de esta función.

       4) Se interpretan los resultados obtenidos rechazando aquellos que por la
          naturaleza del problema no sean posibles.

La representación gráfica de la función a optimizar ayuda a situar los máximos y los
mínimos. También puede ser útil una tabla de valores para ver como varían los valores
de la función.

Ejemplo 5:

Sabemos que la suma de dos números positivos es 20. Hallar estos dos números sabiendo
que su producto es el mayor posible.

Sean x e y los dos números pedidos. Se tiene entonces que:

              P(x,y) = xy
                                 p(x) = x (20 – x) = 20x – x2
              X + y = 20

       Puesto que la función producto ha de ser máxima, su derivada primera debe anularse:

              P‟(x) = 20 – 2x = 0 luego x = 10
       Se trata de un máximo, ya que p‟‟(x) = -2 y, por tanto p‟‟(x) = -2 < 0

       Luego los dos números son x = y = 10.


                                                                                              137
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9.- Teoremas de Rolle.

                     Si una función f es:
                          Continua en un intervalo cerrado [a,b]
                          Derivable en su interior (a,b) y
                          F(a) = f(b)
                     Entonces existe al menos un punto interior c tal que
                                            f’ ( c ) = 0



Ejemplo 6:

Dada la función f(x) = x2 – 4x +1 ¿verifica las condiciones del teorema de Rolle en el
intervalo [1,3]?. En caso afirmativo encontrar el valor c de (1,3) donde se anula la
derivada.

                La función es continua en [1,3]
                Es derivable en (1,3)
                f(1) = f(3) = -2

Se cumplen las condiciones del teorema de Rolle, luego existe un valor c de (1,3) donde
f‟(c ) = 0

Como f‟(x) = 2x –4, se tiene que 2c – 4 = 0, de donde c = 2

10.- Teorema del valor medio o de Lagrange.

                 Si una función f es:
                      Continua en un intervalo cerrado [a,b]
                      Derivable en su interior (a,b)
                 Entonces existe al menos un punto interior c de (a,b) tal que:
                                            f (b)  f (a)
                                                           f ' (c )
                                                ba
                 lo que equivale a f(b) – f(a) = f’(c) (b – a) que recibe el nombre de
                 fórmula de los incrementos finitos.


Ejemplo 7:
Dada la parábola f(x) = 3x2, encontrar un punto en el que la tangente a la curva en dicho
punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48).

Aplicando el teorema de Lagrange en el intervalo [0,4] se obtiene:
             f(4) – f(0) = f‟ (c ) 4 y como f‟(x) = 6x, se tiene:
                                       48 – 0 = 6c 4
                                           c=2
El punto pedido es P (2,12).


                                                                                               138
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10.1.- Consecuencias del teorema del valor medio.

      1. Expresión del valor de una función en un entorno de x = a.
                      f (a  h)  f (a)  h  f ' (a   h)

      Donde  es un número comprendido entre 0 y 1.

      2. Caracterización de las funciones constantes.

           Si una función f tiene derivada nula en todos los puntos de un
           intervalo abierto, es constante.


      3. Relación entre funciones con igual derivada.

           Si dos funciones f y g tienen derivadas iguales en todos los puntos
           de un intervalo abierto, difieren en una constante.


10.- Teorema de Cauchy.

                   Si f y g son dos funciones:
                        Continuas en un intervalo cerrado [a,b]
                        Derivables en su interior (a,b) con
                        g(b)  g(a) y
                        g‟(x)  0 para todo x de (a,b)
                   entonces existe al menos un punto interior c de (a,b)
                                  f (b)  f (a) f ' (c)
                   tal que:                    
                                  g (b)  g (a) g ' (c)



11.- Regla de L‟Hôpital. Cálculo de límites indeterminados.

