Zéro, un, deux...
Retour : Linguistique amusante Les noms de nombres sont à l'origine de familles très importantes. Les voici par ordre croissant :
Zéro. Son introduction tardive fait qu'il n'a pas de dérivés. En fait, zéro et chiffre sont deux variantes du même mot arabe sifr, "zéro", qui nous sont parvenus, l'une par le latin médiéval cifra, l'autre par l'italien zefiro.
Un : de l'indo-européen *oinos, "seul, unique". A évidemment donné tous les mots en uni- : union, unité, univers (en conjonction avec la famille de vers)... ainsi que les importants mots non (*ne oinom) et nul (*ne oinolos). La racine indo-européenne pour "un", *sem- , a donné en grec hemi- ("un seul" devenu "moitié", avec son équivalent latin semi-), homos ("semblable"), homalos ("régulier"), d'où anômalia ("irrégularité"), et est donc à l'origine de nombreux mots composés. Par l'intermédiaire du latin, on a obtenu semblable, ensemble, assemblée, assimiler, simuler, simultané, simple, singulier, sincère, et aussi sanglier (singularis porcus, "porc solitaire"). En anglais : same, some, en allemand : zusammen. Le grec monos, "seul", a une origine différente. Outre les nombreux composés desquels il est le préfixe, il subsiste dans le mot moine (solitaire) et ses dérivés.
Deux : indo-européen *duwo- , dwi- . On le trouve évidemment dans deux, double, dans les composés en di- (dichotomie), bi- avec ses variantes bin- (binocle) et vi- (vingt), diplo- (Diplodocus), dans duel (grammatical), dualité. Il a aussi laissé douter (au sens d'"hésiter entre deux possibilités") et dubitatif, redouter, ainsi que combiner et ses dérivés, ou enfin diplôme ("feuille pliée en deux"). Le préfixe est parfois méconnaissable : une brouette a deux roues, et la balance deux plateaux, qui servent au figuré à dresser un bilan. L'expression de la dualité par amphi- ou ambi- résulte de l'utilisation de la racine *amb- , "autour", qui a aussi donné aller (latin ambulare).
Trois : indo-européen *ter. Se reconnaît dans tiers, tiercé, tercet, ternaire, triade, trinité, triple. Aussi à l'origine de trancher ("couper en trois", cf. écarter et esquinter), de trèfle (plante trifoliée), de troïka ("attelage de trois chevaux"), et de trivial.
Enfin, il est envisageable que s'y rattache la famille de tribu, tribunal...
Quatre : indo-européen *kwetwor. Probablement le plus fécond. En grec, tessares ou tettares, qui a donné les composés formés sur tétra- (par exemple tétrapilectomie, qui consiste à couper les cheveux en quatre). En latin, quattuor et ses dérivés a donné les mots en quadr- (quadrature, quadrupède...) et quatr- (quatrain...).
ةcarter, écarteler, écarquiller signifient "couper en quatre". On obtient alors des
quartiers. Les carrés, les carreaux, le carrelage, les squares ont quatre côtés, de même que le cadre. On les dessine avec une équerre. On équarrit ("tailler en carrés") dans les carrières. Les escadres, escouades et autres sont formées en carré. De manière moins évidente, le carillon est un groupe de quatre cloches. La caserne regroupait à l'origine quatre personnes (et aujourd'hui encore, on peut en utiliser quartier comme synonyme). L'incartade est un coup d'épée donné en faisant un quart de tour. Le cahier et le carnet sont des feuilles pliées en quatre (ou des groupes de quatre feuilles).
Cinq : indo-européen *penkwe. En grec pente utilisé comme préfixe. Il y a peu de mots ou sa présence n'est pas transparente : esquinter ("couper en cinq"), ou bien quinconce ("disposition des points sur les pièces de cinq onces") ; punch, boisson d'origine indienne, comprenant cinq ingrédients, d'après l'hindi panch "cinq" ; Pendjab ("cinq rivières"), et par conséquent Pakistan Six (indo-européen *seks) nous a laissé la sieste (à la sixième heure dans le système romain) et les années bissextiles. Sept (indo-européen *sept) se trouve caché dans semaine (par le latin) et hebdomadaire (par le grec hepta), et dans septentrional (de la constellation des septbœufs, la petite ourse). Huit (indo-européen *okt) ni neuf (*newn) n'ont laissé beaucoup de traces. 9 n'est pas lié à neuf, "nouveau". Dix : indo-européen *dekm. A laissé les suffixes de vingt, trente, quarante etc. (par la variante indo-européenne *kmt-, en latin -gint que l'on retrouve dans quadragénaire...), ainsi que le -ze de onze, douze... seize (forme atone du latin decim). Nombreux composés en déc- : décade, décimer... La dîme est un impôt d'un dixième des richesses. Le doyen, un chanoine dont dépendent dix prêtres. La denrée est ce que l'on peut acheter avec un denier, qui est une monnaie de dix as.
