Titulo
¿ENSEÑAMOS BIEN LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA?
UNA INTERROGANTE EN LA QUE SE DEBE MEDITAR.
Autor o Creador Lic. Ibrahim Arnaiz Barrios.
Lic. Juan Manuel Pérez Cruz.
Lic. José Antonio García Rodríguez.
MSc. Ángel Hernández Pina.
Lic. Mari luz Rodríguez Fernández.
Prof. Lidia Sierralta Martínez.
Prof. Magalys Rojas Cuba.
Lic. Mirtha Numa Rodríguez.
Lic. Odalys Ledo Miralles.
MSc. Luis Reinol Pérez.
Claves o Temas FORMACION DE HABILIDADES, ENSEÑANZA,
APRENDIZAJE, MATEMATICA
Descripción Artículo
Recursos Base de Datos
Idioma Español
identificador
Datos:
Titulo:¿Enseñamos bien la matemática en la escuela? Una interrogante en la que se debe
meditar?
Autor(a) Ibrahim Arnaiz Barrios. Et.al.
Institución ISP Manuel Ascunce Domenech
Dirección: Carretera a Caballos. Circunvalación Norte
Teléfono:
e-mail: cdip@ispca.rimed.cu
Resumen
Uno de los principales problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje está relacionado
con el hecho de que ―la estimulación al desarrollo intelectual y la formación de habilidades
para aprender a aprender, se trabajan de forma limitada y en ocasiones de manera
espontánea‖ (Cuba. MINED, 2001,p.4). Ello fue ilustrado en el citado documento a partir de las
principales dificultades que se detectaron en Matemática en el V Operativo Nacional de
Evaluación de la Calidad de la Educación.
En el trabajo se ofrecen experiencias sobre el modo de actuación de los docentes de
Matemática relacionadas con: el contenido matemático y su elevado nivel de abstracción, la
enseñanza de procedimientos reduciendo lo nuevo a lo ya conocido, la ejercitación y la
integración del sistema de conocimientos y habilidades. La concreción y aplicación creativa de
los puntos de vista presentados, puede significar un apoyo a la solución de la problemática
declarada.
Algunos maestros, profesores, estudiantes y familiares muestran insatisfacción con los
resultados de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática al no existir siempre, una
correspondencia entre éstos y el esfuerzo realizado por unos y otros.
En el presente artículo se ofrecen algunas consideraciones que orientan a maestros y
profesores con el propósito de perfeccionar su modo de actuación en la dirección del proceso
de enseñanza aprendizaje de la Matemática.
Con mucha frecuencia ocurre que el alumno aprende a realizar un determinado tipo de
ejercicio sin conocer la esencia de las acciones que realiza y sin tener conciencia de las
relaciones con los contenidos precedentes (conocimientos y habilidades), lo cual provoca,
cuando se cambian algunas condiciones o datos en el ejercicio, el fracaso en su solución. Los
siguientes puntos de vista tienen incidencia directa en la problemática antes señalada.
Cuerpo EL CONTENIDO MATEMÁTICO Y SU ELEVADO NIVEL DE ABSTRACCIÓN.
El alumno refleja en su mente las relaciones cuantitativas y geométrico espaciales a través de
diferentes niveles de abstracción, en ocasiones, muy distantes de lo visible y lo palpable, lo
cual es de extraordinario valor metodológico para dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la asignatura. Siempre que sea posible debe revelarse esta particularidad, un ejemplo de
esto se aprecia en la elaboración del concepto ―función monótona creciente‖, donde:
a) Se pueden mostrar los gráficos de varias funciones que representan el concepto ―función
monótona creciente‖.
Y Y Y Y
X X X X
b) Mediante preguntas e impulsos se facilitará a los alumnos arribar a la siguiente idea
intuitiva:
―En todos los casos, al pasar la punta del lápiz de izquierda a derecha por los gráficos, los
valores correspondientes de la función CRECEN‖
CONCLUSIÓN: A las funciones cuyos gráficos cumplen con esta característica se llaman
funciones monótonas crecientes.
c) El alumno debe convencerse, mediante ejemplos, que la conclusión es inoperante para
determinar esta propiedad en una función cuando se desconoce el gráfico de la misma.
d) Utilizando el sistema de conocimientos precedentes el alumno debe transferir al lenguaje
matemático (síntesis) la idea intuitiva anterior.
