�Te gusta hacer trucos de magia by cg6PXH4O

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									¿Te gusta hacer trucos de magia?¿Has probado a hacerlos con            · Escribe el número del mes en que naciste. Por ejemplo, si es
un poco de álgebra?                                                    junio el 6, si es noviembre el 11, etc.
En lugar de sombrero de mago necesitarás una hoja de papel y           · Multiplica ese número por 2
en lugar de varita mágica un lápiz. ¿Listo?                            · A lo que quedó, súmale 5
Vamos a hacer la prueba con uno a ver qué tal funciona:                · A lo que quedó, multiplícalo por 50
1) Piensa un número                                                    · A lo que quedó súmale tu edad actual (no la que vas a cumplir
2) Al número que pensaste súmale el número que sigue.                  este año, la que tienes en este momento, hoy).
3) Al resultado del paso anterior súmale 9.                            Al número que quedó hay que restarle 250, en el resultado de la
4) Divide el resultado entre 2                                         resta, las decenas y las unidaddes representarán la edad de la
5) A lo que quedó réstale el número que pensaste.                      persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento.
¡El número que quedó es 5!                                             Intenta explicar que sucede.
¿Impresionado?Veamos en dónde quedó el álgebra:· Nosotros no
sabemos cuál es el número que pensaste. Es una incógnita así           ¿Te gustaron los trucos?
que le llamaremos x.· Ahora hay que sumarle el número que              ¿Por qué no inventas los tuyos propios?
sigue, o sea, x+1. Así la suma que se hace es x + (x+1) = 2x + 1.·     Aprender algebra jugando.
Ahora hay que sumar nueve, así que tenemos que hacer 2x + 1 +          Existen numerosos juegos de adivinanza en los que se utilizan
9 que es igual a 2x + 10.· Hay que dividir el resultado entre 2.       herramientas matemáticas como base teórica para su
Vamos pues: (2x + 10) / 2 = x + 5· Y, finalmente, hay que restar el    construcción. Muchos de éstos juegos, emplean operaciones
número que habías pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 - x .      algebráicas en las que las incógnitas se cancelan, pudiendo así
Pero curiosamente el resultado de esta operación da 5. Así que el      determinar a priori el resultado del problema.
número que te quedó es 5.
¿Te sorprende?                                                         Veamos un caso práctico para comprender mejor como funciona
Truco 1                                                                éste método:
· En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden
ser canicas, clips, cerillos, frijoles, en fin, lo que se te ocurra.   Pedimos a nuestros alumnos que realicen las siguientes
· Pídele a alguien que piense un número entre el 1 y el 9.             operaciones:
· Saca de la caja el número de cositas que tu amigo pensó.
· Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que         1) Piensa un número cualquiera.
haber quedado un número de dos dígitos.                                2) Multiplícalo por 2.
· Suma esos dos dígitos y saca de la caja el número de cositas         3) Al resultado súmale 9.
que obtuviste de sumar los dos dígitos.                                4) Al resultado súmale el número que pensaste.
· Saca de la caja dos cositas más.                                     5) Al resultado divídelo por 3.
                                                                       6) A lo que quedó súmale 4.
Repite este truco 3 veces más                                          7) Al resultado, réstale el número que pensaste.
¿Qué está pasando? Intenta explicarlo.
                                                                       El resultado de aplicar éstas operaciones es siempre 7
                                                                       independientemente del número elegido.
Truco 2                                                                Demostración:
· Piensa un número                                                     Los datos anteriores se pueden expresar en lenguaje algebráico
· Multiplícalo por 5                                                   de la siguiente manera:
· Suma 8 al resultado
· A lo que quedó, réstale 3                                            1) Piensa un número cualquiera. X
· Divide entre 5 el resultado del paso anterior                        2) Multiplícalo por 2. 2X
· A lo que quedó resta el número que pensaste en un principio          3) Al resultado súmale 9. 2X + 9
El número que quedó es el 1                                            4) Al resultado súmale el número que pensaste. 2X + 9 + X
Explica que es lo que pasó.                                            5) Al resultado divídelo por 3. 2X + 9 + X / 3
Truco 3                                                                6) A lo que quedó súmale 4. (2X + 9 + X / 3) + 4
Esta vez el truco lo vas a hacer tú. En los renglones vacíos,          7) Al resultado, réstale el número que pensaste. [(2X + 9 + X / 3) +
escribe las instrucciones adecuadas para que se cumpla el truco.       4] - X
· Piensa un número                                                     Si resolvemos las operaciones matemáticas planteadas, veremos
· Multiplícalo por 7                                                   que las X se cancelan y el número resultante es 7
· Este renglón te toca a ti                                            [(2X + 9 + X / 3) + 4] - X = [(3X + 9 / 3) + 4] - X = X + 3 + 4 - X = 7
· Este renglón te toca a ti
· Este renglón te toca a ti                                            Luego de probar con varios números y ver que siempre se cumple
· A lo que te quedó resta el número que pensaste al principio.         dicho resultado, podemos incentivar a nuestros alumnos a
Te quedó el número 1.
Truco 4

