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					DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform



            Laboratoire IRCOM-SIC


           Eric Andres et Philippe Carré
                  David Helbert
        Sommaire

Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
                       Introduction
Une nouvelle implantation de la transformée Ridgelet avec des
     droites discrètes analytiques est proposée : DART

But de la transformation Ridgelet : permettre une analyse
   « optimale » des ruptures linéaires dans une image.

  Problème : peu d’implantations discrètes, pas forcément
         efficaces ou simples à mettre en œuvre.


  Notre but : Proposer une transformation ridgelet aisée
    à implanter et inversible (à propriétés contrôlées).

   Un des domaines d’applications privilégié semble être
                     le débruitage
                  Contexte : transformation
Transformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une
autre représentation des données (démarche non structurelle)

 1. Définition de fonctions (formes) constituant la base


                                                             Fourier

  2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases
          Transformée (produit scalaire)

   But de la nouvelle représentation
   Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données
              Contexte : continue vs. discret
Transformation continue
      Fonctions de base continues                         Discrétisation de l’intégrale




    Application aux données discrètes            •Non respect des propriétés de la base
                                                 •Complexité algorithme
                                                 •Opération adjointe absente
Transformation discrete
        Fonctions de base discrètes




                  •Représentation orthogonale
                  •Algorithme rapide
                  •Opération adjointe parfaite
                            Contexte : ondelette

Idée
•Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à
une fréquence d ’oscilation précise
•Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée

                  Fréquence : 0.05, Longueur : 61           Fréquence : 0.15, Longueur : 21


           0.1                                       0.1


          0.05                                      0.05


             0                                         0


          -0.05                                     -0.05
                    -20       0       20                      -20       0       20




       Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction
        Sommaire

Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
         Définition de la transformation Ridgelet 2D

      Contrairement à Fourier, les ondelettes sont très efficaces pour
            représenter / analyser des singularités ponctuelles




          Signal                                 Représentation
                                                   ondelettes


Mais nettement moins efficace pour représenter des singularités linéaires
      Définition de la transformation Ridgelet 2D

Idée : en 2D, les points et les droites sont liées via la transformation
       de Radon

        bord                     Point



                                                         Domaine
                                                            des
                             Domaine de                  Ridgelets
               Transformée   Domaine de    Transformée
     Image                      Radon
                de Radon       Radon         ondelette




    La transformation Ridgelet a été créé spécifiquement pour
      représenter efficacement les arêtes dans une image.

                                                            [Candès98]
         Définition de la transformation Ridgelet 2D


Les coefficients ridgelet sont donnés par une transformation ondelette 1D
                         des projections de Radon
           Définition de la transformation Ridgelet 2D
                           La transformée de Radon




                                                       Définir les
                                  Transformée                        Transformée de
Somme des pixels le long                           lignes radiales
                                   de Fourier                          Fourier 1D
d’un ensemble de lignes               2D de
                                                     passant par
                                                                     inverse le long
                                                      l’origine de
                                     l’image                            des lignes
                                                         l’image



 Stratégie classique                            Stratégie de Fourier
   Stratégie pour la transformation Ridgelet 2D discrète




1. Calcul de la transformée de Radon discrète : Difficile à
  réaliser.

2. Appliquer une transformée discrète en ondelettes sur chaque
  projection : facile à implanter, stable et inversible avec les
  bancs de filtres.
                     Stratégie de Lausanne



Somme des pixels le long
d’un ensemble de lignes

                                                                    [Do&Vetterli2001]



                      Stratégie de Stanford
   iFFT 1D le long des lignes définies
      dans le domaine de Fourier




   Conversion de la grille cartésienne en une grille          Décomposition du domaine
                   pseudo-polaire                              de Fourier 3D en 3 cônes
                                         [Averbuch Coifman Donoho Israeli Waldén2000]
        Sommaire

Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
                          Stratégie de Poitiers
                Stratégie de calcul de la DART 2D :



                     FFT 2D                            Définition
                                                          des
                                                        droites
                                                       discrètes


                                  Coefficients de
                                     Fourier                           Extraction des
                                                                    coefficients de Fourier
                                         iFFT

