מתמטיקה כשיח
טיול עם Jorge Luis Borges
אנה ספרד
אוניברסיטת חיפה & Michigan State University
מטח מארח כנס 2 בסידרה
במה לשיח ציבורי בחינוך מתמטי:
מתמטיקה ושפה
1
Jorgeהטיעון בדבר קיום של האלוהים לפי
Luis Borges
אני עוצם את עיני ורואה להקת
ציפורים. זה נשמשך שנייה, אולי פחות;
אני לא בטוח כמה ציפורים ראיתי. האם
היה המספר מוגדר או בלתי מוגדר?
הבעיה קשורה לקיום אלוהים. אם
אלוהים קיים, אז המספר מוגדר, כי
2
האלוהים יודע כמה ציפורים ראיתי.
אם אלוהים אינו קיים, כי אז
המספר בלתי מוגדר, כי לא היה אף
אחד שיכול היה לספור. במקרה זה
ראיתי פחות מ-01 ציפורים, נגיד,
ויותר מאחת, אך לא ראיתי 9, 8, 7, 6,
5, 4, 3, או 2 ציפורים. ....
המספר לא-9, לא-8, לא-7, לא-
6, לא-5 וכו' אינו מתקבל על הדעת.
לכן, האלוהים קיים. Jorge Luis Borges
3
שאלתו של Borgesהמחכה לתשובה:
היכן נמצא המספר?
שאלת משנה: למה זה חשוב לאנשי חינוך?
כי רק כך ניתן להבין את תהליכי למידה תשובה:
אז נהפוך את הסדר וננסה לענות רעיון:
על-ידי הסתכלות על איך ילדים לומדים
4
שאלה:
מהיכן ואיך לומדים ילדים על
מספרים?
תשובתו של
ג'אן פיאז'ה:
מהי, ומדוע אין היא מספקת?
5
טענתו של פיאז'ה:
ילדים קטנים אינם
מודעים
לשימור המספר
גם לאחר שהם יודעים
לספור
6
משימת שימור מספר
מראין: ועכישו? מראין: באיזו
שורה
ילד: בזו השנייה
יש יותר
(מצביע על
גולות?
השורה
הארוכה ) באף אחת ילד:
7
מערערים על פיאז'ה
זה לא בגלל חוסר מודעות לשימור מספר!
ראשית, מי אמר שהילדים יודעים שהשאלה •
דורשת השוואה מספרית דווקא?
• שנית, חזרה על אותה שאלה
מרמזת על ציפייה לתשובה
שונה!
8
תהיות נוספות מתוך המחקר עם עירית
לביא
מעקב אחר התפתחות
החשיבה המתמטית
של ילדים
9
אוכלוסיית המחקר
רוני (0:4) עינת (7:4)
01
עירית שמה על השטיח
שתי קופסאות אטומות זהות
יש בתוך הקופאות גולות . אני רוצה • עירית:
שתגידו לי באיזה קופסה יש יותר
גולות .
עינת מצביעה על הקופסה שלידה ואח"כ רוני •
מצביעה על אותה קופסה.
בזאת? כן? איך אתן יודעות? עירית: •
כי היא הכי גדולה מזאת. היא הכי. רוני : •
כי… כי היא ענקית יותר מזאתי. עינת: •
11
עירית אינה בטוחה מה לעשות הלאה.
לאחר כמה רגעי מבוכה היא אומרת:
אתן רוצות לפתוח ולגלות? עירית: •
שתי הילדות מנסות לתפוס את הקופסה שנבחרה •
בתור ה"הכי ענקית". בסוף, כל אחת פותחת את
הקופסה שתפסה.
אחת ..אחת..1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. רוני : •
1, 2, 3, 4, 5, 6. שש! עינת: •
אז מה אתן אומרות? איפה יש יותר? עירית: •
לי נראה פה. מצביעה על הקופסה של 8. רוני: •
גם אני אומרת שפה. ענית: •
21
הכיצד נסביר שהילדות השיבו בלי
לספור?
• וודאי שלא: הן שלטו • כי לא ידעו
בספירה ומנייה
לספור?
שליטה מלאה.
• לא - הן חזרו על אותן • משום שלא
פעולות בכל משימת ידעו מה
השוואה הבאה.
מצופה מהן?
31
משימה שנייה
• עירית: אני שמה פה שתי
קופסאות, ושיניתי משהו,
שיניתי, אז….איפה
יותר גולות לפי יש
דעתכן?
• עינת: מצביעה על הקופסה
השמאלית בנגיעה
• רוני: חוזרת על תנועתה של עינת.
41
הכיצד נסביר שהילדות
השיבו בלי לספור?
אבל אז איך נסביר ש אז אולי הן
• הן מוכנות לתת "הסברים" משחקות
תיקניים לבחירתן
משחק
• הן מסכימות זו עם זו
בבחירה ובהסבר
ניחושים?
