1. Matematicka logika- Treci dio.doc by 3AZfFUiE

VIEWS: 31 PAGES: 23

									                    Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1




                         3. Logika predikata

           3.1. Dokazivanje formula koje sadrže samo kvantifikatore i
                 implikaciju
           3.2. Dokazivanje formula koje sadrže samo negaciju i jedan
                 kvantifikator
           3.3. Dokazivanje formula koje sadrže konjukciju i disjunkciju
           3.4. Teoreme zamjene
           3.5. Konstruktivno ulaganje


      3.1. Dokazivanje formula koje sadrže kvantifikator i
                          implikaciju
     Teorem 3.1.0. [L1, L2, L12, L13, MP] |- (x)B(x)  (x)B(x).
(Šta ovo znači? Da li je zabranjeno da domen bude prazan?)
Zaista, imamo:
(1)      (x)B(x)                           Hipoteza.
(2)      (x)B(x)  B(x)                    Aksiom L12.
(3)      B(x)                               Posredstvom MP.
(4)      B(x)  (x)B(x)                    Aksiom L13.
(5)      (x)B(x)                           Uz MP.
Odavde, uz [L1, L2, MP] Teorem dedukcije 1‟, dobijamo da postoji dokaz za [L1,
L2, L12, L13, MP] |- (x)B(x)  (x)B(x). Q.E.D.

     Teorem 3.1.1. (a) [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] |- (x)(B  C)  ((x)B 
(x)C).
                       (Šta ovo znači?)
(b) [L1, L2, L12-L15, MP, Gen] |- (x)(B  C)  ((x)B  (x)C). (Šta ovo
znači?)
     Dokaz:
Dokažimo (a).
(1)     (x)(B  C)                     Hipoteza.
(2)     (x)B                           Hipoteza.
(3)     |- (x)(B  C)  (B  C)        Aksiom L12: (x)F(x)  F(x).
(4)     BC                             Iz (1) i (3), uz MP.
(5)     |- (x)B  B                    Aksiom L12: (x)F(x)  F(x).
(6)     B                               Iz (2) i (5), uz MP.
(7)     C                               Iz (4) i (6), uz MP.
(8)     (x)C                           Iz (7), uz Gen.
U ovom dokazu, Gen se primjenjue samo na x, koji nije slobodna varijabla u
(x)(B  C) i (x)B. Odavde, prema [L1, L2, L14, MP, Gen] Teoremu dedukcije

                                           45
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



2'', postoji dokaz za [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] |- (x)(B  C)  ((x)B 
(x)C).
Dokažimo (b).
(1)      (x)(B  C)                     Hipoteza.
(2)      (x)B                           Hipoteza.
(3)      |- (x)(B  C)  (B  C)        Aksiom L12: (x)F(x)  F(x).
(4)      BC                             Iz (1) i (3), uz MP.
(5)      |- C  (x)C                    Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).
(6)      B  (x)C                       Iz (4) i (5), uz tranzitivnost implikacije
[L1, L2, MP].
(7)      (x)(B  (x)C)                 Iz (6), posredstvom Gen.
(8)      |- (x)(B  (x)C)  ((x)B  (x)C) Aksiom L15: (x)(F(x)  G) 
((x)F(x)  G)
         ((x)C ne sadrži x kao slobodnu varijablu).
(9)      (x)B  (x)C                               Iz (7) i (8), uz MP.
(10)     (x)C                                       Iz (2) i (9), uz MP.
U ovom dokazu, Gen se primjenjuje samo na x koje nije slobodna varijabla u (x)(B
 C) i (x)B. Odavde, prema [L1, L2, L14, MP, Gen] Teoremu dedukcije 2'',
postoji dokaz za [L1, L2, L12-L15, MP, Gen] |- (x)(B  C)  ((x)B  (x)C).
Q.E.D.

     Teorem 3.1.2. (a) [L1, L2, L5, L12, L14, MP, Gen] |- (x)(y)B(x,y) 
(y)(x)B(x,y).
(Šta ovo znači?)
(b) [L1, L2, L5, L13, L15, MP, Gen] |- (x)(y)B(x, y)  (y)(x)B(x, y). (Šta ovo
treba da znači?)
(c) [L1, L2, L12-L15, MP, Gen] |- (x)(y)B(x,y)  (y)(x)B(x,y). Šta ovo
znači?
Konverzija implikacije (x)(y)B(x,y)  (y)(x)B(x,y) ne može biti tačna.
Objasniti zašto.
     Dokaz:
     Dokažimo (b).
(1)      |- B(x,y)  (x)B(x,y)          Aksiom L13 uz F(x) = B(x,y).
(2)      |- (x)B(x,y)  (y)(x)B(x, y) Aksiom L13 uz F(y) = (x)B(x, y).
(3)      |- B(x,y)  (y)(x)B(x, y)     Iz (1) i (2), uz tranzitivnost implication [L1,
L2, MP].
(4)      F(x)  G |- (x)F(x)  G        Vježba 1.4.3(a): [L15, MP, Gen], x nije
slobodna u G.
(5)      |- (y)B(x,y)  (y)(x)B(x,y) Iz (3), uz (4), sa F(y) = B(x,y), G =
(x)(y)B(x,y).
(6)      |- (x)(y)B(x,y)  (y)(x)B(x,y)        Iz (5), uz (4), sa F(x) = (y)B(x,y),
G = (x)(y)B(x,y).
Dokaz konverzije implikacije (6), tj. dokaz za [L1, L2, L13, L15, MP, Gen] |-
(y)(x)B(x,y)  (x)(y)B(x,y) je identican. Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]:
A, B |- AB, imamo ekvivalenciju (b). Q.E.D.

                                              46
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1




    Vježba 3.1.1. Dokazati (a) i (c) u Teorem 3.1.2.

    Vježba 3.1.2. Dokazati, u Konstruktivnoj logici,
[L1-L10, L12-L15, MP, Gen] |- (x)(B(x)  C(x))  ((x)B(x)  (x)C(x)).


      3.2. Dokazivanje formula koje sadrže negaciju i jedan
                          kvantifikator
     Upozorenje: sljedeće je nekonstruktivni način dokazivanja! (x)B  (x)B.
Ova formula je prihvatljiva u Klasičnoj logici: ako nema x-a koji može posjedovati
svojstvo B, tada postoji jedno x koje nema svojstvo B. On predstavlja
nekonstruktivni sistem zaključivanja u ultimativnoj formi: Uzmimo, da svi x-ovi
imaju svojstvo B. Ako uspijemo u dobijanju kontradikcije iz ove pretpostavke, tada
– šta? Je li je ovo dokaz da tada postoji posebno x koje nema svojstvo B? Da li naš
dokaz sadrži metodu koja omogućava konstrukciju najmanje jednog takvo x? Ako
ne, u principu, da li imamo “realan” dokaz za (x)B?

    Koliko mnogo formula može biti izgradjeno od formule B uz korišćenje
negacije i jednog kvantifikatora?

                          ~~~~~~~~~~(x)~~~~~~~~~~B

                          ~~~~~~~~~~(x)~~~~~~~~~~B

Podsjetimo se Teorema 2.4.5 [L1-L9, MP]: |- A  A. Tj. svaki broj negacija
može se redukovati na broj: nula, jedan, ili dvije, i tako imamo 323 = 18 formula za
istraživanje. Slijedeća shema predstavlja rezultat tog istraživanja:

                   A.Heyting. On weakened quantification. Journal of Symbolic
                   Logic, 1936, vol.11, pp.119-121 (vidjeti: Kleene [1952], Section
                   3.5).