                                                                                                                                             1
descubrir una expresión general que sirva para cualquier número      Explicación:        La suma de los dos números debe ser múltiplo
pensado.                                                             de 11, por tanto basta aplicar el criterio de divisibilidad por 11,
                                                                     para encontrar la cifra tachada.
Taller de Magia Matemática (Matemagia)                               Podemos hacer un juego similar al anterior, pero utilizando el 9:

En el taller vamos a presentar una serie de juegos de magia, que
pueden ser usados en clase de matemáticas de diferentes              2b.- Cifra tachada
niveles. En algunos casos como mero elemento de motivación y
en otras relacionándolos con contenidos concretos del currículo,     Escribe un número de 6 cifras. (Pueden ser más).
como por ejemplo divisibilidad, lenguaje algebraico, ecuaciones,     Pr ejemplo la Fecha de Nacimiento 23041994
etc. y, sobre todo, como pequeños trabajos de investigación y de     Cambia el orden de las cifras.
resolución de problemas.                                             Resta los dos números anteriores.
Estos juegos los puede realizar cualquiera, aún sin saber el         Tacha un dígito de ese resultado (que no sea 0)
principio que se esconde detrás, pero son una buena excusa para      Suma el resto de los dígitos y dime el resultado.
tratar contenidos matemáticos en nuestras clases de una forma                  La cifra tachada es … 9 menos (el resultado de la
más amena.                                                           suma)
Los juegos de magia, suelen tener un efecto inmediato sobre la
mayoría de los alumnos, que rápidamente quieren saber “el            Explicación: El número formado es múltiplo de 9.
truco”. Debemos dejar muy claro, que lo que estamos haciendo,
disfrazado de magia, en realidad es, solamente y nada menos,         Hay muchos juegos relacionados con el 9, veamos 2 más
que matemáticas. Los juegos que vamos a proponer no requieren        basados en esa misma idea:
ninguna habilidad especial, todo lo más un poco de preparación
previa. Nuestros alumnos sienten una cierta debilidad por la         3.- 20 cerillas
baraja, así que siempre que sea posible, se recomienda usar
versiones de los juegos que incluyan cartas.                         Tenemos una cajita con 20 cerillas. Nos colocamos de espaldas
Iremos comentando los juegos relacionándolo con algún                a la mesa.
contenido del currículo, aunque algunos de ellos puedan usarse       Un voluntario, retira un número de cerillas entre 1 y 10 y las
para más de un contenido. La mayori de los juegos, no requieren      guarda.
de grandes explicaciones, pues el fundamento matemático lo           Cuenta las restantes y suma las dos cifras del resultado, retira ese
hace evidente.                                                       número de cerillas y las guarda.
                                                                     Ahora, retira unas cuantas más, y las pone en su puño cerrado.
Empecemos con algunos juegos numéricos:                              Nos volvemos y “en tu mano hay ...9 – las que hay encima de la
                                                                     mesa
Divisibilidad:
1.- Magia con el 11 o el 13 o el 7                                   4.- 1089
Escribe un número de tres cifras abc.                                Escribe un número de tres cifras.
Forma un número de 6 cifras, escribiendo las tres cifras repetidas   Invierte el orden de sus cifras.
abcabc.                                                              Resta los dos números y toma el número obtenido.
Divide por 13                                                        Invierte las cifras de ese último número
Divide por 11                                                        Suma los dos últimos números
Divide por el número pensado abc.                                    •EL RESULTADO ES 1089
Adivino:           Has obtenido como resultado 7
                                                                     Jugando con el Álgebra:
Explicación: el número abcabc=abc*(1001)=abc*7*11*13
                                                                     La utilización del álgebra, nos permite seguir los razonamientos
                                                                     de muchos juegos de magia, descubriendo todos los secretos, sin
2.- Magia con el 11                                                  más que traducir los elementos del juego al lenguaje algebraico.
                                                                     Además permite a nuestros alumnos inventarse sus propios
Un nº de 8 cifras ( cualquier nº par de cifras)                      juegos de magia. Veamos un par de ejemplos.
Invierte el orden de las cifras.
Suma los dos números anteriores                                      5.- Adivinar día y mes de nacimiento, nº de hermanos y nº de
Tapamos una cifra                                                    calzado.
El mago observa el resto y adivina: “el número tapado es…”
                                                                     Piensa en el día de tu nacimiento                x
                                                                     suma 3                                           x+3

