???? 1 - DOC by 5o0xy93t

VIEWS: 269 PAGES: 60

									ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ




    Уральский государственный экономический университет




ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
              Контрольные работы
           и методические указания
         для студентов второго курса
              заочного факультета




                      Екатеринбург
                           2009
           Рекомендовано научно-методическим советом
    Уральского государственного экономического университета




Составители: Л.В. Рудная, М.Д. Боярский, В.Н. Стихин
Рецензент: Н.И. Чвялева.




                             2
     Студент второго курса должен выполнить одну или                  две
контрольные работы (в зависимости от учебного плана специальности).
    Студенты, у которых по учебному плану две контрольные работы,
выполняют все задания из контрольных работ №1 и №2.
     Студенты, выполняющие по учебному плану одну контрольную
работу, решают задачи своего варианта из пяти тем, а именно:
из контрольной работы №1: 1, 2, 4;
из контрольной работы №2: 5, 6.
     В каждой теме указывается номер варианта (всего 10 вариантов).
Студент выполняет свой вариант.
                           Выбор вариантов


                Начальные буквы              Вариант
                фамилий студентов
         А, Б                                   1
         В, Г                                   2
         Д, Е, Ж                                3
         З, И, К,                               4
         Л, М                                   5
         Н, О, П                                6
         Р, С                                   7
         Т, У, Ф, Х                             8
         Ц, Ч, Ш, Щ                             9
         Э, Ю, Я                                10


     По каждому заданию в контрольных работах имеются методические
указания, в которых подробно разобраны подобные задачи.




                                     3
                    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1


   Тема 1. Элементы комбинаторики. События и их вероятности,
   классический и геометрический способы подсчета вероятностей


     Вариант 1. Среди 40 деталей 3 нестандартные. Наудачу взяты 2
детали. Найти вероятность того, что они нестандартные.
     Вариант 2. В урне 3 белых и 7 чѐрных шаров. Какова вероятность
того, что вынутые наугад два шара окажутся белыми?
     Вариант 3. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу
извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных
деталей: а) нет бракованных; б) нет годных.
     Вариант 4. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два
изношены. При включении устройства включаются случайным образом
два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся
неизношенные элементы.
     Вариант 5. Товаровед получил 50 одинаковых изделий, среди них 5
бракованных. Наудачу для контроля взяты путѐм случайного выбора три
изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно одно
бракованное.
     Вариант 6. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с
дефектом, берут наугад три детали. Какова вероятность того, что среди
них ровно две детали без дефекта?
     Вариант 7. Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки,
разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди
обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юноши?
     Вариант 8. На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них
изготовлены отечественным производителем. Найти вероятность того, что




                                    4
среди пяти взятых наудачу телевизоров        окажутся три отечественных
телевизора.
     Вариант 9. Найти вероятность того, что точка брошенная в круг
радиуса 1, окажется вне вписанного в этот круг квадрата.
     Вариант 10. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти
вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг
правильного треугольника.


                       Тема 2. Операции над событиями.
              Правила сложения и умножения вероятностей


     Вариант      1.    Заводом   послана   автомашина     за   различными
материалами на 4 базы. Вероятность наличия нужного материала на
первой базе равна 0,9; на второй – 0,95; на третьей – 0,8; на четвѐртой –
0,6. Найти вероятность, того что только на одной базе не окажется
нужного материала.
     Вариант 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающих      сигнализатора.    Вероятность   того,    что    при   аварии
сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для –
второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один
сигнализатор.
     Вариант 3. Производится три выстрела по одной и той же мишени.
Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5 и
при третьем – 0,7. Найти вероятности следующих событий: А = {ровно
одно попадание}; В = { хотя бы одно попадание}; С = { хотя бы два
попадания}.
     Вариант 4. В телеателье имеется три телевизора. Вероятности
неисправности каждого из них соответственно равны 0,1; 0,2; 0,1. Какова




                                      5
вероятность того, что среди этих телевизоров исправными окажутся: 1)
ровно два; 2) хотя бы один.
     Вариант 5. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего
сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего
сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трѐх проверенных изделий
только два изделия высшего сорта.
     Вариант 6. В сессию студент должен сдать 4 экзамена. Вероятность
не выдержать первый – 0,1, для последующих экзаменов – 0,2; 0,15; 0,25
соответственно. Какова вероятность того, что студент сдаст хотя бы один
экзамен?
     Вариант 7. Устройство состоит из трѐх элементов, работающих
независимо. Вероятности безотказной работы первого, второго и третьего
элементов соответственно равны 0,6; 0,7;08. Найти вероятность того, что
безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента;
в) все три элемента.
     Вариант 8. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того,
что на каждой из выпавших граней появится пять очков.
     Вариант 9. Первый магазин может выполнить план с вероятностью
0,9; второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,85. Найти
вероятность того, что план выполнят не менее двух магазинов.
     Вариант 10. Вероятность поражения цели первым стрелком при
одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность
того, что цель будет поражена только одним стрелком.


        Тема 3. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса


     Вариант 1. Сборщик получил 6 коробок деталей, изготовленных
заводом №1, и 4 коробки деталей, изготовленных заводом №2.
Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2



                                    6
– 0,9. Сборщик случайно извлѐк деталь из наудачу взятой коробки. Деталь
оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она изготовлена
на заводе №1.
      Вариант 2. На сборку попадают детали с 3 автоматов. Известно, что
первый автомат дает 3% брака, второй – 2% и третий – 4%. Найти
вероятность того, что на сборку попадает бракованная деталь, если с
первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.
      Вариант 3. Турист, заблудившийся в лесу, вышел на полянку, от
которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой
дороге, то вероятность его выхода из леса в течение часа составляет 0,6;
если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвѐртой – 0,1; если по
пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошѐл по первой дороге,
если через час он вышел из леса?
      Вариант 4. В сборочный цех завода поступают детали с трех
автоматов. Вероятность поступления бракованной продукции с первого
автомата составляет 0,03, для второго и третьего автоматов эти
вероятности равны соответственно 0,01 и 0,02. Определить вероятность
попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех
поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.
      Вариант 5. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек
200 изготовлены на первом заводе, 250 на втором, 150 – на третьем.
Вероятности того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении
на первом, втором, третьем заводах соответственно равны 0,97, 0,91 и
0,93. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка, оказавшаяся
стандартной, изготовлена вторым заводом?
      Вариант    6.   При   проверке     качества   зѐрен   пшеницы    было
установлено, что зѐрна могут быть разбиты на 4 группы. К зѐрнам первой
группы принадлежит 96 %, второй – 2%, третьей и четвѐртой – по 1% всех
зѐрен. Вероятности того, что зѐрна дадут колос, содержащий не менее 50



                                     7
зѐрен, для семян указанных групп равны соответственно 0,5; 0,2; 0,18 и 0,2.
Найти вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос,
содержащий не менее 50 зѐрен.
        Вариант 7. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и
4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника
равна 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Вызванный наудачу
спортсмен норму выполнил. Найти вероятность того, что это бегун.
        Вариант 8. Страховая компания разделяет водителей по трѐм
классам: № 1 (мало рискует), № 2 (рискует средне), № 3 (рискует сильно).
Компания      предполагает,    что   из        всех   водителей,   застраховавших
автомобили, 30% принадлежат классу № 1, 50% - к классу № 2 и 20% - к
классу № 3. Вероятность того, что в течение года водитель класса № 1
попадает в одну аварию, равна 0,01, для водителя класса № 2 эта
вероятность равна 0,02, а для класса № 3 – 0,08. Найти вероятность того,
что водитель, застраховавший свою машину, попадает в аварию в течение
года.
        Вариант 9. Прибор может собираться из высококачественных
деталей и из деталей обычного качества. Известно, что около 40%
приборов     собирается   из    высококачественных           деталей,   при   этом
вероятность его безотказной работы равна 0,95. Если прибор собран из
деталей    обычного    качества,     эта       вероятность   равна   0,7.   Прибор
испытывался и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран
из высококачественных деталей.
        Вариант 10. Пассажир может обратиться за получением билета в
одну кассу из трѐх. Вероятности обращения в каждую из касс зависят от их
месторасположения и равны соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность того,
что к моменту прихода пассажира интересующие его билеты будут
распроданы, равна для первой кассы 0,3, для второй – 0,4, для третьей –




                                           8
0,5. Пассажир направился в одну из касс и приобрѐл нужный билет. Найти
вероятность того, что это была первая касса.




Тема 4. Повторение независимых испытаний. Наивероятнейшее число
              успехов. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.


     Вариант      1.   Университетом    для    студенческих   общежитий
приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность выхода из
строя в течение гарантийного рока равна 0,1. Определить вероятность того,
что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) ровно один; б) не
менее двух; в) не более трех телевизоров.
     Вариант 2. В результате систематически проводимого контроля
качества изготовляемых предприятием деталей        установлено, что брак
составляет в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять,
чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60 штук?
     Вариант 3. Вероятность того, что какой-нибудь абонент позвонит на
коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает
300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят ровно
4 абонента?
     Вариант 4. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет
расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что
нормально вырастет: а) ровно 250 деревьев; б) не менее 250 деревьев.
     Вариант 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле
равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если
число выстрелов ровно 5000.
     Вариант 6. Вероятность того, что изготовленная рабочим деталь
отличного качества, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100




                                    9
деталей окажется отличного качества: а) ровно 80 деталей; б) от 70 до 85
деталей; в) не менее 85 деталей.
      Вариант 7. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода
каждого холодильника из строя в течение года равна 0,2. Найти
вероятность того, что в течение года ремонта потребует: а) ровно 4
холодильника; б) не менее 2 холодильников; в) не более 1 холодильника.
      Вариант 8. Известно, что в большой партии радиоламп 90%
стандартных. Найти вероятности того, что из 300 отобранных радиоламп
стандартных окажутся: а) ровно 270; б) от 260 до 275; в) не менее 275.
      Вариант 9. Чему равна вероятность наступления события в каждом
из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений
события в этих испытаниях равно 25?
      Вариант 10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,8. Найти вероятности того, что при 100 выстрелах мишень будет
поражена: а) ровно 75 раз; б) от 75 до 80 раз; в) не менее 80 раз.


        МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ


    Тема 1. Элементы комбинаторики. События и их вероятности,
    классический и геометричесий способы подсчета вероятностей


      1. При классическом способе подсчета вероятность события А
   вычисляется по формуле
                                               m
                                     P A      ,
                                               n
где все элементарные исходы равновозможны (т.е. ни один из них не
является более возможным, чем другой),несовместны и единственно
возможны;
n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания;



                                     10
m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих
появлению события А.
      2. Для подсчета m и n , а также для других целей, часто приходится
использовать комбинаторные понятия и формулы.
      Пусть имеется n различных объектов (элементов).
      а). Расположение их всех в каком-нибудь определенном порядке
называется перестановкой из n элементов.
        Перестановки, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются
 только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок:
                                           P  n! ,
                                            n

где n! 1  2  3...  n , n=1,2,3,…; 1! = 1, 0! = 1.
      б). Расположение некоторых m (m  n) из них в определенном
порядке называется           размещением m элементов из        n элементов.
Размещения отличаются и составом и порядком элементов. Число всех
возможных размещений
                 n!     P
       An 
        m
                       n  nn  1n  2 ...n  m  1 .
              n  m! Pnm
      Понятно, что при m=n размещение является перестановкой.
      в). Если не принимать во внимание порядок элементов в
размещении, а учитывать только его состав, то получится сочетание m
элементов из n. Сочетания отличаются только составом элементов.
      Число всех возможных сочетаний
                                                       m
                                             n!       An
                                     C 
                                       m
                                                        .
                                         m!n  m ! Pm
                                       n



      3. Геометрический            способ подсчета вероятности применяется,
когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы
как точки отрезка, фигуры или тела.
      Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что
вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого


                                                11
отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l                       определяется
равенством
                                    Р = Длина l/ Длина L.


Аналогично определяются вероятность попадания точки в плоскую фигуру
g, составляющую часть плоской фигуры G
                            Р = Площадь g/Площадь G
и вероятность попадания точки в пространственную фигуру  , которая
составляет часть фигуры V
                                Р = Объѐм  /Объѐм V.
      Пример 1. (Варианты 1,2,3,4)
      В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных.
Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что
извлеченные детали окажутся окрашенными.
      Решение:
      Событие А = {извлечены три окрашенных детали}. Общее число
возможных элементарных исходов испытания равно числу способов,
которыми можно извлечь 3 детали из 15, т.е.
                                    15!      15! 13 14 15
                    n  C10 
                          3
                                                           13  7  5
                                3!(15  3)! 3!12!   123

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно
числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10 окрашенных, т. е.
                   10! 8910                              m C10 3410 24
                                                              3

                                                   P  A   3 
          10!
mC   3
                              4  3  10 ;                              0,26
      3!(10  3)! 3! 7! 1 23
      10
                                                           n C15 5713 91
      Пример 2. (Варианты 5,6,7,8)
      В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. Наудачу
отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных
лиц окажутся три женщины и четыре мужчины.
      Решение:



                                            12
      Событие А= {среди отобранных ровно три женщины}. Общее число
возможных элементарных исходов испытания равно числу способов,
которыми можно выбрать 7 человек из всех работников, цеха, т.е. из 10
человек.
                                        10!      10!
                        n  C10 
                              7
                                                     3  4  10
                                    7!(10  7)! 7!3!

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас
событию (среди 7 отобранных ровно 3 женщины): трѐх женщин можно
выбрать из четырѐх C43 способами; при этом остальные 4 человека должны
быть мужчинами. Выбрать же четырех мужчин из шести мужчин можно
C64 способами.
                                           4!6!          456
Следовательно, m  C 43  C64                                  256
                                  3!( 4  3)!4!(6  4)!    1 2

                              m C43  C64 256 6 1
                      P  A                    
                              n   C107
                                           3410 12 2

      Пример 3. (Варианты 9,10)
      На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы
которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу
в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными
окружностями.
                                                        Решение:


                                                Площадь кольца (фигуры g)

                                                                     
                                                 S g   10 2 5 2  75 .

                                                Площадь                большого   круга

                                                 S G    10 2  100
                                                Искомая вероятность
                                                      Sg          75
                                                 P                    0,75 .
                                                      SG         100 



                                           13
                   Тема 2. Операции над событиями.
             Правила сложения и умножения вероятностей


      Два события называются несовместными, если появление одного из
них исключает появление другого события в одном и том же испытании.
      Два события называются совместными, если появление одного из
них не исключает появление другого события в том же испытании.
      События А и В называются независимыми, если появление любого
из них не изменяет вероятность появления другого события, т.е.
                        PA (B) = P(B) и PB(A)=P(A),
где PA B  - условная вероятность наступления события В, если событие А
уже наступило.
      1. Сложение вероятностей.
Правило сложения вероятностей совместных событий
     Для любых событий А и В
                         Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где
Р(А+В) – вероятность появления хотя бы одного из двух событий,
Р(АВ) – вероятность совместного появления двух событий.
Правило сложения вероятностей несовместных событий
                           Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
     2. Умножение вероятностей
Правило умножения вероятностей зависимых событий
     Для любых событий А и В
                     PAB  PA   PA B  PB  PB A  , где
PA B  - условная вероятность наступления события В, если событие А уже
наступило,


                                      14
PB A  - условная вероятность наступления события А, если событие В уже
наступило.
Правило умножения вероятностей независимых событий
                                  PAB  PA   PB .
      Пример 4. (Все варианты)
      Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что
студент ответит на первый вопрос, рана 0,9; на второй – 0,7; на третий –
0,8. Найти вероятность того, что студент ответит:
а) только на один вопрос (варианты 1,2,3,7,10)
б) на все вопросы (варианты 7,8)
в) хотя бы на один вопрос (варианты 3,4,6)
г) по крайней мере на два вопроса (варианты 3,9)
д) на два вопроса (варианты 4,5)


      Решение:
Пусть событие A1 = {студент ответил на первый вопрос},

 A1 = {студент не ответил на первый вопрос},
A2 ={ студент ответил на второй вопрос },

A2 ={ студент не ответил на второй вопрос },
A3 ={ студент ответил на третий вопрос },

A3 ={ студент не ответил на третий вопрос }.
События      A1   и    A1   – противоположные, поэтому            PA1   PA1   1,
PA1   1  PA1   1  0,9  0,1. Аналогично PA2   1  PA2   1  0,7  0,3 и
PA3   1  PA3   1  0,8  0,2 .
а) Событие A ={студент ответил только на один вопрос}.
Появление события А означает, что наступило одно из трѐх несовместных
событий: либо A1 A2 A3 , либо A1 A2 A3 , либо A1 А 2 A3 . По правилу
сложения вероятностей

                                           15
                                               
P A  PA1 A2 A3   PA1 A2 A3   P A1 А2 A3 . События A1 , A2 , A3 - независимые,

следовательно, независимы и события A1 , A2 , A3 . По правилу умножения
вероятностей для независимых событий
PA1 A2 A3   P A  PA2   PA3   0,9  0,3  0,2  0,054 .
Аналогично
PA1 A2 A3   PA1   P A2   P A3   0,1  0,7  0,2  0,014 ,
PA1 A2 A3   P A1   PA2   P A3   0,1  0,3  0,8  0,024 .
Тогда P A  0,054  0,014  0,024  0,092 .
б) Событие Б={студент ответил на все вопросы}. Наступление события Б
означает, что одновременно появились независимые события A1 , A2 , A3 ,
т. е.    PБ   P A1 A2 A3  . По правилу умножения вероятностей для
независимых событий
P A1 A2 A3   P A1   P A2   P A3   0,9  0,7  0,8  0,504 ; PБ   0,504 .
в) Событие В ={ студент ответил хотя бы на один вопрос }. Это означает,
что был дан ответ на любой один вопрос, или на любые два вопроса, или
на все три вопроса. Событие B = {студент не ответил ни на один вопрос}.
События B и B противоположны, поэтому PB  1  PB  . Событие B
означает, что одновременно появились независимые события A1 , A2 и A3 , т.
е.   PB  PA1 A2 A3  .      По        правилу     умножения         вероятностей          для
независимых                                                                               событий
PA1 A2 A3   PA1   PA2   PA3   0,1  0,3  0,2  0,006 .
Итак, PB  1  0,006  0,994 .
г) Событие Г={студент ответил по крайней мере на два вопроса}. Это
означает, что дан ответ на любые два вопроса или на все три вопроса.
Появление события Г означает, что наступило одно из четырѐх
несовместных событий: либо A1 A2 A3 , либо A1 A2 A3 , либо A1 A2 A3 , либо
A1 A2 A3 . По правилу сложения вероятностей несовместных событий


                                               16
P A  PA1 A2 A3   PA1 A2 A3   PA1 A2 A3   P A1 A2 A3  .
События A1 , A2 , A3 - независимые, следовательно, независимы события

A1 , A2 и A3 . По правилу умножения вероятностей независимых событий
PA1 A2 A3   P A1   P A2   PA3   0,9  0,7  0,2  0,126 .
Аналогично получаем PA1 A2 A3   P A1   PA2   P A3   0,9  0,3  0,8  0,216 ,

PA1 A2 A3   PA1   P A2   P A3   0,1  0,7  0,8  0,056 ,
P A1 A2 A3   P A1   P A2   P A3   P A1   P A2   P A3   0,9  0,7  0,8  0,504 .
Окончательно имеем P Г   0,126  0,216  0,056  0,504  0,902 .
д) Событие Д={ студент ответил на два вопроса }. Появление события Д
означает, что наступило одно из трѐх несовместных событий: либо
A1 A2 A3 , либо A1 A2 A3 , либо A1 A2 A3 . Далее, используя решение задачи г),
имеем PD   0,126  0,216  0,056  0,398.


           Тема 3. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса
           1. Формула полной вероятности
       Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из
множества попарно несовместных событий (гипотез) H1, H 2 , …, H n .
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной
вероятности
                                                                              n
P A  PH1   PH1  A  PH 2   PH 2  A  ...  PH n   PH n  A   PH i  PHi  A .
                                                                             i 1

       События H1, H 2 , …, H n называются гипотезами по отношению к
событию А.
           2. Формулы Бейеса
       Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез (априорные
вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по
формулам Бейеса




                                                 17
                                 PH i   PH i  A        PH i   PH i  A
                   PA H i                                                     i  1,2,...n .
                                       P  A               n

                                                            PH  P  A
                                                           i 1
                                                                    i    Hi



       Пример 5. (Варианты 2, 4, 6, 8)
       В ателье имеются 5 плейеров, выпущенных заводом B, 10 плейеров
– заводом C, 15 плейеров – заводом D. Вероятность того, что плейеры,
выпущенные заводами B, С, D, выдержат гарантийный срок службы,
соответственно равны 0,8, 0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что взятый
наудачу плейер выдержит гарантийный срок службы.
       Решение:
       Событие А = {плейер выдержит гарантийный срок службы},
Гипотеза H1 = {плейер выпущен заводом В},
Гипотеза H2 = {плейер выпущен заводом С},
Гипотеза H3 = {плейер выпущен заводом D}.
              5 1            10 1            15 1
P H 1        ; PH 2      ; PH 3      ;
             30 6            30 3            30 2
PH1  A=0,8; PH 2  A =0,85; PH3  A =0,9.