• הן נלחמות
על הקופסה שנברה
"ללא סיבה"
51
אז מה עם ההסברים הקודמים לעובדה שהילדות
היודעות מנייה "הישוו" בלי למנות?
• לא! לא היה כל • הן הסתמכו על
הבדל מוחשי בין הבדל אחר בין
הקופסאות. הקופסאות?
• לא – הן ענו כך • זו היתה תגובתן
בפעם הראשונה! לחזרתה של אמא
על אותה שאלה?
61
החידות מחייבות עיון מחדש ביחסי גומלין
בין מספר ושיח
שיח מספרי – מספר – הראייה
מאפשר תיאור ישות המסורתית,
והבנה של עצמאית הדואלית:
מספר בעולם
שיח מספרי זה כל יש; הראייה
לא מפרדים בין שיח לבין
האובייקט שלו (המספר) המאוחדת:
71
מתמטיקה היא סוג של שיח?
ואכן, מתקבל על הדעת
• יוצרים פסוק • מה אתם עושים
כגון כשאתם מבצעים
"2+3 = 5" "פעולה במספרים"?
• לסתות ועיפרון על נייר • מה אתם מזיזים
(מקשי המקלדת) כשאתם "עושים
מתמטיקה"?
• אין להפריד בין • אז כיצד תענו לבורהס
המספר לבין הדיבור השואל היכן המספרים
עליו! כשאף אחד אינו מדבר
81
עליהם?
Borges
עצמו מצא תשובה דומה בעיר Tlön
שתושביה מאמינים כי
"לשמות-עצם [מתמטיות]
יש ערך מטפורי בלבד"
91
התנגדות נמרצת:
רק דיבור? והיכן התוכן והמחשבה?!
הם לא נעלמו – הם רק אינם מופרדים עוד מהמלים
:Wittgenstein
"מחשבה [ותוכנה, כגון מספר] אינה
תהליך חסר-גוף המעניק חיים
ומשמעות לדיבור – היא אינה
תהליך שניתן להפרידו מהדיבור."
02
מתמטיקה
כשיח
12
כיצד נמשיג חשיבה ולמידה?
תקשורת חשיבה
כל מעשה שיח
תקשורת
שינוי שיח למידה
22
תשובה 1: שאלה:
מלים ודרך
מה עושה
את השיח
השימוש
למתמטי?
בהן
32
למשל, במקרה של שיח מספרי:
מספר, כמות •
מלות מספר: •
אחת, שתים, שלוש...
מלות השוואה: •
יותר, פחות, אותו דבר
אותן מלים יכולות להיות מתמטיות
או לא – זה תלוי בשימוש
למשל: שיפוע, גבול, משולש
42
תשובה 2: שאלה:
רוטינות, מה עושה
כלומר את השיח
דפוסים למתמטי?
קבועים
לעשיית
דברים
52
מה יוצא דופן?
6 ,4 ,3 ,2
62
סיפורו של טים
והנה מה כתב לנו ילד אחד: בניסוי שנערך במונטראל,
טים הלך לחנות כדי קנדה, ביקשנו ממסיימי
לקנות חטיפי שוקולד. כיתה ו’ לבצע משימה:
התברר, שאם הוא יצליח כתובו בעיה במלים
לחשב בעל פה את
התוצאה של שתוביל אל חישוב
)5+3(·7 הבא:
אז הוא יקבל מספר
חטיפים השווה לתוצאה
זו. מה היא התשובה? )5+3(·7
72
חזרה
לרוני ולעינת
(ולאנשי )Tlön
82
מה השוני בין השיח המספרי
של הילדים
לבין זה
של המבוגרים?
1. שימוש במלים
92
שיח מספרי של המבוגרים
הוא מעוצם )(objectified
בעל חיים מספר
• החיה הזאת והחיה • "2 ו 4 – זה אותו
הזאת – זה אותו דבר? דבר?"
• יש חיה יותר גדולה • "יש מספר יותר
מלויתן?
גדול מ 01?"
• אני רוצה שבשתי • "אני רוצה... שיהיה
התמונות תהיה בשתי הקופסאות
אותה חיה. אותו מספר של גולות"
03
אין סימני עיצום בשיח מספרי של רוני ועינת
אי-שימוש במלות מספר כשמות •
עצם; הילדות אומרות:
"01 זה יותר מ 8"
ולא
"01 יותר גדול משמונה"
אי-יכולתן של הילדות להשתמש בלים •
"אותו דבר" בהקשר זה
13
כשיש 2 גולות בכל קופסה
83.אמא: שתיים ושתיים, אז איפה יש יותר גולות?
93. רוני: באף אחת.
.........
24. אבא: למה, למה באף אחת אין יותר גולות?
34. רוני: כי באחת יש שתיים ובאחת עוד שתיים.
44. אבא: אז בגלל זה באף אחת אין יותר?