                                        Tabela 3.2




                                              47
                          Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



                               I                                                               III
                            (x)B                                                           (x)B
------------------------------------------------------------     --------------------------------------------------------
                         (x)B                                                          (x)B
====================================                                                     (x)B
                         (x)B                                 =================================
                       (x)B                                                            (x)B
                          (x)B
                              II                                                            IV
                            (x)B                                                         (x)B
------------------------------------------------------------                             (x)B
                          (x)B                                                        (x)B
------------------------------------------------------------                              (x)B
                          (x)B
                        (x)B
                         (x)B


     Legenda. (a) U Klasičnoj logici, unutar svake od četri grupe sve formule su
ekvivalentne, na primjer u grupi III: (x)B  (x)B. Naravno, formule različitih
grupa ne mogu biti ekvivalentne (Objasniti zašto).
     (b) Dvije formule unutar jedne grupe su konstruktivno ekvivalentne, ako i samo
ako one nisu razdvojene linijama. Na primjer, u grupi II: konstruktivno je dokazivo,
(x)B  (x)B, ali nije (x)B  (x)B (objasniti zašto). Sve formule u
grupi IV su konstruktivno ekvivalentne.
     (c) Ako su dvije formule, F1, F2 unutar jedne grupe (F1 - gore, F2 - dole)
razdvojene jednom linijom, tada: konstruktivno, F1  F2, i (F2  F1), ali nije
F2  F1. Na primjer, u grupi II: konstruktivno, (x)B  (x)B, i ((x)B
 (x)B), ali nije (x)B  (x)B (Objasniti zašto).
     (d) Ako dvije formule F1, F2 unutar jedne grupe (F1 – gore, F2 - dolje) su
razdvojene duplom linijom, tada: konstruktivno, F1  F2, ali nije F2  F1, i, čak,
nije (F2  F1). Na primjer, u grupi III: konstruktivno, (x)B  (x)B, ali
nije (x)B  (x)B, i, čak, nije ((x)B (x)B) (pokušati objasniti
zašto). Odavde, implikacija (x)B  (x)B može biti kvalifikovana kao super-
nekonstruktivna formula.

    Sada, dokažimo implikacije potrebne da afirmativan dio gornje legende bude
tačan.

                                             Grupa I

    I-1. Konstruktivno, [L1, L2, L9, MP]: |- (x)B  (x)B. Odmah, prema
Teoremu 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |- A  A.

     I-2. Konstruktivno, [L1-L9, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B


                                                 48
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(1)    |- (x)B  B               Aksiom L12: (x)F(x)  F(x).
(2)    |- (x)B  B Iz (1), uz Teorem 2.4.7(a) [L1-L9, MP]: |- (A  B)
 (A  B).
(3)    |- (x)((x)B  B)    Iz (2), uz Gen.
(4)    |- (x)B  (x)B      Iz (3), uz Aksiom L14: (x)(G F(x)) 
(G  (x)F(x)).

   I-3. Konstruktivno, [L1, L2, L9, MP]: |- (x)B  (x)B
Odmah, prema Teoremu 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |- A  A.

     I-4. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L12, L15, MP, Gen] |- (x)B 
(x)B
(1)      |- (x)B  B                Aksiom L12: (x)F(x) F(x).
(2)      |- B  (x)B
         Iz (1), uz Zakon kontrapozicije - Teorem 2.4.2. [L1, L2, L9, MP]: |- (A 
B)  (B  A).
(3)      |- B  B                    Prema Teoremu 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |-
A  A.
(4)      |- B  (x)B Iz (2) i (3), uz tranzitivnost implikacije - Teorem
1.4.2 [L1, L2, MP].
(5)      |- (x)(B  (x)B)          Iz (4), uz Gen.
(6)      |- (x)B  (x)B            Iz (5), uz Aksiom L15: (x)(F(x) G) 
((x)F(x) G).
(7)      |- (x)B  (x)B          Iz (6), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].

    I-5. U klasičnoj logici, [L1-L11, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)     |- B  (x)B                   Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).
(2)     |- (x)B  B                 Iz (1), uz Zakon Kontrapozicije [L1, L2,
L9, MP].
(3)     |- B  B                        Klasična logika, Teorem 2.6.1 [L1-L11,
MP]: |- A  A
(4)     |- (x)B  B                    Iz (2) i (3), uz tranzitivnost implikacije
[L1, L2, MP].
(5)     |- (x)((x)B  B)              Iz (4), uz Gen.
(6)     |- (x)B  (x)B                Iz (5), uz Aksiom L14: (x)(G F(x))
(G  (x)F(x)).
Odavde, imamo dokazano da u Grupi I, konstruktivno vrijedi: F1  F2  F3  F4
 F5, i, u Klasičnoj logici vrijedi F5  F1. Tj. imamo dokazano da u Grupi I: (a) u
Klasičnoj logici sve formule su ekvivalentne, i (b) konstruktivno, gornje formule
impliciraju donje formule.

    I-6. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)     |- B  (x)B                    Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).


                                             49
                        Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(2)     |- (x)B  B             Iz (1), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2,
L9, MP].
(3)     |- (x)((x)B  B)       Iz (2), uz Gen.
(4)     |- (x)B  (x)B         Iz (3), uz Aksiom L14: (x)(G F(x))
 (G  (x)F(x)).
Odavde, imamo dokazano da u Grupi I, konstruktivno vrijedi, [L1, L2, L9, L12 -
L15, MP, Gen]: F3 F4  F5  F3, tj. da formule F3, F4, F5 su konstruktivno
ekvivalentne.

      Za Grupu I, preostaje da se dokaže:

    I-7. Konstruktivno, [L1-L10, MP] |- ((x)B  (x)B). Odmah, prema
Teoremu 2.5.2(d) [L1-L10, MP] |- (A  A).

                                          Grupa II

    II-1. Konstruktivno [L1, L2, L9, L12-L15, MP, Gen] |- (x)B  (x)B
(1)     |- B  B                     Prema Teoremu 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |- A
 A.
(2)     |- (x)(B  B)               Iz (1), uz Gen.
(3)     |- (x)B  (x)B             Iz (2), uz Teorem 3.1.1(b) [L1, L2, L12-
L15, MP, Gen]

    II-2. Konstruktivno, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen] |-(x)B  (x)B
(1)     |-B  (x)B                      Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).
(2)     |-B  (x)B         Iz (1), uz Teorem 2.4.7(a) [L1-L9, MP]: |- (A  B)
 (A  B).
(3)     |- (x)(B  (x)B)           Iz (2), uz Gen.
(4)     |- (x)B  (x)B             Iz (3), uz Teorem 3.1.1(b) [L1, L2, L12-
L15, MP, Gen]

   II-3. Konstruktivno, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen] |- (x)B  (x)B
Odmah, iz II-1, iz (1), posredstvom Teorema 2.4.7(a) [L1-L9, MP]: |- (A  B) 
(A  B).

    II-4. Konstruktivno, [L1-L9, L12, L15, MP, Gen] |- (x)B  (x)B
(1)     |- (x)B  B                   Aksiom L12: (x)F(x) F(x).
(2)     |- B  (x)B
        Iz (1), uz Zakon kotrapozicije - Teorem 2.4.2. [L1, L2, L9, MP]: |- (A  B)
 (B  A).
(3)     |- (x)(B  (x)B)           Iz (2), uz Gen.
(4)     |- (x)B  (x)B             Iz (3), uz Aksiom L15: (x)(F(x) G)
((x)F(x) G).
(5)     |-(x)B  (x)B
        Iz (4), uz Teorem 2.4.7(a) [L1-L9, MP]: |- (A  B)  (A B).

                                               50
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(6)    |-(x)B  (x)B                 Teorem 2.4.5 [L1-L9, MP]: |- A 
A
(7)    |-(x)B  (x)B                 Iz (5) i (6), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP].

    II-5. U Klasičnoj logici, [L1-L11, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)      |- (x)B  (x)B            II-6 [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen],
vidjeti niže.
(2)      |- (x)B  (x)B              Klasična logika, Teorem 2.6.1 [L1-L11,
MP]: |- A  A
(3)      |- (x)B  (x)B              Iz (1) i (2), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP].
Odavde, imamo dokazano da u Grupi II, konstruktivno, vrijedi F1  F2  F3  F4
 F5, i, u Klasičnoj logici, F5  F1. Tj. imamo da u Grupi II: (a) u Klasičnoj
logici, sve formule su ekvivalentne, i (b) konstruktivno, gornje formule impliciraju
donje formule.