etc. Cent (et non pas cinq) est à l'origine de quintal par une longue boucle : latin centenarium ("poids de cent livres") > grec byzantin kentênarion > arabe qintâr > latin médiéval quintale.
Mille. Le latin mille était employé pour un seul millier ; il a donné en français la forme mil. Le pluriel latin est milia qui a donné milie puis la forme usuelle mille. Si l'on peut donc écrire de manière recherchée l'an mil neuf cent quatre-vingt-dix-neuf, on doit en revanche logiquement écrire l'an deux mille et non l'an deux mil.
Grandes familles
Retour : Linguistique amusante Certains mots surprennent parfois par leur proximité étymologique, alors qu'ils sont d'apparences très éloignées. Ces dérives révèlent des liens intéressants dans les conceptions de nos ancêtres.
L'un des couples les plus amusants de ce point de vue est sans doute l'association dieu / jour. La proximité est déjà plus visible en latin : deus / dies. L'origine commune de ces mots se trouve dans une racine indo-européenne *dei- , qui signifiait quelque chose comme "brillant". On la retrouve dans des mots aussi variés que dieu, devin, divin, quotidien, midi, méridien, diurne, diète, ainsi que dans la terminaison des jours de la semaine. La disparition du d initial (diurn- > jorn > jour) se révèle dans jour et ses nombreux dérivés, ainsi que dans le très important mot Jupiter ("père des dieux"), qui a aussi donné jovial, et le magnifique redoublement jeudi. Femme vient de l'indo-européen *dhé, "têter", qui a les dérivés latins femina, fetus ("grossesse", d'où foetus et faon), felix ("fertile" puis "heureux") d'où félicité car le bonheur se comptait en nombre d'enfants, et felare ("têter") d'où fellation. Il est probable que fils, fille... y soient liés. En allemand, Frau vient du gotique fra("provenant de", cf. anglais from), et est donc "celle dont on vient" ; fra- provient de l'indoeuropéen *per-, "en avant" (cf. latin per "à travers", grec peri "autour"). Homme, (et on, forme inaccentuée), humble, inhumer, humus sont liés à une racine indo-européenne signifiant "terre" : l'homme est terrestre par opposition aux dieux, et l'humble reste près de terre. L'homme germanique (anglais man, allemand Mann) est plus présomptueux : il se rattache à une racine *men désignant la pensée (cf. mental, anglais mind)... qui a cependant aussi donné mentir, monstre, maniaque. Société est lié à la racine indo-européenne *sekw-, qui signifiait "suivre", et qui a aussi donné entre autres secte...
D'autres rapprochements sont au contraire trompeurs.
Ainsi échec et échouer n'ont rien de commun. ةchec nous vient, par l'intermédiaire du jeu de même nom, du persan shâh ("roi"), qui a aussi donné chèque (voir Des anglicismes bien gaulois). ةchouer, qui ne possédait au départ que le sens maritime de "faire échouage", est d'étymologie inconnue (peut-être du latin populaire *excautare, de cautes, "rocher", ou encore variante du bas latin exsucare "assécher", qui a donné essuyer). De même chien et chiot ne sont pas liés. Chien renvoie à l'indo-européen *kwen (grec kuôn, kunos, latin canis), qui a aussi laissé canaille (anciennement chiennaille), cynique, khâgne ("chienne, prostituée"), canicule, mais peut-être aussi, plus positivement, cagnotte. Chiot, quant à lui, vient du latin catulus qui désignait le petit d'un animal quelconque
Habit et habiller sont eux aussi très éloignés. Habit se rattache à la famille de avoir par le latin habitus, "manière d'être, apparence" ; famille qui a donné des mots aussi divers que devoir (origine de ce que l'on a) et ses dérivés comme dette et débiter, ou bien habiter, habitude, habile, exhiber, rédhibitoire. Habiller est lié à bille (la bille de bois, pas la bille à jouer, cf. billot), d'abord abillier, "préparer une bille de bois". Ce mot est d'origine celtique
Enfin, il arrive souvent qu'un mot latin ait été utilisé et déformé pendant le Moyen-آge pour donner un mot du français courant, tandis que ce même mot a été réemprunté au latin ultérieurement pour un usage plus savant. Voici une liste de tels doublets : écouter / ausculter, entier / intègre, essaim / examen (de l'énorme famille liée à agir), hôtel / hôpital, nager / naviguer, poison / potion, prison / préhension, rançon / rédemption... Voici quelques grandes familles, issues de mots du vocabulaire primitif, liés à des objets ou actions fondamentales, qui se sont largement diversifiés :
Vers avec divorce, prose, université, vertèbre... Agir avec essayer, cacher, examen... Dire avec bénir, syndicat, prêcher... Voir avec idée, envie, histoire... Gens avec général, néant, génie, nation... Chef avec cadeau, précipiter...
