la gravité la force de l'Univers
III
La Gravitation
en Astronomie
La gravitation en astronomie
# La Terre # Les étoiles
• Masse de la Terre • Sphéricité des corps célestes
• Gravité et satellites • Aplatissement des pôles
• Paléoastronomie • Gravité à la surface des corps
• Le système Terre-Lune • Binaires et masses des étoiles
• Marées • Gravitation et évolution stellaire
• Rotation des étoiles et éjection de masse
Le système solaire • Les trous noirs
• Sphéricité des corps célestes
• La connaissance du système solaire # Les galaxies
Mesure de la masse du Soleil • La masse de la Galaxie et des galaxies
Mesure de la masse des planètes • Dynamique des galaxie et la masse cachée
• Gravité à la surface des corps • Energie des quasars
Gravité et atmosphères planétaires • Mirages et lentilles gravitationnelles
Le système solaire
Sphéricité des corps célestes
Tout corps gazeux ou liquide isolé, par la fluidité même prend la symétrie sphérique sous l’action de la
gravité ou des tensions superficielles.
Déformation à la symétrie sphérique :
• rotation -> bourrelet équatorial
• binarité -> effet de marées
Planète : la solidification se fait à partir d’une forme qui est proche d’une sphère
Déformation de surface par
• par impacts
• rotation interne de la matière qui reste fluide (dérive des continents).
L’écart à la sphéricité : limité par la stabilité de masses flottant et pesant sur le magmat.
Densité Sial (croûte terrestre solide) : 2,8
Manteau (visqueux) : 3,3
Si on charge la croûte, elles s’enfonce dans le manteau. La poussée d’Archimède équilibre la pesanteur.
La hauteur de la croûte étant limité, la partie émergé ne peut dépasser une certaine hauteur : ~10 km.
Autre limitation : résistance limité à la déformation.
L’affaissement de matière de )h transforme de
h
l’énergie potentielle en chaleur
h
Energie potentielle S h g h S
Energie absorbée
h S Q
masse volumique, g gravité, Q chaleur de fusion
Si l’énergie absorbée est plus grande que la chaleur de fusion, la montagne descend.
Q
Valeur maximum : hmax Q = 60 cal.g-1 pour du quartz.
g
Mercure Venus Terre Mars Lune
g 3,73 8,85 9,80 3,77 ?
h max. (km) 67 28 25 66 ?
% R planète 2,75 0,45 0,40 1,95 ?
Sur Terre cela c'est la différence d’altitude entre les sommets les plus élevés et les fosses marines les plus profondes.
Bibliographie : Cahiers Clairaut no 16 page 9.
Lune - maximum de hauteur des montagnes :
gLune = 1,62 m s-2
hmax = 36 km
% rayon = 2%
Hauteur réelle maximale : 8000 m.
Pourquoi une telle différence ?
- Mauvaise connaissance de la chaleur de fusion du manteau lunaire.
- Modèle un peu simpliste
La connaissance du système solaire
! Mesure des distances
Le système de Copernic et les lois de Kepler permettent de connaître les distances dans les
système solaire de façon relative
• La distance Soleil-Terre étant l’unité de distance.
• Application de la 3ème loi de Kepler
• Observation des positions des planètes en conjonctions, oppositions et quadrature.
Connaître la distance d’une planète ou du Soleil c’est
connaître sa parallaxe.
La parallaxe d’un astre du système solaire, est l’angle sous
lequel on voit le rayon équatorial du centre de cet objet.
On observe : S o le il
• les planètes au plus près (opposition de Mars) ou petites
T e rre
planètes
• les passages de Mercure et Vénus devant le Soleil
Méthode moderne : échos radar
! Mesure de la masse du Soleil
Par la 3ème loi de Kepler
a3 G
( M Sol M P )
P2 4 2
Calcul de la Masse du Soleil
Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton
P jours 87,969 224,701 365,256 686,980 4332,589 10759,23 30688,48 60182,29 90469,7
a (u.a.) 0,387 0,723 1,000 1,524 5,203 9,555 19,218 30,110 39,439
M kg 3,28e+23 4,87e+24 5,97e+24 6,42e+23 1,80e+27 5,69e+26 8,70e+25 1,03e+26 1,53e22
Sans tenir compte de la masse de la planète
M calc. 1,989e+30 1,989e+30 1,989e+30 1,989e+30 1,991e+30 2,000e+30 2,000e+30 2,000e+30 1,989e+30
En tenat compte de la masse de la planète
M calc. 1,989e+30 1,989e+30 1,989e+30 1,989e+30 1,989e+30 1,999e+30 2,000e+30 2,000e+30 1,989e+30
! Mesure de la masse des planètes
• La planète a des satellites : 3ème loi de Kepler
• La masse calculable par les perturbations sur les autres planètes.