    II-6. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen] |- (x)B  (x)B
(1)     |- B  (x)B                       Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).
(2)     |-(x)B  B
        Iz (1), uz Zakon kontrapozicije - Teorem 2.4.2. [L1, L2, L9, MP]: |- (A 
B)  (B  A).
(3)     |- (x)((x)B  B) Iz (2), uz Gen.
(4)     |- (x)B  (x)B Iz (3), uz Aksiom L14: (x)(G F(x))  (G 
(x)F(x)).
(5)     |- (x)B  (x)B
        Iz (4), uz zakon kontrapozicije - Teorem 2.4.2. [L1, L2, L9, MP]: |- (A  B)
 (B  A).
Odavde, imamo dokazano da u Grupi II, konstruktivno vrijedi [L1-L9, L12-L15,
MP, Gen]: F3  F4  F5  F3, tj. da su fomule F3, F4, F5 konstruktivno
ekvivalentne.

     II-7. Konstruktivno, [L1-L10, MP]: |- ((x)B  (x)B)
Odmah, prema Teoremu 2.5.2 [L1-L10, MP]: |- (A  A).
Odavde, konstruktivno, (F3  F1), i F1  F2  F3  F4  F5  F3. Prema
Teoremu 2.4.7(d), [L1-L9, MP] (A  B), (B  C) |- (A  C). Odavde, u
stvari, imamo dokazano da u Grupi II, sa sve i, j, konstruktivno, vrijedi, (Fi 
Fj) (jedna vrsta "slabe ekvivalencije").

                                        Grupa III

    III-1. Konstruktivno, [L1, L2, L9, MP]: |- (x)B  (x)B. Odmah, iz
Teorem 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |- A  A.




                                              51
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



    III-2. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L12, L15, MP, Gen]: |- (x)B 
(x)B
(1)     |- (x)B  (x)B                   I-3 [L1, L2, L9, MP], vidjeti
gore.
(2)     |- (x)B  (x)B                   I-4 [L1, L2, L9, L12, L15, MP,
Gen], vidjeti gore.
(3)     |- (x)B  (x)B                     Iz (1) i (2), uz tranzitivnost
implikacije [L1, L2, MP].
(4)     |- (x)B  (x)B        Iz (3), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].

    III-3. Konstruktovno, [L1-L9, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)     |- (x)B  (x)B              I-1 [L1, L2, L9, MP], vidjeti gore.
(2)     |- (x)B  (x)B            I-2 [L1-L9, L12, L14, MP, Gen]
(3)     |- (x)B  (x)B              Iz (1) i (2), uz tranzitivnost implikacije
[L1, L2, MP].
(4)     |- (x)B  (x)B            Iz (3), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2,
L9, MP].

     III-4. U klasičnoj logici, [L1-L11, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)      |- (x)B  (x)B               I-5: u klasičnoj logici, [L1-L11, L13, L14,
MP, Gen]
(2)      |- (x)B  (x)B             Iz (1), Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].
(3)      |- (x)B  (x)B             Klasična logika, Teorem 2.6.1 [L1-L11,
MP]: |- A  A
(4)      |- (x)B  (x)B               Iz (2) i (3), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP].
Ovavde , imamo dokazano da u Grupi III, konstruktivno, vrijedi F1  F2  F3 
F4, i, u klasičnoj logici, F4  F1. Tj. imamo dokazano da u Grupi III: (a) u
klasičnoj logici, sve formule su ekvivalentne, i (b) konstruktivno, gornje formule
impliciraju donje formule.

    III-4. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B 
(x)B
(1)     |- (x)B  (x)B          I-6 [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen]
(2)     |- (x)B  (x)B        Iz (1), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].
Odavde, imamo dokazano da u Grupi III, vrijedi, F2  F3  F2, tj. formule F2, F3
su konstruktivno ekvivalentne.

   III-5. Konstruktivno, [L1-L10, MP]: |- ((x)B  (x)B)
Odmah, uz Teorem 2.5.2 [L1-L10, MP]: |- (A  A).




                                              52
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



                                       Grupa IV

    IV-1. Konstruktivno, [L1, L2, L9, MP]: |- (x)B  (x)B. Odmah,
posredstvom Teorema 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |- A  A.

    IV-2. Konstruktivno, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)     |- (x)B  (x)B
        Iz II-2, II-3, II-4 [L1-L9, L12-L15, MP, Gen], uz tranzitivnost implikacije
[L1, L2, MP].
(2)     |- (x)B  (x)B           Iz (1), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].

      IV-3. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L12-L15, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)      |- (x)B  (x)B II-1 [L1, L2, L9, L12-L15, MP, Gen]
(2)      |- (x)B  ExB Iz (1), uz zakon kontrapozicije [L1, L2, L9, MP].

    IV-4. Konstruktivno, [L1, L2, L9, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B
(1)     |- B  (x)B                  Aksiom L13: F(x)  (x)F(x).
(2)     |- (x)B  B                Iz (1), uz Zakon kontrapozicije [L1, L2, L9,
MP].
(3)     |- (x)((x)B  B) Iz (2), uz Gen.
(4)     |- (x)B  (x)B Iz (3), uz Aksiom L14: (x)(G  F(x))  (G 
(x)F(x)).
Ovdje, imamo dokazano da, u Grupi IV, sve formule su konstruktivno ekvivalentne.

     I odavde, imamo dokazan pozitivan dio legende Tabele 3.2. Negativni dio te
tabele tvrdi da sljedeće (klasično dokazive) formule ne mogu biti dokazive
konstruktivno:
(1)      (x)B  (x)B
          Vidjeti Grupu I. Jednostavno, ovo je instanca (nekonstrukrivne formule)
A A.
(2)      (x)B  (x)B Vidjeti Grupu I. Super-nekonstrutivno: čak i (2)
je nekonstruktivno!
(3)      ((x)B  (x)B)            (2). Vidjeti Grupu I.
(3)      (x)B  (x)B
         Vidjeti Grupu II. Skoro instanca od (nekonstruktivne) formule A  A.
(4)      (x)B  (x)B
         Vidjeti Grupu II. Jača nego jednostavna nekonstruktivna formula A 
A?
(6)      (x)B  (x)B Vidjeti Grupu III. Jednostavno, instanca formule
A  A.
(7)      (x)B  (x)B Vidjeti III. Super-nekonstruktivno: čak i (7) je
nekonstruktivno!
(8)      ((x)B  (x)B)            (7). Vidjeti Grupu III.
Ove činjenice biće dokazane u Sekciji 4.5 (Vježbe 4.5.1).

                                             53
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1




     Ipak, najizrazitija (klasično dokaziva) nekonstrutivana korespodencija izmedju
kvantifikara (to existence proofs via reductio ad absurdum):
(8)      (x)B  (x)B
(8) je konstruktivnmo dokaziva, ali (8) nije, vidjeti Grupu II. Ako znamo kako da
deriviramo kontradikciju za (x)B, tada može biti da ne znamo kako da naĎemo
posebno x takvo da vrijedi B.
(9)      (x)B  (x)B
(9) je slabije nego (8), ali ipak nekonstruktivno, vidjeti Grupu II. Ako znamo da
deriviramo kontradikciju za (x)B, tada može biti da mi ne znamo kako derivirati
kontradikciju za (x)B.
(10)     (x)B  (x)B
Čak je i (10) nekonstruktivno, vidjeti Grupu III. Ako znamo kako da
demonstriramo kontradikciju za (x)B, tada, može biti, ne znamo kako da naĎemo
posebno x koje bi zadovoljavalo uslova B.
(11)     (x)B  (x)B
(11) je slabije nego (10), ali ipak super-nekonstruktivno (tj. čak (11) nije
konstruktivno), vidjeti Grupu III. Ako znamo kako derivirati kontradikciju za (x)B,
tada možda ne znamo kako derivirati kontradikciju za (x)B.

