Calculus

微積分





林光賢 陳天進 劉明郎 著

第十章 微分方程

 課程目標

微分方程簡介

分離變數法

微分方程的應用

一階線性微分方程

微分方程的近似解









第十章 微分方程 2

微分方程簡介

 我們曾學習過代數方程以及如何求其解，例如：

x2 - 2x3 = 0 即為一個代數方程且 x = 3 與 –1 為此方

程的解。在微積分裡，我們探討在一個方程中涉及

一個未知函數以及其導數，這樣的方程即稱為微分

方程。例如：

(a) y   3x  1  微分方程的解即指某一

(b)

d2y

 x2  2 x  1 函數 y = f(x) 滿足所給定

dx 2 的微分方程。

(c) xy   2 y   y  x  1

(d) y   y  0

(e) y   ky



第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 3

證明函數為微分方程之解

 設 C 為任意常數，證明 y = x2 + C 為 y' = 2x 之解。

 解: 顯然地，y' = 2x，故 y = x2 + C 為 y' = 2x 之解。





 證明 y = sin x 為 y'' + y = 0 之解。

 解: y' = cos x，y'' = - sin x 。

因此

y'' + y = - sin x + cos x = 0

所以，y = sin x 為 y'' + y = 0 之解。



第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 4

微分方程簡介

 我們通常根據微分方程中未知函數之導數的階數

(order)來分類，若僅涉及一階導數，則此微分方程

稱為一階微分方程 (first-order differential equation)；

若涉及二階導數，則稱之為二階微分方程 (second-

order differential equation)，以此類推。

 例如： y' = 2x + 1，x2y' = 2y，y' = y 皆為一階微分方

程。

 y'' + y = 0 與 x2y'' + 2xy' + y = 2x 皆為二階微分方程。







第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 5

微分方程簡介

 在例中，我們證明了 y = x2 + C 為 y' = 2x 之解，這種解稱為

微分方程式 y' = 2x 的 一般解 (general solution)；若代入特殊

的常數 C ，例如 C = 1，則 y = x2 + 1 稱為微分方程 y' = 2x 的

特解 (particular solution)。

 以函數圖形來看，y = x2 + C

在平面代表的是拋物線，如

右圖所示，而 y = x2 + 1 為其

中的一個拋物線。

 微分方程的一般解為一群函

數圖形而特解指的是其中的

一個函數圖形。





第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 6

微分方程之一般解/特解

 證明微分方程之一般解

設 C 為任意常數，則 y = Cex 為 y' = y 之一般解。

解: y' = Cex = y，故 y = Cex 為 y' = y 之一般解。

 證明微分方程之特解

證明 y = -ex 為 y' = y 之特解。

解: y' = -ex = y，故 y = -ex 為 y' = y 之特解。



 下例中之函數 y = -ex 即為上例的一般解中滿足

y(0) = -1 這個條件的函數。這個條件 y(0) = -1 稱為

微分方程 y' = y 之初始條件(initial condition)。



第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 7

微分方程之特解

 證明 y = ex + e-2x 為 y'' + y' - 2y = 0 之特解。

 解: y' = ex - 2e-2x

y'' = ex  4e-2x

所以

y  y - 2 y  (e x  4e-2 x )  (e x - 2e-2 x ) - 2(e x  e-2 x )

 ( e x  e x - 2e x )  ( 4e - 2 x - 2e - 2 x - 2e - 2 x )  0

故 y = ex + e-2x 為 y'' + y' - 2y = 0 之特解。







第十章 微分方程 10-1 微分方程簡介 8

分離變數法

 面對微分方程，最重要的課題是如何求其解。我們介紹最基本

的一種解法，即分離變數法 (separation of variables)，最簡單的

一階微分方程 y' = f(x)，若以微分的表示法可得

dy

dx

 f (x ) dy  f ( x)dx

因此，兩邊積分

 dy   f ( x)dx 即求得 y   f ( x)dx

 檢視這個微分方程，它有一個特點，即 x 和 y 這兩個變數是可

以被分離的，即 y 變數在等號的左邊，而 x 變數在等號的右邊

，若一個微分方程具備有此特性，則對等號兩邊積分即可求得

其解，此即分離變數法。



第十章 微分方程 10-2 分離變數法 9

分離變數法

 分離變數法: 設 y   g (( y ) ，g(y)  0，為一階微分方程

f x)