! Gravité à la surface des corps
Avoir la masse et la dimension d’un corps c’est connaître la gravité à la surface :
G. M
g
R2
Gravité à la surface des planètes et du Soleil
Objet Terre Lune Soleil Mercure Mars Jupiter Saturne
Masse (kg) 5.98e24 7,34e+22 1,989e+30 3,28e+23 6,42e+23 1,80e+27 5,69e+26
Rayon (km) 6378 1738 698000 2439 3397,2 71398 60018
Gravité (m/s2) 9,81 1,62 272,38 3,68 3,71 23,56 10,54
Grav/gTerre 1,0 0,17 27,77 0,38 0,38 2,40 1,07
Pour une planète donnée, la gravité influencera
- le relief
- la stratification des couches
- son atmosphère (composition, pression)
- la possibilité de vie et le type de vie
Pour une étoile
- sa température
- l’aspect du spectre
- le débit de perte de masse
! Gravité et atmosphères planétaires
La température d’un gaz est la mesure de son énergie cinétique moyenne
1 3
m. v 2 kT
2 2
v vitesse moyenne d'agitation ; m masse de la particule ; T Température absolue
k constante de Boltzmann1,380662 10-23 J.K 1
Molécule d’hydrogène à 300 K, v moyen = 1,9 km/s.
Si vitesse d’évasion proche de la vitesse d’échappement, les particules s’évaporent.
Planète Mercure Vénus Terre Mars Lune
M (kg) 3,28e+23 4,87e+24 5,97e+24 6,42e+23 1,80e+27
gravité 3,73 8,85 9,80 3,77 1,62
Temp. surface (K) 700 600 300 200 400
Vitesse H2 (km/s) 2,95 2,73 1,93 1,57 2,23
Vitesse N2 (km/s) 0,89 0,82 0,58 0,47 0,67
V d’échappement (km/s) 4,24 10,36 11,19 5,02 1,83
La Terre et la gravitation
Masse de la terre
! Mesure de l’accélération de la pesanteur : machine d’Atwood
F 2. M m. g. m Force appliquée
g. m
accélération
2. M m
t
v
0
ydt . t . vitesse
t t
1 2 1 g. m
h v. dt . t . dt .t . .t 2 distance parcourue
2 2 2. M m
0 0
Plus M est grand, plus le mouvement sera lent et la mesure sera facile.
MT
qui donne la masse de la terre : g G
R2
Masse de la terre
(Suite)
! Mesure de la masse de la Terre par l’orbite de la lune
Si l’on considère la masse de la Lune petite par rapport à celle de la Terre, la trajectoire de la
Lune donne la masse de la Terre.
Première approximation, l’orbite est un cercle
L’accélération de la pesanteur est égale à la force centripète.
V2 M .m
mL G. T 2 L
a a
2a
V
PL
4 2 a 3
MT
G. PL
a = 384400 km ; G = 6,672 10-11 m3 kg-1 s-2 ; PL = 27,32166 jours
MT = 6,03 1024 kg (valeur réelle 5,98 1024 kg)
Gravité et satellites
! Vitesse de satellisation
Au ras de la surface terrestre, orbite d’équilibre
V 2 G. M T
RT RT 2
G. M T
V
RT
G = 6,672 10-11 m3 kg-1 s-2 ; RT = 6378 km ; MT = 5,98 1024 kg
! Vitesse d’évasion
Pour qu’un objet s’échappe de l’attraction terrestre, il faut que sa vitesse (ou son énergie
cinétique) au départ l’amène à l’infini avec une vitesse nulle
1 GM T mS dr 1 1
ms . v0
2
. dr GM T mS . GM T mS . GM T mS .
2 r2 r2 r RT RT
RT RT
2. GM T
v0
RT
Vitesse de satellisation et d’évasion dans le système solaire
Objet Terre Lune Mars Jupiter Soleil
Masse (kg) 5.98E24
Rayon (km) 6378
Vitesse satellisation (km/s) 7.91
Vitesse évasion (km/s) 11.19
• Trouver sur Internet ou dans les tables les données des masses et rayons
• Au moyen d'une feuille de calcul remplir le tableau.