По формуле полной вероятности P A  PH1   PH1  A  PH 2   PH 2  A 

 PH 3   PH3  A   0,8   0,85   0,9  0,867 .
                      1       1        1
                      6       3        2
       Пример 6. (Варианты 1, 3, 5, 7, 9, 10)
       Литьѐ в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из
первого цеха, 30% из второго цеха. Литьѐ первого цеха имеет 10% брака,
второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта.
Какова вероятность еѐ изготовления первым цехом?
       Решение:
       Событие А ={болванка без дефекта}.
Гипотеза H1 – болванка изготовлена первым цехом,
Гипотеза H2 – болванка изготовлена вторым цехом,



                                                   18
Литьѐ первого цеха имеет 10% брака, следовательно, 90% болванок,
изготовленных первым цехом, не имеют дефекта и PH1  A =0,9. Литьѐ

второго цеха имеет 20% брака, следовательно, 80% болванок,
изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта и PH 2  A =0,8.

Необходимо найти PA  H 1  .
По формуле Бейеса
               PH 1   PH1  A                PH 1   PH1  A
 PA H 1                                                                     
                    P A               PH 1   PH1  A  PH 2 PH 2  A

          0,7  0,9          0,63      0,63
                                          0,724 .
    0,7  0,9  0,3  0,8 0,63  0,24 0,87


                      Тема 4. Повторение независимых испытаний.
               1. Формула Бернулли
        Вероятность того, что в серии из п независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность появления события A равна p (0р1), это
событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности),
равна

                                                     Pn k   C k p k q n  k ,
                                                                      n
                     n!
где C k                     – число сочетаний из n по k (см. выше), q=1-p –
        n       k! n  k !
вероятность противоположного события A .
        В       различных                задачах         нас      могут         интересовать   следующие
вероятности:
– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит менее m раз
                              Pn k  m  = Pn 0   Pn 1  ...  Pn m  1 ;
– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит более m раз
                           Pn k  m  = Pn m  1  Pn m  2   ...  Pn n ;
– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее m раз


                                                             19
                       Pn k  m  = Pn m   Pn m  1  ...  Pn n  ;
– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не более m раз
                            Pn k  m  = Pn 0   Pn 1  ...  Pn m  .
– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее k 1 и
не более k 2 раз
                                Pn k1  k  k 2  = Pn k1   ...  Pn k 2  .
       Все эти вероятности могут быть вычислены по формуле Бернулли,
однако, на практике ввиду вычислительных сложностей это возможно
лишь при небольших n , и поэтому используются приближенные формулы.
           2. Приближенные формулы Лапласа
           2.1. Локальная формула Лапласа (Муавра - Лапласа)
        Если число испытаний n велико, а вероятность p не очень мала, то

                                              Pn k             x ,
                                                           1
                                                           npq

                1 x                    k  np
где   x                     , x
                       2
                           /2
                   e                           .
                2                        npq
       Значения функции   x  приведены в приложении (таблица 1), при
x  5 полагают   x   0 , для отрицательных значений x пользуются тем,
что функция   x  четная, и, следовательно,   x     x  .
          2.2. Интегральная формула Лапласа
       Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее
k1 и не более k 2 раз находится по формуле

                                     Pn k1  k  k 2   x 2   x1  ,

                                   dz   x  dz , x  k1  np , x  k 2  np .
                   x                    x
где x  
            1         
                   e                   
                        z2 / 2

            2
                                                      1             2
                   0                      0                           npq           npq
Значения функции Лапласа   x  приведены в приложении (таблица 2),
при x  5 полагают  x   0,5 , для отрицательных значений x пользуются
тем, что функция   x  нечетная, и, следовательно,  x   x  .


                                                          20
          3. Приближенная формула Пуассона
      Если число испытаний n велико, а вероятность p появления события
в каждом испытании очень мала, то
                                               (np) e  np
                                                    k
                                   Pn k                 .
                                                   k!

Обозначив =np – среднее число успехов в серии испытаний, получим
                                                          e 
                                                          k
                                Pn k   p (k ;  )              .
                                                              k!

Значение p ( k ;  ) по заданным k и  можно определить по приложению
(таблица 3).
      4. Наивероятнейшее число успехов
      Число k0 называется наивероятнейшим, если вероятность Pn k 0 
того, что событие A         наступит в n испытаниях ровно k0 раз, является
наибольшей из всех вероятностей Pn k  , k= 0, 1, … , n .
         Наивероятнейшее число k0 определяется из двойного неравенства
                                 np  q  k 0  np  p ,
причем:
      а) если число np  q – нецелое, то существует единственное k0;
      б) если число np  q –            целое, то наивероятнейших числа два, а
          
именно: k 0  np  q и k 0 = np  p = k 0 +1;
      в) если np – целое, то k  np .
                                    0




      Пример 7. (Варианты 1, 7)
      В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а)
ровно два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков;
г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения
мальчика принять равной 0,51.
      Решение:



                                               21
       Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятности можно
вычислить непосредственно по формуле Бернулли.
а) Вероятность того, что среди пяти детей ровно два мальчика, равна

P5 2  C52 p 2 q 52 , где C52 
                                           5!
                                                   10 , p=0,51, q=1-p=0,49.
                                       2!5  2!
P5 2  10  0,512  0,493  0,31.
б) Вероятность того, что среди пяти детей не более двух мальчиков, равна
P5 0  k  2   P5 0  P5 1  P5 2  .

                             5!
P5 0  C50 p 0 q 5                q 5  q 5  0,495  0,028 .
                         0!5  0!

P5 1  C5 p1q 4 
                          5!
          1
                                  p 4  q 4  5  0,51  0,494  0,147
                      0!5  0!
P5 2   0,31 (см. а)).
P5 0  k  2   P5 0   P5 1  P5 2   0,028  0,147  0,31  0,485
в) Событие {среди пяти детей более двух мальчиков} противоположно
событию {среди пяти детей не более двух мальчиков}, поэтому его
вероятность равна P5 3  k  5  1  P5 0  k  2   1  0,485  0,515 .
г) Вероятность того, что среди пяти детей не менее двух и не более трѐх
мальчиков, равна P5 2  k  3  P5 2   P5 3 , P5 2   0,31 (см. а)).
                               5!
P5 3  C53 p 3 q 53                0,513  0,49 2  0,31; P5 2   P5 3  0,62 .
                           3!5  3!
       Пример 8. (Варианты 2,9)
       Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью
появления         события          в     каждом       испытании,         равной       0,4,     чтобы
наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно
25?
       Решение:
       По      условию           k0=25;     р=0,4;      q=0,6.      Воспользуемся            двойным
неравенством np-q  k0  np+p. Подставляя данные задачи, получим


                                                   22
систему неравенств для определения неизвестного числа n: 0,4n-0,6  25,
0,4n+0,4  25. Из первого неравенства системы найдем n  25,6/0,4=64. Из
второго неравенства системы имеем n  24,6/0,4=61,5. Итак, искомое число
испытаний должно быть 62, 63 или 64.
        Пример 9. (Варианты 4,6,8,10)
        Вероятность появления события А в каждом из 2400 независимых
испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А
наступит: а) равно 1400 раз; б) от 1400 до 1800 раз; в) не менее 1400 раз.
        Решение:
        Число испытаний n=2400 велико; вероятность p=0,6 появления
события A немала; q=1-p=0,4; npq=24000,60,4=14400,4 = 576  20,
поэтому воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа.
а)     Имеем:      n=2400,      p=0,6,    q=0,4,     k=1400,     np=1440,      npq=576,
       k  np 1400  1440  40
x                            1,67. Функция   x  четная, поэтому
         npq      576      24

  1,67    1,67 . По таблице 1 приложения  1,67   0,09893 . По
                                                                    1
локальной приближенной формуле Лапласа Pn k                            x  получим
                                                                    npq
                 1              0,09893
P2400 1400        1,67            0,0041 .
                 24                24
б) Имеем: n=2400, p=0,6, q=0,4, k1=1400, k2 =1800, np=1440,                     npq =24,

       k1  np               k  np 1800  1440 360
x1             1,67 , x2  2                    15.              Функция       x 
          npq                   npq     24       24

нечетная, поэтому  1,67   1,67  . По таблице 2 приложения находим
1,67  0,45254 , 15  0,5 (т. к. при х5 полагают  x   0,5 ).
По          интегральной             приближенной              формуле           Лапласа
Pn k1  k  k 2    x2    x1  имеем P2400 1400  k  1800   15   1,67 

= 15  1,67   0,5+0,45254= 0,95254.



                                            23
в) Требование, чтобы событие появлялось не менее 1400 раз, означает, что
максимально допустимое число появлений события A                    равно числу
испытаний, т.е. k2=2400. В остальном решение задачи аналогично пункту
б).
       Пример 10. (Варианты 3,5)
       Тираж книги 100 000 экземпляров. Вероятность того, что она
сброшюрована неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что
тираж содержит ровно пять бракованных книг.
       Решение:
       События, состоящие в том, что книги бракованные, независимы. По
условию число испытаний n=100 000 весьма велико, а вероятность
р=0,00001 очень мала,         np  1 0,1;10  .   Следовательно, можно

                                                                         e 
                                                                         k

использовать приближенную формулу Пуассона                  Pn k               . По
                                                                             k!
таблице    3      приложения    для    известных      =1    и    k=5         находим
P 000 5  0,00307.
 100




                       КОНТРОЛЬНАЯ РАБОРТА №2


      Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения
       дискретных случайных величин. Числовые характеристики
                       дискретных случайных величин
       Вариант 1. Производятся последовательные независимые испытания
приборов на надѐжность. Каждый следующий прибор испытывается лишь
в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить закон
распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность
выдержать испытание для каждого из них равна 0,9. Найти математическое


                                      24
ожидание числа испытанных приборов. Найти функцию распределения
F(x) и построить ее график; найти М(X), (X); построить многоугольник
распределения.
     Вариант 2. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов 5
недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата.
Построить закон распределения случайной величины Х –               числа
недействующих аппаратов из отобранных. Найти дисперсию этой
случайной величины. В каких единицах она измеряется?           Построить
график   функции      распределения     F(x)   случайной   величины   Х,
многоугольник распределения.
     Вариант 3. Сырье на завод привозят от трех независимо работающих
поставщиков. Вероятность своевременного прибытия сырья от первого
поставщика равна 0,4, от второго – 0,7, от третьего – 0,6. Найти
математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) числа своевременных
поставок сырья. Найти функцию распределения и построить ее график.
     Вариант 4. Завод получает сырье на автомашинах от трех
независимо       работающих    поставщиков.      Вероятность   прибытия
автомашины от первого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3 и от
третьего – 0,1. Составить распределение числа прибывших автомашин.
Найти математическое ожидание и дисперсию полученной величины.
Построить график функции распределения F(x).
     Вариант 5. Вероятность изготовления бракованной детали р=0,1.
Изготовлено 4 детали. Х – случайное число бракованных деталей.
Построить закон распределения случайной величины X, найти ее
математическое ожидание и дисперсию. Построить график функции
распределения, многоугольник распределения.
     Вариант 6. Среднее число заявок, поступающих на предприятие
бытового обслуживания за 1 час, ровно 2. Составить закон распределения