                             0
      a) Indeterminación
                             0

               Supongamos que lim f ( x)  lim g ( x)  0 , siendo g ( x)  0 en un
                                    x u         x u
               entorno de u.
                      f ' ( x)
               Si lim           existe, tanto si es finito como   ó   entonces:
                  xu g ' ( x )

                                              f ( x)         f ' ( x)
                                         lim           lim
                                         x u g ( x )   x u g ' ( x )



               Aquí u sustituye a cualquiera de los símbolos a, a+, a-,   o
               bien  

                                                                                      139
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                                 
       b) Indeterminación
                                 

                Supongamos que lim f ( x)  lim g ( x)   ,
                                         x u      x u

                       f ' ( x)
                Si lim           existe, tanto si es finito como   ó   entonces:
                   xu g ' ( x )

                                               f ( x)         f ' ( x)
                                          lim           lim
                                          x u g ( x )   x u g ' ( x )



                Aquí u sustituye a cualquiera de los símbolos a, a+, a-,   o
                bien  




       c) Otros tipos de indeterminación.
          Sea A = lim f ( x) g ( x ) entonces tomando logaritmo neperiano en ambos
                         x u

           miembros de la igualdad se tiene que: LA = lim [ g ( x)  Lf ( x) ] de donde:
                                                                     x u



                                                lim f ( x) g ( x )  e LA
                                                x u




       11.     Convexidad y concavidad.

Una región es convexa cuando al unir dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento
que determinan está enteramente contenido en ella.
       En caso contrario se trata de una región cóncava.



                  A                  B
                                                             A               B



                  Una función definida en un intervalo es convexa si la región
                  superior asociada es convexa.
                  Una función definida en un intervalo es cóncava, si la región
                  superior asociada es cóncava.



Consideremos la función polinómica f(x) = x3. Su gráfica que es una parábola, divide al
plano en dos regiones:



                                                                                               140
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                Y
                              f     La región I (contenida en la curva) se llama región
                                    superior asociada a la gráfica.
            I                  II
                                    La región II (fuera de la curva) se llama región inferior
                                    asociada a la gráfica.
                               X


                     Una función es convexa si la gráfica de la función queda encima
                     de la recta tangente en cada uno de los puntos, es decir:
                                      f(x) – [f(a) + f’(a) (x – a)]  0.

                     Una función es cóncava, si la gráfica de la función queda debajo
                     de la recta tangente en cada uno de los puntos, es decir:
                                      f(x) – [f(a) + f’(a) (x – a)]  0.



                     Si f‟ es creciente en el intervalo I, la función f es convexa en I.
                     Si f‟ es decreciente en el intervalo I, la función f es cóncava en I



                       Si f‟‟ > 0 en el intervalo I, la función es convexa en I.
                       Si f‟‟ < 0 en el intervalo I, la función es cóncava en I.


Aplicando el teorema de Taylor

Sea x = a un punto donde la función puede ser convexa o cóncava, se supone que existe
derivada de orden 2n (par) en un entorno de x = a, y además que f‟‟(a) = ....= f 2n-1(a) =
0.
                   Si f 2n(a) > 0, entonces la función es convexa en x = a.
                   Si f 2n(a) < 0, entonces la función es cóncava en x = a.


12.- Puntos de Inflexión.

                          Y                          Y
                                      Convexa                Convexa

                           O                X                          O
                                                                                     X
           Cóncava
                                                                           Cóncava




           En el punto O la función cambia de      En el punto O la función cambia de
         curvatura y pasa de cóncava a convexa.   curvatura y pasa de convexa a cóncava

                                                                                            141
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             Una función tiene un punto de inflexión en x = a si en dicho punto
             la función `pasa de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.


12.1.- Puntos en los que puede existir inflexión.

             Si una función tiene puntos de inflexión, entonces su derivada
             segunda se anula en esos puntos.

                            Y                           Y
                                         Convexa                 Convexa

                                  P                                            P   f’ (a) = 0

                                            X
                                  a                                                Cóncava
             Cóncava
                             f (a) = 0
                                                                                                X
                                                                           a




12.2.- ¿Cómo decidir si un punto es de inflexión?