                                                                                                                                       2
multiplícalo por 5              5x + 15                                     Una vez elegido, el mago hace una predicción, que se guarda en
multiplica por 4                20x +60                                     un papel
resta 3                         20x +57                                     Una persona elige un número y tacha la fila y la columna
multiplica por 5                100x+285                                    correspondiente a ese número.
Suma el nº del mes                                                          Otra hace lo mismo con un número que no esté tachado, y así
De nacimiento                   100x + y +285                               hasta escoger 4 números diferentes.
multiplica por 10               1000x+10y+2850                              Hacemos la suma de los cuatro números marcados y observamos
suma       5                    1000x+10y+2855                              que coincide con la predicción hecha al principio.
Suma el nº de hermanos
(incluyéndote tú)               1000x+10y +z+2855                           Explicación: Antes de que empiecen a elegir los números,
multiplica por 2                2000x+200y+2z+5710                          observamos el primer número de ese cuadro “a” (superior - izq.)
añade un cero al final                                                      y…
(multip. por 10)                20000x+2000y+20z+57100                        La suma de los 4 elegidos será 4a+48
suma 5                          20000x+2000y+20z+57105
multiplica por 5                10000x+1000y+10z-285525                     Este mismo juego podemos hacerle creando nuestro propio
Suma el nº de calzado           100000x+10000y+100z+t+285525                cuadro de números, que sin duda tendrán un aspecto más
                                                                            caótico, menos ordenado que los del calendario, por ejemplo:
solución: Nº - 285525 = --            -- / - - -- / -      - / -- --
                                día        mes herm             calzado     7b.- Adivinar la suma de 5 números elegidos por otros

Como se ve en la columna de la derecha, la explicación surge de             Se trata de un cuadrado construido mediante una tabla de doble
manera elemental, al hacer la traducción al lenguaje del álgebra            entrada, la suma tiene que ser la de los números colocados en la
                                                                            fila y en la columna. Cada uno de ellos interviene una sola vez,
6.- Adivinar una carta                                                      por la forma de escoger los números.
Escoge una carta de la baraja española.                                       6         11      7        9          13
El nº de la carta multiplícalo por 2
al resultado obtenido añádele 1                                             2
multiplica por 5                                                            9
si es oros suma 1                                                           1
si es copas 2                                                               0
si es espadas 3                                                             4
si es bastos 4
Dime el resultado.                                                          La suma en este caso será 62

La carta elegida es              1ª cifra: el número de la carta            8.- Completando 9
                                 2º cifra :
si 6 --- oros         si 7 --- copas        si 8 --- espadas     si 9 ---   Anunciamos que vamos a “adivinar” la suma de varios números
bastos                                                                      de forma sorprendentemente rápida: incluso viendo el primer
8       13      9         11      15                                        número podemos predecir la suma.
15      20      16        18      22                                        Pedimos a alguien que escriba u número de 4 cifras.
7       12      8         10      14                                        Hacemos nuestra predicción
                                                                            un segundo espectador nombra un segundo número
6       11      7         9       13
                                                                            Debajo de éste, elmago escribe un tercer número de cuatro cifras.
10      15      11        13      17
                                                                            Otro espectador elige otro número
Juegos de Cálculo:                                                           y el mago escribe debajo de él un quinto número.

Existen una serie de juegos de magia, donde el mago “adivina” o             Al realizar la suma de los cinco números escritos, el resultado
calcula la suma de algunos números elegidos por el espectador.              coincide con la predicción del mago
Hay una serie de estos juegos que pueden hacerse con un
calendario, se basan en la forma regular en que están colocados             Explicación: La predicción consiste en quitar dos unidades al
los números dentro de los meses del calendario.                             número escrito en primer lugar y añadir un 2 al principio.
                                                                            Ejemplo: número escrito por el espectador 3586
7.-Magia con un calendario                                                   – predicción: 23584
                                                                            Los números que elige el mago, serán los complementos de 9 del
En un calendario se escoge un mes y dentro de él un cuadrado                número anterior
4x4.                                                                        Si el 2º número es 2458 nosotros escribiremos 6541.
                                                                            Si el 4º número es 6925      nosotros 3074

                                                                                                                                              3
                                                                      instrucciones e irá indicando, número de movimientos y la
3586+2458+6541+6925+3074=23584.                                       habitación que desaparece. Al final todos los alumnos quedarán
Dentro de las estrategias para la resolución de problemas, hay un     atrapados en una habitación, habiendo desaparecido el resto.
concepto muy poco utilizado en nuestras aulas, que resuelve una       Cada movimiento consiste en trasladar la ficha a un lugar
gran cantidad de situaciones problemáticas: La paridad.               adyacente, en Horizontal o Vertical (no en diagonal)
El concepto de paridad (un número par es aquel que tiene paridad      Explicación:
par y un número impar es aquel que tiene paridad impar) es una                  Cada movimiento significa un cambio de paridad, por
idea muy simple que sirve para resolver muchos problemas,             tanto basta con retirar las habitaciones contrarias, a la paridad
algunos realmente complicados. La simplicidad de este concepto,       donde se encuentran los jugadores, que pueden estar en
permite abordar muchos problemas, poniendo especial énfasis en        habitaciones diferentes, pero con la misma paridad.
lo esencial del razonamiento.                                         Las órdenes de la tarjeta son:
Veamos algunos juegos de magia, relacionados con la paridad:

Paridad
9.-CUATRO OBJETOS DE YATES                                            •1- Hacer 2 movimientos y   Retirar el 6
Colocamos tres palillos verdes y uno rojo en una fila, nos            •2- Hacer 4 movimientos y   Retirar el 2
volvemos de espalda (Pueden ser cartas de una baraja y fijarnos       •3- Hacer 7 movimientos y   Retirar el 1
en una de ellas p.e. el as de oros)                                   •4- Hacer 3 movimientos y   Retirar el 4
Un espectador cambiará la posición del Rojo, intercambiando su        •5- Hacer 1 movimientos y   Retirar el 7
posición con uno verde que esté a su lado, tantas veces como          •6- Hacer 2 movimientos y   Retirar el 9
quiera, pero debemos saber cuántas.                                   •7- Hacer 5 movimientos y   Retirar el 8
Iremos pidiendo que retire palillos, hasta que se quede solo con el   •8- Hacer 3 movimientos y   Retirar el 3
rojo.
                                                                      Existen muchos juegos de magia, que se basan en un principio
Explicación:                                                          muy elemental: el Orden. Bastará tener las cartas u otros objetos
1 2 3 4R                                                              ordenados para que el juego salga de manera mecánica.
Antes de volvernos nos fijamos en la posición del rojo (4).
Si el número de cambios es impar, el Rojo acabará en posiciones       Cuestión de ORDEN
1o3
•Mandamos retirar el 4 (extremo derecho).                             11.- Con 13 Cartas (o Fichas de dominó)
•Pedimos un nuevo intercambio del palillo Rojo, con lo cual
quedará en la posición 2 (centro)                                               Colocamos las cartas (o las fichas de dominó)
•Mandamos retirar los dos extremos, y queda el Rojo                   ordenadamente del 1 al 12 y a continuación la carta nº 13 que
-Si el número de cambios es par, el Rojo acabará en las               representa el 0 o la ficha Blanca doble)
posiciones 2 o 4                                                      Con las cartas tapadas, cortamos varias veces.
•Mandamos retirar el 1 (extremo izquierdo).                           El espectador pasa de Abajo – Arriba, tantas cartas como desee,
•Pedimos un nuevo intercambio del palillo Rojo, con lo cual           de una en una.
quedará en la posición 2 (centro)                                     El mago abre una carta y ella indica el número de las que ha
•Mandamos retirar los dos extremos, y queda el Rojo                   subido el espectador.

                                                                      Explicación:
10.-QUEDAR EN EL 5                                                              Tenemos que observar la última carta (si es un 5) y
          Se trata de un castillo encantado, donde las                contar por arriba ese número de cartas, la carta que hace el lugar
habitaciones van a ir desapareciendo, durante la noche. El castillo   5 nos indica cuantas cartas se han subido. Es un efecto mecánico
tiene 4 puertas, situadas en el punto medio de cada pared (es
decir enl 1, 3, 7, y 9)                                               12.- EN BUSCA DE LA SUERTE

    8                   1                   6                         En este juego, un espectador, tratará de buscar el As de
                                                                      corazones, como carta de la buena suerte. Al final se encontrará
                                                                      con todos los corazones de la baraja.
    3                   5                   7
                                                                      La Baraja debe estar preparada de la siguiente manera:
    4                   9                   2                         Las cartas de corazones estarán en orden: 9 – 5 – 10 – 3 – J – 6 –
                                                                      Q – 2 estas cartas estarán encima del mazo (el 9 encima del
           Cada uno de los alumnos puede entrar por la puerta que     todo). En la parte de debajo del mazo estarán la K, vuelta del
prefiera. Una vez dentro el “mago” leerá una serie de                 revés, no se verá, después el 7, 4, y por último cerrando el mazo
                                                                      el 8.