                                   25
случайной величины Х – числа заявок, поступивших за 3 часа. Найти
М(X), D(X) и наивероятнейшее число заявок за 3 часа.
        Вариант 7. В среднем в магазин заходит 3 человека в минуту.
Составить закон распределения случайной величины Х – числа зашедших
в магазин человек за 2 минуты. Построить многоугольник распределения.
Найти М(X), D(X).
        Вариант 8. Даны законы распределения независимых случайных
величин

    Х        -3       0         1   Y       0    3     6
    Р     0,1       0,3       0,6   р   0,2     0,5   0,3


Составить законы распределения случайных величин:
а)XY; б) X+Y. Найти М(X+Y), D(X+Y). Справедливо ли равенство
М(X)М(Y)=М(XY)?
        Вариант 9. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков,
выбиваемых каждым из них при одном выстреле, являются случайными
величинами Х1 и Х2 , которые характеризуются следующими законами
распределения:


Х1       3        4       5             Х2      2     3     4     5

Р       0,3       0,4     0,3       и   Р       0,2   0,1   0,2   0,5


Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результат стрельбы
другого. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых
командой, если стрелки сделают по одному выстрелу. Убедиться в
справедливости равенства D(Х1+Х2)=D(Х1)+D(Х2).
        Вариант 10. Производятся выстрелы из орудия с вероятностью
попадания в цель 0,9 при каждом выстреле. Стрельба ведѐтся до первого


                                        26
попадания, но делается не более 4 выстрелов. Составить закон
распределения случайной величины X, если: а) X – число произведенных
выстрелов; б) X – число промахов; в) X – число попаданий. Найдите
математическое ожидание всех найденных случайных величин.




               Тема 6. Непрерывные случайные величины
     Вариант 1. Непрерывная случайная величина X задана функцией
распределения F(x):
                                  0          при x  1,
                                  
                        F  x    A x  1 при 1  x  3,
                                  1          при x  3.
                                  
Найти: а) параметр А;
      б) плотность вероятности f(x);
      в) математическое ожидание M(X).
Построить графики F(x) и f(x).
     Вариант 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности
                                                         
                                     0        при   x       ,
                                                          6
                                     
                                                                
                           f  x   a sin 3x при       x          ,
                                                    6            3
                                                         
                                     0        при   x       .
                                                         3
Найти: а) параметр а;
      б) выражение для функции распределения F(x);
                                                                
      в) вероятность попадания случайной величины X в интервал  0; 
                                                                4
Построить графики f(x) и F(x).
     Вариант 3. . Случайная величина X задана плотностью вероятности




                                        27
                                                        
                                       0         при x  ,
                                                         4
                                       
                                                          
                              f x    А cos x при   x  ,
                                                    4      2
                                                        
                                       0         при x  .
                                                         2

Найти: а) параметр А;
        б) выражение для функции распределения F(x);
                                                                    
        в) вероятность попадания случайной величины X в интервал  ; 
                                                                      
                                                                  3 2

Построить графики f(x) и F(x).


        Вариант 4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X, заданной плотностью распределения f(x); найти параметр а.
Найдите интегральную функцию распределения, постройте графики f(x),
F(x).
                                          0 при x  0,
                                          
                                 f x   ах при 0  x  4,
                                          0 при x  4.
                                          

        Вариант 5. Функция распределения непрерывной случайной
величины X имеет вид
                                     0      при x  0,
                                     
                                          х
                           F  x   а sin при 0  x   ,
                                          2
                                     1
                                            при x   .

Найти: а) параметр а;
        б) плотность вероятности f(x);
        в) математическое ожидание M(X).
Построить графики F(x) и f(x).
        Вариант 6. Случайная величина X имеет плотность распределения
f(x)=A/(1+x2) (Закон Коши).
Найти: а) коэффициент А;


                                         28
      б) функцию распределения F(x);
      в) вероятность попадания X в интервал  1;1 .
Построить графики f(x), F(x).
     Вариант 7. Случайная величина X задана плотностью вероятности
                                    0     при x  1,
                                    
                          f  x    x  a при 1  x  2,
                                    0     при x  2.
                                    
Найти: а) параметр а;
      б) функцию распределения F(x);
      в) вероятность попадания случайной величины X                     в интервал
1 3
 ;  . Построить графики f(x), F(x).
2 2


     Вариант 8. Функция распределения непрерывной случайной вели-
чины X имеет вид
                                                        
                                  0           при x        ,
                                                         4
                                  
                                                               3
                        F  x   a cos 2 x   при       x        ,
                                                    4            8
                                                        3
                                  1           при x       .
                                                         8
Найти: а) параметр а;
      б) плотность распределения f(x);
      в) математическое ожидание М(X).
Построить графики F(x), f(x).
     Вариант 9. Дана функция распределения непрерывной случайной
     величины X.




                                          29
                                    
                                    0         при x  0,
                                    
                                                         
                          F  x   a sin 2 x при 0  x  ,
                                                         4
                                                       
                                    1         при x  .
                                                       4
Найти: а) параметр а;
      б) плотность вероятности f(x);
       в) математическое ожидание М(X).
Построить графики F(x), f(x).
     Вариант 10. Случайная величина X задана функцией распределения
                                                  
                                  0       при x  ,
                                                   2
                                  
                                              
                        F  x   a cos х при     x ,
                                               2
                                  1       при x   .
                                  
                                  
Найти: а) параметр а;
      б) плотность вероятности f(x);
       в) математическое ожидание М(X).
Построить графики F(x), f(x).


     Тема 7. Равномерный и показательный законы распределения
     Вариант 1. Автобусы идут строго по расписанию. Интервал
движения 5 минут. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший
к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трѐх минут; б)
математическое    ожидание       и   среднее     квадратическое   отклонение
случайной величины X – времени ожидания пассажира.
     Вариант 2. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5.
Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти
вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,1;



                                       30
б) большая 0,2. Найти M(X), D(X), (X), если случайная величина X –
ошибка округления.
      Вариант 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2.
Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти
вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04;
б) большая 0,05.
      Вариант 4. Троллейбусы идут строго по расписанию. Интервал
движения 4 минуты. Найти: а) вероятность того, что пассажир,
подошедший к остановке, будет ожидать очередной троллейбус не менее
трѐх минут;
б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X – времени ожидания пассажира.
      Вариант 5. Трамваи идут строго по расписанию. Интервал движения
6 минут. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший              к
остановке, будет ожидать очередной трамвай менее двух минут; б)
математическое     ожидание    и   среднее    квадратическое     отклонение
случайной величины X – времени ожидания пассажира.
      Вариант 6. Поезда метрополитена идут строго по расписанию.
Интервал движения 5 минут. Найти: а) вероятность того, что пассажир,
подошедший к остановке, будет ожидать очередной поезд не менее трѐх
минут; б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X – времени ожидания пассажира.
      Вариант 7. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону, заданному плотностью распределения при x  0
f(x)=0,4e -0,4x, при x<0 f(x)=0. Найти: а) вероятность того, что в результате
испытания X попадает в интервал (5; 10); б) вероятность того, что X  10 ;
в) M(X), D(X), (X). Записать выражение функции распределения X.
      Вариант 8. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону, заданному плотностью распределения при x  0


                                     31
f(x)=5е -5x , при x<0 f(x)=0. Найти: а) вероятность того, что в результате
испытания X          попадает в интервал (0,2; 0,4); б) вероятность того, что
X  1; в) M(X), D(X), (X). Записать выражение функции распределения X.
      Вариант 9. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону, заданному функцией распределения при x  0
F(x)=1- e -6x , при x<0 F(x)=0. Найти: а) вероятность того, что в результате
испытания X попадает в интервал (0,1; 0,5); б) M(X), D(X), (X). Записать
выражение плотности распределения X.
      Вариант 10. Непрерывная случайная величина X распределена по
показательному закону, заданному функцией распределения при x  0
            -0,07x
F(x)=1- e        , при x<0       F(x)=0. Найти: а) вероятность того, что в
результате испытания X попадает в интервал (5; 10); б) вероятность того,
что   X  2 ; в) M(X), D(X), (X). Записать выражение плотности
распределения случайной величины X.




                     Тема 8. Нормальный закон распределения


      Вариант 1. Химический завод изготовляет серную кислоту
номинальной плотности 1,84 г/см3. Плотность выпускаемых реактивов
распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,0075.
Какой процент выпускаемых реактивов имеет плотность в интервале (1,82;
1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если
для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала
более, чем на 0,01 г/см3.
      Вариант 2. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если
отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм.
Точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением
. Считается, что для данной технологии =5 и X нормально распределена,


                                        32
выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат. Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей
повысился до 98?
       Вариант 3. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормаль
ному закону распределения с параметрами M(X)=10, (X)=5. Записать
выражение     плотности     распределения   X.   Найти     симметричный
относительно M(X) интервал, в который с вероятностью P          попадает
измеренное значение. Рассмотреть значения: а) P=0,9973; б) P=0,9544.
       Вариант 4. Производится взвешивание некоторого вещества без
систематических ошибок (это значит, что математическое ожидание
случайных ошибок равно нулю). Случайные ошибки взвешивания
подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением
=20 г. Записать выражение плотности распределения X. Найти
симметричный относительно M(X) интервал, в который с вероятностью
0,9973 попадает ошибка взвешивания. Найти вероятность того, что
взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по
абсолютной величине 10 г.
       Вариант 5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным,
если    X – отклонение    диаметра шарика от проектного размера – по
абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X
распределена нормально со средним квадратическим отклонением =0,4
мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста
изготовленных. Записать выражение плотности распределения X. Найти
симметричный относительно M(X)=0 интервал, в который с вероятностью
0,95 попадает отклонение диаметра шарика.
       Вариант 6. Случайная величина X распределена нормально с
математическим ожиданием a=10, средним квадратическим отклонением
=5. Найти интервалы, симметричные относительно математического
ожидания, в которые с вероятностью: а) 0,9973 и          б) 0,91 попадает


                                   33
величина X      в результате испытания. Записать выражение плотности
распределения X.
     Вариант 7. Случайная величина X распределена нормально со сред-
ним квадратическим отклонением =5 мм. Найти длину интервала,
симметричного относительно математического ожидания, в который с
вероятностью: а) 0,9973 и б) 0,92 попадает X в результате испытания.
Записать выражение плотности распределения X, если математическое
ожидание а=0.
     Вариант 8. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их
средняя масса равна 1,06 кг. Найти вероятность того, что масса коробок
отличается от средней не более чем на 0,06кг. Каков процент коробок,
масса которых превышает 0, 94 кг, но меньше 1,12кг? Масса коробок
распределена по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением 0,035.
     Вариант 9. При измерении детали ее длина X является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону с математическим
ожиданием 22 мм и средним квадратическим отклонением 0,2 мм. Найти
интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает X. Записать
выражение плотности распределения X.
     Вариант     10.   Завод   изготовляет   шарики   для   подшипников.
Номинальный диаметр шариков d0=5 мм. Вследствие неточности
изготовления шарика фактический его диаметр есть случайная величина,
распределенная по нормальному закону со средним значением d0 и
средним квадратическим отклонением =0,05. При контроле бракуются
шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1
мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.


    МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ



                                    34
        Тема 5. Дискретные случайные величины. Закон распределения
              дискретных случайных величин. Числовые характеристики
                                         дискретных случайных величин
            Дискретной называют случайную величину, возможные значения
которой есть                   отдельные изолированные числа, которые эта величина
принимает                 с     определенными         ненулевыми   вероятностями.   Число
возможных значений может быть конечным или бесконечным (счетным).
     Законом распределения дискретной случайной величины называют
перечень еѐ возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.
     1. Таблицей
                                            х    х1     х2   …     хn
                                            р    р1     р2   …     pn
        n
где   р
       i 1
               i
                    1.

     2. Аналитически P X  xi     xi  . Например:
а) биномиальное распределение
P  X  k   Cnk p k q nk , 0р1, k=0, 1, 2, …, n;

б) распределение Пуассона
                     k e  
P X  k                      , 0, k=0, 1, 2, … .
                          k!
       3. С помощью функции распределения F(x), определяющей для
каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет
значение, меньшее x, т. е. F  x   P X  x  .
Свойства F(x):
1) 0  F  x   1 ;
2) F  x 2   F  x1  , если x 2  x1 ;
3)    lim F x   0, lim F x   1.
      x                      x  




                                                      35
       4. Закон              распределения     может       быть       задан   графически     -
многоугольником распределения (см. пример 11).
          Числовые характеристики дискретных случайных величин

        Математическое ожидание M  X    xi pi ;
                                                           i


        Дисперсия D X   M X  M  X  или D X   M X 2   M  X  ;
                                                       2                              2




        Среднее квадратическое отклонение (X)= D X  .
        Для         биномиального         распределения            М(X)=np,   D(X)=npq.    Для
распределения Пуассона М(X)=, D(X)= .
        Пример 11. (Варианты 1,5)
        Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить
закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте,
построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения
F(x) и построить еѐ график. Найти М(X), D(X), (X).
        Решение: Дискретная случайная величина Х (число отказавших
элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: х1=0 (ни
один из элементов устройства не отказал), х2=1 (отказал один элемент),
х3=2 (отказало два элемента) и х4=3 (отказали три элемента).
        Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа
каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула
Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1 (следовательно, q=1–
0,1=0,9), получим: Р3(0)=q3=0,93=0,729; P3 1  C3 pq 2  3  0,1  0,92  0,243;
                                                  1



P3 2  C32 p 2 q  3  0,12  0,9  0,027; P3 3  p 3  0,13  0,001 .
                   4
Контроль:     p  i 1
                         i    1 ; 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Искомый биномиальный закон распределения Х:

   Х          0                   1           2                3


                                                  36
   р       0,729     0,243        0,027         0,001




Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную
систему координат. По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а
по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки
М1(0;0,729), М2(1;0,243), М3(2;0,027), М4(3;0,001). Соединив эти точки
отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения
(Рис.1).




       Рис.1


Найдем     функцию                                        распределения
F(x)=Р(Хх).
Для x  0 имеем F(x)=Р(Х0)=0;
для 0  x  1 имеем F(x)=Р(Х1)=Р(Х=0)=0,729;
для 1  x  2 F(x)=Р(Х2)=Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,729+0,243=0,972;
для 2  x  3 F(x)=Р(Х3)=Р(Х=0)+Р(Х=1)+ Р(Х=2)=0,972+0,027=0,999;
для х3 будет F(x)=1, т. к. событие достоверно.
                                0     при x  0,
                                0,729 при 0  x  1,
                                
                                
                       F x   0,972 при 1  x  2, .
                                0.999 при 2  x  3,
                                
                                1
                                     при x  3.



                                     37
График этой функции приведен на Рис. 2.




                                    Рис. 2
Для        биномиального           распределения          М(X)=np=30,1=0,3;
D(X)=npq=30,10,9=0,27; (X)= D X   0,27  0,52 .


      Пример 12. (Вариант 2)*
      В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны
две детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа
стандартных деталей среди отобранных. Найти М(X), D(X).
      Решение: Случайная величина Х – число стандартных деталей среди
отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: х1=0; х2=1;
х3=2. Найдем вероятности возможных значений Х по формуле (пример 2)
             Cnk  CN n
                     mk

P X  k         m
                         (N – число деталей в партии, n – число стандартных
                CN
деталей в партии, m – число отобранных деталей, k – число стандартных
                                                C80  C22         1          1
деталей среди отобранных), находим: P X  0                              ;
                                                  C102
                                                            10  9 / 1  2 45

            C81  C 2 8  2 16
                    1

P X  1       2
                           ;
              C10       45 45


                                      38
                 C82  C20 8  7 / 1  2 28
P X  2            2
                                          .
                   C10          45         45
Составим искомый закон распределения:


   Х             0             1               2
   р             1             16              28
                 45            45              45


                 1 16 28
Контроль:          + + =1.
                 45 45 45
                             1      16    28 72 8
M  X    xi pi  0 
           3
                                 1  2      .
          i 1               45     45    45 45 5

D X   M X   M  X  ;          M X 2    xi pi  0 2 
                                                    3
                                                                    1       16     28 128
                                                                        1   22  
                     2             2                      2
                                                                                          ;
                                                   i 1             45      45     45 45
                         2
         128  8  128 64 64
D X                  .
          45  5   45 25 225


       Пример 13. (Варианты 3,4)*
       В устройстве независимо друг от друга                           выходят из строя три
элемента. Вероятность выхода из строя первого элемента – 0,3, второго –
0,2, третьего – 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х
– числа вышедших из строя элементов.
       Решение: случайная величина Х имеет следующие возможные
значения: х1=0, х2=1, х3=2, х4=3. р1=0,3,q1=1- р1=0,7, р2=0,2, q2=1- р2=0,8,
р3=0,4, q3=1- р3=0,6.
       P(X=k) вычисляем по следующим формулам (см. пример 4)
P X  0   q1  q 2  q3  0,7  0,8  0,9  0,336 ;
P X  1  p1  q2  q3  q1  p2  q3  q1  q2  p3  0,3  0,8  0,6  0,7  0,2  0,6 
 0,7  0,8  0,4  0,144  0,084  0,224  0,452 ;



                                                     39
P X  2   p1  p2  q3  p1  q2  p3  q1  p2  p3  0,3  0,2  0,6  0,3  0,8  0,4 
 0,7  0,2  0,4  0,118 ;
P X  0   p1  p2  p3  0,3  0,2  0,4  0,024 .
Контроль: 0,336+0,452+0,118+0,024=1.
Искомый закон распределения:

     Х       0                         1             2                       3
     р       0,336                     0,452         0,118                   0,024



         Пример 14. (Варианты 6,7)*
         Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт
в одну минуту, равно двум. Составить закон распределения случайной
величины Х – числа заказов, поступающих за 4 минуты. Найти М(X),
D(X).
         Решение: Поток заказов на такси можно считать простейшим, т. е.
обладающим                     стационарностью,                    «отсутствием              последствия»             и
ординарностью.                     Интенсивность              потока             (среднее        число           событий
появляющихся в единицу времени) =2. Вероятность появления k событий
простейшего потока за время t=4 определяется формулой Пуассона

P k  
          t k      e  t
                               ,   для          данной       задачи          P4 k  
                                                                                       8 e 8t
                                                                                         k

                                                                                               .   Совокупность
 t
                 k!                                                                      k!
возможных значений X есть счетное множество, т.е. х1=0, х2=1, … ,
хk=k+1, …; тогда закон распределения случайной величины Х – числа
заказов, поступающих за 4 минуты принимает вид:


     Х      0                      1                     2                           …       k                       …
     р       e
                  t
                                    t  e t           t 2    e  t           …        t k    e  t       …
                                           1!                  2!                                  k!




                                                              40
или


   Х        0               1               2                   …           k                    …
   р           e 8         8 e8             8 e 8
                                                2
                                                                …           8 e 8
                                                                                k
                                                                                                 …
                             1!                2!                             k!


Воспользовавшись таблицей 3 приложения, окончательно получим:


   Х       0                    1                    2                  …           k               …
   р       0,00035              0,002684             0,010735           …           8 e 8
                                                                                        k
                                                                                                    …
                                                                                      k!
Наивероятнейшее число заказов такси за 4 минуты можно определить по
получившемуся закону распределения ( значения х, при которых р
максимально):         k0=7,        k0=8.          Для   простейшего       потока           событий:
математическое ожидание M  X    t  8 , дисперсия D  X    t  8 .


        Пример 15. (Вариант 8, 9)*
        Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y.
Составить закон распределения случайной величины Z=X+2Y. Найти М(Z),
D(Z).
   Х        -3          0             1                   Y         1               3           6

   р        0,1         0,03          0,06                р         0,2             0,5         0,3


Решение: Закон распределения V=2Y получается из распределения Y путем
умножения всех значений yi на 2. Получаем:

   V        2               6         12
                                                     .
   р        0,2             0,5       0,3




                                                    41
Для составления закона распределения случайной величины Z вычислим
все ее возможные значения по формуле zk  xi  v j , k  1,2,...9 , i, j  1,2,3 .

Соответствующие данным значениям z k вероятности p k можно вычислить
по формуле умножения вероятностей Pk  PZ  zk   P X  xi   PV  v j  ,

т. к. события X  xi и V  v j - независимы (исходим из независимости

случайных величин X и Y) и наступают совместно (событие { Z  z k }
={совместное наступление событий X  xi и V  v j }). Тогда распределение

Z принимает вид

      Z           -1     3      9       2       6         12       3               7   13
      р    0,02        0,05   0,03   0,06     0,15       0.09    0,12            0,3   0,18


Рассмотрим значения z 2  z 7  3 . События Z  z 2 и Z  z 7 несовместны,
поэтому вероятность наступления хотя бы одного из этих событий
вычисляется по правилу сложения вероятностей
PZ  z 2  Z  z 7   PZ  z 2   PZ  z 7   0,05  0,12  0,17
Искомый закон распределения случайной величины Z получается после
размещения zk по возрастанию.