Obtenidos los puntos en los que f‟(a) = 0, los siguientes criterios determinan si se trata
de un punto de inflexión cóncavo-convexo, convexo-cóncavo, o ninguno de ambos.

Punto de partida: f’’(a) = 0

Se trata de estudiar la función en un entorno E (a,r) los resultados siguientes se deben
referir a este posible entorno.

       1. Observando la derivada segunda.

Los valores que toma la derivada segunda en un entorno del punto de inflexión
cóncavo-convexo son negativos a la izquierda y positivos a la derecha.

Los valores que toma la derivada segunda en un entorno del punto de inflexión
convexo-cóncavo son positivos a la izquierda y negativos a la derecha.

El recíproco también es cierto y caracteriza a los puntos de inflexión.

       2. Observando la derivada tercera.

                       Si f’’ (a) > 0, entonces la función tiene en x = a un punto de
                       inflexión cóncavo-convexo.
                       Si f’’ (a) < 0, entonces la función tiene en x = a un punto de
                       inflexión convexo-cóncavo.




                                                                                                    142
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      3. Aplicando el teorema de Taylor.

           Sea x = a un punto donde puede existir un punto de inflexión, se supone que
           existe derivada de orden 2n +1 (impar) en el entorno de x = a y además, que
           f‟(a)  0 y f‟‟(a) = .... = f2n(a) = 0

                         Si f 2n+1(a) > 0, entonces la función tiene un punto de
                         inflexión cóncavo-convexo en x = a.
                         Si f 2n+1(a) < 0, entonces la función tiene un punto de
                         inflexión convexo-cóncavo en x = a.


      12.      Esquema a seguir en la representación de funciones.

              Propiedades de f obtenidas
                                                                      Caracterización
                     directamente
           Dominio (D) de la función.                X  D  Existe y tal que y = f(x)
       1
           Recorrido (R ) de la función.             Y  R  Existe x tal que y = f(x)
           Simetrías:
       2       a) Función par.                       f(-x) = f(x) Eje de simetría OY
               b) Función impar                      f(-x) = - f(x) Centro de simetría el origen.
       3   Periodicidad                              f(x + T) = f(x)    T período mínimo.
           Puntos de corte con los ejes:
       4       a) Corte con el eje OX                f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos
               b) Corte con el eje OY                f(x) 0 y Ninguno o un punto
           Regiones de existencia de la función:
       5       a) Intervalo de positividad           f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX
               b) Intervalos de negatividad          f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX
           Ramas infinitas. Puntos en el infinito.
       6
               a) Punto de partida de la gráfica      , ?       Cuadrantes II o III
               b) Punto de llegada de la gráfica      , ?       Cuadrante I o IV
           Asíntotas:
               a) Asíntotas verticales: x = u        lim f (x)  
                                                     x u
               b) Asíntotas horizontales: y = k      lim f ( x)  k
                                                     x u

       7                                                            f ( x)
                                                     m  lim                lim f ' ( x)
                                                            x      x      x 
                                                                                   m,n  R; m  0
               c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n
                                                     n  lim  f ( x)  mx
                                                            x 
           Puntos de discontinuidad                  lim f ( x)  f (a)
       8
                                                     xa
           Propiedades de f obtenidas por las
                  derivadas sucesivas
            Monotonía:
               a) Intervalos de crecimiento          f‟ > 0
               b) Intervalos de decrecimiento        f‟ < 0
       9
               c) Puntos críticos                    f‟(a) = 0 y f‟‟(a) > 0 Mínimo.
                                                     f‟(a) = 0 y f‟‟(a) < 0 Máximo
           Curvatura:
              a) Intervalo de convexidad             f‟‟ > 0
              b) Intervalo de convexidad             f‟‟ < 0
      10
               c) Puntos de inflexión                f‟‟(a) = 0 y f‟‟‟(a) > 0 Cóncavo-convexo
                                                     f‟‟(a) = 0 y f‟‟‟(a) < 0 Convexo-cóncavo
                                                                                                    143
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                                                         APÉNDICE