                                                                                                                                          4
El As estará perdido por el centro de la baraja.                     Todas las multiplicaciones van a tener los mismos números:
Al comenzar el juego, buscamos el As de corazones por que es la
carta de la suerte para el Amor.                                     142857 x 1 =142857
El espectador corta y colocamos el As encima para que se pierda      142857 x 2 =285714
en el corte (el As quedará sobre el 9, de modo que al completar el   142857 x 3 =428571
corte todos los corazones quedarán así                               142857 x 4 =571428
K(vuelta) – 7 – 4 – 8 –As - 9 – 5 – 10 – 3 – J – 6 – Q – 2           142857 x 5 =714285
A continuación se corta varias veces para que la carta quede         142857 x 6 =857142
perdida en la baraja.
Cuando ya hemos dado la carta por perdida, abrimos la baraja
con las cartas tapadas, y nos sorprendemos de que haya una           A continuación, cortamos una pulsera que habremos preparado
carta vuelta, ponemos cualquier disculpa y la separamos del          con esos números y que tenemos puesta desde antes de
mazo, aprovechando para poner todas las cartas que estaban           empezar el juego. Por dentro estarán los números y por fuera hay
debajo de la K, encima del mazo.                                     que tener alguna marca para saber por dónde cortar,
A continuación el espectador saca de la baraja una a una,            dependiendo de la multiplicación que se haya hecho.
poniéndolas sobre la mesa, 12 cartas.
Recoge las 12 cartas y las vuelve a colocar encima de la mesa del    Con menos de cien cifras, los únicos números cíclicos son los
siguiente modo: La carta de arriba pasa abajo y la siguiente la      períodos de las expresiones decimales de los números 1/7, 1/17,
pone sobre la mesa, repite este proceso hasta que se queda con       1/19, 1/23, 1/29, 1/47, 1/57, 1/61, 1/97 .
una carta en la mano, esa será el AS de corazones, significa
suerte en amores para el próximo año, pero además si                       LENGUAJE COMUN EXPRESADO EN LENGUAJE
continuamos levantando las cartas de la mesa veremos que son,                          ALGEBRAICO
el 2, 3, 4, ... de corazones, perfectamente ordenados, lo cuál
significa MUCHA SUERTE en los próximos meses
En el siguiente juego interviene además del orden, el “número                   Los enunciados de un problemas de planteo conllevan
mágico” 142857, puede ser interesante estudiar las propiedades       un lenguaje simbólico entregado por la Lógica y Matemática, este
de este números de otros números cíclicos.                           lenguaje nos permite plantear y resolver los problemas siguiendo
                                                                     los pasos que nos permite el Algebra en la resolución de
13.- NÚMERO MÁGICO                                                   ecuaciones o sistemas de ecuaciones simultáneas.
Efecto                                                                          Algunos expresiones más comunes son:
Buscamos un número escogiendo las 6 primeras cartas de oros          un número aumentado en n unidades                          : x +n
que aparezcan, tra haber mezclado la baraja.                         el doble de un número                                      : 2x
         Ese número lo multiplicamos por el resultado del            el triple de un número disminuido en k unidades            : 3x – k
lanzamiento de un dado (1 a 6)                                       el doble de un número aumentado en 5                  : 2x + 5
         A continuación, nos quitamos una pulsera que tenemos                                                                         x
puesta desde antes de comenzar el juego y ... es el mismo
número que nos ha salido en la multiplicación.                       la tercera parte de un número                                  : 3
                                                                                                                                      x
Modo de hacerlo:
                                                                                                                                        p
                                                                     la cuarta parte de un número aumentado en p                   : 4
Es un truco basado en el número 142857, que es un número                                                                            x 8
cíclico.
                                                                     la quinta parte de diferencia entre un número y 8            : 5
En primer lugar debemos tener una baraja preparada, de modo          el doble de la suma entre un número y 7                    :
                                                                                                                                   2( x  7)
que en la parte final del mazo se encuentre, de abajo arriba, los                                                                   2
oros 1, 4, 2, 8, 5, y 7. A continuación irán el resto de los oros.   un número multiplicado por si mismo               : x
Pediremos a alguien del publico que haga una mezcla americana        un número aumentado en 7 y multiplicado por el mismo número
(la cual no cambia el orden de los oros, las alterna en otros        disminuido en 6                              :
                                                                                                                      ( x  7)(x  6)
lugares, pero sin cambiar el orden) si la mezcla se ha hecho bien,
puede hacerse una segunda mezcla, pues los oros habrán               la diferencia de dos números es 6                : ( x  y)  6
quedado en la parte de abajo de la baraja.                           la suma de 2 números es 15                        :
                                                                                                                           ( x  y )  15
A continuación, buscamos los seis primeros oros que aparezcan                                                              x 10  y
(con las cartas boca arriba) y escribimos el número que tiene que    un número excede en 10 unidades a otro            :
ser el 142857.                                                       tres números consecutivos           :
                                                                                                             ( x  1); x; ( x  1)
Lanzamos un dado (puede ser virtual) al aire y multiplicamos por     tres números pares consecutivos : (2 x  2);2 x; (2 x  2)
el resultado obtenido.
                                                                     tres núm impares consecutivos :
                                                                                                       (2 x  3);(2 x  1);(2 x  3)

                                                                                                                                            5
                                                        1            son 2 naranjas.