בשתיהן יש מה?
54. רוני: שתיים
64. אבא: וזה…יותר או פחות?
74. רוני: פחות
84. אבא: פחות ממה?
23
כשיש 2 גולות בכל קופסה
94. רוני: מ..מ.. ממספרים גדולים
05. אבא: אם יש בקופסה אחת שתיים וגם בקופסה
שנייה שתיים, אז מה יש בשתי הקופסאות?
15. רוני: ....ארבע!
25. אבא: ובכל קופסה יש אותו…
35. רוני: כי זה בין.
45. אבא: הבנתי, ובכל קופסה יש אותו דבר?
55. רוני: .....
65. אבא: כמה בכל קופסה?
75. רוני: שתיים
33
85. אבא: טווווב...
Borgesעל אנשי Tlön
"שוויון* [אצלם] הוא דבר אחד,
וזהות** זה דבר אחר לגמרי"
* שוויון פירושו שיש שני דברים שתהליך
המניה של שניהם מסתיים באותה מלת-מספר
זהות זה מצב בו יש מבחינתו רק דבר אחד **
ולכן משתמשים במלים "אותו דבר"
43
מה השוני בין השיח המספרי
של הילדים
לבין זה
של המבוגרים?
2. רוטינות
53
התפתחה
רוטינה דו-שלבית:
אמא: אמא:
אולי תבדקו? היכן יש יותר?
ילדות:
ילדות:
השוואה בחירה
מתווכת ישירה
ספירה
63
אותו הליך דיסקורסיבי
יכול להופיע כחלק מרוטינות שונות – הבחנה
לפי מטרה
שינוי בסביבה מעשה
היגדים מוסכמים חקירה
יחסים חברתיים ריטואל
73
טענה:
המבוגרים מתכוונים לחקירה, אך
הילדים מבצעים
השוואה בחירה
מתווכת ישירה
ספירה
ריטואל מעשה
83
Jorge Luis Borges
על אנשי Tlön
העולם בשבילם אינו אוסף של
עצמים במרחב. זוהי סדרה מגוונת
ובלתי אחידה של מעשים [וריטואלים]
בלתי תלויים
זה בזה. אין אצלם שמות-עצם.
93
לחשוב על
מתמטיקה
כעל שיח –
מה זה משנה?
04
מה זה אומר על תהליך הלמידה?
– התפתחות רוטינות
מעמשה
ריטואל
חקירה
14
הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7
חודשים
1.אמא: זוכרות את זה? עכשיו אני רוצה
שתגידו לי איפה יש יותר [גולות]
הבנות מצביעות בו זמנית על הקופסא
שליד עינת.
2. רוני: זה או זה... רגע . [מרימה את
הקופסא שליד עינת ומנענת ]
3. רוני: כן, זה [מצביע על הקופסא ליד
עינת, וכך עושה גם עינת]
24
הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7
חודשים
4.אמא: איך אתן יודעות?
5. רוני: אנחנו שומעות שיש פה המון.
6. אמא: ואיך את יודעת עינת?
7. עינת: כי, גם... גם אני שומעת שיש
פה המון גולות
8. אמא: אתן רוצות לפתוח את
הקופסאות?
34
הלמידה מתקיימת אפילו כשלא מלמדים במכוון: רוני ועינת לאחר 7
חודשים
כל אחת מהבנות פותחת את הקופסא
שלידה. רוני מסתכלת לתוך הקופסא
של עינת.
4. רוני: אנחנו צדקנו .
5. אמא: איך אתן יודעות?
6. רוני: 1, 2, 3, 4, 5, 6 [מונה תוך כדי נגיעה
בכל גולה שסופרת.]
7. עינת: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 [מונה תוך כדי
נגיעה בכל גולה שסופרת.]
44
טענה:
המבוגרים מתכוונים לחקירה,
והילדים מבצעים
השוואה בחירה
מתווכת מתווכת
ספירה שקילה
חקירה? חקירה
54
אז מה זה אומר באופן מעשי?
אין לזלזל בריטאולים:
הם שלב הכרחי בלמידה!
תנאי ליעלות הוראה תנאי הכרחי ללמידה
הסכם תקשורתי קונפליקט תקשורתי (בין
בין כל משתתפי אדם לחברו)
ההליך (תלמידים [ולא קוגניטיבי,
ומורים) ( בין אדם לעולמו)
64
ובאופן פחות מעשי, הנה מסקנתו
של Borgesמכל התלבטויותיו:
כל אחד מאתנו הוא כמו הקוסם הגדול Novalisש
"כישף את עצמו עד כדי כך שראה את
יצירי דמיוננו כישויות אוטונומיות".
כמוהו,
"חלמנו את העולם [המספרי]. חלמנו אותו חזק,
מסתורי, ניתן לראייה, נמצא בכל מקום
במרחב ועומד בפני הזמן".
74
48