       I REGLAS DE DERIVACIÓN

             Suma y Resta                 (f + g)‟ = f‟ + g‟                  (f – g)‟ = f‟ – g‟
                                                                                      '
                                                                             f   f ' g  fg'
         Producto y cociente              (fg)‟ = f‟g + fg‟                    
                                                                             g
                                                                                      g2
           Producto por un
                                                                   (af)‟ = a f‟
               número

             Composición                [g(f(x))]‟ = g‟(f(x)) f‟(x)                f  ( y) 
                                                                                          1 '            1
                                                                                                            '
                                                                                                        f ( y)


       II. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES.

                                                                    FORMAS
                 TIPOS
                                                Simples                           Compuestas
                                    D xa = a x     a-1
                                                                         D fa = a f       a-1
                                                                                                f‟
                                    Dk=0
                                    Dx=1
       Tipo Potencial
                                                   1                                        f'
                                    D     x                             D    f 
                                               2 x                                        2 f
                                               1                                f'
                                    D Lx                                D Lf 
                                               x                                f
       Tipo Logarítmico
                                                       1
                                    D log a x           log a e         D log a f 
                                                                                                 f'
                                                                                                    log a e
                                                       x                                         f
                                    D ex = ex                           D ef = ef f‟
                                    D ax = ax La                        D af = af La f‟
       Tipo Exponencial
                                                         D fg = g fg-1 f‟ + fg Lf g‟
                                                              Potencial + Exponencial
       Tipo Seno                    D   sen x = cos x                   D sen f = cos f f‟
       Tipo Coseno                  D   cos x = - sen x                 D cos f = - sen f f‟
                                    D   tg x = 1 + tg2 x =              D tg f = (1 + tg2 f) f‟ =
                                                   2
       Tipo Tangente                         = sec x     =                      = sec2 f f‟     =
                                                     2
                                             = 1/cos x                          = 1/cos2 f f‟
                                    D   cotg x = -1 – cotg2 x =         D cotg f = ( -1 – cotg2 f) f‟=
                                                       2
       Tipo Cotangente                       = - cosec x =                      = - cosec2 f f‟      =
                                                       2
                                             = - 1/sen x                        = - 1/sen2 f f‟
       Tipo Arco seno                                        1                                         f'
                                     D arcsen x                          D arcsen f 
       (= arco coseno)                                     1 x2                        1 f 2
       Tipo Arco tangente                                  1                            f'
                                     D arctg x                           D arctg f 
       (= arco cotangente)                               1 x2                        1 f 2




                                                                                                                 144
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   III. Monotonía y convexidad.


            Crecimiento                Crecimiento         Decrecimiento              Decrecimiento
              convexo                    cóncavo              convexo                    cóncavo

                 y = x2                  y x                 y x                       y = x2
        Y                                                                             Y
                                   Y                       Y
                                                                        1                          1
                                                          O                 X        O                 X

        O             1       X    O            1     X   -1                         -1

        f‟ > 0 y f‟‟ > 0           f‟ > 0 y f‟‟ < 0       f‟ < 0 y f‟‟ > 0           f‟ < 0 y f‟‟ < 0




   IV. Puntos críticos o extremos.


                              Puntos críticos f’(a) = 0
            Punto mínimo: f’’(a) > 0             Punto máximo: f’’(a) < 0
            Y                                    Y
                                                                            f‟ = 0
             f‟ < 0                    f‟ > 0
                                                               f‟ < 0                     f‟ > 0
                          f‟ = 0




                                                          O                  a               X
    O                     a             X




                                                                                                           145
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V.Puntos de Inflexión

                               Punto de inflexión: f’’(a)  0
        Tangente horizontal: f‟‟(a) = 0                  Tangente oblicua: f‟‟(a)  0
                              Punto cóncavo-convexo: f’’’ (a) > 0
         Y                                            Y
                                  f‟‟ > 0                                      f‟‟ > 0

                    f‟‟= 0                t                      f‟‟= 0                 t


   f‟‟< 0                                       f‟‟< 0
        O             a                   X          O             a                    X

                             Punto convexo-cóncavo: f’’’(a) < 0

         Y                                            Y
                f‟‟ > 0                                      f‟‟ > 0

                    f‟‟= 0                t                      f‟‟= 0

                                                                                         t
                                 f‟‟< 0                                       f‟‟< 0
         O            a                   X           O            a                    X




                                                                                               146
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                                                EJERCICOS.