                               Projection de l’image

                                                       Transformée ondelette 1D
                                                         le long des projections
                                     Ridgelet
    Extraction des                                                     [Carré&Andres2002]
coefficients de Fourier
           Transformation de Radon analytique discrète



 DART : Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon

f2                                   Droites L[p,q] sont définies à l’aide de
                                        géométrie analytique discrète


     0
                                 Nous avons besoin d’une droite discrète avec :
                                 • une symétrie centrale,
                                 • formant une « bonne » approximation de la
                                   droite euclidienne.
               0
         Domaine de Fourier f1


                                                                          16
          Transformation de Radon analytique discrète
Les droites analytiques discrètes que nous avons utilisées sont définies par :




     avec [p,q] la direction de projection de Radon
     et , une fonction de (p,q), l’épaisseur arithmétique


                        Droites naïves fermées (8-connexes)



                        Droites supercouvertures (4-connexes)


                        Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes)

                                                                      17
          Transformation de Radon analytique discrète

Nous avons besoin d’un ensemble de directions [p,q] qui permettent une
   représentation complète (une couverture du domaine de Fourier)




                  0




                                   0
        Transformation de Radon analytique discrète




                  Naïf                             Supercouverture


Le facteur de redondance varie avec l’épaisseur arithmétique de la droite
(par exemple 2.05 pour les droites naïves fermées et 3.05 pour les droites
supercouvertures)
                              DART Inverse

                                                      Définition
                                                         des
                                                       droites
                   FFT 2D                             discrètes


                   iFFT 2D
                                                                   Remise en place des
                                  Coefficients de                   coeffs de Fourier
                                     Fourier
                                                             Extraction des
         FFT 1D                          iFFT 1D          coefficients de Fourier

                              Projection de l’image

                                                            Transformée ondelette 1D
                                                              le long des projections
Coeffs ridgelets
   modifiés                          Ridgelet

                   Traitements
                   (débruitage)
        Sommaire
Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
Pourquoi la DART est performante en débruitage

La transformée Ridgelet code efficacement les contours rectilignes


 Droite discrète 1

 Droite discrète 2                               La DART est une
  Pixels couverts
                                                   transformée
   par les deux                                     redondante
 droites discrètes




       Domaine de Fourier 2D couverts par deux
            droites analytiques discrètes



   Répétition des informations dans le domaine des Ridgelets
                 Stratégie pour le débruitage


• Seuillage des coefficients Ridgelet
• Calcul de la DART inverse.

Le seuillage utilise une décomposition en ondelettes non-décimée
                                                    Paramètre de Donoho




                 La variance du bruit est estimée par la valeur médiane
                     absolue des coefficients de la première échelle
                       d ’ondelette pour chaque projection radiale
Influence de l’épaisseur analytique sur le débruitage




                 (a)                     (b)
                                     (SNR=15 dB)




       naïve           pythagoricienne             supercouverture
                                                                 24
        Image Femme + bruit (=60)
Noisy      Fwt : ondelettes ortho   Uwt : ondelettes redond




EPFL       DART                     LDART
        Image Maison + bruit (=70)
Noisy      Classical Wavelet    Undecimated Wavelet




EPFL       DART                 LDART
     DART pas efficace pour toutes les applications

Reconstruction partielle d ’une image artificielle à partir des
               512 plus grands coefficients




     Ondelette        EPFL                       DART

  La redondance de la DART n’est pas un avantage ici
        Sommaire
Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
                 Définition de la DART 3D
         Définition de la transformée Ridgelet 3D
                            r(a,b,)   (t)Rs (t,,) dt
                                                a,b
                                         R²
    avec Rs la transformée de Radon 3D de s et  a,b fonction ondelette
            bord                                  Point


                                                                                   Domaine
                                                                                      des
                                              Domaine de                           Ridgelets
       Image 3D
                       Transformée             Domaine         Transformée
                       de Radon 3D              Radon
                                               de Radon          ondelette


                   La transformée de Radon 3D
La transformée Radon 3D de s est définie par :
          Rs t,,  3sx1 ,x2,x3  x1 cos cos  x2cos sin  x3sin t dx1 dx2dx3
                        R