式，則其一般解可由

 g ( y )dy   f ( x)dx

求得。

 由微分表示法得知

dy f ( x)

dx

 g( y) g ( y )dy  f ( x)dx

兩邊積分，得

 g ( y )dy   f ( x)dx

故 y   g ( y )dy   f ( x)dx。

f ( x)

之一般解必須滿足

g( y)

第十章 微分方程 10-2 分離變數法 10

求一般解

 求 y' = x / y2 之一般解。

 解: 由分離變數法知

y 2dy  xdx   y 2dy   xdx  1

3

y 3  1 x 2  C1

2

由故此方程式的一般解滿足 y3 = 3x2 / 2 + 3C1。令 C

= 3C1，則 C 仍為常數。因此

y3 3

2

x2  C

為此微分方程的一般解。







第十章 微分方程 10-2 分離變數法 11

求特解



 y   ky 之解。

求

 y ( 0)  y 0

 解: 由分離變數法知

y   ky  dx  yk     kdx

dy dy dy

y

 kdx  y

 ln |y|  kx  C1  | y | ekx  C1  eC1 e kx

 Cekx

通常在實際的應用問題上，y 為正值函數，故

y = Cekx

由 y(0) = y0，知 C = y0。故其解為 y = y0ekx。



第十章 微分方程 10-2 分離變數法 12

求一般解

 求 y' = 3x2y2 + 2xy2 之一般解。

 解: y' = 3x2y2 + 2xy2 = (3x2 + 2x) y2

由分離變數法， dy  (3 x 2  2 x )dx

2

y



y   (3x 2  2 x )dx  -

dy

故 2

1

y

 x3  x2  C

所以， y  - 1 為此微分方程的一般解。

x 3  x 2 C









第十章 微分方程 10-2 分離變數法 13

求特解

 求  y   2 x ( y  1) 之解。



 y ( 0)  2

解: y   2 x ( y  1) 

dy

 y 1

 2 xdx



   2 xdx  ln | y  1 | x 2  C1

dy

y 1

假設 y + 1 > 0，得

x 2  C1 C1 x 2 x2

y 1  e  e e  Ce ( C = eC1為常數)

x2

 y  -1  Ce

令 x = 0，得 2 = -1 + C，即 C = 3。故 y  -1  3e x2



為此微分方程之特解。

第十章 微分方程 10-2 分離變數法 14

估計銀行的存款

 假設某人將 10,000 元存放到一家銀行，此銀行以 6%之年利

率且連續複利的情況下來優惠存款戶。若此人每年固定再存

入 6,000 元，試問 t 年後此人的戶頭存款總額為多少？

 解: 令 y(t) 表 t 年後的存款總額，則其存款之年增率為 y' =

6000 + 0.06y。因此，依據題意須求下列微分方程之特解：

 y   6000  0.06 y

 y (0)  10000



依分離變數法，得



   1dt 

dy

6000  0.06 y

1 ln

0.06

| 6000  0.06 y | t  C1







第十章 微分方程 10-2 分離變數法 15

估計銀行的存款

 解: 因為 y > 0，故

ln( 6000  0.006 y )  0.06t  C2 (C2  0.06C1 )

 6000  0.06 y  C3e0.06t (C3  eC2 )

 0.06 y  -6000  C3e0.06t

C3

 y  -100000  Ce0.06t (C  0.06

)

由初始條件得知，10,000 = -100,000 + C

得 C = 110,000

故 t 年後，此人銀行之存款總額為

y = -100,000 + 110,000e0.06t





第十章 微分方程 10-2 分離變數法 16

微分方程的應用

 在這節中，我們將探討三類微分方程模式：

無限制型的成長 (unlimited growth)

限制型的成長 (limited growth)

供需型的成長 (logistic growth)