Vitesse de satellisation et d’évasion dans le système solaire
Objet Terre Lune Mars Jupiter Soleil
Masse (kg) 5,98e+24 4,34e+22 6,42e+23 1,80e+27 1.989e+30
Rayon (km) 6378 1738 3397,2 71398 695000
Vitesse satellisation (km/s) 7,91 1,29 3,55 41,01 13818
Vitesse évasion (km/s) 11,19 1,83 5,02 58,00 19542
Satellite géostationnaire
! Satellite dont la période T orbitale est égale à celle de la Terre
En orbite circulaire :
2. RS G. M T
V
T RS
4 2 RS
2
G. M T
T2 RS
G. M T T 2
RS 3
4 2
Le satellite semble fixe par rapport à la Terre
A quelle distance de la Terre est un satellite géostationnaire ?
Satellite géostationnaire
(suite)
Caractéristique de l'orbite
Rayon de l’orbite : RS = 42245 km
Hauteur au-dessus du sol : RS - RT = 42245 - 6378 = 35867 km
Il faut prendre la période sidérale : 23h56mn, et h = 35789 km
V
Le cas du satellite ISO (Infrared Space Observatory)
r
• Lancement non réussi
• Orbite géostationnaire mais elliptique T e rre
pé rgée
apogée
i
G
Comportement du satellite ?
Orbite du satellite ISO
Paléoastronomie
La rotation de la Terre est ralentie à cause des dissipations d’énergie dues aux marées.
La paléologie permet de retrouver la durée du jour il y a plusieurs centaines de millions d’années.
La relation parait bien linéaire et l’on extrapole cette variation vers la début de la formation de la Terre
A quelle époque, la force centrifuge due à la rotation de la Terre compensait la gravité ?
! Paléoastronomie (réponses)
Equilibre gravité - force centripète
2
Vequat . MT
G. 2
Réquat . Réquat .
V équat. = 7,9 km/s
A cette vitesse, la période de rotation vaut : 1h25mn
Equation de la droite de variation de la durée du jour :
- point 1 : t = 0, P = 24h
- point 2 : t = -475 millions d’années, P = 21h
Equation de la droite : P = a t + P0 a = 6.315 10-3
P0 = 24
t = (P - P0)/a = -3575 millions d’années.
Période antérieure à la formation de la Lune
Cette vitesse aurait pu permettre à la Lune de se former par éjection de matière de la Terre.
Mais la vitesse de rotation est irréaliste lors de la formation par accrétion.
Le système Terre-Lune
Le système Terre-Lune est apparemment un système fort simple : deux corps en interaction gravitationnelle.
En réalité très compliqué.
Mouvements de la Lune est l’un des plus complexe à analyser.
• Le plan de l’orbite de la Lune n’est pas dans le plan équatorial de la Terre
• La Terre possède un bourrelet équatorial
• L’attraction solaire est très importante
• Les autres planètes sont très perturbatrices
! Marées
Les forces de gravitation exercées sur la Lune sur les différentes parties de la Terre expliquent les marées
Effets différentiels
FA 500 km/s
Les trous noirs
Objets théoriques, phase finale de l’évolution de certains objets. L’évolution par la contraction
gravitationnelle qui agit toujours, les a amenés dans un état tel que la masse et le volume atteints donne
à l’objet une densité extrêmement élevée.
Dans ces conditions l’action de la masse sur le rayonnement électromagnétique est relativiste et
tout photon sera piégé si la masse et le rayon imposent une vitesse de libération plus grande que celle de
la lumière.
2. GM
c
R
Application au Soleil
Quelle rayon aurait le Soleil s’il devenait un trou noir ? Densité ? Gravité à la surface ?
M = 1,989 . 1030 kg, G = 6,672 . 10-11 N.m2.kg-2
Rayon et densité :
Vitesse de libération est égale à celle de la lumière :
2. GM
R 2953 m
c2
M
d 1,81019 kg.m3
4
R3
3
Gravité à la surface d’un trou noir solaire :
GM Sol
2 2
gTN RTNl RSol 7000002
2 2
5,5 1010
g Sol GM TN RTN 3
2
R Sol
Au XVIIIème siècle Laplace (1749-1827) et John Mitchell (1724-1793) et avaient imaginé
la possibilité de leur existence.
Modèle proposé : étoile ayant la de la densité du Soleil, mais de 500 rayons solaires.
Etait-ce réaliste ? Calcul ?
La vitesse de libération devient :
M = 500 500 500 MSol = 2,50 1038
2. GM 2. G 500 500 500 MSol
v
R 500 RSol
v 308320 km s1
L’estimation est fort correcte.
Galaxies
La masse de la Galaxie et des galaxies
Le Soleil suit l’ensemble du mouvement de la Galaxie qui est une rotation différentielle.
Situé à 8,5 kpc du centre, le Soleil est entraîné par la rotation de la Galaxie à une vitesse de 220 km/s.