                 Vidjeli smo da se broj negacija može redukovati na: nula, jedan i
            dvije negacije ispred neke formule. U vezi sa prethodnim, ovo je
            zgodno mjesto gdje treba napomenutu da, u Konstruktivnoj matematici
            baziranoj na Konstruktivnoj logici, osim „jednakosti‟ treba posmatrati i
            dvoparametarski predikat „različitosti‟ “”, za koji vrijede sljedeće ne-
            logičke aksiome:
                  (x)(x  x),                                     (konzistentnost)
                  (x)(y)(x  y  y  x),                          (simetričnost)
                  (x)(z)( x  z  (y)(x  y  y  z))            (kotranzitivnost).
            Buduci da je  predikatski simbol, mora vrijediti
                  (x)(y)(z)(x = y  y  z  x  z).                    (saglasnost
            jednakosti i različitosti)
                  Ako za različitost , osim gornjih aksioma, vrijedi i sljedeća
            aksioma
                   (x)(y)((x  y)  x = y),
             kažemo da je tjesna razdvojenost. (engl. tight apartness)
                   Ako za funkcionalni simbol f vrijedi
                   (x)(y)(f(x)  f(y)  x  y),
              kažemo da f je utapanje (engl. embeding).
                    Ako za predikatski simbol P vrijedi
                    (x)(y)(P(x)  x  y  P(y))
              kažemo da P je strogo ekstenzivan predikat.
                 Dakle, na skupove, u Konstruktivnoj matematici, treba gledati kao
            na uredjenu trojku (X,=,), gdje je X kolekcija objekata za koje su



                                             54
                     Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



            ispunjeni ne-logičke aksiome jednakosti i različitosti izmedju kojih
            postoji saglasnost.


3.3. Dokazivanje formula koje sadrže konjukciju i disjunkciju

     Teorem 3.3.1. (a) [L1-L5, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)(BC)  (x)B 
(x)C.
(b) [L1, L2, L6-L8, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)C  (x)(BC).
Konverzna formula (b), tj. formula (x)(BC)  (x)B  (x)C ne može biti
dokazana. Objasniti zašto.

    Vježba 3.3.1. Dokazati [L3-L5, L12, MP, Gen]: (x)(BC) |- (x)B  (x)C, i
    [L3-L5, L12, MP, Gen]: (x)B  (x)C |- (x)(B&C).

     Budući da, u našem prvom dokazu, Gen prihvata samo takve x, koji nisu
slobodni u (x)(BC), tada, prema Teoremu dedukcije 2 [L1, L2, L14, MP, Gen],
dobijamo da [L1- L5, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)(BC)  (x)B  (x)C.
     Slicno, u našem drugom dokazu, Gen može biti primjenjeno samo na x, koje
nije slobodna varijabla u (x)B  (x)C, tada, prema teoremu dedukcije 2 [L1, L2,
L14, MP, Gen], dobijamo da [L1- L5, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)C 
(x)(BC).

    Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo ekvivalenciju (a).

    Dokazimo (b): |- (x)B  (x)C  (x)(BC).
(1)    |- B  BC                           Aksiom L6.
(2)    |- (x)(B  BC)                     Iz (1), uz Gen.
(3)    |- (x)B  (x)(BC) Iz (2), uz Teorem 3.1.1(a) [L1, L2, L12, L14, MP,
Gen].
(4)    |- C  BC                           Aksiom L7.
(5)    |- (x)(C  BC)                     Iz (4), uz Gen.
(6)    |- (x)C  (x)(BC) Iz (5), uz Teorem 3.1.1(a) [L1, L2, L12, L14, MP,
Gen].
(7)    |- (x)B  (x)C  (x)(BC)         Iz (3) i (6), uz Aksiom L8.
Zaključak je [L1, L2, L6-L8, L12, L14, MP, Gen]. Q.E.D.

     Teorem 3.3.2. (a) [L1-L8, L12-L15, MP, Gen]: |- (x)(BC)  (x)B  (x)C
(b) [L1-L5, L13, L15, MP, Gen]: |- (x)(BC)  (x)B  (x)C.
    Konverzija ove implikacije (x)B  (x)C  (x)(BC) ne može biti tačna.
Objasniti zašto.
     Dokaz:
     Prvo, dokažimo (x)(BC)  (x)B  (x)C.
(1)     |- B ->ExB                     Aksiom L13: B(x)->ExB(x).

                                            55
                     Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(2)     |- (x)B  (x)B  (x)C        Aksiom L6: B  BC.
(3)     |- B  (x)B  (x)C            Uz tranzitivnost implikacije [L1, L2, MP].
(4)     |- C  (x)C                    Aksiom L13: B(x)  (x)B(x).
(5)     |- (x)C  (x)B  (x)C        Aksiom L7: C  BC.
(6)     |- C  (x)B  (x)C            Uz tranzitivnost implikacije [L1, L2, MP].
(7)     |- BC  (x)B  (x)C Iz (3) i (6), uz Aksiom L8: (B  D)  ((C  D)
 (BC  D))
(8)     |- (x)(BC  (x)B  (x)C) Uz Gen.
(9)     |- (x)(BC)  (x)B  (x)C Uz Aksiom L15: (x)(F(x)  G) 
((x)F(x)  G).
Zaključak je [L1, L2, L6-L8, L13, L15, MP, Gen]: |- (x)(BC)  (x)B  (x)C.

    Dokazimo (x)B  (x)C  (x)(BC).
(1)    |- B  BC                      Aksiom L6: B  BC.
(2)    |- (x)(B  BC)                Uz Gen.
(2)    |- (x)B  (x)(BC)
       Prema Teoremu 3.1.1(b): [L1, L2, L12-L15, MP, Gen] |- (x)(B  C) 
       ((x)B  (x)C)
(4)    |- C  BC                      Aksiom L7: C  BC.
(5)    |- (x)(C  BC)                Uz Gen.
(6)    |- (x)C  (x)(BC)            Uz Teorem 3.1.1(b).
(7)    |- (x)B  (x)C  (x)(BC) Iz (3) i (6), uz Aksiom L8: (B  D)  ((C
 D)  (BC D))
Zaključak je [L1, L2, L6-L8, L12-L15, MP, Gen]: (x)B  (x)C  (x)(BC).
Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo ekvivalenciju (a).
Q.E.D.

    Vježba 3.3.2. Dokažimo (b) u Teorem 3.3.2. (Uputstvo: Prvo, uzevši BC,
derivirajmo (x)B  (x)C, i primjenimo Teorem dedukcije 1). Konverzija gornje
implikacije (x)B  (x)C  (x)(BC) ne može biti tačna. Objasniti zašto.




                           3.4. Teoreme zamjene
    U ovoj sekciji dokazaćemo meta-teorem da ćemo dozvoljavati zamjenu mjesta
sub-formula ekvivalentnim formulama. Na primjer, ako imamo dokaz formule (x)B
 D, a znamo da je |- B  C, tada možemo zamjeniti B sa C, dobijajući tako
formulu (x)C  D. Do sada, nismo imali potrebu da koristimo ovaj prirodan
postupak.
    Dokazaćemo da značenje formule ne zavisi od ograničenih varijabli koje se
koriste u njima. Na primjer, |- ((x)B(x)  C)  ((y)B(y)  C).


                                            56
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



    Nota. Za dokazivanje svih teorema zamjene potrebna nam je samo Minimalna
logika [L1-L9, L12-L15, MP, Gen].

      Lema zamjene 1. U minimalnoj logici, [L1-L9, MP]:
(a)      A  B |- (A  C)  (B  C) [L1-L5, MP]
(b)      A  B |- (C  A)  (C  B) [L1-L5, MP]
(c)      A  B |- AC  BC             [L1-L5, MP]
(d)      A  B |- CA  CB             [L1-L5, MP]
(e)      A  B |- AC  BC             [L1-L8, MP]
(f)      A  B |- CA  C B            [L1-L8, MP]
(g)      A  B |- A  B               [L1-L9, MP]
      Dokaz:
      Slučaj (a). Dokazaćemo prvo da [L1, L2, L4, MP]: A  B |- (A  C)  (B 
C).
(1)     (A  B)(B  A)                   A  B - hipoteza.
(2)     AC                               Hipoteza.
(3)     BA                               Iz (1), uz Aksiom L4: BC  C.
(4)     BC                               Iz (3) i (2), uz tranzitivnost implikacije
[L1, L2, MP].
Dakle, prema [L1, L2, MP] Teoremu dedukcije 1, [L1, L2, L4, MP]: A  B |- (A 
C)  (B  C).
Kao drugi korak, dokažimo da [L1, L2, L3, MP]: A  B |- (B  C)  (A  C).
(1)     (A  B)(B  A)                    A  B - hipoteza.
(2)     BC                                Hipoteza.
(3)     AB                                Iz (1), uz Aksiom L3: BC  B.
(4)     A  C Iz (3) i (2), uz tranzitivnost implikacije [L1, L2, MP].
Odavde, prema [L1, L2, MP] Teorem dedukcije 1, [L1, L2, L3, MP]: A  B |- (B
 C)  (A  C).
Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (a). Q.E.D.