Fondements des mathématiques
Sur cette page: Début de livre, chapitres de logique Simplification du calcul propositionnel Un paradoxe de la théorie des ensembles
Début de livre, chapitres de logique
J'ai entrepris depuis septembre 2000 d'écrire un "livre" qui regroupera la plupart de mes idées sur les mathématiques. Je ne sais si je publierai un jour cela en tant que livre, actuellement c'est encore loin d'être fini, mais il y a déjà un début intéressant et c'est téléchargeable ici. Objectif: refonder les mathématiques depuis leur début. Un peu comme Bourbaki... Au lieu de détailler un nombre de sujets particuliers d'une largeur comparable à celle de Bourbaki, il s'agira de se concentrer sur les bases, les notions fondamentales et générales. Caractéristiques de cette approche:
C'est parfaitement rigoureux, tout ce qui est démontrable est démontré depuis le début. Bourbaki avait cet objectif, sauf qu'ici d'autres objectifs s'y ajoutent, qui pourraient a priori sembler contradictoires entre eux et avec celui-ci, mais il s'avère qu'il est parfaitement possible de tous les satisfaire en même temps : Mener des approches originales de la plupart des sujets: la plupart des notions étaient déjà essentiellement connues par-ci, par-là, mais bon nombre d'entre elles n'avaient, à ma connaissance, pas été présentées et reliées de la manière ici proposée. L'accent est mis sur l'intuition, les explications "philosophiques" et la signification profonde des choses, du monde mathématique, sans être ralenti par des
développements fastidieux de règles formelles et rébarbatives c'est-à-dire qui seraient longues manquant d'intérêts dans leurs détails. Non que cela manque non plus de rigueur ou de formalisme, au contraire, mais c'est précisément le formalisme employé qui produit et concentre la signification. Les outils développés sont très puissants et généraux. Aucune démonstration d'un théorème ne fait plus d'un quart de page, et la plupart ne font que quelques lignes; tous les choix sont faits avec le plus grand soin pour un cheminement le plus court et élégant possible (ce qu'il y a de longueur n'est que richesse en idées et en approfondissement).
Décembre 2005: la répartition du contenu entre les différents fichiers vient d'être changée. Désormais il n'y a plus de "premier chapitre commun" entre la partie relativité et la partie fondements des mathématiques, qui deviennent entièrement indépendantes. Le début inclut presque huit grandes pages d'explications pour enfin révéler la vérité qu'il serait bien difficile de trouver ailleurs, en tout cas pas ainsi expliquée (même si en substance les idées en sont connues chez les spécialistes des fondements des mathématiques), sur ce que vous brûliez de savoir sans jamais oser le demander: qu'est-ce qu'un ensemble ? Que signifie vraiment le fait qu'il ne peut pas y avoir d'ensemble de tous les ensembles ? quelle est la différence entre un ensemble et une classe ? un ensemble peut-il appartenir à lui-même ? Sisi, c'est très sérieux !!! Voir aussi ce résumé que j'ai écrit pour annoncer la mise au point de la première quarantaine de pages en décembre 2005. Le titre et la répartition en fichiers et en chapitres sont provisoires. Si vous faites un lien, merci de pointer uniquement vers les pages html.