它們和實際應用領域的關係。









第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 17

無限制型的成長模式

 此種模式可用微分方程

 y  ky, k  0



 y (0)  y0

來表示，而其解為 y = y0ekt，如下圖所示。



 意義為在時間 t 時的變化率 y'(t) 和

在當時的量 y(t) 成一個固定的比率

k。而這種函數 y(t) 的性質是當時間

增加時，y(t) 愈來愈大或者可以

lim y (t )   表示之，故稱之為無

t 

限制型的成長。



第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 18

估計財富

 某人現有10 萬元之財產，依其估計每年可增加 8%

。試問 t 年後此人之財產價值為何？

 解: 依題意，t 年時，財產之價值 y(t) 之增加率為

0.08y(t)，即

y' = 0.08y 且 y(0) = 10 (以萬元為單位)

故 t 年後其財產總值為 y(t) = 10e0.08t (以萬元為單位)

。









第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 19

限制型的成長模式

 此種模式可用微分方程

y  k ( M - y ), k  0

y ( 0)  0

來表示，而其解為 y = M(1 - e-kt)，如下圖所示。



 意義為 y(t) 的變化率 y'(t) 與

M - y(t) 成一個固定比率 k，

而此種函數 y(t) 其值永遠不

超過 M， lim y (t )  M ，即 y

t 

= M 為其水平漸近線，故稱

之為限制型的成長模式。



第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 20

限制型的成長模式

 限制型的成長模式: 訊息的傳播

 一個訊息經媒體報導後，假設在時間 t 時，接收到此一訊息的人數為

y(t)，那麼尚未接收到此一訊息的人為 M - y(t)，M 為總人口數。

 社會學家假設接收到訊息人數的變化率 y'(t) 和尚未接收到訊息的人

數 M - y(t) 成一定的比率 k，即 y' = k(M - y) 且 y(0) = 0，故在時間 t

時接收到此一訊息的人數為 y(t) = M(1 - e-kt)。

 限制型的成長模式: 學習理論

 心理學家發現人的學習能力是有其上限的，如一個人在記憶英文單

字時有其上限 M，設 y(t) 表在時間 t 時所能記憶的英文單字的數目，

心理學家進一步發現 y(t) 的變化率和 M - y(t) 成一固定的比率 k，即

y' = k(M - y) 且 y(0) = 0，故在時間 t 時，一個人所能記憶的英文單字

總數為 y(t) = M(1 - e-kt)。





第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 21

訊息的傳播

 某一小鎮有 5,000 人，發生一件謀殺案，經由人們

彼此間的傳播，一小時後有 1,000 人知道此兇殺案

。試問 t 小時後有多少人知道此謀殺案？

 解: 設 y(t) 表 t 小時後知道此謀殺案的人數，由題意

知，

y' = k(5000 - y) 且 y(1) = 1000，

故 y(t) = 5000(1 - e-kt) 且 1000 = 1000(1 - ek)，即 1 -

e-k = 0.2，e-k = 0.8，取自然對數，得 -k = ln(0.8)，

即 k  0.22。因此

y(t) = 5000(1 - e-0.22t)。

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 22

學習理論

 某人至多能夠記憶 500 個德文單字，經過 2 小時後

此人已經記住了 50 個德文單字。試問 t 小時後，此

人可記憶多少個德文單字？

 解: 設 y(t) 表 t 小時後此人所能記憶的德文單字數目

，依據題意

y' = k(500 - y) 且 y(2) = 50

故 y(t) = 500(1 - e-kt) 且 50 = 500(1 - e-2k)，即 e-2k =

0.99。取自然對數，得 -2k = ln(0.99)，即 k  0.005

。因此

y(t) = 500(1 - e-0.005t)。

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 23

供需型的成長模式

 此種模式可用微分方程

 y  ky( M - y ), k  0

 y ( 0)  M

 1C

來表示，而其解為 y  M-kMt ，如下圖所示。

1Ce

 意義為 y(t) 的變化率 y'(t) 與

y(t)(M - y(t)) 成一個固定比率 k。

通常在表示成長的意義之下，我

們假設初始條件 y(0) < M，因此

，由圖知，此種模式的成長在開

始時十分的溫和，然後成長加快

，最後趨近於上限 M。

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 24

供需型的成長模式

 在動物的生長環境中(例如：草原、森林、湖泊或人

工水產養殖場)，假設其可容納的總數為 M 且 y(t) 表

在時間 t 時動物之數量，生態學家通常假設 y(t) 的

變化率 y'(t)，與當時的動物數量 y(t) 及尚未到達飽

和的動物數量 M - y(t) 之乘積成一固定比率 k，即 y'