el inverso de un número                               : x            Esto parece muy obvio, muy fácil, pero la experiencia indica que
la suma de tres números consecutivos al cuadrado     :               se sabe hoy, y se olvida mañana.
( x  1) 2  x 2  ( x  1) 2
un número de dos cifras                  : 10x + y                   Sigamos: veamos los monomios y polinomios.
un número de tres cifras                 : 100x +10y + z
el sucesor de un número                  : x+1                       Se llama monomio a una expresión algebraica entera en la cual la
el antecesor de un número                : x-1                       variable, por ejemplo x, y o z, esta afectada solamente por
el numerador de una fracción se aumenta en 3 y el denominador        operaciones de potencia de exponente natural y multiplicación por
                                                                     números reales. Por ejemplo, son monomios 4xz, 17 x² , -12 x³yz².
                                           x3
de disminuye en 5                        : x5                       La suma algebraica, esto es, suma o resta de monomios, se llama
                                                                     polinomio.
Expresiones algebraicas.
                                                                     B(x) = 5x³-8x²+14x-7 es una expresión algebraica con 4 términos.
Son expresiones algebraicas las combinaciones de números y           Más precisamente, es un polinomio de tercer grado. Está formado
letras que representan números. Estas combinaciones se pueden        por 4 monomios o términos; 5x³ es un término de grado 3, -8x² es
hacer con las operaciones de suma, resta, producto, cociente y       el término de segundo grado,14x es de primer grado y -7 es el
potencia de exponente natural.                                       término independiente, de grado cero.

Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no          En el monomio 5x³ la parte literal es x³ y el coeficiente es 5 .
contienes denominadores algebraicos.
                                                                     En el monomio -8x² la parte literal es x² y el coeficiente es -8.
Por ejemplo, son expresiones algebraicas 8x-78z , (3x-1)/(9x-2), 3
naranjas + 4 papas, 8x/3y.                                           Repasemos el repaso. Esto sería un repaso al cuadrado !!!!

Son expresiones algebraicas, pero no enteras (3x-1)/(9x-2) y         Cuidado que si las partes literales son diferentes, no se pueden
8x/9y                                                                sumar. Veamos.

No son expresiones algebraicas log(2x+1) ni cos (9x-5).              Es claro que 3x + 4 x² no se puede "sumar". Esta expresión ya
                                                                     está reducida a su mínima expresión.
A continuación trataremos las expresiones algebraicas enteras.
                                                                     En cambio 2x + 4 x² + 6 - 9x + x² se puede reducir y ordenar,
Operaciones: Suma.                                                   quedando 5x² - 7x + 6

Para sumar dos expresiones algebraicas, estas tienen que tener       Producto:
la misma parte literal.
                                                                     Recordemos ahora que para multiplicar potencias de la misma
Por supuesto que no se pueden sumar 3 naranjas más 4 papas,          base, se deja esa base y se suman los exponentes.
porque daría 7 ........... ¿ 7 qué ?                                 4 x² . 5 x = 20 x³

Pero se puede hacer: 3 naranjas + 4 papas + 10 naranjas + 2          Hemos multiplicado 4 por 5 = 20 y hemos sumado exponentes 2 +
papas = 13 naranjas + 6 papas.                                       1=3

Entonces se puede sumar: 3 xz + 4 x³ + 10 xz + 2 x³ = 13 xz + 6      Recordemos que en el término 5 x , el coeficiente es 5 y el
x³.                                                                  exponente de x es 1 .

Para sumar dos expresiones algebraicas, tienen que tener la          También debemos recordar la regla de los signos:
misma parte literal.

Sumamos papas con papas y naranjas con naranjas. Se deja la
parte literal igual, intacta, y se suman sus coeficientes.

Cuidado entonces que x + x NO es x². x + x = 2x.

1 naranja + 1 naranja no es una naranja cuadrada !!!! sino que

                                                                                                                                         6
                                                                    5.   Evaluación escrita.
                                                                    6.   Autoevaluación.
                                                                         En general, TRADUCIR significa expresar de otro modo, o en otro
                                                                         idioma, una palabra o una idea. Tambi鮠existe el lenguaje
                                                                         grᦩco, las imᦩnes que acabas de ver traducen en grᦩcos la
                                                                         idea de cristal y de sistema planetario.
                                                                         2.    Aquᦩiene varias formas de decir ?7?. ?Puedes agregar
                                                                         algunas traducciones a la lista?