DEFINICIÓN: Una función f es monótona creciente en A ( A Dom. f) si y sólo sí para a,
b A se cumple que:
a
e) Con esta definición el alumno posee un instrumento teórico que le permite analizar el
cumplimiento de esta propiedad en una función cualquiera.
En el inciso b) se renuncia a la exquisita rigurosidad matemática en aras de la asimilación del
concepto.
En el siguiente caso se muestra que lo anterior también es recomendable para lograr un
mayor nivel de abstracción y generalización en determinado momento. Dada la función f(x) =
2
2x - 3x 1, los alumnos pueden determinar, con relativa facilidad: f(2), f(-1), f (0,5), etc, pero
no es así cuando se pide calcular f (a-1), f(xy), etc. Ha dado resultado para lograrlo
2
escribir f de la siguiente forma (no rigurosa) f( = 2 - 3 1 y expresar en el lenguaje
)
común su significado: ―f evaluada en un argumento cualquiera es igual al duplo del cuadrado
del argumento, menos el triplo del argumento, más uno ―
LA ENSEÑANZA DE MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS REDUCIENDO LO NUEVO A LO
YA CONOCIDO.
Por la variedad en los tipos y formas de los ejercicios matemáticos (medio fundamental para
operar con el sistema de conocimientos y habilidades) no se puede aspirar a que el alumno
disponga de recursos particulares para la solución de cada uno de ellos, es necesario enseñar
las acciones mentales ocultas tras los fenómenos particulares como bien señala la psicóloga
Nina F. Talízina, es decir, enseñar métodos y procedimientos lo suficientemente generales y
esenciales que posibiliten la solución de diversos ejercicios y problemas.
En la escuela el alumno tiene que aprender a resolver diferentes tipos de ecuaciones: lineales,
cuadráticas, fraccionarias, con radicales, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y
ecuaciones combinadas (integradas. Si no se enseña la esencia del procedimiento para
resolver una ecuación cualquiera el alumno trata de memorizar mecánicamente tantos
procedimientos como tipos de ecuaciones estudiadas y lo peor es que muchas veces fracasan
cuando el tipo de ecuación dada no tiene la estructura de las que está acostumbrado a
trabajar.
Resolver una ecuación es, en esencia, transformarla en una más sencilla (generalmente
conocida) aplicando los conceptos y propiedades estudiadas, es decir, reduciendo lo nuevo a
lo ya conocido. Si el alumno aprende bien a resolver ecuaciones lineales y cuadráticas no
tendrá mayores dificultades para resolver los otros tipos de ecuaciones que ellos estudian
pues las mismas son transformables a lineales o cuadráticas. Ilustremos esta idea, escribiendo
las transformaciones realizadas a una ecuación combinada ( muy compleja para los alumnos)
para convertirla en una más sencilla:
log x log( 2 x 7 ) log( x 2 )
2 2 = 4
log x log( 2 x 7 ) 2 log( x 2 )
2 = 2 (Propiedad de las potencias)
log( 2 x 2 7x ) log( x 2 4 x 4 )
2 = 2 (Propiedad de los logaritmos)
2 2
log (2x +7x) = log (x +4x +4) (Concepto de función)
(Exponencial)
2 2
2x +7x = x +4x +4 (Concepto de función)
(Logarítmica)
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2
x + 3x – 4 = 0 ECUACIÓN CUADRÁTICA EN SU FORMA
NORMAL
(x + 4) (x – 1) = 0 Teorema de Vieta
x+4 = 0 ECUACIONES
x–1 = 0 LINIALES
LA EJERCITACIÓN Y LA INTEGRACIÓN DEL SISTEMA DE CONOCIMIENTOS Y
HABILIDADES.