= ky(M - y)且 y(0)  1M  M ，故在時間 t 時，動物

C

之數量 y  M

- kMt 。

1Ce

 社會學家發現在一個擁有人口數 M 的城市裡，某一

謠言的散播率 y'(t)，與已經聽到此謠言的人數 y(t)

及尚未聽到此謠言的人數 M - y(t) 之乘積一固定比

率 k，即 y' = ky(M - y)。

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 25

動物的成長

 假設在一片大草原裡的生存環境至多只能容納 5,000 頭羊。

原來在這片草原上已有 400 頭羊，經過 5 個月後，草原上估

計有 1,200 頭羊。試問 t 個月後草原上有多少頭羊？

 解: 令 y(t) 表 t 個月後草原上羊的數目，由題意知，y' =

ky(5000 - y) 且 y(0) = 400，y(5) = 1,200。因此， y  5000 kt

-5000

1Ce

令 a = 5000k，由 y(0) = 400 及 y(5) = 1200，得

 5000  400 ..........

 1C ..........(1)

 5000  1200 .......... (2)

.....

1Ce-5a



由 (1) 得 C = 11.5，將其代入 (2)，得 e-5a = 0.28，取自然對數

，-5a = ln(0.28)，得 -5a  -1.27，所以 a  0.25。因此，t 個

月後，草原上羊的總數為 y  50000.25t 。 -

111.5e

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 26

謠言的散播

 在一個 800 人的海水浴場，有一個人散播海裡出現食人鯨這

樣的謠言，5 分鐘後已有 100 人聽到這個謠言。試問 t 分鐘

後有多少人聽到此謠言？

 解: 令 y(t) 表 t 分鐘後聽到此謠言的人數，由題意知， y' =

ky(800 - y) 且 y(0)=1，y(5) = 100。因此， y  800 kt

-800

1Ce

令 a = 800k，由 y(0) = 1 及 y(5) = 100，得

 800  1 ..........

1C ..........(1)

 800  100 ........... (2)

1Ce-5a



由 (1) 得 C = 799，將其代入 (2)，得 e-5a  0.0087，取自然對

數，-5a  ln(0.0087)，得 -5a  -4.7443，所以 a  0.9488。

因此，t 分鐘後，聽到此謠言之人數為 y  800

-0.9488t 。

1799e

第十章 微分方程 10-3 微分方程的應用 27

一階線性微分方程

 我們介紹了分離變數法以及如何利用它來解特殊的

一階微分程。但是並不是每個一階微分方程都可由

分離變數法求解。在這節裡，我們將介紹積分因子

法(method of integrating factor)以及如何利用它來解

一階線性微分方程(first-order linear differential

equation)。

 一階線性微分方程乃一個微分方程滿足以下的標準

形式：y' + p(x)y = q(x)

例如：y' + xy = 5x2，y' + y = sin x 與

(x2 + 1)y' + (x - 1)y = ex + 5皆為一階線性微分方程。

第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 28

求一階線性微分方程之解

 求 y  1 y  2 之一般解

x

 解: 若令 p(x) = 1/x 且 q(x) = 2，則微分方程為一階線

性微分方程之標準形式。

令 I(x) = x 且在微分方程的等號兩邊各乘以 I(x) 得

xy  y  2 x

由微分乘法法則知 dx ( xy)  2 x

d



兩邊積分，得 xy = x2 + C

故 y  x  C 為 y  1 y  2 之一般解。

x x







第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 29

求一階線性微分方程之特解

 求 y' - y = 1 且 y(0) = 0 之特解。

 解: 令 I(x) = e-x 且在微分方程等號的兩邊各乘以 I(x)