      Vježba 3.4.1. Dokažimo (b), (c), (d) u Lemi zamjene 1.

    Slučaj (e): A  B |- AC  BC.
Prvo ćemo dokazati da [L1, L2, L3-L8, MP]: A  B |- AC  BC.
(1)    (A  B)(B  A)                A  B - hipoteza.
(2)    AC                           Hipoteza.
(3)    AB                           Iz (1), uz Aksiom L3: BC  B.
(4)    |- B  BC                     Aksiom L6: B  BC.
(5)    A  BC                        Iz (3) i (4), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP].
(6)    |- C BC                      Aksiom L7: C  BC.
(6)    |- (A  BC)  ((C  BC)  (AC  BC))
       Aksiom L8: (B D)  ((C D)  (BC D))
(8)    BvC Iz (7), (5), (6) i (2), uz MP.


                                              57
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



Odavde, posredstvom [L1, L2, MP] Teorema Dedukcije 1, [L1-L8, MP]: A  B |-
AC  BC.
Kao drugi korak, dokazaćemo da [L1-L8, MP]: A  B |- BC  AC.
(1)     (A  B)(B  A)                A  B - hipoteza.
(2)     BC                            Hipoteza.
(3)     BA                            Iz (1), uz Aksiom L3: BC B.
(4)     |- A  AC                Aksiom L6: B->BvC.
(5)     B  AC                   Iz (3) i (4), uz tranzitivnost implikacije [L1, L2,
MP].
(6)     |- C  AC                Aksiom L7: C  BC.
(7)     |- (B AC)  ((C AC)  (BC AC))
                                  Aksiom L8: (B D)  ((C D)  (BC
D))
(8)     AC                       Iz (7), (5), (6) i (2), uz MP.
Odavde, posredstvom [L1, L2, MP] Teorema dedukcije 1, [L1-L8, MP]: A  B |-
BC  AC.
Sada, prema Teorem 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (e).

    Vježba 3.4.2. Dokažimo (f ) u Lemi zamjene 1.

    Slučaj (g). Prvo ćemo dokazati da [L1-L9, MP]: A  B |- A  B.
(1)     (A  B)(B  A)              Hipoteza.
(2)     A                          Hipoteza.
(3)     BA                         Iz (1), uz Aksiom L4: BC  C.
(4)     |- (B  A)  ((B  A)  B)               Aksiom L9: (B  C)  ((B 
C)  B)
(5)     (B  A)  B                Iz (3) i (4), uz MP.
(6)     B  A                      Iz (2), uz Aksiom L1: B  (C  B).
(7)     B                          Iz (6) i (5), uz MP.
Odavde, posredstvom [L1, L2, MP] Teorema dedukcije 1, [L1-L9, MP]: A  B |-
A  B.
Kao drugi korak, dokazaćemo [L1-L9, MP]: A  B |- B  A.
(1)     (A  B)(B  A)               Hipoteza.
(2)     B                            Hipoteza.
(3)     AB                           Iz (1), uz Aksiom L3: BC  B.
(4)     |- (A  B)  ((A  B)  A)               Aksiom L9: (B  C)  ((B 
C)  B)
(5)     (A  B)  A                 Iz (3) i (4), uz MP.
(6)     A  B                        Iz (2), uz Aksiom L1: B  (C  B).
(7)     A                            Iz (6) i (5), uz MP.
Odavde, prema [L1, L2, MP] Teoremu dedukcije 1, [L1-L9, MP]: A  B |- A 
B.
Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (g).



                                             58
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



    Ovim je kompletiran dokaz Leme o zamjeni 1. Q.E.D.


     Teorem zamjene 1. Razmotrimo tri formule: B, B', C, gdje je B sub-formula
formule C, i o(B) je propoziciono pojavljivanje formule B u C (tj. kvantifikatori ne
stoje ispred o(B)). Sa C' označimo formulu koju dobijamo iz C zamjenom o(B) sa B'
. Tada, u minimalnoj logici, [L1-L9, MP]: B  B' |- C  C'.
     Dokaz. Indukcijom po "dubini" propozicionog pojavljivanja o(B).
     Baza indukcije: dubina = 0. Tada C je B, i C' je B'. Zaključak je jasan.
     Korak indukcije. Ako C nije B, tada jedano od slijedećih slučajeva vrijedi:
    (a) C je F  G, i o(B) je u F.
    (b) C je F  G, i o(B) je u G.
    (c) C je FG, i o(B) je u F.
    (d) C je FG, i o(B) je u G.
    (e) C je FG, i o(B) je u F.
    (f) C je FG, i o(B) je u G.
    (g) C je F, i o(B) je u F.

    Slucaj (a). Dokaz izvodimo indukcijom predpostavljajući da [L1-L9,
MP]:BB' |-FF'. Prema Lemi zamjene 1(a), [L1-L9, MP]: FF' |- (F  G) 
(F'  G). Odavde, [L1-L9, MP]: B  B' |- C  C'.

     Vježba 3.4.3. Ponovimo argumente koje smo primjenili u slučajevima (b), (c),
(d), (e), (f), (g). Q.E.D.

    Sada, možemo koristiti argumente zamjene, pomenute na početku ove sekcije, u
krajnjem, za propoziciono pojavljivanje ekvivalentne sub-formula.

    Lema zamjene 2. U Minimalnoj logici, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]:
(a)    B  C |- (x)B  (x)C           [L1-L5, L12, L14, MP, Gen]
(b)    B  C |- (x)B  (x)C           [L1-L5, L12-L15, MP, Gen]
    Dokaz:
    Slučaj (a). Prvo ćemo dokazati da [L1, L2, L3, L12, L14, MP, Gen]: B  C |-
(x)B  (x)C.
(1)    (B C)(C B)                    B  C - hipoteza.
(2)    (x)B                             Hipoteza.
(3)    BC                               Iz (1), uz Aksiom L3: BC  B.
(4)    B                                 Iz (2), uz Aksiom L12: (x)B(x)  B(x).
(5)    C                                 Korištenjem MP.
(6)    (x)C                             Korištenjem Gen.
Odavde, imamo dokazano da [L3, L12, MP, Gen]: B  C, (x)B |- (x)C. Kako
Gen dozvoljava upitrebu samo onih x koji nisu slobodne varijable u (x)B, tada,
prema Teorem dedukcije 2 [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] dobijamo da [L1, L2, L3,
L12, L14, MP, Gen]: B  C |- (x)B  (x)C.
    Na sličan način (sa L4 umjesto L3), imamo
            [L1, L2, L4, L12, L14, MP, Gen]: BC |- (x)C (x)B.

                                             59
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (a).
     Slučaj (b). Prvo ćemo dokazati da [L1, L2, L3, L12, L14, MP, Gen]: BC |-
(x)B (x)C.
(1)     (B C)(C B)                 BC - hipoteza.
(2)     (x)B                          Hipoteza.
(3)     BC                            Iz (1), uz Aksiom L3: BC B.
(4)     |- C  (x)C                   Aksiom L13.
(5)     B  (x)C                      Iz (3) i (4), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP].
(6)     (x)(B  (x)C)                Uz Gen.
(7)     |- (x)(B  (x)C)  ((x)B  (x)C)               Aksiom L15: (x)(F(x) 
G) ((x)F(x) G).
(8)     (x)C                          Iz (7), (6) i (2), uz MP.
Odavde, imamo dokazano da [L1, L2, L3, L13, L15, MP, Gen]: BC, (x)B|-
(x)C. Kako se Gen može primjeniti samo na varijablu x, koja nije slobodna
varijabla u (x)B, tada, prema Teoremu dedukcije 2, [L1, L2, L12, L14, MP, Gen]
dobijamo da [L1, L2, L3, L12-L15, MP, Gen]: BC |- (x)B  (x)C.
     Na sličan način (uz L4 umjesto L3), [L1, L2, L4, L12-L15, MP, Gen]: BC |-
(x)C  (x)B. Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (b).
Q.E.D.