      Z           -1    2       3      6        7          9    12          13
      р    0,02        0,06   0,17   0,15      0,3       0,03   0,09        0,18

Математическое ожидание M(Z)                  и дисперсию D(Z) можно найти по
формулам:

M Z    z k p k ; DZ   M Z 2   M Z  , где M Z 2  =  z k p k .
           8                                                           8
                                                   2                        2

          k 1                                                       k 1


Рассмотрим другой способ.
M(Z) и D(Z) можно найти через М(Х), М(Y), D(Х), D(Y).

M  X    xi pi  3  0,1  0  0,3  1  0,6  0,3
            3


           i 1




                                              42
M Y    y j p j  0  0,2  3  0,5  6  0,3  3,3
           3


          j 1



D X    xi pi  M  X    3  0,1  0 2  0,3  12  0,6  0,3  1,41
           3
                 2            2         2                                2

          i 1



DY    y j p j  M Y   0 2  0,2  32  0,5  6 2  0,3  3,3  4,41
         3
                 2            2                                      2

         j 1


M Z   M  X  2Y   M  X   M 2Y   M  X   2M Y   0,3  2  3,3  6,9 ,
т. к. математическое ожидание суммы равно сумме математических
ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак
математического ожидания.
DZ   D X  2Y   D X   D2Y   D X   4 DY   1,41  4  4,41  19,05 ,
т. к. дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме
дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак
дисперсии, возведя его в квадрат.
       Пример 16. (Вариант 10)*
      Стрелок ведет стрельбу с вероятностью попадания в цель 0,8 при
каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но делается не
более 3 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х,
если: а) Х – число промахов; б) Х – число попаданий; в) Х – число
произведенных выстрелов.
Решение: Вероятность попадания р=0,8; вероятность промаха q=1-p=0,2.
   а) Случайная величина Х – число промахов при трех выстрелах – имеет
следующие возможные значения: x1  0 ; x2  1 ; x3  2 ; x4  3 .
Событие Х=0 равносильно попаданию с первой попытки, следовательно,
Р(Х=0)=р=0,8.
Событие Х=1 равносильно попаданию со второй попытки, т. е.
совместному          наступлению       двух     событий:    промаха          и   попадания;
следовательно, Р(Х=1)=q  р=0,2  0,8=0,16.
Событие Х=2 равносильно попаданию с третьей попытки, т. е.
Р(Х=2)=q  q  р=0,2  0,2  0,8=0,032.

                                              43
Событие Х=3 означает отсутствие попаданий, Р(Х=3)=q  q  q= 0,2 3 =0,008.
Искомый закон распределения Х:
 Х         0           1             2            3
  р       0,8        0,16           0,032       0,008
   б) Случайная величина Х – число попаданий – имеет следующие
возможные значения:         x1  0 (допущено    три промаха); x2  1 (произошло
попадание с первой, второй или третьей попытки).
Тогда Р(Х=0)= q 3 = 0,2 3 =0,008;
      Р(Х=1)= р+q  р+q  q  р=0,8+0,16+0,032=0,992
  или Р(Х=1)=1-Р(Х=0)=1-0,008=0,992.
Искомый закон распределения Х:
  Х       0           1
  Р     0,008       0,992
   в) Случайная величина Х – число произведенных выстрелов – имеет
следующие возможные значения: x1  1; x2  2 ; x3  3 .
Событие Х=1 равносильно попаданию с первой попытки, т. е.
Р(Х=1)=р=0,8.
Событие Х=2 равносильно попаданию со второй попытки, т. е.
Р(Х=2)=q  р=0,16.
Событие Х=3 означает, что либо произошло попадание с третьей попытки,
либо было три промаха. Тогда Р(Х=3)=q  q  р+q  q  q=0,032+0,008=0,04.
Искомый закон распределения Х:
 Х         1           2             3
 Р        0,8        0,16           0,04


* При возникновении трудностей с построением графиков функций
f(x), F(x) и многоугольника распределений смотрите пример 11.


                Тема 6. Непрерывные случайные величины
      Случайная величина X называется непрерывной случайной величиной,
если еѐ функция распределения (интегральная функция распределения)
представима в виде


                                           44
                                            F  x    f  z  dz ,
                                                         x


                                                      

                                                                                             
где f(x) – некоторая неотрицательная функция, такая что                                       f x dx  1.
                                                                                             


       Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей
случайной величины X (дифференциальной функцией распределения).
                            Примеры непрерывных распределений
   1. Равномерное распределение (a<b)
                                           1
                                                при x  a, b,
                                 f x   b  a                 .
                                          0
                                                при x  a, b.

   2. Нормальное распределение (>0)

                                        f x               e  x  a  / 2 .
                                                         1               2     2


                                                    2

   3. Показательное распределение (>0)
                                            e   x при x  0,
                                  f x   
                                           0         при x  0.
       Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X
                                    
называется число M  X    xf  x  dx ; если все возможные значения Х
                                   

                                                             b
принадлежат интервалу (а,b), то M  X    xf x  dx .
                                                             а


       Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины вычисляется по
                                                                                
формуле D X     x  M  X  f  x dx или D X                            x f xdx M  X     ; если
                                        2                                            2                 2

                                                                              


все возможные значения Х принадлежат интервалу (а,b), то
         b                                           b
D X    x  M  X  f x dx или D X    x 2 f x dx M  X  .
                       2                                                                 2

         a                                           a


       Вероятность того, что случайная величина X принимает значение в
заданном промежутке, вычисляется по одной из формул:



                                                     45
                                                                          x2
             Px1  X  x2   F x2   F x1 , Px1  X  x2    f x dx.
                                                                          x1


       Пример 17. (Варианты 2, 3, 4, 6, 7)
Случайная величина задана плотностью вероятности
          0       при x  0,
          
f  x   a sin x при 0  x   ,
          0       при x   .
          
Найти: а) параметр а;
        б) функцию распределения F(x);
                                                
        в) вероятность попадания X в интервал   ;  .
                                               4 4
Построить графики f(x), F(x).
       Решение:
а) Для нахождения параметра а воспользуемся свойствами функции f(x):
                     

1) f  x   0; 2)    f x dx  1.
                     


Из первого следует, что a  0, а из второго определяется конкретное
значение а.
            0                                   

 f x dx   0  dx   a  sin x dx   0  dx   a  sin x dx  1,
                      0
                                                   0


                                                                   1
 a  sin x dx  a cos x 0  a   a   2a  2a  1  a  2 .
0

                                                                               x

б) Для нахождения функции F(x) используем равенство F x                      f z dz.
                                                                               


Так как f(x) задана различным образом на трѐх разных интервалах, то
выражение для F(x) находим отдельно для каждого из них.

Если x  0, то F  x    0  dz  0.
                              x


                              


                                                                      x
Если 0  x   , то F  x    0  dz    sin z dz  0   cos z  
                               0         x
                                           1               1
                                       0 2               2          0


                                              46
    1
      cos x  cos 0  1 1  cos x .
    2                     2
                           0                       x
                                                                         
Если x   , то F  x    0  dz    sin z dz   0  dz   cos z   1 .
                                       1                      1
                                   0 2                     2          0
Искомая интегральная функция принимает вид
          0            при x  0,
          1
          
F  x    1  cos x  при 0  x   ,
          2
          1
                       при x   .

                                                           
в) Вероятность попадания случайной величины X в интервал   ;  .
                                                          4 4
                        

               
P   X     f  x  dx или
                        4


  4      4  
                        4

                                  
                                                          
                    0 4
                            1           1             1 2  1         2
P   X     0  dx   sin x dx    cos x  4       1  1    .
  4      4            0 2           2       0     2 2
                                                         
                                                                 2
                                                                       2 
                                                                           
                4




Искомая вероятность может быть найдена иначе

                                     1     2
 P   X    F    F     1  cos   0  1    .
   4      4     4      4           4      2
                                                       2 
                                                          
Графики функций f(x) и F(x) показаны соответственно на Рис. 3 и Рис. 4.




                                            47
                       Рис. 3                                        Рис.4


      Пример 18. (Варианты 1, 5, 8, 9, 10)
      Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
                                          
                                          0      при x  0,
                                          
                                                             
                                F  x   a sin x при 0  x  ,
                                                             2
                                                         
                                          1      при x  .
                                                         2
Найти: а) плотность распределения f(x);
          б) параметр а;
          в) математическое ожидание M(X).
Решение:
а) Плотность распределения равна первой производной от функции
распределения:
                     
                     0       при x  0,
                     
                                        
f  x   F  x   a cos x при 0  x  ,
                                        2
                                    
                     1      при x  .
                                    2
(При х=0 производная F  x  не существует, т.к. левая и правая
производные в этой точке неравны друг другу).
б) Для нахождения параметра а пользуемся свойствами функции f(x):
                        
f x   0  a  0 ,     f x  dx  1.
                       

                                                   
                                                                       2
 f x dx   0  dx   a cos x dx   0  dx   a cos x dx  a sin x 0
                0           2                       2
                                                                              
                        0                      0
                                           2


          
 a sin        a sin 0  a  a  1.
          2


                                               48
                 
                 0     при x  0,
                 
                                   
Значит, f x   cos x при 0  x  ,
                                   2
                                
                 1      при x  .
                                 2
                                                                            
                                  0               2                       2
в) M  X    хf x  dx   x  0  dx   x cos x dx   x  0  dx   x cos x dx 
                                                0                        0
                                                                 2

                                                                 
 u  x; du  dx                           2                          
                               x sin x 
                                                                 2
                                              sin x dx  sin  sin 0  
 dv  cos x dx; v  sin x                0     0           2 2          
           2                                     
 cos x                 cos            cos 0         1.
          0         2           2                   2


       Тема 7. Равномерный и показательный законы распределения


    1. Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной
        случайной величины X, плотность которого имеет вид
                                                      1
                                                           при x  a; b,
                                            f x   b  a
                                                     0 при x  a; b.
                                                     
    Это значит, что f(x) сохраняет постоянное значение на [a; b].
    Функция распределения равномерного закона
                                                  0     при x  a,
                                                  x  a
                                                  
                                         F x          при a  x  b,
                                                   ba
                                                  1
                                                       при x  b .