，得 e-xy' - e-xy = e-x

由微分乘法法則知

d (e - x y )  e - x

dx

兩邊積分，得 e-xy = -e-x + C

即 y = -1 + Cex

利用初始條件 y(0) = 0，得 C = 1，故 y = ex - 1

為 y' - y = 1之特解。



第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 30

積分因子法

 能夠求得此二微分方程的解，整個關鍵在於 I(x) 的

選擇，即只要能夠選到一個適當的 I(x)，我們就可

以將此一階線性微分方程解出來。這個 I(x) 即為此

微分方程的積分因子(integrating factor)，利用此種方

法解微分方程即所謂的積分因子法。



 問題是給定一個一階線性微分方程，y' + p(x)y = q(x)

，如何求得積分因子 I(x)？







第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 31

積分因子法

 給定一個一階線性微分方程，y' + p(x)y = q(x)，如何

求得積分因子 I(x)？考慮寫成以下形式的乘法規則：

d (uy)  uy  uy

dx





 我們希望將微分方程等號左邊轉成乘法規則的形式，

將微分方程乘以 I(x) 得

I ( x) y  p ( x) I ( x) y  I ( x) q ( x)

 I ( x)  p( x) I ( x)

 I ( x)  e  p ( x) dx (uv)  uv  uv



第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 32

積分因子法

 設 y' + p(x)y = q(x) 為一階線性微分方程，則其一般解

可由下列步驟求得：

(1)求積分因子 I ( x)  e  p( x)dx

(2)微分方程 y' + p(x)y = q(x) 等號的兩邊同乘以 I(x)，得

I(x)y' + I(x)p(x)y = I(x)q(x)

(3)由微分乘法法則知 dx ( I ( x) y)  I ( x)q( x)

d



(4)等號兩邊同時對 x 積分得 I ( x) y   I ( x)q( x)dx

(5)因此， y  I (1x)  I ( x)q( x)dx ，即為 y' + p(x)y = q(x) 之

一般解。



第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 33

積分因子法求微分方程之一般解

 求 y' + 2y = ex 之一般解。

 解: 積分因子為 I ( x)  e  2dx  e2 x，等號兩邊同乘 e2x

，得 e2xy' + e2x2y = e3x

由微分乘法法則知

d (e 2 x y)  e3 x

dx

兩邊積分，得

e2 x y   e3x dx  1 e3x  C

3

故微分方程之一般解為

y  1 e x  Ce -2 x

3

第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 34

積分因子法求微分方程之特解

 xy - y  x

 求 之特解。

 y (1)  5

 解: 將微分方程 xy' - y = x 改寫成 y' - y/x = 1。積分

因子為

- 1 x dx

I ( x)  e  e -ln x  1  x -1

x

故此微分方程之一般解為

y 1

 x -1dx  x  dx  x(ln x  C )  x ln x  Cx

x -1 x



由初始條件 y(1) = 5，得 C = 5，故此微分方程之特

解為 y  x ln x  5x

第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 35

積分因子法求微分方程之一般解

 求 y' + y = x 之一般解。

 解: 積分因子為 I ( x)  e 1dx  e x



故此微分方程之一般解為

y 1

 e x xdx  e - x  xe x dx

ex

由部份積分法可求得

 xe x dx  xe x - e x  C  udv  uv -  vdu

所以，此微分方程之一般解為  C

 xe dx  xe - e

x x x







y  e-x ( xe x - e x  C)  x -1  Ce-x



第十章 微分方程 10-4 一階線性微分方程 36

微分方程的近似解

 我們利用分離變數法及積分因子法來解一階微分方

程式，然而並非所有的微分方程皆可解。即使可解

，其解的形式可能十分的複雜，那麼在應用上就有

它實際的困難。



 數學家發展出許多不同的方法來求微分方程的近似

解，這裡我們介紹十八世紀數學家尤拉(Euler)所發

現的方法，稱之為尤拉方法(Euler method)。







第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 37

尤拉方法

 欲求一個微分方程在指定初始條件的特解，此問題稱為初始

值問題 (initial value problem)，例如：

 y  g ( x, y)



 y(a)  y0

 尤拉方法告訴我們如何求上

述問題在 [a, b] 區間上的一

個近似解 y = h(x)。

 若 y = f(x) 為問題真正的解，

我們可以用一個多邊形函數

(polygonal function), y = h(x)