1. Théorie des ensembles (22 pages) 1.1. Qu'est-ce que la logique mathématique 1.2. Rapide historique des mathématiques 1.3. A propos de théorie des ensembles 1.4. Variables et ensembles 1.5. Le paradoxe du langage et son explication temporelle 1.6. Paradoxe de Russel et explications 1.7. Applications, n-uplets, familles 1.8. Produit d'une famille d'ensembles 1.9. Opérations, relations 1.10. Construction des termes et énoncés 2. Premiers développements (24 pages pour le moment, à continuer) 2.1. Quelques propriétés des quantificateurs 2.2. Opérations sur les ensembles 2.3. Etude des applications 2.4. Identités remarquables 2.5. Notions sur les relations binaires 2.6. Etude des relations d'équivalence 2.7. Notions sur les ensembles ordonnés, correspondances de Galois 2.8. Bornes supérieures et inférieures, treillis complets
2.9. Etude des clôtures, stabilité par borne inférieure et théorème du point fixe (dont théorème de Cantor-Bernstein) 2.10. Préordre engendré par une relation (inachevé)
En projet pour la suite: 2.11. Relations bien-fondées et induction 2.12. Ensembles finis 2.13. Axiome du choix 3. Constitution et dynamique des théories (23 pages incluant le chapitre 4.) 3.1. Introduction 3.2. Premier niveau: les espèces 3.3. Deuxième niveau: langage et structures 3.4. Troisième niveau: les axiomes 3.5. Notion de dynamique interne 3.6. Vérités et démonstrations 3.7. Invariants et définitions 3.8. Extensions fondées 3.9. Lois de constructions 3.10. Construction de la puissance et son incomplétude en logique du premier ordre 4. Au-delà de la logique du premier ordre 4.1. Puissance et logique d'ordre supérieur 4.2. Axiome du choix 4.3. Théorème d'incomplétude 4.4. Bilan et perspectives 4.5. Simulations de dynamiques externes
Après cette partie il y aura (en projet pour dans longtemps): Géométrie affine Géométrie vectorielle et ses liens avec la géométrie affine Géométries métriques en dimension 2 (dont: nombres complexes, géométrie sphérique, relativité restreinte...). Axiomatisation Algèbre universelle : ceci avait été rédigé avant d'avoir développé le chapitre 2 et comporte donc des préliminaires désormais progressivement intégrés en mieux au chapitre 2; ce texte ne sera mis à jour qu'ensuite... Espaces vectoriels, dualité Calcul tensoriel. La stratégie de définition du sens des expressions tensorielles sera la suivante: 1) Cas des arbres 2) Cas où il y a plusieurs composantes connexes qui sont des arbres, à l'aide de la multiplication 3) Autres cas, à l'aide de décompositions en sommes sur des coupures qui ramènent aux cas précédents.
Calcul propositionnel
Constatant que je n'arrive pas (du moins actuellement) à concentrer mes efforts pour continuer assez vite la rédaction de mes textes, je me mets ici à brader quelques pistes de recherches, qui serviraient de base à la rédaction envisagée. La structure habituelle des cours de calcul propositionnel est une horreur: un langage choisi arbitrairement (symboles "implique" et "non") qui aboutit à la nécessité d'une dizaine d'axiomes de calcul propositionnel choisis on ne sait comment (combien exactement, au fait ?) pour former un système complet d'axiomes (c'est-à-dire permettant de démontrer toute formule universellement valide). S'ensuit une démonstration de ce fait (théorème de complétude du calcul propositionnel) qui prend un certain nombre de pages. Or, tout cela est inutile, on pourrait faire beaucoup plus simple. Il y a une manière de faire plus simple qui pendait pourtant au nez depuis longtemps, c'est la notion d'algèbre de Boole. Qu'est-ce qu'une algèbre de Boole ? C'est un anneau idempotent (i.e. où pour tout x, on a x.x=x). Or un théorème bien connu (utilisant l'axiome du choix; ou, pour le résultat ici, il suffit d'avoir un bon ordre sur l'ensemble des variables propositionnelles) dit que dans tout anneau non nul il existe un idéal maximal, et que donc en quotientant par cet idéal on obtient un corps. L'idempotence appliquée à ce corps donne que c'est Z/2Z. Or, cette axiomatisation de la notion d'algèbre de Boole entre dans le cadre des algèbres universelles, donc toute égalité dans un tel anneau donné par générateurs et relations se démontre par une chaîne d'égalités dont chacune est la simple utilisation d'un axiome. Donc, si dans une algèbre de Boole donnée par générateurs et relations (donc une théorie du calcul propositionnelle), le 0 est égal au 1 (la théorie est auto-contradictoire), cela est démontrable suivant cet algorithme (et plus généralement si un élément est égal à 1, son égalité à 