     Teorem zamjene 2. Razmotrimo tri formule: B, B', C, gdje je B sub-formula od
C, i o(B) je neko pojavljivanje formule B u C. Sa C' oznaćimo formulu koja se dobija
iz C zamjenom o(B) sa B' . Tada, u Minimalnoj logici, vrijedi [L1-L9, L12-L15, MP,
Gen]: BB' |- CC'.
     Dokaz. Indukcijom po "dubini" pojavljivanja formule o(B).
     Baza indukcije: dubina = 0. Tada C je B, i C' je B'. Zaključak je jasan.
     Korak indukcije. Ako C nije B, tada imamo jedan od slijedećih mogućnosti:
(a) – (g) – kao u dokazu Teorema zamjene 1.
(h) C je (x)F, i o(B) je u F.
(i) C je (x)F, i o(B) je u F.
     Slučaj (h). Prema indukcionoj pretpostavci, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: BB'
|- FF'. Prema Lemi zamjene 2(a), [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: FF' |- (x)F 
(x)F'. Odavde, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: BB' |- CC'.
     Slučaj (i). Prema indukcionoj predpostavci, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: BB'
|- FF'. Prema Lemi zamjene 2(b), [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: FF' |- (x)F 
(x)F'. Odavde, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: BB' |- CC'. Q.E.D.

     Sada, možemo koristiti argument zamjene, pomenut na početku ove sekcije, za
bilo koju ekvivalentnu sub-formulu.

    Konačno, dokažimo da značenje formule ne zavisi od imena vezane varijable u
njima. Intuitivno, "mora biti tako", ali sada možemo dokazati ovu intuicionu slutnju
kao meta-teorem.



                                              60
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



     Lema zamjene 3. Ako formula B ne sadrži varijablu y, tada (u Minimalnoj
logici):
      (a) [L5, L12, L14, MP, Gen]: |- (x)B(x)(y)B(y)
      (b) [L5, L13, L15, MP, Gen]: |- (x)B(x)(y)B(y).
     Dokaz:
     Prvo, dokažimo [L12, L14, MP, Gen]: |- (x)B(x)  (y)B(y).
(1)      |- (x)B(x) B(y)
   Aksiom L12: (x)F(x)  F(t). B(x) ne sadrzi y, prema tome, B(x/y) je
dozvoljena supstitucija.
(2)      |-(y)((x)B(x)  B(y))           Uz Gen.
(2)      |-(y)((x)B(x)  B(y))  ((x)B(x)  (y)B(y))
    Aksiom L14: (x)(G F(x))  (G  (x)F(x)). (x)B(x) ne sadrzi y.
(4)      |- (x)B(x)  (y)B(y)            Iz (2) uz MP.
Sada, dokažimo [L12, L14, MP, Gen(x)]: |- (y)B(y)  (x)B(x).
(1)      |- (y)B(y)  B(x)
   Aksiom L12: (x)F(x)  F(t). B(x) ne sadrži y, prema tome, B(y) sadži samo
    slobodno pojavljivanje y, tj. B(y/x) je dozvoljena supstitucija.
(2)      |- (x)((y)B(y)  B(x))          Uz Gen.
(2)      |- (x)((y)B(y)  B(x))  ((y)B(y)  (x)B(x))
    Aksiom L14: (x)(G  F(x))  (G  (x)F(x)). (y)B(y) ne sadrži x kao
slobodnu varijablu.
(4)      |- (y)B(y)  (x)B(x)            Uz MP.
Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (a).
Da bi dokazali (b), prvo ćemo dokazati [L13, L15, MP, Gen(y)]: |- (y)B(y) 
(x)B(x).
(1)      |- B(y)  (x)B(x)
    Aksiom L13: F(t)  (x)F(t). B(x) ne sadrži y, prema tome, B(x/y) je dozvoljena
supstitucija.
(2)      |-(y)(B(y)  (x)B(x))           Uz Gen.
(2)      |-(y)(B(y)  (x)B(x))  ((y)B(y)  (x)B(x))
     Aksiom L15: (x)(F(x)  G)  ((x)F(x)  G). (x)B(x) ne sadrži y.
(4)      |- (y)B(y)  (x)B(x)            Uz MP.
Sada, dokažimo [L13, L15, MP, Gen(x)]: |- (x)B(x)  (y)B(y).
(1)      |- B(x)  (y)B(y)        Aksiom L13: F(t)  (x)F(x). B(x) ne sadrži y,
prema tome, B(y) sadži samo slobodno pojavljivanje varijable y, tj. B(y/x) je
dozvoljena supstitucija.
(2)      |- (x)(B(x)  (y)B(y))          Uz Gen.
(3)      |- (x)(B(x)  (y)B(y))  ((x)B(x)  (y)B(y))
    Aksiom L15: (x)(F(x) G) ((x)F(x)  G). (y)B(y) ne sadrži x kao
slobodnu varijablu.
(4)      |- (x)B(x)  (y)B(y)            Uz MP.
Sada, prema Teoremu 2.2.1(a) [L5]: A, B |- AB, dobijamo (b). Q.E.D.

    Teorem zamjene 3. Neka je y varijabla koja se ne pojavljuje u formuli F, a
neka se u F pojavljuje kvantifikator (x) (ili (x)). Zamjenimo sa y svako

                                             61
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



pojavljivanje variable x vezane tim kvantifikatorem. Označimo sa F' tako dobivenu
formulu. Tada, u Minimalnoj logici, [L1-L9, L12-L15, MP, Gen]: |- F F'.
     Dokaz. Ovdje, formula F sadrži sub-formulu (x)B(x) (ili (x)B(x)), i mi
želimo da je zamjenimo sa (y)B(y) (ili (x)B(y)), gdje se y nije pojavljivala u F.
Prema Lemi zamjene 3, u Minimalnoj logici, vrijedi |- (x)B(x)  (y)B(y), i |-
(x)B(x)  (y)B(y). Prema tome, prema Lemi zamjene 2, u Minimalnoj logici,
vrijedi |- F F'. Q.E.D.




                        3.5. Konstruktivno utapanje
     Glivenko'ov Teorem (vidjeti Sekciju 2.7) dokazuje jednostavno "konstruktivno
utapanje" za klasičnu propozicionalnu logiku: svaka klasično dokaziva formula
može se "dokazati" u Konstruktivnoj logici, ako je dva puta negiramo prije toga.
Ovaj teorem ne vrijedi u predikatskoj logici. Na primejr (vidjeti Sekciju 3.2),
II-5. U klasičnoj logici, vrijedi [L1-L11, L13, L14, MP, Gen]: |- (x)B  (x)B.
Dvostruka negacija ove formule, tj. formula ((x)B  (x)B) ne može se
dokazati u konstruktivnoj predikatskoj logici (vidjeti Sekciju 4.5). Dakle, umjesto
F, moramo izučavati komplikovaniju operaciju utapanja.

    Takvu operaciju utapanja prvi je uveo Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) u
članku:

                    A.N.Kolmogorov. On the principle tertium non datur. Matem.
                    sbornik, 1925, vol.32, pp.646-667.

      Citat iz “A Short Biography” A.N. Kolmogorova od Paul M.B. Vitanyia glasi:
"Kolmogorov got interested in mathematical logic, and in 1925 published a paper in
„Mathematicheskii Sborni‟ on the law of the excluded middle, which has been a
continuous source for later work in mathematical logic. This was the first Soviet
publication on mathematical logic containing (very substantial) new results, and the
first systematic research in the world on intuitionistic logic. Kolmogorov anticipated
to a large extent A. Heyting 's formalization of intuitionistic reasoning, and made a
more definite correlation between classical and intuitionistic mathematics.
Kolmogorov defined an operation for `embedding' one logical theory in another.
Using this - historically the first such operation, now called the `Kolmogorov
operation' - to embed classical logic in intuitionistic logic, he proved that application
of the law of the excluded middle in itself cannot lead to a contradiction. In 1932
Kolmogorov published a second paper on intuitionistic logic, in which for the first
time a semantics was proposed (for this logic), free from the philosophical aims of
intuitionism. This paper made it possible to treat intuitionistic logic as constructive
logic."