1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones utilizando la definición de
derivada:

                                a) D x3   b) D x4       c) D (1/x)

2.- Una lámina cuadrada tiene 10 cm. de lado. Al calentarse experimenta un aumento de
1mm. Hallar:
    a) La tasa de variación absoluta o incremento.
    b) El valor del diferencial
    c) El error cometido.

3.- Demostrar que la derivada de la función constante f(x) = k es f‟(x) = 0

4.- Demostrar que la derivada de f(x) = x es f‟(x) = 1.

5.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes:

      a) y = 5x4 - 7x3 + 6x2 – 7                b) y = (x2 + x + 1) 4
      c) y = (3x2 – 4x + 6)-4                   d) y = (x2 + 3x – 5) –1/2
      e) y = L(3x)                              f) y = L(x2 + 1)
      g) y = L(2x3 + 3x +1)                     h) y = L(x2 +1 / x2 – 5)
      i) y = L(x2 – x + 5)3                     j) y = loga (3x2)

6.- Teniendo en cuenta que y = ex es recíproca de x = Ly, calcular la derivada de la
función exponencial.

7.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes:

      a) y  e x        x 1
                                                b) y = 3x
                   2




      c) y = 3x/5x                              d) y  25 x  x1
                                                            2



      e) y = xx                                 f) y = x sen x
      g) y = (sen x) cos x                      h) y = 3 sen x
              sen x
      i) y                                     j) y = sen (3x + 1)
                3
      k) y = sen (x2 +1)                        l) y = sen3 x
      ll) y = sen x3                            m) y = sen (Lx)
      n) y = sen (sen x)                        ñ) y = sen 3x

8.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

      a) y = 3 cos x                            b) y = 7 cos x
              cos x
      c) y                                     d) y = cos (3x + 1)
                3
      e) y = cos (x2 +1)                        f) y = cos3 x
      g) y = cos x3                             h) y = cos (Lx)
      i) y = cos (cos x)                        j) y = cos 3x


                                                                                  147
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9.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

                                                tg x
        a) y = 3 tg x                   b) y                          c) y = tg (2x +1)
                                                 5
        d) y = tg x2                    e) y = tg (Lx)                 f) y = tg (x2 + x)2
                                                                              cot g x
        g) y = tg3 x2                   h) y = 3 cotg x                i) y                j) y = cotg
                                                                                 5
(2x +1)            k) y = cotg x2          l) y = cotg (Lx)            m) y = cotg (x2 + x)2        n) y
= tg3 x2                      ñ) y = 7 cotg x

10.- Calcular las derivadas de las funciones siguientes:

       a) y = arcsen x2           b) y = arcos x              c) y = 7 arctg x                     d) y =
           2
    arctg x          e) y = arctg x            f) y = arctg (5x2 –1)
       g) y = arctg (Lx)

11.- Comprobar que la función f(x) = x  2 no cumple las condiciones del teorema de
Lagrange en el intervalo [0,3].

12.- Dada la función f(x) = x , comprobar qué condiciones del teorema de Rolle se
verifican en el intervalo [-2,2].

13.- Se sabe que el lado de un cuadrado es 5cm. con error menor que 0,5mm. Si
tomamos como valor del área 25 cm2, calcular una cota del error cometido.

14.- Comprobar que se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las
funciones f(x) = x3 y g(x) = x +3 en el intervalo 0,3 y en su caso hallar el valor de c.

15.- Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) = ex hasta el orden cinco en el
intervalo 0, x .