                                                                          Siete, 7, ???????,       , el n? entero que precede al ocho,
     SITUACION PROBLEMÁTICA.                                                                     4+3, (5-4)? + 6,
                                                                         Todos son diferentes representaciones del n? ?7?.
     En una granja se sabe que hay conejos y pollo entre otros
                                                                         Agrega otras formas de decir ?7?:
     muchos animales, el granjero, le plantea un problema a un
     inquieto joven para lo cual proporciona los siguientes datos: Hay
     136 patas de conejos y pollos y se sabe que hay 43 animales en
     total de la especies citadas anteriormente, ahora dime: ¿cuántos
                                                                                                                               Si lo hiciste,
     son pollos y cuántos son conejos?.
     INSTRUCCIONES:                                                                                                           ?cuᦩas
1.   Resolver e forma individual e problema anterior, cuanta con un      encontraste?
     máximo de veinte minutos.                                            3.      Observa la tabla siguiente:
2.   Comparar soluciones con el compañero de tu elección.                Consumo de materiales y resistencia a los 28 dᦩ, de mezclas de
3.   Obtengan una conclusión para compartir con el grupo.                cemento
4.   Exprese el algoritmo de solución.                                   (Fuente: enciclopedia Salvat, tomo 14)
5.   En forma individual, después de haber resuelto el problema,                                                            Resistencia a la
                                                                          Dosifica Kg. de            M3 de
     identifique los siguientes conceptos:                                                                     M3 de agua compresiᦩn
                                                                             ciᦩ      cemento        arena
a)   Lenguaje común y lenguaje algebraico.                                                                                      Kg/cm2
b)   Elementos de la suma y resta de polinomios así como sus leyes y          1:1       940           0,80         0,35           400
     propiedades.                                                             1:2       630           0,95         0,30           360
c)   Ecuación lineal y elementos que la conforman.                            1:3       470           1,05         0,25           250
d)   Sistema de ecuaciones y los elementos que los conforman.                 1:4       370           1,10         0,22           190
e)   Describir el método de solución empleado.
                                                                         En ella, algunos especialistas EXPRESARON MEDIANTE
     ACTIVIDADES DE DESARROLLO:                                          NUMEROS lo que ellos saben acerca de cᦩmezclar el cemento
1.   En equipos de cinco integrantes formados por afinidad planteen      con arena y agua para preparar concreto. ?Podrᦩ traducir
     un problema similar al planteado en las actividades de apertura,    algunos de esos datos?
     en donde se involucren los sistemas de ecuaciones lineales para     ?Qu頍 significa 1:3?:
     su solución, el cual deberá ser resuelto por el equipo, para        ?Pudiste traducir? 1:3, se traduce por ?uno es a tres? o ?como
     enseguida compartirlo con los demás equipos y resolverlos en la     uno es a tres?. En este caso le estᦩiciendo al maestro de la
     misma forma como están integrados.                                  construcciᦩue use UNA PARTE DE CEMENTO POR TRES DE
2.   Compartir los diferentes problemas planteados por los equipos y     ARENA.
     encontrar planteamientos y soluciones en equipo.                    4.      Completa la siguiente tabla:
3.   Socializar las diferentes soluciones en una plenaria.                      Lenguaje com?b>                Expresi�� num鲩ca o
4.   Investigar en forma individual los conceptos planteados en las
                                                                                                                     matem��ca
     Actividades de Apertura, realizando un cuadro de doble entrada e
     identificando las semejanzas y las diferencias encontradas entre                                    C = cantidad de cemento
     sus respuestas y la bibliografía consultada.                        Use el triple de arena que de A = cantidad de arena
5.   Se resolverán traducciones de lenguaje común a lenguaje             cemento.                        Traducciᦩ de la idea expresada:
     algebraico y viceversa en forma individual , describiendo la
     utilidad.                                                           El doble de ocho.
6.   Se resolverán ecuaciones y sistemas de ecuaciones por los                                         C = cantidad de cemento
     diferentes métodos y formas previamente planteados.                                               A = cantidad de arena
     ACTIVIDADES DE CIERRE:
1.   Presentación de trabajos realizados.                                                            Fᦩla:
2.   Elaboración de resumen, cuadro sinóptico o mapa conceptual.         Compara tus resultados con los de tus compaᦩs.
3.   Generación de glosario de términos.                                 Avancemos un poco mᦩ completa las celdas vacᦩ de la tabla:
4.   Participación individual y el equipo.                                           Lenguaje com?b>                   Expresi��

                                                                                                                                            7
                                                   matem��ca          sobre un n?...
Al doble de una cantidad desconocida se le                           ?Qu頍 n? hay que
suma cuatro                                                          restar a 40 para...?
A una cantidad desconocida se le resta 25                            Juan tiene 100 mᮠque Pedro: X                Juan: X
El entero que sucede al 8                                8+1         Pedro                Juan: X + 100, o bien Pedro: X ? 100
Los dos enteros que suceden a 2
Los dos enteros que suceden a N
Si a tres veces la cantidad desconocida se le                        Un n? disminuido
resta 5, resulta 17                                                  en    partes...
Si a 20 se le suma el doble de una cantidad                                                                      =
desconocida, resulta 28.                                             Es igual a, equivale a,
El 5% de 20                                                          se obtiene lo mismo
                                                                     que...
Compara con tus compaᦩs y luego confirmen con el profesor.           Antes de intentar resolver un problema, lee detenidamente el
Los ejercicios siguientes estᮠbasados en el texto ?Matemᮠ 1ca                       o
                                                                     enunciado. Sᮠcomprendas bien y podrᮠ     plantear la ecuaciᮠ
educaciᦩedia? de Teodoro Jarufe A. y Santiago Blanco, de la          Problema 1
Editorial Santillana, aᦩ982, reimpresiᦩel aᦩ990.                     Hallar el n? que aumentado en 20, equivale al triple del n? }
5.     La tabla siguiente contiene traducciones a partir de la             Lenguaje
                                                                                                     Lenguaje algebraico
oraciᦩ?La suma de la mitad de un n? y la cuarta parte del                   com?>
mismo, equivale al n? disminuido en 5?:                              El n?:
              Lenguaje com?b>                   Lenguaje             ...aumentado en
                                               algebraico            20
                                                                     ...triple del
                                                     =               mismo n?
                                                                     Por lo tanto la
     El n? ?buscado?...
                                                                     ecuaciᮠ   s:
     La mitad del n? desconocido
     La cuarta parte del n?...                                       El n? pedido es:
     La suma de la mitad de un n? y la                               Problema 2
     cuarta parte del mismo...
     Equivale
     Al n? buscado disminuido en 5...                                Despu鳠de cortar        de una tabla, quedan 30 cms. ?Cuᮠera el
                                                                     largo de la tabla?
      Lo mᮠ importante, en este tipo de problema, es establecer la
ecuaciᦩorrespondiente.                                                         Lenguaje com?b>                 Lenguaje algebraico
Estudia el siguiente cuadro de ?traducciᦩdel lenguaje                Largo de la tabla
com?gebraico, donde encontrarᮠ     situaciones que te                La parte cortada
permitirᮠmanejar correctamente el lenguaje algebraico, como          Lo que queda es la diferencia, o sea:
modelo de situaciones reales.                                                              s
                                                                     Por lo tanto la ecuaciᮠ
 Lenguaje com?b>                   Lenguaje algebraico               El n? pedido es:
El doble de un n?...                          2X                      Actividad de cierre
El cuadrado de un                                                    Enuncia tu propio problema
n?...
                                           3X + 3
La mitad de un n?,
disminuida en 7...
                                            o bien                      Lenguaje com?>                 Lenguaje algebraico