Вероятность попадания в интервал (x1; x2)                                    непрерывной случайной
равномерно распределенной величины X
                                                                x 2  x1
                                             P(x1<X<x2)=                 .
                                                                 ba



                                                           49
Математическое    ожидание,         дисперсия            и    среднее   квадратическое
отклонение равномерного распределения:

              M X  
                       ab
                           ; D X  
                                      b  a  ;   X   b  a .
                                                     2


                        2                12                2 3
  2. Показательным       (экспоненциальным)                  называют   распределение
вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается
плотностью
                                     0          при x  0,
                           f  x     x
                                      e        при x  0,

  где  - постоянная положительная величина.
  Функция распределения показательного закона
                                   0            при x  0,
                          F x   
                                   1  e            при x  0.
                                           x



     Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной
  величины X, распределенной по показательному закону,
                                         b
                        P(a<X<b)=  e x dx  e  a  e  b .
                                         a


     Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
  отклонение показательного распределения:

                     M X  
                                1
                                    , D X  
                                                 1
                                                     ,  X   .
                                                               1
                                                
                                                 2
                                                                  
     Пример 19. (Варианты 2,3)
  Цена деления прибора равна 0,1. Показания прибора округляются до
ближайшего целого. Найти: а) вероятность того, что при отсчете будет
сделана ошибка, превышающая 0,02; б) M(X), D(X), (X), если случайная
величина X – ошибка округления.
     Решение: Ошибку округления рассматриваем как случайную
величину X, равномерно распределенную между двумя соседними целыми
делениями.



                                          50
                                                          1
   Тогда плотность распределения f x                      , где b-a – длина интервала
                                                         ba
распределения значений X; вне этого интервала f(x)=0.
                                                                1
b-a=0,1 (цена деления прибора), поэтому f x                      10.
                                                               0,1
      Ошибка отсчета превысит 0,02, если X попадает в интервал
(0,02;0,08).
            x 2  x1                 x

                     или P(x1<X<x2)=  f  x  dx .
                                                     2

P(x1<X<x2)=
             ba                     x               1



                    0,08  0,02
P(0,02<X<0,08)=                  0,6.
                        0,1
      Математическое ожидание X (считаем a=0, b=0,1)
           a  b 0,1
M X               0,05 .
             2    2

      Дисперсия     D X  
                             b  a 2

                                         
                                           0,1 2

                                                     
                                                         0,01
                                                               0,0008.
                                12          12            12
Среднее квадратическое отклонение   X   D X   0,028.
      Пример 20. (Варианты 1,4,5,6)
      Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 минут.
Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет
ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что
пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не
менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.
     Решение: Время ожидания пассажира рассматриваем как случайную
величину X, равномерно распределенную между приходами двух
автобусов.
   По условию задачи длина интервала распределения значений X b-a=7,
здесь b=7, a=0.



                                             51
а) Время ожидания будет менее двух минут, если X попадает в интервал
(5;7).
                      x 2  x1             75 2
P(x1<X<x2)=                    ; P(5<X<7)=     .
                       ba                  7  7

б) Время ожидания будет не менее трех минут, если X попадает в интервал
(0;4).
                4
P(0<X<4)=         .
                7
                                                      ab 7
в) Математическое ожидание M  X                         3,5 .
                                                       2  2

Среднее квадратическое отклонение   X   D X  
                                                                      b  a       7
                                                                                           2,06 .
                                                                       2 3          2 3



         Пример 21. (Варианты 7, 8, 9, 10)
         Показательное            распределение           задано     при            x  0 плотностью
f(x)=5e -5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения;
б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в
интервал (1, 4); в) найти вероятность того, что в результате испытания
X  2 ; г) вычислить M(X), D(X), (X).
         Решение:
         В данной задаче =5
            0         при x  0,
а) F x   
            1  e при x  0.
                  5 x



б) Pa  X  b   e   a  e   b .
P1  X  4   e 51  e 54  e 5  e 20 .
в) X  2 , значит a=2, b=  , т. е.

P X  2   P2  X    e  2  e    e2  e   e2  e10 (т.к. lim e  x  0 )
                                                                                           x 


г) для показательного распределения
            1       1                      1        1                       1       1
M X                0,2;    D X                 0,04;    X               0,2.
                   5                      2       52                             5

                                                     52
                 Тема 8. Нормальный закон распределения


      Нормальным называется распределение вероятности непрерывной
случайной величины X, плотность которого имеет вид
                                                          x  a 2
                                          1          
                              f x            e         2 2
                                                                      ,
                                          2
где       a – математическое ожидание,                               – среднее квадратическое
отклонение.
      Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
(, ),
                                     a      a 
                   P  X                 ,
                                             
            1 x z2 / 2
где x      e       dz - интегральная функция Лапласа.
            2 0
      Вероятность того, что абсолютная величина                             отклонения меньше
                                                              
положительного        числа      ,       P X  a     2 ,                   при   a=0
                                                              
                
P X     2 .
                
      Пример 22. (Все варианты)
      Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину,
распределенную по нормальному закону распределения, и имеет среднее
значение 20 мм и среднее квадратическое отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения ;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и
20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;



                                          53
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от
среднего значения не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей,
отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до
54%;
е) найти симметричный относительно среднего интервала, в котором будет
находиться X с вероятностью 0,9973 и вероятностью 0,95.
       Решение:
а) Плотность вероятности случайной величины                                X, распределенной по
нормальному закону, имеет вид:
                                                   x  a 2
                                              
                                         1
                              f x        e        2 2
                                                                ,
                                        2
где а – математическое ожидание (среднее значение) X;
 – среднее квадратическое отклонение.
В данном случае а=20, =0,2 , и получаем
                                                          x  20 2
                                         1           
                            f x              e         0 , 08
                                                                       .
                                       0,2 2
б) Для нормального распределения случайной величины вероятность
попасть в интервал (x1; x2) определяется равенством:
            x
                            x  a     x  a
P(x1<X<x2)=  f  x  dx   2
               2

                                     1    ,
            x 1                         
              1 x z2 / 2
где x         e dz - интегральная функция Лапласа.
              2 0
P(19,7<X<20,3)=
    20,3  20      19,7  20      0,3      0,3       0,3 
                                        2       21,5.
    0,2            0,2            0,2      0,2       0,2 
По приложению (таблица 2) находим 1,5  0,433 .
Тогда P(19,7<X<20,3)=2 0,433=0,866.




                                         54
в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше
                                                      
положительного числа , P X  a     2            ;
                                                      
                      0,1 
P X  20  0,1  2       20,5.
                      0,2 
По приложению (таблица 2) находим:  0,5  0,191.
Тогда P X  20  0,1  2  0,191  0,382.
г) Вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,382. Отсюда следует,
что в среднем 38,2 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,2%.
д) Для нормального закона распределения выполняется соотношение
                    
P X  a     2  .
                    
По данным задачи P X  20     0,54 (см. пункт г), следовательно,

                                       
                         2   0,54     0,27 .
                                          
                                       

                                           
По приложению (таблица 2) находим             0,74 .
                                           
  0,74  0,74  0,2  0,148 мм.
е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего
значения a=20, то его можно определить как множество значений X,
удовлетворяющих неравенству 20    X  20                или x  20   .
   Рассмотрим случай, когда вероятность нахождения X в искомом
интервале равна 0,9973. Тогда P x  20     0,9973. Но для нормального
распределения      имеет     место        так   называемое        «правило      3  »:
  P x  20  3   0,9973. Отсюда =3σ=30,2=0,6.
Тогда искомый интервал: (20-0,6; 20+0,6) или (19,4; 20,6).




                                          55
          Рассмотрим теперь случай, когда вероятность нахождения X в
искомом             интервале    равна     0,95.      Тогда       P x  20     0,95,     но

                                     
P x  20     2   2   0,95     0,475.
                                     
                                                   
По приложению (таблица 2) находим                    =1,96,
                                                   
          
т. е.            1,96    1,96  0,2  0,392.
          0,2
Искомый интервал (20-0,392; 20+0,392) или (19,608; 20,392).




                                       Приложение
                                                              2
                                     1  x2
Таблица 1. Значения функции  ( x)     e .
                                     2

      x            0        1      2        3         4       5         6        7        8           9
0,0             0,3989   3989   3989     3988      39986   3984      3982     3980     3977        3973
0,1             0,3970   3965   3961     3956      3951    3945      3939     3932     3925        3918
0,2             0,3910   3902   3894     3885      3876    3867      3857     3847     3836        3825
0,3             0,3814   3802   3790     3778      3765    3752      3739     3726     3712        3697
0,4             0,3683   3668   3653     3637      3621    3605      3589     3572     3555        3538
0,5             0,3521   3503   3485     3467      3448    3429      3410     3391     3372        3352
0,6             0,3332   3312   3292     3271      3251    3230      3209     3187     3166        3144
0,7             0,3123   3101   3079     3056      3034    3011      2989     2966     2943        2920
0,8             0,2897   2874   2850     2827      2803    2780      2756     2732     2709        2685
0,9             0,2661   2637   2613     2589      2565    2541      2516     2492     2468        2444

1,0             0,2420   2396   2371     2347      2323    2299      2275     2251     2227        2203
1,1             0,2179   2155   2131     2107      2083    2059      2036     2012     1989        1965
1,2             0,1942   1919   1895     1872      1849    1826      1804     1781     1758        1736
1,3             0,1714   1691   1669     1647      1626    1604      1582     1561     1539        1518
1,4             0,1497   1476   1456     1435      1415    1394      1374     1354     1334        1315
1,5             0,1295   1276   1257     1238      1219    1200      1182     1163     1145        1127
1,6             0,1109   1092   1074     1057      1040    1023      1006     0989     0973        0957
1,7             0,0940   0925   0909     0893      0878    0863      0848     0833     0818        0804
1,8             0,0790   0775   0761     0748      0734    0721      0707     0694     0681        0669
1,9             0,0656   0644   0632     0620      0608    0596      0584     0573     0562        0551

2,0             0,0540   0529   0519     0508      0498    0488      0478     0468     0459        0449
2,1             0,0440   0431   0422     0413      0404    0396      0387     0379     0371        0363
2,2             0,0355   0347   0339     0332      0325    0317      0310     0303     0297        0290
2,3             0,0283   0277   0270     0264      0258    0252      0246     0241     0235        0229



                                                56
2,4      0,0224        0219       0213          0208      0203       0198      0194         0189                0184          0180
2,5      0,0175        0171       0167          0163      0158       0154      0151         0147                0143          0139
2,6      0,0136        0132       0129          0126      0122       0119      0116         0113                0110          0107
2,7      0,0104        0101       0099          0096      0093       0091      0088         0086                0084          0081
2,8      0,0079        0077       0075          0073      0071       0069      0067         0065                0063          0061
2,9      0,0060        0058       0056          0055      0053       0051      0050         0048                0047          0046