16.- Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) = L(1 + x) hasta el orden cinco en el
intervalo 0, x .

17.- Hallar la fórmula de Taylor de la función f(x) = sen x hasta el orden cinco en el
intervalo 0, x .

18.- Calcular los límites siguientes:
               ex 1                   x  sen x                  x3                          x
       a) lim                  b) lim                  c) lim x        d) lim ( x 2  1) tg
          x 0    x               x 0    x3               x   e          
                                                                           x 1               2
               1      1 
                                                              1

       e) lim                       f) lim (1  2 cos x) cos x
                                                                       g) lim x x
          x 0  x  L(1  x)                                               
                                        x
                                              2
                                                                          x 0

                         tg x
                  1 
        h) lim  2 
           x 0  x 
               




19.- Dada la función y = x2 +1 , ¿dónde crece o decrece?¿Cómo crece o decrece?

                                                                                                            148
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20.- Intervalo de monotonía d la función y = x4 – 2x2.

21.- Máximos y mínimos de f(x) = x2, y de g(x) = x3.

22.- Máximos y mínimos de f(x) = x4, y de g(x) = x4 – 2x2.

23.- Coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación viene dada por y = ax 2 + bx +
c.
                                                            x2
24.- Estudiar los máximos y mínimos de la función f ( x) 
                                                           x2
25.- Los botes de cerveza, refrescos, colas, etc., tienen capacidad de 1/3 de litro. Como
sabes, su forma es la de un cilindro. ¿Podríamos indicar a los fabricantes las dimensiones
óptimas para que su coste sea mínimo?.

26.- Descomponer el número 25 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del
primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo.

27.- Calcular las dimensiones del mayor rectángulo cuyo perímetro es 40 cm.

28.- Demostrar que la suma de un número real positivo no nulo y su inverso es mayor o
igual que 2.

29.- Convexidad o concavidad de f(x) = x4.

30.- ¿La función f(x) = Lx es cóncava en su dominio?

31.- ¿La función f(x) = ex es convexa en su dominio?.

32.- Convexidad o concavidad de f(x) = x2 – 4x + 1.

33.- Convexidad o concavidad de f(x) = x5.

34.- Hallar los puntos de inflexión de f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1.

35.- Hallar los puntos de inflexión de f(x) = x5 + 1.

36.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f: R en R definida por:
                     x     si x < 0
       f(x) =     x+1      si 0  x  1
                  x2+1     si x > 1


37.- Determinar las constantes a y b para las que la función
             x2     si x  0
     f(x) =
              ax + b si x > 0




                                                                                        149
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38.- Calcular las derivadas de cada una de las funciones:

                                                                                               1       1
              2                                 x
a) f(x) = x + x + 1                 b) g(x) =      , x  1                 c) f ( x)  x  x , x  0
                                                                                               2       3
                                              x 1
                  x                                                                    x
d)k(x) =                ,x  0      e) p(x) = x 1  x 2             f) q(x) =                      ; 1  x  1
            1 x                                                                      1 x2

39.- ¿En qué punto de la tangente a la gráfica la función f(x) = x2 –7x+3 es paralela a la
recta 5x + y –3 = 0?

40.- El espacio en metros f(x) recorrido por una partícula sobre una recta al cabo de x
segundos viene dado por f(x) = 100 + 5x – 0,001x3. Hallar la velocidad y la aceleración
de dicha partícula en los instantes x = 1 y x = 10.

41.- Determinar los valores máximo y mínimo de las funciones siguientes en los
intervalos que se indican:
a) f(x) = x2 – 5x + 6 en [0,4] b) g(x) = x3 +3x 7 en [-1,1]
             x
c) h(x) = 2       en [0,2]
           x 1

42.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia
de radio 3 cm.