Las tres cuartas
partes de un n?...
Dos n?s enteros              X; X+1             X es un entero                             s:
                                                                     Por lo tanto la ecuaciᮠ
consecutivos...                                                      El n? pedido es:
En exceso de 20                           20-X


                                                                                                                                     8
Veamos algunos ejemplos de multiplicación de monomios:            Ahora veamos otro caso particular de multiplicación de
No se ve bien entren a la pagina desde lo yo lo subi              polinomios.

                                                                  Producto notable = producto de binomios conjugados.
link:
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/repaso1.swf

Multiplicación de dos expresiones algebraicas: Propiedad          link:
distributiva.                                                     http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
                                                                  /notable.swf
No se ve bien entren a la pagina desde lo yo lo subi
                                                                  En resumen: (a+b).(a-b) = a² - b²


link:                                                             Funciones logarítmicas
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
/distribu.swf                                                     Los números 2, 3 y 8 están relacionados de la forma


Ahora : un caso particular de multiplicación de dos binomios. ¿
Qué pasa si los dos binomios a multiplicar son iguales ?          Si conocemos el 2 y el 3, la operación es la
a.a=a²b.b=b²
                                                                  potencia:

                                                                  Si conocemos el 8 y el 3, la operación es la

(ax+b).(ax+b) = (ax+b)²
                                                                  radicación:

Vamos a ver dos formas diferentes de desarrollar un cuadrado de   Si conocemos el 2 y el 8, la operación es la
un binomio.

La primera, es la que ya sabemos, aplicando la propiedad          logaritmación:
distributiva.



link:                                                             link:
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica        http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
/binomio.swf                                                      /loga1.gif

                                                                  La función logarítmica se puede definir, de una forma sencilla,
Vemos que siempre que aplicamos la propiedad distributiva para    cómo una de la operaciones inversas de la potencia.
desarrollar el cuadrado de un binomio, el resultado es un
polinomio con 3 términos. Este resultado se aprovecha en este     Empecemos a hacer un primer intento de definición:
segundo método.

Fórmula de desarrollo del cuadrado de un binomio.
                                                                  link:
                                                                  http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
                                                                  /loga6.swf
link:
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
/binomio2.swf



                                                                                                                                    9
                                                                Otra vez la fórmula de cambio de base nos ayudó.
Ejercicios sencillos para el comienzo.
                                                                Por supuesto que tiene que dar lo mismo, no ?

                                                                Y ahora que sabemos tantas propiedades, quizás podamos
link:                                                           deducir estas otras: (al pasar el mouse por encima, verás la
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica      respuesta)
/loga8.swf

Para continuar, necesitamos repasar algunas propiedades de la
potencia:                                                       link:
                                                                http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
                                                                /loga12.swf

link:                                                           ¿Cómo se podrían demostrar?
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
/loga11.swf

Más ejercicios: ¿ te gustan las fracciones ?



link:
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/loga9.swf

Veamos ahora algunas propiedades de los logaritmos:



link:
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/loga10.swf

Aprendiendo a usar la calculadora:



link:
http://www.edu.mec.gub.uy/banco%20de%20recursos/matematica
/calculadora.swf




Recordemos que cuando la base es 10, esta no se escribe. Se
sobrentiende.
Hagamos otro ejemplo cuyo resultado ya conocemos por otro
camino.

                                                                                                                               10

								
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