來近似 f(x)，如右圖所示。



第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 38

尤拉方法

 (1) 將 [a, b] 區間分割成 n 個相等的子區間 [xi-1, xi], 1  i  n，

即 a = x0 < x1 < … < xn = b 且 xi - xi-1 = (b - a) / n。令Dx = (b -

a) / n，則 xi = a + iDx, 1  i  n。

 (2) 首先造第一個線段。由起始點 (x0, y0) 出發，函數 y = f(x)

之圖形在 (x0, y0) 之切線的斜率為 g(x0, y0) ，切線方程式為 y -

y0 = g(x0, y0)(x - x0)。第一個線段將限制在 [x0, x1] 區間，故得

y = y0 + g(x0, y0)(x - x0), x0  x  x1

 (3) 令 y1 = h(x1) = y0 + g(x0, y0)(x1 - x0) = y0 + g(x0, y0)Dx 由

(x1, y1) 出發，重複步驟(2)，就可造出第二個線段，即

y = h(x) = y1 + g(x1, y1)(x - x1), x1  x  x2

 重複這樣的步驟 n 次，就可建構出一個 n 個線段所組成的多

邊形函數 y = h(x)，如下圖所示。

第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 39

尤拉方法

 (1) 將 [a, b] 區間分割成 n 個相等

的子區間 [xi-1, xi], 1  i  n。

 (2) 由起始點 (x0, y0) 出發造第一

個線段

y = y0 + g(x0, y0)(x - x0), x0  x  x1

 (3) 令 y1 = h(x1) = y0 + g(x0, y0)(x1

- x0) = y0 + g(x0, y0)Dx，得第二點

(x1, y1)，重複步驟(2)，就可造出

第二個線段

y = y1 + g(x1, y1)(x - x1), x1  x  x2







第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 40

利用尤拉方法求微分方程之近似解

 求一個由 4 個線段所組成的多邊形函數 y = h(x) 近似於下列

初始值問題在 [0, 2] 區間的解

 y  x - y



 y(0)  0

 解: 由題意知，g(x, y) = x - y, n = 4, Dx = (2 - 0) / 4 = 0.5,

(x0, y0) = (0, 0), x0 = 0, x1= 0.5 , x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2。

第一個線段: y = y0  g(x0, y0)( x - x0), x0  x  x1, 即 y = h(x) = x,

0 x  0.5。

第二個線段: y = y1  g(x1, y1)( x - x1), x1  x  x2, 即 y1 = 0.5, A

第二個線段為 y = 0.1  g(0.5, 0.5)( x - x1), 0.5  x  1。

即 h(x) = 0.5, 0.5  x  1。



第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 41

利用尤拉方法求微分方程之近似解

 求一個由 4 個線段所組成的多邊形函數 y = h(x) 近似於下列

初始值問題在 [0, 2] 區間的解: y  x - y, y(0)  0

第三個線段: y = y2  g(x2, y2)( x - x2), x2  x  x3, 即 y2 = h(x2) =

0.5, 因此，第三個線段為

y = 0.5  g(1, 0.5)( x - 1), 1  x  1.5

= 0.5  0.5( x - 1)= 0.5x

即 h(x) = 0.5x, 1  x  1.5。

第四個線段: y = y3  g(x3, y3)( x - x3), x3  x  x4, 即 y3 = h(x3) =

0.75, 因此，第四個線段為

y = 0.75  g(1.5, 0.75)( x - 1.5), 1.5  x  2

= 0.75  0.75( x - 1.5)= -0.375 + 0.75x

即 h(x) = -0.375 + 0.75x, 1.5  x  2。

第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解 42

利用尤拉方法求微分方程之近似解

 結論: 所求之多邊形函數為

x 當 0  x  0.5

0.5 當 0.5  x  1

y  h( x )  

0.5 x 當1  x  1.5



- 0.375  0.75x 當1.5  x  2









第十章 微分方程 10-5 微分方程的近似解

第 十 章 結 束 43