Synthèse de contrôleurs PID – Méthode de Ziegler et Nichols
Illustration par Control Station
GH0111
Cette méthode est basée sur l’analyse de la stabilité du système à contrôler. Elle consiste,
rappelons-le, à analyser le système en présence d’un contrôleur proportionnel pur, et à
déterminer le gain de ce contrôleur qui met le système à la limite de stabilité, en assurant une
oscillation entretenue. On note le gain de ce contrôleur (gain ultime Ku) et la période de
l’oscillation (fréquence critique). Remarquons le parallèle avec l’analyse de Bode en boucle
ouverte : la fréquence critique correspond à un déphasage de -180°, et la stabilité à cette
fréquence exige que le gain de la boucle ouverte GOL soit unitaire. La présence d’un contrôleur
purement proportionnel ne change pas le déphasage, mais son gain vient multiplier celui des
autres sous systèmes de la boucle.
La méthode de synthèse ici exposée est une alternative à celle décrite précédemment, et
utilisant l’identification d’un système équivalent « 1er ordre + temps mort » et l’utilisation de
corrélations comme celle de Giancalone. Elle a toutefois deux avantages : elle s’applique
aussi aux procédés qui ne sont pas bien représentés par un élément « 1er ordre + temps mort »,
et elle illustre bien l’effet de chacun des éléments de la boucle (procédé, instrumentation,
contrôleur, élément final) sur la stabilité et les valeurs des paramètres du contrôleur PID.
La méthode de Ziegler Nichols consiste donc à :
1. déterminer le diagramme de Bode du système en boucle ouverte. On trace les graphes
« Rapport d’amplitude » et « Déphasage » en fonction de la fréquence (Diagramme de
Bode). Dans le système analysé, le contrôleur implante l’algorithme proportionnel,
avec un gain unitaire Kc=1. Rappelons que le tracé de diagrammes de Bode a fait
l’objet d’une application précédente.
2. déterminer la fréquence critique c ainsi que le rapport d’amplitude à cette fréquence
|GOLi c)|
3. calculer le gain du contrôleur proportionnel qui mettrait le système avec rétroaction à
la limite de l’instabilité. Comme cet état est caractérisé par une valeur unitaire du
rapport d’amplitude GOLi c) et que la valeur de Kc n’a pas d’effet sur la fréquence
critique, le gain ultime à la fréquence critique est donc égal à l’inverse de rapport
d’amplitude déterminé au point 2.
Déphasage < GOLi c) = < Gpi c) Gvi c) Gsi c) = -180°
Rapport d’amplitude |GOLi c)| = Ku | Gpi c) Gvi c) Gsi c) | = 1.0
Donc Ku =1 / | Gpi c) Gvi c) Gsi c) | et a les unités inverses du gain de
procédé complet (Kp Kv Ks )
Ce gain qui amène le système à la marge de stabilité est appelé gain ultime, et la
période d’oscillation à cette limite de stabilité est appelée période ultime P u. Elle
s’exprime en unités de temps : Pu = 2 / c
4. On calcule les paramètres de réglage du contrôleur à partir des corrélations de Ziegler-
Nichols rappelés dans le tableau suivant.
Type de contrôleur Kc TI Td
Proportionnel Ku / 2 - -
P + intégral Ku / 2.2 Pu / 1.2 -
PID Ku / 1.7 Pu / 2 Pu / 8
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On peut également se baser sur une
détermination expérimentale, que nous
allons réaliser avec le logiciel Control
Station pour le système composé de deux
cuves.
Pour ce faire, on doit déterminer par
tâtonnement le gain d’un contrôleur
proportionnel qui met le système à la limite
d’instabilité. On commence donc par
installer un contrôleur P de gain faible (ici
1%/m), et un perturbe le système, par
exemple par un changement de consigne.
Remarquons que tout type de perturbation
est acceptable, dans la mesure ou le critère
de stabilité (partie réelle positive pour les
pôles de la fonction de transfert) est le
même pour un changement de consigne ou
pour une perturbation extérieure.
L’illustration suivante montre l’évolution
du système partant d’un état stationnaire
(vanne ouverte à 70%, hauteur 4 m)
lorsqu’on change la consigne et qu’on la
porte à 5 m.
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On peut répéter la même manipulation en se replaçant dans les mêmes conditions
initiales et en changeant à nouveau de consigne, pour des valeurs croissantes du gain
du contrôleur proportionnel. Le graphique suivant montre comment la réponse évolue
pour des valeurs croissantes du gain Kc.
5.6
5.4
5.2
5
Kc=40
4.8 Kc=20
Kc=3
4.6 Kc=1
4.4 Kc=75
4.2
4
3.8
-5 0 5 10 15 20 25 30
On remarque, pour les valeurs les plus faibles du gain, que l’écart permanent se réduit bien en
augmentant la valeur du gain (la consigne est chaque fois fixée à 5 m).
Lorsque le gain augmente suffisamment, le système entre en oscillations de plus en plus
prononcées. Une oscillation entretenue est obtenue pour un gain d’environ 75 %/m.
Une déstabilisation franche du système est difficile à obtenir, car la variable manipulée
(ouverture de la vanne) est bornée entre 0 et 100%. On note toutefois la valeur du gain ultime,
soit Ku=75.
La période ultime se détermine en mesurant le temps qui s’écoule entre les minima ou
maxima successifs. On obtient une meilleure appréciation en mesurant le temps écoulé sur
plusieurs périodes. On trouve Pu = 2,61 minutes.
On calcule les paramètres de réglage du contrôleur à partir des corrélations de Ziegler-Nichols
rappelés dans le tableau suivant.
Type de contrôleur Kc TI Td
Proportionnel 75 / 2 = 37,5 - -
P + intégral 75 / 2.2 = 34,1 2,61 / 1.2 = 2,17 -
PID 75 / 1.7 = 44,1 2,61 / 2 = 1,30 2,61 / 8 = 0,33
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Le graphique suivant montre comment répond un contrôleur PID ainsi paramétré.
On note l’importance du bruit affectant la mesure, ce qui perturbe l’action
différentielle. Si nous réduisons le bruit dans Control Station, on obtient une réponse
plus acceptable :
On note toutefois un dépassement de la valeur de consigne, et un amortissement des
oscillation d’un facteur environ 4 à chaque oscillation.
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