                                              62
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



     Upoznaćemo se sa sljedećom verzijom operacije utapanja: postići O(F), u
formuli F, staviti dvije negacije prije: (a) svake elementarne formule, (b) svake
dijskunkcije, (c) svakog egzistencijalnog kvantifikatora. Preciznije, definišimo
slijedeći operator O:

            Operator O                            Kolmogorov [1925]             Ostali operatori
                                                                                  Kleene [1952]
1   Ako je F elementarna                                                  O1(F) je jednostavno F
    formula, tada O(F) je F          K(F) je F                        umjesto F

2   O(FG) je O(F) O(G)               K(FG) je (K(F)K(G))            (O2(F)O2(G))
3   O(FG) je O(F)O(G)                K(FG) je (K(F)K(G))
4   O(FG) je (O(F)O(G))            K(FG) je (K(F)K(G))            (O3(F)O3(G))
5   O(F) je O(F)                     K(F) je K(F)
6   O((x)F) je (x)O(F)               K((x)F) je (x)K(F)
7   O((x)F) je (x)O(F)             K((x)F) je (x)K(F)             (x)O3(F)

    Na primjer, uzmimo da je gornja formulu F sljedeća formula (x)B 
(x)B. Ako je B elementarna formula, tada O((x)B  (x)B) je
                          (x)B  (x)B,
tj.
                            (x)B  (x)B
Poslednja formula je konstruktivno dokaziva (Vidjeti Sekciju 3.2, Grupa II).

     Lema 3.5.1. Za bilo koju formulu, u Klasičnoj logici, vrijedi
                     [L1-L11, L12- L15, MP, Gen]: |- O(F)F.
     Dokaz. Dokaz ćemo izvesti indukcijom. Podsjetimo se Teorema 2.6.1: [L1-L11,
MP] |- A  A.
1. Baza indukcije: F je elementarna formula. Tada O(F) je F. Prema Teoremu
2.6.1, je [L1-L11, MP] |- FF. Prema tome u Klasičnoj logici, vrijedi, |-
O(F)F.
2. Korak indukcije.
Slučaj 2a: Neka F je BC. Tada O(F) je (O(B)O(C)). Prema pretpostavci
indukcije: |- O(B)B, i |- O(C)C.
(1)     |- O(B)B                               Pretpostavka indukcije.
(2)     |- O(C)C                               Predpostavka indukcije.
(3)     |- BC  O(B)C                         Uz (1), prema Teoremu zamjene 1.
(4)     |- O(B)C  O(B)O(C)                   Uz (2), prema Teoremu zamjene 1.
(5)     |- O(B)O(C)  (O(B)O(C))            Teorem 2.6.1: [L1-L11, MP] |-
A  A.
(6)     |- BvC  (O(B)O(C)), tj. |- F  O(F)          Prema        tranzitivnosti
implikacije.
Slučaj 2b: F je (x)B. Tada O(F) je (x)O(B).
(1)     |- O(B)B                                Hipoteza indukcije.
(2)     |- (x)B  (x)O(B)                      Uz (1), prema Teoremu zamjene 2.

                                             63
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(3)     |- (x)O(B)  (x)O(B)              Teorem 2.6.1: [L1-L11, MP] |-
AA.
(4)     |- (x)B (x)O(B), tj. |- F  O(F)       Prema        tranzitivnosti
implikacije.
Slučaj 2c: F je BC.
Slučaj 2d: F je BC.
Slučaj 2e: F je B.
Slučaj 2f: F je (x)B.

      Vježba 3.5.1. Dokazati (2c), (2d), (2e), (2f). Q.E.D.

      Ključna odlika formula koje imaju formu O(F) je data u sljedećoj lemi:

      Lema 3.5.2. Za bilo koju formulu F, u Minimalnoj logici, postoji dokaz za
[L1-L9, L12, L14, MP,Gen]: |- O(F)  O(F). Tj. možemo staviti duplu negaciju
prije O(F) u Minimalnoj logici (prije proizvoljne formule, ovo možemo uraditi samo
u Klasičnoj logici).
      Dokaz. Dokaz ćemo izvesti indukcijom.
      1. Baza indukcije: F je elementarna formula. Tada O(F) je F, i O(F) 
O(F) je F  F. Podsjetimo se Teorema 2.4.5: [L1-L9, MP] |- A 
A. Prema tome, uzimajući A = F imamo: [L1-L9, MP] |- F  F.
      2. Korak indukcije.
Slučaj 2a: F je BC, ili (x)B, ili B. Tada O(F) je (O(B)O(C)), ili
(x)O(B), ili O(B). Prema tome, O(F)  O(F) je G  G, gdje G je
(O(B)O(C)), ili (x)O(B), ili O(B). Podsjetimo se Teorema 2.4.5: [L1-L9, MP]
|- A  A. Dakle, [L1-L9, MP] |- G  G.
Slučaj 2b: F je B  C. Tada O(F) je O(B)  O(C). U Minimalnoj logici, prema
indukcionoj predpostavci, imamo: |- O(B)  O(B), i |- O(C)  O(C).
(1)     |- O(C)  O(C)         Hipoteza indukcije.
(2)     (O(B)  O(C))          O(F) - hipoteza.
(3)     O(B)  O(C) Prema Teoremu 2.4.7(b): [L1-L9, MP] |- (A
B) (A  B).
(4)     |- O(B)  O(B)         Teorem 2.4.4: [L1, L2, L9, MP]: |- A  A.
(5)     O(B)  O(C), tj. O(F) Iz (4), (3) i (1), uz tranzitivnost implikacije [L1, L2,
MP].
Prema tome, kako Gen nije dozvoljeno poslije pojavljivanja hipoteze O(F) u
dokazu, prema Teoremu dedukcije 2 [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] dobijamo da [L1-
L9, L12, L14, MP, Gen] |- O(F)  O(F).
Slučaj 2c: F je BC. Tada O(F) je O(B)O(C). Prema indukcionoj predpostavci, u
Minimalnoj logici, imamo: |- O(B)  O(B), i |- O(C)  O(C).
(1)     (O(B)O(C))            O(F) - hipoteza.
(2)     O(B)O(C)            Iz (1), uz Teorem 2.4.8(a): [L1-L9, MP] |-
(AB)(AB).
(3)     O(B)                   Iz (2), uz Aksiom L3.
(4)     O(C)                   Iz (2), uz Aksiom L4.

                                              64
                        Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(5)      O(B)                       Iz (3), uz indukcionu predpostavku.
(6)      O(C)                       Iz (4), uz indukcionu predpostavku.
(7)      O(B)O(C), tj. O(F)        Iz (5) i (6), uz Aksiom L5.
Odavde, budući da se Gen ne primjenjuje poslije pojavljivanja hipoteze O(F) u
dokazu, prema Teoremu dedukcije 2 [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] dobijamo da
vrijedi [L1-L9, L12, L14, MP, Gen] |- O(F)O(F).
Slučaj 2d: F je (x)B. Tada O(F) je (x)O(B). Prema indukcijskoj hipotezi, u
Minimalnoj logici, vrijedi: |- O(B)  O(B). Moramo dokazati da |- (x)O(B)
 (x)O(B).
(1)      |- (x)O(B)  (x)O(B)
                Sekcija 3.2, I-2: [L1-L9, L12, L14, MP, Gen] |- AxB  (x)B
(2)      |- O(B)  O(B)                     Hipoteza indukcije.
(3)      |- (x)(O(B) O(B))                Uz Gen.
(4)      |- (x)O(B)  (x)O(B)
         Iz (3), uz Teorem 3.1.1(a): [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] |- (x)(B C) 
((x)B  (x)C).
(5)      |- (x)O(B)  (x)O(B)             Iz (1) i (4), uz tranzitivnost implikacije [L1,
L2, MP]. Q.E.D.