                                     2      2

43.- Calcular: lim [(x  1)  x ]    3      3
                        x 


44.- Aplicar la regla de L‟Hôpital para calcular:

            x 2  2x  1                           x 1 x 1                                      x
a) lim                                   b) lim                             c) lim
   x 1   x3  x2  x  1                      
                                            x 1          x 1                 x 0    1 x  1 x

45.- Dibujar las gráficas de las siguientes funciones:
           2x                    x
a) f(x) =            b) f(x) =            c) f(x) = x( x  1)
          x3                  1 x2

46.- Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) = sen3(4x)         b) g(x) = cos (cos x)       c) h(x) =                               x arctg x
d) u(x) = (1 + cos2x)2                   e) x(x) =   3   tg(2x)             f) w(x) = arcsen               1 x2

47.- Estudiar la función g(x) = sen x + cos x y dibujar su gráfica.

48.- Aplicar la regla de L‟Hôpital para calcular:

                               x  arcsen x                               1  cos 3 x
                      a) lim                                      b) lim
                          x 0 x  arctg x                           x  0 x sen x

                               1        1                                             x
                      c) lim  sen x  tg x 
                                                                 d) lim (1  x) tg
                                                                     x 1
                         x 0
                                                                                         2
                                                                                                                   150
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                                                                      1 x 
49.-  Hallar los valores máximos y mínimos de la función f(x) = arctg       en el
                                                                      1 x 
intervalo [0,1].

50.-  Utilizar las derivadas para probar que para todo x  1 se cumple la igualdad
                      1 
arctg x 2  1  arcsen  
                       x 2

51.- Hallar x en:
                                                    log(1  x)                               log x
         a) lim x x
               
                                           b) lim                                  c) lim
             x 0                              x 0     x                             x     x
                                                                                                      x
                                                                                             1
                                           e) lim 1 x 
                                                            1
         d) lim x log x                                     x                      f) lim 1  
                                                                                             x
               
             x 0                              x 0                                   x 
                                      2
                                  x
                    x2 1
                                                                 
                                                                      1
         g) lim  2                       h) lim x 2  x  1  x1               i) lim (cosx) cot gx
            x    x  1                                                              
                                             x 0                                   x 0



52.- Resolver las ecuaciones:

         a) log x  3                      b) log x 4  2                  c) 3 log x  4 log 2  3 log 3

         d) 3 x1  3 x  3 x1  117


53.- Resolver los sistemas:

     2 gol  )y 2(gol  x gol                                   log x  log y  3
 ygol  y gol 3  )
 2                      2
                            x ( gol                             x  y  70


54.- Dibujar las gráficas de las funciones:
         a) f ( x)  log 1  x 2 
                                                                   log x 
                                                      b) f ( x)                           c) f ( x)  x 2 e x
                                                                   x 

55.- Calcular:
                                                                         2  x e x  x  2 
         a) lim log x log1  x                              b) lim                       
                                                                  x 0          x3          
             x1
                                                                                             

                   x 2  2x  1 
         c) lim  2              
            x   x  4 x  2 
                                

56.- Hallar el mínimo de la función                                       f ( x)  e x  x  1 y deducir que para todo
x   sec umple e x  x  1

                                            1  2   3
57.- Dada la función y                              se pide:
                                          x 1 x x  5
                                                                                                                   151
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   a) El dominio.
   b) El conjunto de puntos en los que es continua.

                                                          x
58.- Estudiar la continuidad de la función f ( x ) 
                                                          x

                                     5     si x  2
                                      2
59.- Dada la función f(x) =         x     si  2  x  3
                                    x + 6 si 3  x

                       x 2  2x  3
60.- La función f(x) =              no está definida en el punto x = 1. Hallar cual debería
                           x 1
ser el valor de f(1) para que la nueva función sea continua en x = 1.

                                                         6
61.- Hallar las asíntotas de la función f ( x) 
                                                        x5

                                                                                        x3  2x 2  x
62.- Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la función:           f ( x) 
                                                                                           x2 1

                                       x 2  16
63.- Dada la función f ( x) 
                                 x 3  3x 2  6 x  8

   a) Hallar sus puntos de discontinuidad y clasificarlos.
   b) Hallar también sus asíntotas.




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