1 est démontrable). Sinon, l'anneau est non nul, donc il admet un morphisme dans Z/2Z (respectivement: toute proposition indémontrable a un contre-exemple). Mais il y a encore d'autres manières de formuler les formules et les démonstrations qui collent naturellement à la nature de ce problème et qui devrait donc aboutir à des algorithmes plus puissants. D'une part, faut-il vraiment signaler ce qui devrait aussi crever les yeux, comme algorithme capable de vérifier en temps fini si une formule donnée entre variables propositionnelles est une tautologie ou pas, il suffit de prendre une à une toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables et de regarder si ça marche dans tous les cas. C'est du bête calcul booléen que les ordinateurs sont capables de faire à toute vitesse. On peut rétorquer à cela que la complexité de ces calculs est exponentielle par rapport au nombre de variables, ce que je vous accorde. C'est donc bon pour des grandes formules qui répètent beaucoup les quelques mêmes variables, moins bon pour celles qui s'étendent à plus de variables, d'où l'intérêt d'un calcul formel sur les propositions. Alors, voici comment implémenter un tel calcul de manière efficace: Définissons une formule propositionnelle F comme étant un ensemble fondé sur les variables propositionnelles (autrement dit tel que pour tout ensemble X auquel F appartient, il existe Y dans X dont l'intersection avec X est un ensemble de variables propositionnelles) et héréditairement fini (l'union de F, de ses éléments, des éléments de ses éléments,... est fini) (dans la suite, les symboles A,B,C désigneront de tels ensembles). Le singleton représente le non, l'ensemble représente le "ou" entre les négations.
Ainsi, {A,B,C} signifie (non A ou non B ou non C), ou si on préfère, non(A et B et C). {A,B,{C}} signifie: ((A et B) implique C). On peut ajouter le vrai (V) et le faux (F) comme constantes propositionnelles, mais on peut aussi les construire comme étant: F={} (ensemble vide), V={{}}. Ensuite, il faut introduire des règles de simplifications, chaque règle faisant passer d'une formule (en tant qu'ensemble) à une autre (un autre ensemble) plus simple qui lui est logiquement équivalente. Il me semble (à vérifier, je n'en suis pas sûr - ou bien en modifiant légèrement l'expression des règles du genre échanger A avec {A}) que la relation d'équivalence engendrée par ces règles est équivalente à: quelle que soit la succession de simplifications appliquées à partir de chacune jusqu'à ne plus pouvoir simplifier, on aboutir à la même formule. Ces règles sont les équivalences suivantes (le symbole ~ désignant l'équivalence tautologique entre énoncés): - tiers exclus: {{A}}~A ce qui donne notamment les simplifications: {{{A}},B}~{A,B} {{{A}},A}~{A} mais aussi avec deux: {{{A,B}},C}~{A,B,C} et en général, en notant u le symbole d'union, si A est un ensemble: {{A}}uB~AuB ce qui permet d'éliminer les singletons dans l'expression d'une formule hormis ceux des variables. - Tout V dans un ensemble peut être éliminé (mais on peut voir ça comme cas particulier du cas précédent à cause de la construction de V). Ainsi: {V,A}~{A} - Tout F est absorbant: {F,A,B,...}~{F}~V - Règle de substitution : Tout élément d'un ensemble est substituable à V à l'intérieur de tout autre élément (ça, je suis beaucoup moins sûr que ça passe la proposition ci-dessus). Par exemple: {A,{A,B}}~{A,{V,B}} {A,B,{{C,D},{D,A,{E,B,{C,D}}}}}~{A,B,{{C,D},{D,V,{E,V}}}} à son tour simplifiable... Remarque: je n'avais d'abord formulé la règle de substitution que comme règle d'inférence entre formules démontrées, lesquelles n'étaient considérées que comme formant liste ouverte d'ensembles où chacun de ces ensembles est substituable par V dans les autres ensembles, sans remarquer que cette liste se comporte elle-même comme un ensemble parmi les autres. Pour que ça forme un système formel complet du calcul propositionnel, j'ai été amené à formuler l'"axiome d'Aristote": Si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C). Ce qui donne (en remplaçant C par sa négation): V~{{A,{B}},{B,C},A,C}}. qui rendait enfin le système complet. Mais je m'aperçois que la règle de substitution démontre l'axiome d'Aristote allègrement et rend donc son introduction inutile, sauf que je doute fort que l'équivalence de deux formules
par la relation d'équivalence engendrée par ces règles (qui est en tout cas complète pour le calcul propositionnel) s'obtienne par égalités de leurs formes minimales (par simplifications) respectives (à vérifier).