      Lema 3.5.3. Ako je F jedna od (klasičnih) aksioma L1-L11, L12-L15, tada, u
Konstruktivnoj logici, vrijedi, [L1-L10, L12-L15, MP, Gen]: |- O(F).
      Dokaz.
      Slučaj 1. F (kao aksiom shema) ne sadrži disjunkciju i ekzistencijalni
kvantifikator, tj. ako F je L1, L2, L3, L4, L5, L9, L10, L12, ili L14., tada O(F) je
instanca iste aksiome kao F, tj. [F] |- O(F). Na primjer, ako F je L1, tj. B  (C 
B), tada O(F) je O(B) (O(C) O(B)), tj. O(F) je instanca iste aksiome L1.
      Slučaj 2a. F je L6: B  BC. Tada O(F) je O(B)  (O(B)O(C)), i [L1,
L2, L6, L9, MP] |- O(F). Zaista:
(1)      |- O(B)  O(B)O(C)                      Aksiom L6: B BC.
(2)      |- O(B)O(C)  (O(B)O(C))             Teorem 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |-
A  A.
(3)      |- O(B)  (O(B)O(C))                  Prema tranzitivnosti implikacije
[L1, L2, MP].
      Slučaj 2b. F je L7: C  BC. Tada O(F)je O(C)  (O(B)O(C)), i [L1,
L2, L7, L9, MP] |- O(F). Dokaz je sličan kao u slučaju 2a.
Slučaj 2c. F je L8: (B  D)  ((C  D)  (BC D)). Tada O(F) je
         (O(B)  O(D))  ((O(C)  O(D))  ((O(B)O(C))  O(D))).
(1)      |- O(D)  O(D)         Lema 3.5.2: [L1-L9, L12, L14, MP,Gen]: |-
O(F)  O(F).
(2)      O(B)  O(D)              Hipoteza.
(3)      O(C)  O(D)              Hipoteza.
(4)      (O(B)O(C))            Hipoteza.
(5)      |- (O(B)  O(D))  ((O(C)  O(D))  (O(B)O(C)  O(D))).
          Aksiom L8: (B  D)  ((C  D)  (BC  D))
(6)      O(B)O(C)  O(D) Uz MP.

                                               65
                      Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



(6)     (O(B)O(C))  O(D)
         Iz (6), uz Teorem 2.4.7(a): [L1-L9, MP] |- (A  B)(A  B)
(8)     O(D)                   Uz MP.
(9)     O(D)                     Iz (1), uz MP.
Odavde, budući da se Gen ne može primjenjivati poslije pojavljivanja hipoteza u
dokazu, prema Teoremu dedukcije 2'' [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] dobijamo [L1-
L9, L12, L14, MP,Gen] |- O(F).
Slučaj 2d. F he L11: BB. Tada O(F) je (O(B)O(B)). Podsjetimo se
Teorema 2.4.6(b): [L1-L9, MP] |- (AA). Prema tome, [L1-L9, MP] |- O(F).
Slučaj 2e. F je L13: F(t)  (x)F(x). Tada O(F) je O(F(t))  (x)O(F(x))), te
imamo [[L1, L2, L9, L13, MP] |- O(F). Zaista:
(1)     |- O(F(t))  (x)O(F(x))                   Aksiom L13: F(t)  (x)F(x)
(2)     |- (x)O(F(x))  (x)O(F(x))             Teorem 2.4.4 [L1, L2, L9, MP]: |-
A  A.
(3)     |- O(F(t))  (x)O(F(x))                 Zbog tranzitivnosti implikacije
[L1, L2, MP].
Skučaj 2f. F je L15: (x)(F(x)  G)  ((x)F(x)  G). Tada O(F) je
                 (x)(O(F(x))  O(G))  ((x)O(F(x))  O(G)).
(1)     |- O(G)  O(G)         Lema 3.5.2: [L1-L9, L12, L14, MP,Gen]: |-
O(F)  O(F).
(2)     (x)(O(F(x))  O(G)) Hipoteza.
(3)     (x)O(F(x))            Hipoteza.
(4)      |- (x)(O(F(x))  O(G))  ((x)O(F(x))  O(G)).
        Aksiom L15: (x)(F(x) G) ((x)F(x) G).
(5)     (x)O(F(x))  O(G) Prema MP.
(6)      (x)O(F(x))  O(G)
        Iz (4), uz primjenu Teorema 2.4.7(a): [L1-L9, MP] |- (A B)  (A 
B)
(7)     O(G)                    Prema MP.
(8)     O(G)                      Iz (1), uz upotrebu MP.
Prema tome, budući da Gen nije primjenjeno poslije pojavljivanja hipoteza u ovom
dokazu, primjenom Teorema dedukcije 2'' [L1, L2, L12, L14, MP, Gen] dobijamo
da je [L1-L9, L12, L14, L15, MP,Gen] |- O(F). Q.E.D.

      Teorem 3.5.4. U Klasičnoj logici, vrijedi [L1-L11, L12-L15, MP, Gen]: B1, B2,
..., Bn |- C, ako i samo ako, u Konstruktivnoj logici vrijedi [L1-L10, L12-L15, MP,
Gen]: O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(C). Specijalno, formula F je dokaziva u Klasičnoj
logici ako i samo ako je formula O(F) dokaziva u Konstruktivnoj logici.
      Dokaz.
1. Neka [L1-L11, L12-L15, MP, Gen]: B1, B2, ..., Bn |- C. Dokaz ćemo izvesti po
dužini najkraćeg dokaza.
Baza indukcije. Ako je C aksiom, tada, u Konstruktivnoj logici, vrijedi [L1-L10,
L12-L15, MP, Gen]: |- O(C) prema Lemi 3.5.3. Ako C je Bi , tada O(Bi) |- O(C) u
bilo kojoj logici.
Korak indukcije.


                                             66
                       Damel A. Romano: Matematička logika – Drugi dio 1



Ako je C derivirano posredstvom MP iz B i B  C, tada, prema indukcionoj
pretpostavci, u Konstruktivnoj logici: O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(B), i O(B1),
O(B2), ..., O(Bn) |- O(B  C). Ujedinimo ova dva dokaza. Kako O(B  C) je O(B)
 O(C), posredstvom MP, u Konstruktivnoj logici: O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(C).
Ako C je (x)B(x), i ako je dobiveno pomoću Gen iz B(x), tada, prema indukcionoj
predpostavci, u Konstruktivnoj logici, vrijedi: O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(B(x)).
Prema tome, uz Gen, u Konstruktivnoj logici: O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |-
(x)O(B(x)) tj. O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(F). Q.E.D.
2. Neka [L1-L10, L12-L15, MP, Gen]: |- O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(C). Prema
Lemi 3.5.1, u Klasičnoj logici, |- Bi  O(Bi) za svako i, i |- O(C)  C. Prema tome,
u Klasičnoj logici, B1, B2, ..., Bn |- C. Q.E.D.

      Korolar. Ako, u Klasičnoj logici, vrijedi [L1-L11, L12-L15, MP, Gen]: B1, B2,
..., Bn |- CC, tada, u Konstruktivnoj logici, vrijedi [L1-L10, L12-L15, MP, Gen]:
O(B1), O(B2), ..., O(Bn) |- O(C)O(C). Tj. ako su postulati nekonzistentni u
Klasičnoj logici, tada su postulati O(B1), O(B2), ..., O(Bn) su nekonzistentni u
Konstruktivnoj logici. Ili, ako su postulati O(B1), O(B2), ..., O(Bn) konzistentni u
Konstruktivnoj logici, tada su postulati B1, B2, ..., Bn konzistentni u Klasičnoj logici.

    O konstruktivnom ulaganju, kao o opštem pojmu, vidjeti u:

                    N.A.Shanin. Embedding the classical logical-arithmetical
                    calculus into the constructive logical-arithmetical calculus.
                    Dokladi AN SSSR, 1954, vol. 94, N2, pp.193-196.




                                              67

								
To top