                                        Définir les lignes              Transformée de
       Transformée de
                                     radiales passant par                  Fourier 1D
        Fourier 3D de
                                      l’origine de l’image              inverse le long
           l’image
                                                                           des lignes
      La transformée de Radon discrète 3D
Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète 3D :

   1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image

   2. Définition des droites discrètes 3D passant par
     l'origine pour chaque paramètre angulaire θ et 

   3. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour
     chaque droite
       La transformée de Radon discrète 3D
            Définition d’une droite analytique
            discrète 3D
Lp,,,2r,3  oxy p,q,r  oyz p,q,r  ozx p,q,r
  1
  q 

    oxy p,q,r x, y,z Z 3 / qx py 1 
                                           
                                         2
    oyz p,q,rx, y,z Z 3 / ryqz 2 
                          
                                         2
    ozx p,q,r x, y,z Z 3 / pzrx 3 
                         
                                        2 




       Droite naïve                Droite pythagoricienne   Droite supercouverture
        La transformée de Radon discrète 3D
                Couverture du volume par les droites
                           discrètes 3D




=> Domaine de Fourier 3D couvert par des droites supercouvertures
=> Domaine de Fourier 3D non couvert par des droites naïves et pythagoriciennes
Autre approche pour la Radon discrète 3D

1. Calcul de la transformée de Fourier 3D
  de l'image

2. Définir des plans discrets passant par
   l’origine   pour  chaque     paramètre
   angulaire 

3.      Couvrir le plan par des droites
     analytiques discrètes 2D passant par
     l’origine et définies pour chaque
     paramètre angulaire 

4. Calcul de la transformée de Fourier 1D
   inverse pour chaque droite
     Autre approche pour la Radon discrète 3D
              Définition des objets analytiques discrets



   z, t
          y

              x




Les plans
discrets :



                          naïf       pythagoricien   supercouverture
    Autre approche pour la Radon discrète 3D
          Définition des objets analytiques discrets


                                       La projection du plan est
                                          pavé de droites 2D


            y

      x
                z




Les droites discrètes 3D au final :
        Sommaire
Introduction
Contexte
DART 2D
Exemple d’application 2D
DART 3D
Exemples d’applications
Conclusion
           Débruitage d’une image synthétique


                                                        SNR=9,62 dB




               Image originale          Image bruitée




SNR=13,45 dB                                            SNR=18,62 dB




          Image débruitée par une    Image débruitée par
          transformée en ondelette       une DART
Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (1/2)




          Image originale               Image bruitée




      Image débruitée par une
       transformée ondelette    Image débruitée par une DART
Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (2/2)




       Image originale                    Image bruitée




        Image débruitée par une
       transformée en ondelette   Image débruitée par une DART
    Débruitage de la vidéo 1 (1/2)




Vidéo originale            Vidéo bruitée
                            SNR=0.051 dB
             Débruitage de la vidéo 1 (2/2)




     Vidéo débruitée par une       Vidéo débruitée par
transformée en ondelette redond.       une DART
            SNR=6.17 dB                SNR=7.47 dB
              Conclusion (1/3)

• La DART est facile à mettre en œuvre
• facile à inverser
• paramétrable avec l ’épaisseur arithmétique
• illustre l’intérêt de la géométrie discrète
• et constitue un bon outil de débruitage en 2D,
3D et ? 4D
                   Conclusion (2/3)
                      Les perspectives


- Loi d’interpolation pour pallier la non-couverture du
  domaine de Fourier par les droites 3D naïves et
  pythagoriciennes
- Droites analytiques discrètes 3D plus fines pour limiter la
  redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs
  résultats en reconstruction partielle

- Droites analytiques discrètes 3D plus épaisses pour
  augmenter la redondance de la DART et ainsi obtenir de
  meilleurs résultats en débruitage
              Conclusion (3/3)
              La DART à fenêtres




DART 3D sur                 DART 3D inverse Image 3D
               Traitement    sur toutes les reconstruite
 toutes les
  fenêtres                     fenêtres

				
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posted:12/2/2011
language:French
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