Lineární funkce y = kx + q
Obsah: 1) Definice lineární funkce
2) Přímá úměrnost a její grafy
3) Význam konstant k a q
4) Minitest na závěr
Lineární funkce je dána vzorcem y = kx + q
kde k a q jsou libovolná reálná čísla,
definiční obor tvoří všechna reálná čisla.
Grafem lineární funkce je přímka
Poznámka: Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí k jeho sestrojení pouze dva body.
zpět na úvod
Lineární funkce je dána vzorcem y = kx + q
k, q jsou libovolná reálná čísla,
definiční obor tvoří všechna reálná čisla.
Grafem lineární funkce je přímka.
Příklady lineárních funkcí: y = 3x - 1, y = 0,5x + 3, y = -x, y = 2
Tabulky těchto funkcí:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = 3x - 1 -16 -13 -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 14
y = 0,5x + 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
y = -x 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
y=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
y = kx + q -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
V posledním řádku tabulky si funkci y = kx +q zvolením konstan q a k a zadej sám:
Zadej k= 1
q= 1
Grafy funkcí uvedených v tabulce jsou zobrazeny v následujícím listě "Grafy lin. funkcí"
Grafy lin. funkcí
5
y = 3x - 1
4.5 y = 0,5x + 3
4
3.5
3
2.5
y=2
2
1.5
1
0.5
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
-1
Červená přímka znázorňuje graf y = kx + q
-1.5 kde k a q si zvolil uživatel v buňkách D23 a
-2
-2.5
-3
-3.5
y = -x
-4
-4.5
-5
Page 5
zpět na úvod
Přímá úměrnost y = kx
je zvláštním případem lineární funkce y = kx + q pro q=0
Grafem přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem soustavy souřadnic.
Průběhy funkcí y = kx
a) je-li k > 0 Průběhy funkcí jsou v listu "Grafy pro k>1"
Příklady přímých úměrností: y = 0,25x, y = 0,5x, y = x, y = 2x, y = 4x
Tabulky těchto funkcí:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = 0,25x -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25
y = 0,5x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y=x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = 2x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
y = 4x -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20
y = kx 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
V posledním řádku tabulky si funkci y = kx zvolením konstanty k a zadej sám:
Zadej k = -2
b) je-li k 1
5
y = 4x
4.5 funkce y = x svírá s
y = 2x kladnou poloosou x
4 úhel 45°
3.5
3 y=x
2.5
2
y = 0,5x
1.5
1
y = 0,25x
0.5
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
-1
-1.5
-2
Červená přímka znázorňuje graf y = kx
-2.5 kde k si zvolil uživatel v buňce D25.
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
Page 8
Grafy pro k0, funkce je rostoucí např.: y = 2x - 1, y = 0,5x + 2
b) je-li k=0, funkce je konstantní např.: y = -2,5; y = 4
c) je-li k<0, funkce je klesající např.: y = -x + 1, y = -0,5x - 1
Tabulky těchto funkcí:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = 2x - 1 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
y = 0,5x + 2 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
y = -2,5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5 -2.5
y=4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
y = -x + 1 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
y = -0,5x - 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5
y = kx + q 9 7 5 3 1 -1 -3 -5 -7 -9 -11
V posledním řádku tabulky si funkci y = kx +q zvolením konstan q a k a zadej sám:
Zadej k = -2
q = -1
Grafy funkcí uvedených v tabulce jsou zobrazeny v listě "Grafy k(1)".
B)
Mají-li dvě lineární funkce
shodnou konstantu k, potom jsou jejich grafy rovnoběžné přímky, např.: y = 3x + 2, y = 3x - 1
C)
Mají-li dvě lineární funkce
shodnou konstantu q a u konstanty k se liší pouze ve znaménku (absolutní hodnota k je shodná)
potom jsou grafy těchto funkcí osově souměrné podle osy y např.: y = 2x + 1, y = -2x + 1
Tabulky těchto funkcí:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = 3x + 2 -13 -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 14 17
y = 3x - 1 -16 -13 -10 -7 -4 -1 2 5 8 11 14
y = 2x + 1 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11
y = -2x + 1 11 9 7 5 3 1 -1 -3 -5 -7 -9
y = kx + q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
V posledním řádku tabulky si funkci y = kx +q zvolením konstan q a k a zadej sám:
Zadej k= 0
q= 1
Grafy funkcí uvedených v tabulce jsou zobrazeny v listě "Grafy k(2)".
Grafy q
5
y = 3x - 1
4.5 y = 0,5x + 3
4 Červená přímka znázorňuje graf y = kx + q
kde k a q si zvolil uživatel v buňkách D23 a
3.5
q=3
3
2.5
y=2
2
1.5 q=2
1
0.5
q=0
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
-1
q = -1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
y = -x
-4
-4.5
-5
Page 13
Grafy k(1)
5
y = -x + 1 Rostoucí funkce
4.5
y = 2x - 1
y=4 Konstantní funkce
4
3.5 y = 0,5x + 2 Klesající funkce
3
2.5
Červená přímka znázorňuje graf y = kx + q
2
kde k a q si zvolil uživatel v buňkách D49 a
y = -0,5x - 1 1.5
1
0.5
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
-1
-1.5
-2
y = -2,5
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
Page 14
Grafy k(2)
5
y = -2x + 1 y = 2x + 1 Rovnoběžné grafy
4.5
4
Grafy osově souměrné
3.5 podle osy y
3
2.5
Červená přímka znázorňuje graf y = kx + q
2
kde k a q si zvolil uživatel v buňkách D74 a
1.5
1
0.5
0
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
y = 3x + 2 -3.5
-4
y = 3x - 1
-4.5
-5
Page 15
zpět na úvod
Minitest z lineárních funkcí
otázka č. 1
Které rovnice jsou rovnicemi lineárních funkcí? body: 0
y=x y = 1 - 2x
y = 2xx + 1 y = -3
otázka č. 2
Která funkce jsou klesající? body: 0
y = -x + 1 y=x y=x+1
y=x-1 y = -1 y = -x
y=1 y = -x - 1
otázka č. 3
Která funkce má graf rovnoběžný s grafem funkce y = 4x - 1? body: 0
y = 4x + 1 y = -4x + 1 y = -4x - 1
otázka č. 4
Graf které funkce svírá s kladnou poloosou x největší úhel? body: 0
y = 2x - 1 y=x+1 y = 0,5x + 4
otázka č. 5
Která funkce má graf osově souměrný s grafem funkce y = -3x + 3? body: 0
y = 3x - 3 y = -3x - 3 y = 3x + 3
Vyhodnotit minitest? ne Celkem body: 0
ano
1