Uno de los mayores daños que hacemos a los alumnos cuando de enseñar Matemática se
trata es hacerlo de forma fraccionada, aparentando independencia entre unos contenidos y
otros, es decir, renunciando a la aplicación del contenido de forma integrada. La inmensa
mayoría de los profesores de Matemática están, teóricamente, de acuerdo con esta idea pero
en la dirección del proceso no siempre se es consecuente con la misma.
Anteriormente se hizo referencia a la importancia que tiene para el alumno conocer la esencia
del procedimiento para resolver una ecuación cualquiera, lo cual se refuerza si se tiene en
cuenta que otras exigencias de la asignatura se reducen a la solución de ecuaciones, como
son el caso de:
Determinar el dominio de algunas funciones.
Determinar ceros de funciones.
Determinar polos de funciones.
Determinar puntos comunes de funciones.
Resolver problemas, etc.
Hay ejemplos que muestran la necesidad de concebir la ejercitación con un carácter integrado
pues si ello no se enseña de forma sistemática es de esperar el fracaso cuando lo exigimos a
los estudiantes. Es tradicional, en la unidad de sistematización de 12mo grado, exigirle al
alumno la determinación de los ceros de una función. Cuando planteamos un ejercicio con
este objetivo y somos consecuentes con lo expresado anteriormente, tendríamos en cuenta,
entre otras cosas, lo siguiente:
EXIGENCIAS ADICIONALES CONTENIDOS QUE SE INTEGRAN
a) La función puede ser transformable. Cálculos y operaciones algebraicas.
b) Determinar la imagen de la función para Cálculos numéricos combinados.
un valor numérico dado.
c) El valor numérico es dado de forma Fórmulas de reducción, trabajo con las tablas
indirecta y no es un número entero trigonométricas, concepto de logaritmo,
Ej. a= sen 7/6 a = log 8 propiedades de las potencias.
2
La idea de la ejercitación integrada de los contenidos tiene una repercusión en la organización
didáctica de la enseñanza de la Matemática. Debe lograrse, lo más temprano posible, el
dominio por los alumnos de los conocimientos y habilidades necesarias para producirse el
proceso de integración, de manera que se disponga del tiempo requerido para la realización
de ejercitaciones integradoras del contenido.
En la unidad de ―Números Racionales‖ que se estudia en 8vo grado, el alumno debe al
finalizar la misma ―realizar cálculos numéricos combinados con números racionales (enteros,
fraccionarios y decimales) es decir debe ser capaz de aplicar los conceptos y propiedades
estudiadas de forma integrada, por ello la ejercitación de cada una de las operaciones (
adición, sustracción, multiplicación y división) de forma aislada no debe ocupar un tiempo
excesivo, de todas formas al hacer cálculos combinados también ejercitará cada una de las
operaciones en particular. No debe ocurrir, como es común, que para los cálculos combinados
el alumno disponga de un tiempo mínimo si ello es la aspiración con la enseñanza de la
unidad.
Estos puntos de vista, no son la mágica solución a la problemática de la enseñanza de la
Matemática, pero su concreción y aplicación creativa puede significar un apoyo al esfuerzo por
perfeccionar la enseñanza y el aprendizaje de esta importante ciencia.
Bibliografía
1. Campistrous Pérez Luis y otros. ―Sobre las habilidades matemáticas‖. —En Matemática
10mo grado. Orientaciones Metodológicas.—La Habana. Editorial Pueblo y Educación. 1989.
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Educación. 1978.
3. Durán Jorrín Alexis. Enseñanza de procedimientos lógicos elementales mediante la
Matemática. 1997. —Tesis (Doctor en Ciencias Pedagógicas)—ICCP. Ciudad de la Habana.
1997.
4. González Mario O. Matemática. Quinto Curso: Complementos de Aritmética y Algebra.—La
Habana. Editorial Pueblo y Educación. 1974.
5. Talízina Nina F. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares. México. Edit.
Angeles. 1992.
6. Torres Fernández Paúl. La enseñanza de la Matemática en Cuba en los umbrales del siglo
XXI: logros y retos. Ciudad de la Habana.. Cuba. Material publicado por el ISP ―Enrique José
Varona‖. 2000.
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