Histoire de rigoler, ou de faire des cauchemars
Il y a un super paradoxe de la théorie des ensembles, mais dont je déconseille l'étude aux jeunes esprits qui risqueraient de passer des nuits blanches jusqu'à douter de la consistance des mathématiques ;-). Heureusement, la démonstration paradoxale en question étant assez ardue (et reposant sur des définitions et résultats standard omis ici), a de bonnes chances de n'être pas compris par ces esprits fragiles, en sorte de ne pas les affecter. Remarque: il y a un autre paradoxe plus célèbre, et très semblable à celui-ci dans ses tenants et aboutissants: le paradoxe de Banach-Tarski. Voici: Croyez-vous à l'axiome du choix ? Rappelons un de ses énoncés: tout produit d'ensembles non vides est non vide. Intuitivement, si on pense que chaque ensemble de parties d'un ensemble contient vraiment toutes les parties, même celles qu'on ne peut pas construire, alors il semble raisonnable de penser que l'axiome du choix est vrai. Plus précisément, cela s'appuie sur l'intuition suivante: pour chacun des ensembles non vides en question, on tire "au hasard" un de ses éléments, et l'ensemble de tous ces hasards formera l'élément recherché. Bien. Pendant qu'on y est, on peut aussi tirer au hasard un nombre réel entre 0 et 1: tirons chaque chiffre de son développement binaire au hasard, et le tour est joué. C'est d'ailleurs à celà justement qu'on reconnaît que l'ensemble R des nombres réels qu'on manipule est bien l'ensemble de "tous les réels" sans en oublier: par le fait que si on tire un nombre réel au hasard par ce procédé, on tombe effectivement dedans. En effet, un faux ensemble des réels (un ensemble de certains réels stable par les opérations) devrait être carrément plus petit puisqu'en le translatant par un réel qui n'est pas dedans on obtient un autre ensemble aussi gros et disjoint du premier. Donc son anomalie serait repérable par le fait qu'en tirant un réel au hasard, on n'aurait pas plus de chance de tomber dans l'un que dans l'autre, soit finalement une chance nulle. Bien. Ensuite, un théorème déduit de l'axiome du choix dit que tout ensemble admet un bon ordre, en particulier l'ensemble des réels entre 0 et 1. Choisissons donc un tel bon ordre o sur [0,1], et définissons l'application f de [0,1] dans luimême défini par: f(x)= la probabilité qu'un réel tiré au hasard dans [0,1] soit plus petit que x pour l'ordre o. De manière évidente, f est une fonction croissante de [0,1] muni de l'ordre o vers [0,1] muni de l'ordre habituel. Or, un théorème dit que toute fonction croissante d'un ensemble bien ordonné vers R ne croît que par discontinuités, c'est-à-dire que sa variation est la somme des f(x) - max f(y) pour y
Remarque: la construction d'un bon ordre sur [0,1] nécessite de prendre un réel dans TOUTE PARTIE non vide de [0,1], ce qui est une autre affaire que de tirer chaque décimale binaire au hasard. Mais cela ne devrait pas gêner en fait, puisqu'en restreignant le tirage aux parties P telles qu'un nombre aléatoire aura au moins une chance sur deux de tomber dedans (ainsi, si on ne tombe pas dedans la première fois il suffit de recommencer), on aboutit de toute manière à une variante du même paradoxe: cela donne un bon ordre sur une partie de [0,1] sur laquelle on a une chance sur deux de tomber. A moins que, bien qu'on ait toutes les chances de trouver un élément d'une partie P donnée à force de réessayer si à chaque fois on a une chance sur 2 de tomber dedans, le risque ici nul de ne jamais y arriver risque de devenir beaucoup plus grand, quand il s'accumule sur l'ensemble de toutes les parties P en question. Mais passons. En fait, la convention communément admise veut que tirer un réel dans chaque partie soit possible conformément à l'axiome du choix, mais que tirer SUIVANT UNE LOI DE PROBABILITE DONNEE (à savoir ici, de manière uniforme), un nombre réel aléatoire dans [0,1] soit impossible. Une loi de probabilité dans un tirage aléatoire étant uniquement quelque chose de défini comme approximations successives (tirer les 100 premières décimales au hasard, continuer avec les 1000 suivantes...) et non comme quelque chose d'actuellement infini.