Il y a équilibre gravitationnel avec la force centrifuge due à la rotation et par symétrie sphérique,
seule la masse à l’intérieur de ce rayon contribue à son orbite.
Période de rotation du Soleil ?
Masse de la Galaxie ?
! Période de rotation du Soleil dans la Galaxie
Période de rotation :
#
2. R
P
V
2 8,5 1000 206265 1,5 1011
P 7,5 1015 s 240 106 ans
220 10 3
Une période de 240 106 ans est de l’ordre de la périodicité des glaciations.
Relation ? Traversée de zones interstellaires plus denses.
Le Soleil “accrête” de la matière, devient plus chaud temporairement, ce qui provoque plus de
nébulosité, et un refroidissement temporaire de la surface ?
! Rotation du Soleil et masse de la Galaxie
On applique la relation d’équilibre force centrifuge-gravité
Le Soleil est sur une orbite circulaire stable :
Equilibre rotation - gravité
VSol G M int
2
2
RSol RSol
2
VSol RSol
M int
G
# Réponse : 1011 masses solaires.
Masse des galaxies
Observation des vitesses de rotation des galaxies par effet Doppler (Vitesses radiales)
Distances des galaxies connues => masse de la galaxie et distribution de masse
Nombres d’étoiles
Dynamique des galaxie et la masse cachée
Les amas de galaxies regroupent quelques dizaines à quelques milliers de galaxies diverses : spirales,
elliptiques, naines, irrégulières.
L’ensemble est en mouvement sous les effets de la gravité et semble en équilibre : il n’y a pas collapse
vers le centre de gravité du système, ni évasion par éjection.
2 GM
La condition de stabilité s’exprime par V
r
V vitesse moyenne d'agitation desgalaxies,
G constante de la gravitation universelle,
M masse totale de l'amas
r la distance moyenne entre les galaxies
Si l’amas est stationnaire, configuration et distribution des vitesses est stables, on a le théorème du viriel
2 GM
V
2r
Estimation masse des galaxies par la luminosité des étoiles
Masse observée est toujours beaucoup plus faible que la masse calculée par le théorème du viriel.
Recherche :
masse cachée (étoiles de faibles masses, gaz neutre),
masse non baryonique (monopôles, cordes).
Energie des quasars
Les quasars objets lointains, rayonnent une quantité phénoménale d’énergie.
Energie estimée équivalente au rayonnement de 1000 galaxies.
Lquasar 103 Lgalaxie 103 1010 LSol 1039 W
Où trouver la source ?
Une solution possible est la présence d’un trou noir massif, de 1000 à 10000 masses solaires.
La production d’énergie pourrait être faite par l’énergie gravitationnelle convertie en rayonnement lors
de la chute de matière.
Mais quelle quantité de matière faut-il ingurgiter ?
! Energie et quasar
Soit un quasar de 1000 masses solaires qui attire et absorbe 1 masse m (1 masse solaire) par an
Rayon : 2 GMTN
RTN 2
3000 km
c
L’énergie récupérée par la chute du corps, est celle du travail de la force de gravitation :
MTN m
G
r2
Travail fourni égale l’énergie récupérée transformée en chaleur, donc en rayonnement :
RTN
G M TN m
E dr
r2
On calcul :
RTN
R
dr 1 TN G M TN m
E G M TN m G M TN m
r2 r RTN
E 8,8 1046 J
Puissance rayonnée
E
P 2,8 1039 W
365 24 3600
Energie et quasar (suite)
Dans l’expression de l’énergie
G M TN m
E
RTN
on remplace le rayon du trou noir par son expression en fonction de la masse et de la vitesse de la lumière
G M TN m 1
E m c2
2 M TN 2
c2
Mirages et lentilles gravitationnel
Dès 1704, Newton se pose la question : les corps massifs dévient-ils la lumière ?
La théorie de la relativité générale répond par l’affirmative.
Vérification en 1919 par Eddington lors d’une éclipse de Soleil
Déviation d'un rayon rasant le Soleil : 1,75 “.
Conséquence : si la masse déviante est presque ponctuelle, on peut avoir deux images : un mirage
gravitationnel.
L’objet déflecteur est une lentille gravitationnelle.
! Mirages gravitationnels
La répartition et la quantité de masse déviante peuvent donner aux images mirages des formes
complexes :
• multi-images
• arcs de cercles
...
Croix d’Einstein
Outil puisant pour
• étudier les masses et détecter des corps massifs.
• évaluer les différences de distances entre les divers chemins : mesurer des distances cosmologiques.
Bibliographie : Cahiers Clairaut no 18, 3-10.
Gravitation quand tu nous trompe !
La vision du monde n’est-elle pas que mirages ?