3,0      0,0044        0043       0042          0040      0039       0038      0037         0036                0035          0034
3,1      0,0033        0032       0031          0030      0029       0028      0027         0026                0025          0025
3,2      0,0024        0023       0022          0022      0021       0020      0020         0019                0018          0018
3,3      0,0017        0017       0016          0016      0015       0015      0014         0014                0013          0013
3,4      0,0012        0012       0012          0011      0011       0010      0010         0010                0009          0009
3,5      0,0009        0008       0008          0008      0008       0007      0007         0007                0007          0006
3,6      0,0006        0006       0006          0005      0005       0005      0005         0005                0005          0004
3,7      0,0004        0004       0004          0004      0004       0004      0003         0003                0003          0003
3,8      0,0003        0003       0003          0003      0003       0002      0002         0002                0002          0002
3,9      0,0002        0002       0002          0002      0002       0002      0002         0002                0001          0001
4,0      0,0001338                0000589                 0000249              0000101                          0000040
5,0      0,0000015




                                                                                                  x        t2
                                                                                            1          
Таблица 2. Значения интегральной функции Лапласа Ф(х)=
                                                                                            2
                                                                                                  e
                                                                                                  0
                                                                                                           2
                                                                                                                dt .

 x     Ф(х)           x       Ф(х)        x       Ф(х)         x     Ф(х)      x         Ф(х)          x               Ф(х)
0,00   0,0000        0,50     0,1915     1,00    0,3413       1,50   0,4332   2,00       0,4772       3,00         0,49865
0,01   0,0040        0,51     0,1950     1,01    0,3438       1,51   0,4345   2,02       0,4783       3,20         0,49931
0,02   0,0080        0,52     0,1985     1,02    0,3461       1,52   0,4357   2,04       0,4793       3,40         0,49966
0,03   0,0120        0,53     0,2019     1,03    0,3485       1,53   0,4370   2,06       0,4803       3,60        0,499841
0,04   0,0160        0,54     0,2054     1,04    0,3508       1,54   0,4382   2,08       0,4812       3,80        0,499928
0,05   0,0199        0,55     0,2088     1,05    0,3531       1,55   0,4394   2,10       0,4821       4,00        0,499968
0,06   0,0239        0,56     0,2123     1,06    0,3554       1,56   0,4406   2,12       0,4830       4,50        0,499997
0,07   0,0279        0,57     0,2157     1,07    0,3577       1,57   0,4418   2,14       0,4838       5,00        0,499997
0,08   0,0319        0,58     0,2190     1,08    0,3599       1,58   0,4429   2,16       0,4846
0,09   0,0359        0,59     0,2224     1,09    0,3621       1,59   0,4441   2,18       0,4854
0,10   0,0398        0,60     0,2257     1,10    0,3643       1,60   0,4452   2,20       0,4861
0,11   0,0438        0,61     0,2291     1,11    0,3665       1,61   0,4463   2,22       0,4868
0,12   0,0478        0,62     0,2324     1,12    0,3686       1,62   0,4474   2,24       0,4875
0,13   0,0517        0,63     0,2357     1,13    0,3708       1,63   0,4484   2,26       0,4881
0,14   0,0557        0,64     0,2389     1,14    0,3729       1,64   0,4495   2,28       0,4887
0,15   0,0596        0,65     0,2422     1,15    0,3749       1,65   0,4505   2,30       0,4893
0,16   0,0636        0,66     0,2454     1,16    0,3770       1,66   0,4515   2,32       0,4898
0,17   0,0675        0,67     0,2486     1,17    0,3790       1,67   0,4525   2,34       0,4904
0,18   0,0714        0,68     0,2517     1,18    0,3810       1,68   0,4535   2,36       0,4909
0,19   0,0753        0,69     0,2549     1,19    0,3830       1,69   0,4545   2,38       0,4913
0,20   0,0793        0,70     0,2580     1,20    0,3849       1,70   0,4554   2,40       0,4918
0,21   0,0832        0,71     0,2611     1,21    0,3869       1,71   0,4564   2,42       0,4922
0,22   0,0871        0,72     0,2642     1,22    0,3883       1,72   0,4573   2,44       0,4927
0,23   0,0910        0,73     0,2673     1,23    0,3907       1,73   0,4582   2,46       0,4931
0,24   0,0948        0,74     0,2703     1,24    0,3925       1,74   0,4591   2,48       0,4934



                                                         57
0,25   0,0987   0,75   0,2734   1,25   0,3944    1,75   0,4599   2,50   0,4938
0,26   0,1026   0,76   0,2764   1,26   0,3962    1,76   0,4608   2,52   0,4941
0,27   0,1064   0,77   0,2794   1,27   0,3980    1,77   0,4616   2,54   0,4945
0,28   0,1103   0,78   0,2823   1,28   0,3997    1,78   0,4625   2,56   0,4948
0,29   0,1141   0,79   0,2852   1,29   0,4015    1,79   0,4633   2,58   0,4951
0,30   0,1179   0,80   0,2881   1,30   0,4032    1,80   0,4641   2,60   0,4953
0,31   0,1217   0,81   0,2910   1,31   0,4049    1,81   0,4649   2,62   0,4956
0,32   0,1255   0,82   0,2939   1,32   0,4066    1,82   0,4656   2,64   0,4959
0,33   0,1293   0,83   0,2967   1,33   0,4082    1,83   0,4664   2,66   0,4961
0,34   0,1331   0,84   0,2995   1,34   0,4099    1,84   0,4671   2,68   0,4963
0,35   0,1368   0,85   0,3023   1,35   0,4115    1,85   0,4678   2,70   0,4965
0,36   0,1406   0,86   0,3051   1,36   0,4131    1,86   0,4686   2,72   0,4967
0,37   0,1443   0,87   0,3078   1,37   0,4147    1,87   0,4693   2,74   0,4969
0,38   0,1480   0,88   0,3106   1,38   0,4162    1,88   0,4699   2,76   0,4971
0,39   0,1517   0,89   0,3133   1,39   0,4177    1,89   0,4706   2,78   0,4973
0,40   0,1554   0,90   0,3159   1,40   0,4192    1,90   0,4713   2,80   0,4974
0,41   0,1591   0,91   0,3186   1,41   0,4207    1,91   0,4719   2,82   0,4976
0,42   0,1628   0,92   0,3212   1,42   0,4222    1,92   0,4726   2,84   0,4977
0,43   0,1664   0,93   0,3238   1,43   0,4236    1,93   0,4732   2,86   0,4979
0,44   0,1700   0,94   0,3264   1,44   0,4251    1,94   0,4738   2,88   0,4980
0,45   0,1736   0,95   0,3289   1,45   0,4265    1,95   0,4744   2,90   0,4981
0,46   0,1772   0,96   0,3315   1,46   0,4279    1,96   0,4750   2,92   0,4982
0,47   0,1808   0,97   0,3340   1,47   0,4292    1,97   0,4756   2,94   0,4984
0,48   0,1844   0,98   0,3365   1,48   0,4306    1,98   0,4761   2,96   0,4985
0,49   0,1879   0,99   0,3389   1,49   0,4319    1,99   0,4767   2,98   0,4986




                                            58
                                                                                                   k e  
Таблица 3. Значения вероятностей распределения Пуассона p(k ,  ) 
                                                                                                      k!
              0,1         0,2        0,3        0,4        0,5        0,6        0,7        0,8           0,9
k
    0       0,904837    0,818731   0,740818   0,670320   0,606531   0,548812   0,496585   0,449329    0,406570
    2       0,090484    0,163746   0,222245   0,268128   0,303265   0,329287   0,347610   0,359463    0,365913
    3       0,004524    0,016375   0,033337   0,053626   0,075816   0,098786   0,121663   0,143785    0,164661
    4        0,000151   0,001091   0,003334   0,007150   0,012636   0,019757   0,028388   0,038343    0,049398
    5       0,000004    0,000055   0,000250   0,000715   0,001580   0,002964   0,004968   0,007669    0,011115
    6                   0,000002   0,000015   0,000057   0,000158   0,000356   0,000695   0,001227    0,002001
    7                              0,000001   0,000004   0,000013   0,000035   0,000081   0,000164    0,000300
    8                                                    0,000001   0,000003   0,000008   0,000019    0,000039
                                                                                          0,000002    0,000004




              1,0         2,0        3,0        4,0        5,0        6,0        7,0        8,0           9,0
k




                                                   59
0    0,367879   0,135335   0,049787   0,018316   0,006738   0,002479   0,000912   0,000335   0,000123
1    0,367879   0,270671   0,149361   0,073263   0,033690   0,014873   0,006383   0,002684   0,001111
2    0,183940   0,270671   0,224042   0,146525   0,084224   0,044618   0,022341   0,010735   0,004998
3    0,061313   0,180447   0,224042   0,195367   0,140374   0,089235   0,052129   0,028626   0,014994
4    0,015328   0,090224   0,168031   0,195367   0,175467   0,133853   0,091226   0,057252   0,033737
5    0,003066   0,036089   0,100819   0,156293   0,175467   0,160623   0,127717   0,091604   0,060727
6    0,000511   0,012030   0,050409   0,104194   0,146223   0,160623   0,149003   0,122138   0,091090
7    0,000073   0,003437   0,021604   0,059540   0,104445   0,137677   0,149003   0,139587   0,117116
8    0,000009   0,000859   0,008101   0,029770   0,065278   0,103258   0,130377   0,139587   0,131756
9    0,000001   0,000191   0,002701   0,013231   0,036266   0,068838   0,101405   0,124007   0,131756
10              0,000038   0,000810   0,005292   0,018133   0,041303   0,070983   0,099262   0,118580
11              0,000007   0,000221   0,001925   0,008242   0,022529   0,045171   0,072190   0,097020
12              0,000001   0,000055   0,000642   0,003434   0,011262   0,026350   0,048127   0,072765
13                         0,000013   0,000197   0,001321   0,005199   0,014188   0,029616   0,050376
14                         0,000003   0,000056   0,000472   0,002228   0,007094   0,016924   0,032384
15                         0,000001   0,000015   0,000157   0,000891   0,003311   0,009026   0,019431
16                                    0,000004   0,000049   0,000334   0,001448   0,004513   0,010930
17                                    0,000001   0,000014   0,000118   0,000596   0,002124   0,005786
18                                               0,000004   0,000039   0,000232   0,000944   0,002893
19                                               0,000001   0,000012   0,000085   0,000397   0,001370
20                                                          0,000004   0,000030   0,000159   0,000617
21                                                          0,000001   0,000010   0,000061   0,000264
22                                                                     0,000003   0,000022   0,000108
23                                                                     0,000001   0,000008   0,000042
24                                                                                0,000003   0,000016
25                                                                                0,000001   0,000006
26                                                                                           0,000002
27                                                                                           0,000001




                                          60

								
To top