Géométrie plane
I Repère et coordonnées
1) Repère
Définition :
Trois points O, I et J non alignés forment un repère du plan.
On note alors le repère : O,I ,J où O est appelé origine du repère.
Exemple :
Soit ABC, un triangle non aplati, alors le triplet A,B,C est un repère
du plan.
Remarques : Soit O,I ,J un repère du plan y
1 J
Lorsque les droites OI et OJ sont perpendiculaires, on I
dit que le repère est orthogonal. 0 1 x
Lorsque les droites OI et OJ sont perpendiculaires et y
1 J
que l’on a OI OJ , on dit que le repère est orthonormé. I
0 1 x
2) Coordonnées.
Propriété : Soit O,I ,J un repère orthonormé
Tout point M du plan est repéré par un unique couple xM ; yM de réels, appelé
couple de coordonnées de M.
On écrit M xM yM
xM est l’abscisse du point M et yM est l’ordonnée du point M.
Exemple :
ABCD est un parallélogramme. Le point E est le symétrique du point B par rapport à A,
le point F est le symétrique du point A par rapport à C et G est le symétrique du point D
par rapport à B.
Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G dans le repère A,B,D .
3) Milieu d’un segment.
Propriété : Soit O,I ,J un repère
Soit et deux points distincts
Le milieu I du segment AB a pour coordonnées avec :
x A xB y A yB
xI et yI
2 2
Exemples :
Soit A, B et C les points de coordonnées , et dans un repère
orthonormé O,I ,J .
Déterminer les coordonnées des points K et L, milieu des segments AB et AC .
ABCD est un carré. E est le milieu du segment AB et F le milieu du segment BD .
Dans le repère orthonormé A,B,D , donner les coordonnées des différents points.
4) Distance entre deux points du plan.
Propriété : Soit O,I ,J un repère orthonormé
Soit et deux points distincts
La distance entre les points A et B est :
AB xB xA yB yA
2 2
Exemples :
Soit A, B et C les points de coordonnées dans un repère
orthonormé O,I ,J .
Déterminer les distances AB et AC .
Dans un repère orthonormé, on donne les points .
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
II Configurations du plan
1) Triangles.
Propriétés :
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes au centre O de son
cercle circonscrit.
Les médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité G du
triangle.
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en l’orthocentre H du triangle.
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes au centre I de son cercle
inscrit.
Centre de gravité G : Centre du cercle inscrit I :
Orthocentre H : Centre du cercle circonscrit O :
Remarques :
Propriété caractéristique d’une médiatrice :
Un point M appartient à la médiatrice d’un segment AB (A distinct de B), si et
seulement si, AM BM .
Triangles particuliers et axe de symétrie:
Un triangle isocèle a pour axe de symétrie la médiatrice de sa base.
Un triangle équilatéral a trois axes de symétries : les médiatrices de ses côtés.
Propriété caractéristique des triangles rectangles :
Un triangle ABC (non aplati) est rectangle en A, si et seulement si, le côté BC
est un diamètre de son cercle circonscrit.
2) Quadrilatères.
Définition Propriété caractéristique
Un
Ses côtés opposés
parallélogramme Ses diagonales ont même
parallèles deux à
est un quadrilatère milieu.
deux.
ayant :
Un rectangle est Ses diagonales ont même
Quatre angles
un quadrilatère milieu et ont même
droits.
ayant : longueur.
Un losange est un Ses diagonales ont même
Quatre côtés de
quadrilatère milieu et sont
même longueur.
ayant : perpendiculaires.
Quatre angles Ses diagonales ont le
Un carré est un
droits et quatre même milieu, la même
quadrilatère
côtés de même longueur et sont
ayant :
longueur. perpendiculaires.
Remarques : Quadrilatères et symétries :
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses
diagonales.
Un rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre
de symétrie (le point d’intersection de ses diagonales).
Un losange a deux axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie (le
point d’intersection de ses diagonales).
Théorème des milieux : Soit ABC un triangle non aplati et I le milieu du
segment AB
Si J est le milieu du segment AC , alors IJ // BC et IJ 1 BC .
2
Si la parallèle à BC coupe le segment AC en J, alors J est le milieu du segment
AC .